1、7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥學(xué)校舉行踢毽子大賽,某班要在甲、乙兩名同學(xué)中選出一名同學(xué)參加學(xué)校的決賽.若甲、乙兩名同學(xué)每分鐘踢毽子個(gè)數(shù)X,Y的分布列分別為X90100110P0.10.80.1Y95100105P0.30.40.3那么最好選擇哪名同學(xué)呢? 激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥一、離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示.Xx1x2xnPp1p2pn考慮X所有可能取值xi與E(X)的偏差的平方(x1-E(X)2,(x2-E(X)2,(xn-E(X)2.因?yàn)閄取每個(gè)值的概率不盡相同,所以我們用偏差平方關(guān)于取值概率的加權(quán)平均,來度量隨機(jī)變量X取值與其均值E(X)的

2、偏離程度,我們稱 D(X)=(x1-E(X)2p1+(x2-E(X)2p2+(xn-E(X)2pn= (xi-E(X)2pi為隨機(jī)變量X的方差,有時(shí)也記為Var(X),并稱 為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差,記為(X).激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥名師點(diǎn)析隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度,反映了隨機(jī)變量取值的離散程度.方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,隨機(jī)變量的取值越集中;方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大,隨機(jī)變量的取值越分散.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微思考隨機(jī)變量的方差與樣本的方差有何不同?提示:樣本的方差是隨著樣本的不同而變化的,因此它是一個(gè)隨機(jī)變量,而隨機(jī)變量的方差是通過大量試驗(yàn)得出的,刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的

3、平均偏離程度,因此它是一個(gè)常量而非變量.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表.X-1012Pabc若E(X)=0,D(X)=1,則a=,b=.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥二、離散型隨機(jī)變量的方差的性質(zhì)一般地,可以證明下面的結(jié)論成立:D(aX+b)=a2D(X).激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)已知X的分布列如下表.X-101P若Y=3X-1,則D(Y)的值為()A.-1B.5C.10D.20答案:B 探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)求離散型隨機(jī)變量的方差例1袋中有20個(gè)大小相同的球,其中標(biāo)記0的有10個(gè),標(biāo)記n的有n個(gè)(n=1,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取一球,X表示所取球的標(biāo)號(hào).(1)求X的分布列、

4、均值和方差;(2)若Y=aX+b,E(Y)=1,D(Y)=11,試求a,b的值.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)解:(1)X的分布列為 探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)(2)由D(Y)=a2D(X),得a22.75=11,解得a=2.又E(Y)=aE(X)+b,所以當(dāng)a=2時(shí),由1=21.5+b,得b=-2;當(dāng)a=-2時(shí),由1=-21.5+b,得b=4.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟 1.求離散型隨機(jī)變量X的方差的基本步驟: 探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)2.已知隨機(jī)變量=a+b求D()時(shí),注意D()=D(a+b)=a2D()的應(yīng)用,這樣既避免求隨機(jī)變量的分布列,又避免繁雜的計(jì)算,簡化計(jì)算過程.探

5、究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練1袋中有除顏色外其他都相同的6個(gè)小球,其中紅球2個(gè)、黃球4個(gè),規(guī)定取1個(gè)紅球得2分,1個(gè)黃球得1分.從袋中任取3個(gè)小球,記所取3個(gè)小球的分?jǐn)?shù)之和為X,求隨機(jī)變量X的分布列、均值和方差.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)離散型隨機(jī)變量的方差的應(yīng)用例2甲、乙兩個(gè)野生動(dòng)物保護(hù)區(qū)有相同的自然環(huán)境,且野生動(dòng)物的種類和數(shù)量也大致相同,兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每個(gè)季度發(fā)現(xiàn)違反保護(hù)條例的事件次數(shù)的分布列分別為:甲:X0123P0.30.30.20.2乙:Y012P0.10.50.4試評(píng)定這兩個(gè)保護(hù)區(qū)的管理水平. 探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)解:甲保護(hù)區(qū)內(nèi)違反保護(hù)條例

6、的次數(shù)X的均值和方差分別為E(X)=00.3+10.3+20.2+30.2=1.3,D(X)=(0-1.3)20.3+(1-1.3)20.3+(2-1.3)20.2+(3-1.3)20.2=1.21.乙保護(hù)區(qū)內(nèi)違反保護(hù)條例的次數(shù)Y的均值和方差分別為E(Y)=00.1+10.5+20.4=1.3,D(Y)=(0-1.3)20.1+(1-1.3)20.5+(2-1.3)20.4=0.41.因?yàn)镋(X)=E(Y),D(X)D(Y),所以兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每個(gè)季度發(fā)現(xiàn)違反保護(hù)條例的事件的平均次數(shù)相同,但甲保護(hù)區(qū)內(nèi)違反保護(hù)條例的事件次數(shù)相對(duì)分散且波動(dòng)較大,乙保護(hù)區(qū)內(nèi)違反保護(hù)條例的事件次數(shù)更加集中和穩(wěn)定.相對(duì)而

7、言,乙保護(hù)區(qū)的管理更好一些.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟 離散型隨機(jī)變量的均值反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平,而方差反映了離散型隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度.因此在實(shí)際決策問題中,需先計(jì)算均值,看誰的平均水平高,再計(jì)算方差,分析誰的水平發(fā)揮相對(duì)穩(wěn)定.當(dāng)然不同的情形要求不同,應(yīng)視具體情況而定.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練2甲、乙兩個(gè)建材廠都想投標(biāo)參加某重點(diǎn)項(xiàng)目建設(shè),為了對(duì)重點(diǎn)項(xiàng)目建設(shè)負(fù)責(zé),政府到兩建材廠抽樣檢查,從他們中各取等量的樣品檢查它們的抗拉強(qiáng)度指數(shù)如下.X110120125130135P0.10.20.40.10.2Y100115125130145P0.

8、10.20.40.10.2其中X和Y分別表示甲、乙兩廠材料的抗拉強(qiáng)度,在使用時(shí)要求抗拉強(qiáng)度不低于120的條件下,比較甲、乙兩廠材料哪一種穩(wěn)定性較好.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)解:E(X)=1100.1+1200.2+1250.4+1300.1+1350.2=125,E(Y)=1000.1+1150.2+1250.4+1300.1+1450.2=125,D(X)=0.1(110-125)2+0.2(120-125)2+0.4(125-125)2+0.1(130-125)2+0.2(135-125)2=50,D(Y)=0.1(100-125)2+0.2(115-125)2+0.4(125-125

9、)2+0.1(130-125)2+0.2(145-125)2=165.由于E(X)=E(Y)120,而D(X)D(Y),故甲廠的材料穩(wěn)定性較好.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)離散型隨機(jī)變量的均值與方差的綜合典例如圖,左邊為國外的著名數(shù)學(xué)家,右邊為國籍,且4位數(shù)學(xué)家的國籍均不相同,老師為了激發(fā)學(xué)生了解數(shù)學(xué)史的熱情,在班內(nèi)進(jìn)行數(shù)學(xué)家和其國籍的連線游戲,參加連線的同學(xué)每連對(duì)一個(gè)得1分,連錯(cuò)得0分.高斯法國笛卡爾挪威阿貝爾英國牛頓德國假定某學(xué)生對(duì)這些數(shù)學(xué)家沒有了解,只是隨機(jī)地連線,試求該學(xué)生得分X的分布列、均值和方差.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)解:該學(xué)生連線的情況有都連錯(cuò)、連對(duì)一個(gè)、連對(duì)兩個(gè)、連對(duì)四個(gè)

10、,故其得分X的可能取值為0,1,2,4.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)方法點(diǎn)睛 求離散型隨機(jī)變量的均值和方差問題的一般步驟:第1步,確定隨機(jī)變量的所有可能值;第2步,求每一個(gè)可能值所對(duì)應(yīng)的概率;第3步,列出離散型隨機(jī)變量的分布列;第4步,求均值和方差.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)跟蹤訓(xùn)練小波以游戲方式?jīng)Q定是參加學(xué)校合唱團(tuán)還是參加學(xué)校排球隊(duì).游戲規(guī)則為:以O(shè)為起點(diǎn),從A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8(如圖)這8個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)分別為終點(diǎn)得到兩個(gè)向量,記這兩個(gè)向量的數(shù)量積為X.若X=0就參加學(xué)校合唱團(tuán),否則就參加學(xué)校排球隊(duì).(1)求小波參加學(xué)校合唱團(tuán)的概率;(2)求X的分布列、均值和方差

11、.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)(2)兩向量數(shù)量積X的所有可能取值為-2,-1,0,1,X=-2時(shí),有2種情形;X=1時(shí),有8種情形;X=-1時(shí),有10種情形.所以X的分布列為探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)1.已知隨機(jī)變量滿足P(=1)=0.3,P(=2)=0.7,則E()和D()的值分別為()A.0.6和0.7B.1.7和0.09C.0.3和0.7D.1.7和0.21解析:E()=10.3+20.7=1.7,D()=(1-1.7)20.3+(2-1.7)20.7=0.21.答案:D探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)2.(2020西安高三檢測(cè))若隨機(jī)變量的分布列如下,其中m(0,1),則下列結(jié)論正確的是()01PmnA.E()=m,D()=n3B.E()=m,D()=n2C.E()=1-m,D()=m-m2D.E()=1-m,D()=m2解析:依題意,n=1-m,則E()=0m+1n=n=1-m,