1、PAGE PAGE 7教學設計 數學 高中函數性質的應用教學設計湖北省鐘祥市實驗中學 萬亮洲一、教學背景函數是用以描述客觀世界中量的依存關系的數學概念，是數學中最重要的概念之一，它貫穿中學代數；函數歷來是數學高考中的重點考查內容，而函數的性質及其應用又是函數中最重要內容。因此，通過復習要使學生對函數的有關性質做到準確、深刻的理解，并能正確、靈活的加以運用。 二、設計思想與意圖 這是高三第二學期的一節復習課，教學時我們既要考慮對學生能力的培養，同時又要重視基本方法的歸納、總結及落實。 1、本節課以自主探究、交流合作為主要形式展開教學活動。首先通過復習函數的性質導入，訓練學生對數學的文字語言、符號

2、語言和圖形語言這三種語言之間的相互轉換。 2、例1的設計的意圖是:加深學生對函數概念、性質的理解。教學生學會閱讀，理解數學語言、符號；學會文字語言、圖形語言、符號語言之間的相互轉化。通過探究一題多解、一題多思，滲透化歸轉化和數形結合與分離的思想以及代數變換的方法，培養他們的思維能力。課堂形式:分組討論。3、例2的設計主要是讓學生獨立思考解答，探求多種解法，思考、交流、表達，體現學生主體參與探究合作學習。要求學生綜合運用函數性質解題，提高他們抽象思維的能力；問題的延伸思考主要針對較好學生，讓他們課后繼續鉆研，提高分析問題、解決問題的能力，也體現了分層教學的思想。 三、教學過程設計 星期一上午第二

3、節高三（11）班教室 師:前面我們已經分別學習了函數的奇偶性、單調性、對稱性及周期性等，今天我們來學習這些性質的綜合運用，請回答以下問題: （1）函數y=f(x)是奇函數，用數學符號如何表示？函數的圖象有何特點？（學生回答）（2）畫出一個關于x=1對稱的函數圖象，用文字語言如何表達？用符號語言如何表述？ （3）給出f(x+2)=f(x)，用文字如何表達？函數的圖象具有什么特征？能悟出什么？學生齊答:函數f(x)的周期是2；師:好！（4）f(x+2)=-f(x)，又能悟出什么？ 生:（急不可待）我發現了， f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=-f(x)=f(x) y=f(x)以4為周

4、期。（投影例題）例1設f(x)是R上的奇函數，f(x+2)=-f(x)，當0 x1時，f(x)=x，求f(7.5)的值。師:同學們先思考，然后再與同組同學交流，小組長注意整理，一會后在全班交流。注:學生思考后，議論紛紛，學生分組活動異常積極。教師巡視了解活動情況，并分組指導，小組活動用時近五分鐘。 師:現在請各組選一名代表將你們組歸納的信息告訴大家。生1:利用周期性，由f（x+2）=-f（x）可得f（x+4）=f（x）；f（7.5）=f(8-0.5)=f(-0.5)=-0.5；師:回答得很好!注意到了對所給符號語言的深刻理解，同時也希望同學們要掌握如何運用周期性，例如y=f(x)周期為T，若x

5、1-x2=kT（kZ，T為周期），則f(x1)=f(x2)；生2:直接利用f（x+2）=-f（x），f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f-f(3.5)=f(3.5)=-f(1.5)=f(-0.5)=-0.5師:兩個同學都說得很棒！這種方法利用已知條件，把f(x+2)=-f(x)看成關系式，通過對x賦值，代數變換，得出結論。師:還有其它方法嗎？f（x）是奇函數且f（x+2）=-f（x）,除了能說出周期T=4之外還能得到什么？ 生3:f（x+2）=-f（x）=f（-x）而f（x+2）=f（-x）得到f（x）關于直線x=1對稱。師:很好!你能否根據函數的性質畫出它的圖象，再利用圖象來

6、解題嗎？（學生思考）師:y=f(x)是奇函數，因此，-f(x)=f(-x)，這樣f(x+2)=f(-x)；（這時，有一部分學生恍然大悟，看出了函數的對稱性） y=f(x)關于x=1對稱 ； （教師引導學生一起畫出y=f(x)圖象,借助圖象觀察，進一步拓寬學生數形結合思想）生4:從圖中可看出f（7.5）=f(-0.5)=-0.5； y-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x 師:在解題的過程中，我們應善于利用數形結合的思想方法，借助數形數之間的相互轉化來解題會收到意想不到的效果。注:通過學生自主探究、小組討論、組長梳理、全班交流，加之教師的適當追問、點撥與有意識的重點板書，各種方法學生已基

7、本明確。全班交流用時近十分鐘。（投影例題）例2定義在R上的偶函數y=f(x)滿足關系f(x+2)=-f(x)，且f(x)在區間 -2，0上是增函數，則有如下結論:（1）y=f(x)是周期函數； （2）y=f(x)的圖象關于直線x=2對稱； （3）y=f(x)在區間2，4上是增函數； （4）f (2-x)=f（2+x）； 學生先思考，可以互相討論，再由學生分別回答，并說明理由。生1:（1）f（x）是周期函數，周期T=4；師:（2）分析:要證明直線x=2是y=f（x）圖象的對稱軸，只需證明什么關系式成立？生2:只需證f（2-x）=f（2+x）或證f（-x）=f（4+x）或證f（x）=f（4-x）。

8、師:那我們選擇證第三個等式f（x）=f（4-x）成立。生3:f（x）的周期T=4，且f（x）是偶函數；f（4-x）=f（-x）=f（x）即f（x）=f（4-x）；y=f（x）圖象的對稱軸x=2。生4:（3）有已知在區間-2，0上，y=f（x）是增函數，由于y=f（x）是偶函數，其圖象關于y軸對稱，那么在0，2上y=f（x）是減函數，又由于y=f（x）圖象關于直線x=2對稱，所以y=f（x）在區間2，4上是增函數。生5:（4）與（2）的證法相同。師:回答得太棒了！對于例1我們將問題變式: 變式1:當x-1，1時，f(x)的解析式。把未知范圍轉化為已知范圍，再運用函數性質。 生1:設x-1，0 則

9、-x0，1；f（-x）=-x，又f（-x）=-f（x）；f（x）=x；當x-1，0時，f（x）=x；師:很好!能否總結一下解題步驟？生2:首先，要“問啥設啥”，但要設在未知區間，不要把變量設錯了區間；第二，然后把變量轉化到已知區間上去，最后再利用函數的奇偶性、周期性求出f（x）的解析式。變式2:當-1x1時，f(x)的解析式？（在代數推理的基礎上，同時結合圖形觀察）生3:由已知和變化1可知當-1x1時，f（x）= x；變式3:當x3，5時，f(x)的解析式？ 教師分析、強調化歸的思想，將未知范圍轉化為已知的-1，1范圍內。 生4:解得f（x）=x-4；變式4:當x1，3時，f(x)的解析式？

10、生5: 很快解得f（x）=2-x。師:太棒了！教師引導學生小結: （1）學會讀懂有關函數性質的三種語言，并能互化。 （2）掌握代數變換的方法。 （3）體會數形結合與分離，化歸思想。 （投影）例題演練把所學方法、技能加以鞏固:1 、設f(x)是區間(-，+)上的奇函數，且滿足f(x+3)=-f(x)，當0 x3/2時，f(x)=x，求f(2005)。2 、函數f(x)滿足條件f(x)=-f(6-x)和f(x)=f(2-x)，若f(a)=-f(2000)，a5，9，且f(x)在5，9上單調，求a的值。 以上的練習大多數學生能在很短的時間做出來，說明學生的主體參與探究合作學習取到良好的效果。四、課后

11、反思 函數的性質是研究初等函數的基石，也是高考考察的重點內容，復習時要在對定義的深入理解上下功夫。這節課重在落實基本方法，重視基本功，在復習中做到“低起點”、“小步走”落實基礎。在教學過程中，例題的分析部分，多采用學生主體參與探究合作的形式，根據學生的學習狀況設計問題，不斷糾正出現的錯誤，并將問題逐漸引伸；例題的評述部分，采用由學生小結，教師補充歸納的形式，對學生精彩的回答、漂亮的解法，及時給予熱情的鼓勵，營造和諧的課堂氣氛，使復習順利進行。 學生是學習的主人。讓學生始終處于主動探索、主動思考、主動建構意義的認知主體位置，但是又離不開教師事先所作的、精心的教學設計和在協作學習過程中畫龍點睛的引

12、導; 教師在整個教學過程中說的話很少，但是對學生建構意義的幫助卻很大，充分體現了教師指導作用與學生主體作用的結合。新課標強調，讓學生在自主探索與合作交流中學會學習，提高數學素養。本節課充分體現了這一理念，學生有足夠的自主探索時間，有與同學合作互動的空間，有與老師交流表達的機會。學生不是從老師那里獲取知識，而是在數學活動的過程中發現規律、體驗成功。教師是課堂的主導。教師是學生數學學習的組織者、引導者和合作者。然而，組織、引導本身就強調了教師必須是一個特殊的“合作者”，而不是撒手不管的“非主導者”。教師的主導作用不是體現在“主宰”課堂，而應體現在為學生提供鮮活的學習素材，體現在對學習團體的嚴密組織，體現在對交流活動的精心策劃，體現在處理反饋信息的及時有效。這不僅需要教師透徹領會教材實質，更需要教師準確把握學生個性。試想本節課，如果教師不是真正了解學生，就不能組成協調高效的學習小組，更不能在相當長的時間準確選點進行個別指導。課堂上分層要求、因材施教策略的有效貫徹，正是依賴于對學生的深入了解。總之，在新課程中，教學過程要符合學生學習過程，學生在學習過程中應該以探究、實踐、合作學習為重，要善