1、2.3.4.5.6.7.高等數學下期中試題參考答案圖等數學下期中試題參考答案嘉善光彪學院.填空題(每小題lim : sin2 岫 _3分，共21分)1-1專業本科2005年級2006.40 x4x2+sinx2-dx =1+x+0dx-oox2+2x+2空間曲線z=lim 2xsin2x . lim sin2x = 1x 0 4x3x 0 2x22x2-11+x2dx +1 sinx _ 1 x2_ 11_1_-11+x2dx = 2 01+x2dx +0=2 0(1-1+x2)dx=2-2arctanx|0=2- /2+8 d(x+1),+00-8(x+1)2+1 = arctan(x+1)

2、| -oo/2 - (-/2)=:.2-x -y :x2+y21設 z = ln(x+lny),則 y42交換 0 dy y f(x,y)dx設f(x)是連續函數，且在XOY平面上的投影為x2+y2=1 z=0=1?.y x+lny1/y = 0 x+lny積分次序得2x20 dx 0f(x,y)dxx3-10 f (t)dt =x,則 f (7)二兩邊求導得到f(x3-1)3x2=1 ,將x=2代入得到f(7)=1/12二。單項選擇題(在每小題的四個備選答案中選出一個正確答案，并將正確答案的序號填在題中的括號內。每小題8.下列等式正確的是d bA、dx af(x)dx=f(x)3分，共18分

3、。)dB、dx f(t)dt=f(x)d xC、dx af(t)dt=f(x)(CD、 f (x)dx=f(x)正確的關系式為:d bA、dxaf(x)dx=0B、ddx fdt=0C、ddxxaf(t)dt=f(x)D、f (x)dx=f(x)+Cx9.設 0f(t)dt =12f(x)-12且 f(0)=1 ,則f(x)=A、e 2x1 xB、2e xC、xe21 2xD、2e2x兩邊求導得到f(x)= 1f(x),只有f(x)= e 2x10.已知函數 f (x+y, xy) = x 2+y2 ,則f(x,y)+ xf(x,y)yB)A、2x+2yB、 2x 2C、2x - 2yD、2x

4、 + 2f (x+y, xy) = (x+y) 2- 2xy , f(u,v)=u 2-2v,所以 f(x,y)=x 2-2y=x 2+y2f(x,y)f(x,y)y=2x-211.二元函數 z = x2 +y2+4（x-y）的極小值為A、8B、-12C、16D、-8x=2x+4,y=2y-4, z12.下列廣義積分收斂的是的極小值點為(-2,2), z = x2 +y2+4(x-y)的極小值為A+8_dx1 4x3B、+8|nx eTdxr1 dx03-x+00 dxD、 e xInx利用常用廣義積分的指數判別法1 dx0 -x收斂13. f(x,y)=ln ：.-x2 -y2x2 2、(x

5、2-y2)2x y2 x2(C )、(x2-y2)2r 2xy c、(x2-y2)22xyD、- (x2-y2)2因為f(x,y)x寸 x2 -y2xx2-y2所以2 f(x,y)2xyxy =(x2-y2)2。計算題（每小題6分，共36分）14.計算定積分42x+10 evdx解:原積分I-：-2x+1 = t 3=(=2-=21 te t dt3 te%31 et dt =3e-e - (e-e) =2e15.計算定積分3 .arctanJx 1 .1x(1+x)dx解:原積分I/x = t=,31arctant t(1+t2)2tdt = 2,31 arctant d(arctant)=

6、(arctant)T：=與-(7) = 72/14416.已知 z = f(x 2y, x - 2y),求解:z = f1 x2z=(f 11x y=2x3y fn17. z=z(x,y)解:x=1,y=12xy+ f 2-2f2x2 -2f 12 )2xy+2xf 1+f21+ (x 2-4xy) f 12-2f22 +2xf 1由方程 2xz - 2xyz + ln(xyz) = 0 z=1x2 -2f22確定，求（1,1）點處的全微分。Fy|(1,1,1)= 2z - 2yz +yz/xyz|(1,1,1) = 1|(1,1,1)= 2x - 2xy +xy/xyz|(1,1,1) =

7、1|(1,1,1)= - 2xz +xz/xyz| (1,1,1) = -10(ex-1)dx = (ex-x)|o= e-1-1= e-2/4 r3 2cosrdr = 0 sin30 d-3 0 cos3dcosX軸所圍平面圖V。x2 121萬。=(3 - 2)=石zFxzFy-Xl(i,i)= -|(i,i)= -1, -y|(i,i)= - |(i,i)= 1dz= -zdx + -zdy = -dx+dy x y18.計算二重積分D xexydxdyD: 0 x 1,0 y 1解:原積分 I= odx 0 xexydy = oexy10dx =19.計算二重積分 D y dxdy ,

8、D: x2+y2=2x, y=x, X軸所圍成的區域。11+-j1-y2解一:原積分 I = 0dyy ydx TOC o 1-5 h z 1,=0y(1+ .1-y2 - y)dy1 212 3/21 3 1=2 - 3(1-y)- 3y 0_111 _ 1=2 - 3 + 3 = 2/4 2cos解二:原積分 I = 0 d 0 rsin-8 .cos4 , /41=3 -4 0=2四、應用題(每小題9分，共18分。)20.求由曲線y=4x與此曲線在點(1,1)處的切線及 形面積S及此圖形繞X軸旋轉而成的旋轉體體積 解:y|(1,1) =1/2近|(1,1) =1/2切線方程：y-1=(1

9、/2)(x-1)2y-1=x交點 A(-1,0),B(1,1)11S= 0(y2-2y+1)dy = y 3/3-y2+y0= 1/31 x+1 21；2(x+1)3 1V= -1(-2-)2dx -0( .x)2dx = - 3 -1 -.投入原料A, B各x, y單位，生產數量 z =0.01x2y 。A,B原料的單價分別為10元，20 元，欲用3000元購買原料，問兩種原料各購買多少單位時，使生產數量最大。解:目標函數：z =0.01x2y約束條件：10 x+20y=300設 F(x,y, )= 0.01x2y+ (10 x+20y-300)F x=0.02xy+10 =0F y=0.01x2+20 =0 消去 得至ij 0.04xy - 0.01x 2=0 x(4y-x)=0 x=4y10 x+20y-300=0解得x=200, y=50 ,當A原料購買200單位，B原料購買50單位時，生