1、挖掘隱含條件破解動點問題本文剖析一類隱含圓的動點問題，供同學們學習參考一、動點問題中可構建圓的基本結論1.“定線定角”隱藏著外接圓如圖1,已知線段 AB = 4,點C是直線AB上方的一個動點， NACB = 30。動點C 的路徑是什么？想一想：在直線AB上方找這樣的點 C,能找到多少個？把這些點連起來成的圖形是怎樣 的圖形？通過思考可知，在直線 AB上方可以找到無數個點 C ,把這些點連結起來是一條圓弧 . 再想一想：如何畫出弧所在的圓 ？根據條件，圓周角是30。，圓心角是60。，畫等邊三角形 AABO就可以了 . O點就是圓 心，半徑就是線段 AB的長，可以畫出一個圓.實際上，這個問題可以這

2、樣理解：如圖1,因為點C是動點，則A,B,C三點構成的A ABC是一個動三角形，其中線段 AB是定長，NC是一個定角，且線段 AB所對的角是NC.由 “同圓或等圓中相等的圓周角所對的弦相等”可知，點C是在AABC的外接圓上運動.畫圓的關鍵是找圓心，定半徑.因為AB是弦，O O的圓心是在 AB的垂直平分線上， /C是圓周角，所以在圓中 /C所對的圓心角是 60。，即/AOB=601OA = OB ,畫等邊三角形MOB ,圓的半徑R = AB=4,動點C構成。O的一段優弧ACB ,即點C的路徑長就是優弧ACB的長.變式 其它條件不變，/C的度數改為45 ,60 , 1a (00 /7-2.注 這道

3、題中/ADB=60口是定角，線段 AB=2J3是定線段，由基本結論可知，存 在一個隱圓，圓的半徑是定值，求最值的問題就車t化成圓外一點到圓上一點的最值問題.例2如圖7,正方形ABCD的邊長為2, P是對角線BD上的一個動點(不與B,D重合)，連結AP,過點B作BH _LAP,H為垂足，連結 DH ,求線段DH的最小值.圖7圖8解 如圖8,取AB的中點O,連結OH,OD ,則OA = 1.：BH_ A,P ：A BO：角三角形,八八1OH = AOAB1,2在 RtAAOD 中，OD =、OA2 AD2 12 22 =、,5,在 AOHD 中，OH +DH OD,二當O,D,H三點共線時，DH的

4、長度最小，此時,DH =OD -OH = .5 -1,注解題的關鍵是找到共斜邊的直角三角形隱藏的外接圓,解題中要能自己創造圖形，挖掘問題本質，就能知其然，也知其所以然， 從而牢固建立系統的知識體系，而且能靈活應 用所學的知識解決問題.練一練如圖9,矩形ABCD的邊OA,OC分別在x軸、y軸上，點E在邊AB上，且點E(J3,1), 點B( J3, J2),已知點P為y軸上一動點，連結 EP,過點O作OH _L EP ,垂足為點H ,在 點P從點F(0,2)運動到原點O的過程中，點 H的運動路徑長為 解如圖9連結OE.-1-Sofe 32 三 32在 RtAOEA 中，OE = OA2 AE2FE

5、 = ;( 2- 12)、. 2 3- . 2:Sofe=2 fe OH1-一即萬 2OH = ,3,. OH = ,3.二在 RUOEH 中，si n OEHOHOEOEH =60 .點H的運動路徑長是：2 60 二 1 2 二 .1803注 通過這一類問題的分析， 進一步掌握“有公共斜邊的直角三角形” 具有共圓的性質， 體會了此類問題的證明思路和方法.例3如圖10, AB是半圓O的直徑，AB=10cm, AC=8cm,點C在半圓上，D是弧BC上的一個動點（含端點B ,不含端點C ）,連結AC, AD .過點C作CE _L AD于E,E為垂足，連接BE,在點D的運動過程中， BE的取值范圍是

6、 圖10解 如圖10,設。M與AB相交于點N，連結BM且與。M交相交于點E. 7cE-L AD、/AEC =900,因為E在以AC為直徑的。M上（不含點C，可含點N ），所以當M,E,B三點共線時,BE最短，此時點 E與E重合，即為BE最短.AB = 1 0, AC= 8, BC=. 6作 MF -L AB于 F ,AFM = ACB=90 , FAM = CAB, AMFL AB. CM F AM MFBC AB 610 5MF12AF = ；AM2 -MF2165則BF二 AB - AF =345BM = MF2 BF2 =2,13, BE長度的最小值 BE =BM - ME =2713-

7、4,BE最長時，即E與C重合.B BC = 6,且點E與點C不重合，BE :二 6.綜上所述，2、13 -4 BE 6 .三、反思.認真審題找突破口近幾年的中考試卷中常會出現動點問題，其中一類動點題，看似無圓，但其中隱藏著圓的模型.如“定線定角”、“有公共斜邊的直角三角形”等 .我們應通過去偽成真，讓“圓”形 顯露，再利用圓的性質解決問題 .抓準延伸點 思維持續生長在審題時要尋找題目中的特征，挖掘隱含條件，抓準知識的延伸點， 讓自己的思維持續生長.平時要注意積累解題方法，它對你來說就是一種解題模式，當你碰到類似問題或求解 其他問題時，就能起到指引作用 .解題后要歸納、總結和反思，使思維品質不斷提升.找出數學模型求出正確結果在平時的學習中，對基礎知識、基本圖形、基本方法、基本結論要進行深人研究，把解