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文檔簡介

1、第八章 分離變數法數理方程的一般情況：定解條件：分離變數法：(試探解) 本征值、本征方程、本征函數第八章 分離變數法兩端固定弦的自由橫振動問題。 邊界條件(齊次)： 初始條件： 第八章 分離變數法例1：兩端自由桿的縱振動邊界條件： ( ) 初始條件：第八章 分離變數法解： 1)無邊界條件時的解：2)引入邊界條件：得到本征值第八章 分離變數法當k=0時，解為整個桿的整體平動： 一般解為：雖然是不同的邊界條件，但都會產生本征方程，進而得出本征解的線性組合成為一般解。然后根據初始條件得出特解。第八章 分離變數法3)引入初始條件：第八章 分離變數法例2：桿的熱傳導問題（左端連等溫熱源，右端絕熱）邊界條

2、件：初始條件：第八章 分離變數法解：取試探解 ，有： ，其中k為常數。得：代入邊界條件，有：得本征值第八章 分離變數法因此T(t)的本征函數為：通解為：第八章 分離變數法引入初始條件：根據函數正交性（傅里葉變換），得：得：第八章 分離變數法因此，定解為：不同形式的數理方程，解的形式是不同的，步驟是類似的。實際運用中，往往級數取前幾項即可。第八章 分離變數法例3：求矩形散熱片上的穩定溫度分布。邊界條件見圖，四邊界的溫度分別為u0、u0、u0、U。第八章 分離變數法解：1. 簡化，取溫度零點為u0，即四邊溫度為0、0、0、U-u02. 取試探解 代入Laplace方程，得： ，其中k為常數。得：第

3、八章 分離變數法3. 根據x方向上的齊次邊界條件確定本征值：得：因此，一般解為：第八章 分離變數法4. 根據y方向上的非齊次邊界條件確定定解：做傅里葉變化，可以解出：第八章 分離變數法代入，得：第八章 分離變數法例4：導體圓柱周圍的電場分布。邊界條件：第八章 分離變數法解：由于邊界是圓，因此宜采取極坐標。（否則邊界條件無法分離變量） 極坐標下的拉普拉斯方程：1. 取試探解 ，代入上式，得： ，其中m為常數。第八章 分離變數法得 ，(m=0時解為 )2. 極坐標下有隱含齊次邊界條件：代入解出k的本征值為m=0,1,2,(m為虛數時無解)第八章 分離變數法3. 解徑向方程當m=0時，方程解為m不為0時，歐拉型方程的解為第八章 分離變數法因此方程的一般解為4. 代入圓柱上的齊次邊界條件 ，本征解需要進行線性組合。第八章 分離變數法一般解為：5. 無窮遠處的非齊次邊界條件： 即與上式對照，可知只有D0、A1不為0。第八章 分離變數法習題：8、14(201)Q：一無限長圓柱形冰柱豎立在溫度為

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