1、ik x kx時(shí)，2(x)有限，則000 x a x a得kak F cosk a kDek kEV0 EE E 一上兩方程相比，得tg k a若令(7 )(7)(8)補(bǔ)充3.5)設(shè)粒子處于半壁高的勢(shì)場(chǎng)中 TOC o 1-5 h z ,x 0V(x)V0,0 x a0,x a求粒子的能量本征值。求至少存在一條束縛能級(jí)的體積。解：分區(qū)域?qū)懗?seq：2i(x) k i(x) 0, 2(x) k2 2(x) 0,12 2其中k2 V0E,1(x)AeBe方程的解為卜2(x)CeDe根據(jù)對(duì)波函數(shù)的有限性要求，當(dāng)xC當(dāng) x 0時(shí)，i(x) 0,則 A B，、 一 i(x) F sink x,于是L2(

2、x) De kx ,在x a處，波函數(shù)及其一級(jí)導(dǎo)數(shù)連續(xù),F sin k a De ka,k a ,ka則由(7)和(3),我們將得到兩個(gè)方程:ctg2 V。22- a(10)式是以r 、；2 V。/ d2解：S.eq:2 r x a E2m dx對(duì)于束態(tài)(E 0),令 2 2mE/.2d 2 2mr1x a 0dx22a為半徑的圓。對(duì)于束縛態(tài)來(lái)說(shuō),結(jié)合（3）、（8）式可知， 和 都大于零。（10）式表達(dá)的圓與曲線ctg在第一象限的交點(diǎn)可決定束縛態(tài)能級(jí)。當(dāng) r/2 ,即2 V。a /2 ,亦即時(shí)，至少存在一個(gè)束縛態(tài)能級(jí)。這是對(duì)粒子質(zhì)量,位阱深度和寬度的一個(gè)限制。(11)Va22 2/8313）設(shè)

3、粒子在下列勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng),V(x)0,0.r, a 0(2)是否存在束縛定態(tài)？求存在束縛定態(tài)的條件。a積分 dx,0，得a躍變的條件(a )(a )2mr2-(a)在x a處，方程（4）化為(6)d dx2邊條件為(0)0,（）0束縛態(tài)因此(x)shAeX,Xx a,x a.再根據(jù)Xa點(diǎn)（x）連續(xù)條件及（X）躍變條件（5）,分別得_ ash a Ae(a)(8)Ae a ch2mr /、 a (a)(9)由（8） （9）可得（以 a/ （a）乘以（9）式，利用（8）式）(10)2mra a a coth a 此即確定能級(jí)的公式。下列分析至少存在一條束縛態(tài)能級(jí)的條件。當(dāng)勢(shì)阱出現(xiàn)第一條能級(jí)時(shí)，E利用嘰

4、 ac0thaalam0thi1,（10）式化為2mra aa coth a 1因此至少存在一條束縛態(tài)能級(jí)的條件為2mra /1(11)純勢(shì)阱中存在唯一的束縛能級(jí)。當(dāng)一側(cè)存在無(wú)限高勢(shì)壘時(shí)，由于排斥作用（表現(xiàn)為（x） 0 ,對(duì)x 0）。束縛態(tài)存在與否是要受到影響的。純勢(shì)阱的特征長(zhǎng)度L2/mr 。(12)條件（11 ）可改寫(xiě)為即要求無(wú)限高勢(shì)壘離開(kāi)勢(shì)阱較遠(yuǎn)（a L/2）。才能保證 勢(shì)阱中的束縛態(tài)能存在下去。顯然，當(dāng)(即 aL/2), a時(shí)，左側(cè)無(wú)限高勢(shì)壘的影響可以完全忽略，此時(shí)coth a 1 ,式(10)給出2mr與勢(shì)阱V(x) r由于 1coth2m(x)的結(jié)論完全相同。(10)化為2mra1

5、coth2mra .1 ,所以只當(dāng)一2 1時(shí)，式(10)或(14)才有解。解出根a V 2mE/ ,即可求出能級(jí)7設(shè)一諧振子處于基態(tài)，求它的(x)2, p2 _. 一 八,一并驗(yàn)證惻不準(zhǔn)關(guān)系:一 12-2_ 2 ,(解)(x)x x由對(duì)稱性知道x2220, x x ,同理(p)之后，利用2p也由對(duì)稱性知道p0,22 p p對(duì)諧振子而言，應(yīng)先寫(xiě)出歸一化波函數(shù):2xAme 22mAm為了計(jì)算這個(gè)積分，利用厄米多項(xiàng)式不同階間的遞推式:Hm THm 12mHm 1(3)此式作為已知的，不證。將前式遍乘E ,重復(fù)用公式2Hm21 1 H2 2m1 Hm2m Hm 1(m 1) H m (m 1) H m

6、 2將此式代入（2）X23 1AmAm此式最后一式第一項(xiàng)。分成比例；可以簡(jiǎn)化Hm1Hm2(4)(eXHm2 14HmHm 22Hm2Hm第三項(xiàng)都和1 /(m a1)Hm 2Hm 2Hm(Hmm m 1 HmH m 2dx的正交化積分式成比例，都等于零。第二項(xiàng)和歸一化積2Hm( )d1 , (ma1)【（m再計(jì)算，這可以利用波函數(shù)滿足的微分方程式:d22m dx（m是振子質(zhì)量）將此遍乘對(duì)積分2mmdX*m mdxm( )2 drimi dxdx 2m E mc ，1、2m (m -)(m1-)2m (mm (m2)2)T(m測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系中的不準(zhǔn)度是:m( )2 1 2mi dxdx2mE12m (

7、m -)(m1、 c ，-)2m (mm (m2)2)(m測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系中的不準(zhǔn)度是:x . ( x)2x2(m m2). ( P)2x p (m2)m=0, 而 x9 一維無(wú)限深勢(shì)阱中求處于n(x)態(tài)的粒子的動(dòng)量分布幾率密度(P)2。(解)因?yàn)?n(x)2 . sina這可利用福利衰變換的一維公式Ipxn x是已知的，所以要求動(dòng)量分布的幾率密度，先要求動(dòng)量波函數(shù), an x sin dxa利用不定積分公式ax esin pxdxasin px2 ap cos px-2pax en(p)ip . n x sin acosa a epx e(馬2y-ipa(1)ne-2n a 3ipa2（n奇數(shù)）i

8、pae2sin四2（n偶數(shù)）動(dòng)量幾率密度分別是 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark197 o Current Document 224n a2 pa（n奇數(shù)）（n偶數(shù)） - cos HYPERLINK l bookmark114 o Current Document 2222 22 HYPERLINK l bookmark116 o Current Document (a p n )2 HYPERLINK l bookmark224 o Current Document 224n a- 2 pa22222、2 sin 二 HYPERLINK l bookmar

9、k120 o Current Document (a p n )211設(shè)粒子處在對(duì)稱的雙方勢(shì)阱中1 x bV（x） v 0 a x bV0 x a(1)在Vo情況下求粒子能級(jí)，并證明能級(jí)是雙重簡(jiǎn)并。 (2)證明Vo取有限值情 況下，簡(jiǎn)并將消失。(解)本題的勢(shì)場(chǎng)相對(duì)于原點(diǎn) 0來(lái)說(shuō)是對(duì)稱的，因此波函數(shù)具有字稱。設(shè)總能量是E ,又設(shè)k V2mE/在區(qū)間(b ) (-a , a) (b ,)之中波函數(shù)都是零，在區(qū)間(a ,b),設(shè)波函數(shù)是:(x) Asin(ka a) 0考慮x=a, x=b二連續(xù)條件：(勢(shì)阱外面0)(a) Asin(ka) 0-(b) Asin(kb) 0從這里得到，因而得ka n

10、, kbn1 ，因而得(2)ka n 或 kb nl , n,nl 是整數(shù)，滿足邊界條件的解是i(x)asink(x a)a sin k(x a)- - a sin k(x a)再考慮區(qū)間(b, a),設(shè)波函數(shù)：2(x) bsin( kx )(x a)xb在二點(diǎn)的連續(xù)條件得Bsin( ka ) 0,Bsin( kb ) 0得：ka p , kb p ，但p, p整數(shù)，因此區(qū)間(b, a)的波函數(shù)：廠 B sin k(x a)(6)2(x) Bsink(x a) p Bsin k(x a)(7)l(x)和2(x)之間要滿足奇或偶宇稱的要求，才能成為一組合理的解，若令1( x)2(x)得A=B,相

11、應(yīng)的一組偶宇稱解是：i(x) Asin k(x a)2 (x)Asin k(x a)同理令i( x)2(x)得到一組奇宇稱解是-1(x)Asin k(x a)(9)-2(x) Asin k(x a)2k2i(x)和2(x)是線性不相關(guān)的解，但卻有相同的波數(shù) k,因而也有相同的能級(jí) E .能級(jí)是分立2m的,這可以從邊界條件式1(a) 0, 2(b) 0同時(shí)滿足的要求看到，這兩式推得ka n , kb n相減得 k(b a) (n n) nn是整數(shù)，可作為能級(jí)編號(hào)kn因此能級(jí)是n 2、一，En ()2是二度簡(jiǎn)并的2m b a注：在本題中因?yàn)樽笥覂蓚€(gè)勢(shì)阱對(duì)稱，粒子在兩者中都能出現(xiàn)，和實(shí)際上是同一個(gè)函

12、數(shù)，只是的取值考察V0為有限值情形的解，先設(shè)Ei(b) Asin(kx) 0因而kb n1( x) Asin k(x b) n 或Asin k(x b)i(x)Asin k(x b)在(b, a)的對(duì)稱區(qū)中的解設(shè)是2(x) Csin(kx )k2 m2E TOC o 1-5 h z 代入邊界條件2( b)0,得2 (b) sin( kb ) 0, kb n因而 kb n ,2(x) Csink(x b) n C C sin k(x b)或 2(x) Y(2) C sin k(x b)和Vo情形相同,C=A，偶宇稱解是l i(x) Asin k(x b)(3)33(x) Asin k(x b)奇

13、宇稱解是l i(x) Asin k(x b)(4)-3(x) Asin k(x b)在區(qū)間(a,a)內(nèi)的解 2(x)滿足薛定謂方程d2 2m2 (Vo E) 0 dx但V。 E 0,令k12 2m(V0 E% ,知道這方程式的解可用實(shí)指數(shù)函數(shù)或雙曲函數(shù)，計(jì)算法相類似.為計(jì)算方便直接設(shè)定(a,a)區(qū)間 偶宇稱解2(x) Bchkix(5)奇宇稱解 2 (x) Bshk1x(6)這兩者都滿足此區(qū)間的薛氏方程式.為確定能量量子化條件，可以建立在邊界點(diǎn)x a處，波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)條件.使用和(5)有:l 2(a)1(a) 即：Bchk1a Asin k(a b)(7)、2 (a)1(a)即：k1

14、Bchk1a kAcosk(a b)(8)(7)和(8)相除得：kithkia kctgk(a b)將此式改用能量E的項(xiàng)來(lái)表示得到偶宇稱態(tài)的能量量子化條件：.V。Eth ., 2m(V。E)a TOC o 1-5 h z TEctg V2mEa-b(9)注意若使用邊界點(diǎn)x=-a上的連續(xù)條件，由于對(duì)稱性得不到新解.其次求奇宇稱的能量量子化條件，為此先寫(xiě)出x=a處連續(xù)條件，所用方程式是(4)和(6)l 2(a)i (a) 即：Bshkia Asin k(a b)(11)J 2 (a)1(a)即：k1Bchk1a kAcosk(a b)(12)相除得：k1cthk1a kctgk(a b)改寫(xiě)成能量

15、式子：Vo Ecth 2m(V E) a(13)v E ctg 2mE -，因此偶宇稱波函數(shù)(3)和(5)與奇(9)和(13)是不同的方程式，它們所決定的能級(jí)是不相同的宇稱波函數(shù)(4)和(6)不具有相同的能量E,它們是非簡(jiǎn)并的.(9) (13)中E的分立解要用圖解法，與有限深勢(shì)阱類似第二種情形是E V0 ,這種情形可不必作重復(fù)計(jì)算.因?yàn)閗 2 2m(Vo E) 2m(E k12令2m(E V% k22,則 k1k2i代入(5) (6)得(a,a)區(qū)間的波函數(shù)：偶宇稱解2(x) Bchk2ix奇宇稱解2(x) Bshkzix(a,b)區(qū)間的解同于(1)式的i(x),(能量量子化條件是：a a b

16、偶宇稱：.V0 Etg ,2m(E V0)，Ectg 2mE (16).、aa b奇宇稱.V。 Ectg , 2m(E V0)、Ectg - 2mE(17)也是不同的方程式.奇偶宇稱的波函數(shù)是非簡(jiǎn)并的。Bcosk2xBi sin k2xb, a)區(qū)間解同于(14)(15)2)式的 2(x)12設(shè)粒子在下述周期場(chǎng)V（x）中運(yùn)動(dòng)（見(jiàn)附圖）求它的能帶。（分EVo,EVo兩種f#況）證明當(dāng)b 0時(shí),若保持mVb常數(shù)，上述周期場(chǎng)變成Dirac 梳:（解）E Vo情形為求能帶先要決定各個(gè)區(qū)間中的波函數(shù)，按題意粒子的薛氏方程式只有二種，在勢(shì)壘之內(nèi)，如區(qū)間（b,0）;(a, a b) ; (2a b,2a2b

17、）。薛氏方程為d22mdx2(Vo E)d2dx2kl2O (但ki22m(Vo E)(1)它的解是實(shí)指數(shù)形式或雙曲線函數(shù)形式，設(shè)區(qū)間（b,O）中的波函數(shù)是1 (x) Aekix Be k1x(2)在勢(shì)壘外面的區(qū)間(a b, b) ; (0,a); (ab,2a b）。等，薛氏方程式是:d2dx2k2. 2(但k2mE它的解是虛指數(shù)函數(shù)或者三角函數(shù)，用任何一種都可以，下面用虛指數(shù)的：ikvikv區(qū)間(0,a)中 2(x) Ce De但勢(shì)能相同的區(qū)間波函數(shù)未必相同，應(yīng)當(dāng)依周期場(chǎng)Bloch的定理來(lái)規(guī)定，在區(qū)間（a, a b）的勢(shì)壘內(nèi)，其波函數(shù)可根據(jù) i(x)推出 2(x) eik(ab) i(x

18、a b) (4)但K是個(gè)未定參數(shù)根據(jù)(2)3(x) eik(a b)Aeki(x a b)Be k2(x a b)在0點(diǎn)(x0)處的連續(xù)條件是i(0)2(0)1i(0)2(0)k1(A B) ki(C D)現(xiàn)根據(jù)所設(shè)各個(gè)區(qū)波函數(shù)寫(xiě)出邊界點(diǎn)上波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)之連續(xù)條件在A點(diǎn)(xa)處的連續(xù)條件是ik(a b)2(a)3(a) ei(b)2(a)3(a)eik(ab)b)利用(5)二式，二式寫(xiě)成Ceika De ikaeik(a b)Aekibk2blBe (8)(9)ik(Ceika De ika) eik(a b)kAe k1bBek2b若從(6)(7)(5)(9)中消去各個(gè)系數(shù)，可能得到一

19、個(gè)關(guān)于波函數(shù)k,ki的約束條件，這個(gè)條件含有 E(因?yàn)閗,ki都用E的項(xiàng)表示，可能是需要的能帶條件，從(6)解C和D使其用A,B的項(xiàng)表示：C (i嘴(i譙 D (i罟(i嘴將此二式等號(hào)右方兩式代入(8)(9)二式等號(hào)的左方部分，加以整理：B(i為今deika(i(i 為TeikaAeik (a b) kib3$，6(b(i geikaikakiiik(a b) kibik(a b) kibAeBe kk1ik(a b)kibik(a(coska -sin ka e 1 )A (coska sinka eb)kib ) b(sin ka k1 coska Leikk1k(a b) kib)A (

20、sin ka coskaki -ik(a 一 eb) kib)B 0要使這組關(guān)于A,B的方程式有非平凡解，系數(shù)的行列式應(yīng)當(dāng)?shù)扔诹?kiik (a b) k2bcoska 一sin ka ek.kiik (a b) k2bcos ka 一 sin ka ekk1.kl ik(ab) k2bk1k ik (ab) k2b TOC o 1-5 h z sin ka cos kae 2, sin ka coskaekkkk經(jīng)過(guò)一些原理簡(jiǎn)單的計(jì)算，最后，前述條件簡(jiǎn)化成為下式I2 k2 cos K (a b) coskachk|b jsin kachk1b此式中的參數(shù) K理應(yīng)是個(gè)實(shí)數(shù)，因cosK(a b)

21、的值只能局限在值域 cosK(a b) ( 1,1)之內(nèi)，這個(gè)條件就決定能帶，將前式中ki,k2換成E的項(xiàng),則能帶條件是：a b1 cos 2mE ?ch. 2m(V0 E)Vo 2E2、E(Voa b一 sin 2mE sh 2mM E) 1凡能落在此區(qū)間的能量都是可能運(yùn)動(dòng)的能量其次再考慮E Vo的情形，這類似于自由運(yùn)動(dòng)k；2mM E) 2m(E V。)則k1k2i,代入(10)得到波函數(shù)約束條件cosK(a b) coskacosk2bk222kk2ik2sin ka?i sin k2b,k2 k22coskacosk2b -sin kasin k2b2kk2能帶條件是1 cosa b?c

22、os . 2m(E Vo)2E Vo2JE Vo)Ea bsin , 2mE sin , 2m(E Vo)1前述的周期性矩形勢(shì)壘從原理講是能迫近于形周期壘的，為此僅需保持矩形面積不變令b 0則V。.但形勢(shì)壘是相當(dāng)?shù)谝环N情形，即EVo的為此可近似地設(shè) V。EVo式可以加以變形cos，2mE a?ch Y2mV0 b ； J sin M2mE a sh%；2mVo 衛(wèi)(勢(shì)壘強(qiáng)度)為有限量在此式中，取b o ,Vo的極限，但在趨向極限過(guò)程中，保持 嗎b 又當(dāng)b o時(shí)，可令shsb sb, chsb 1cos K(a b) cos Ka ch2mVo 一 ch 2 b 1(14)式代成cosKacos

23、V(x)i t2mE2mEV0 cosbx2 p2mG(p, p)VoJ-sin,2mE2mE:12一 a后N_Lcro5oft 公苴3.0G(p, p) (P,t)dppi(P P) xe cosbxdxx2 p2m d2 dx2(P)，Eipx e1 2mE(P b )Vo cosbxipxe dx(P bE (P)G(p, p)(P P2mE2-ipx edx2mV0cosbxdx 0(p)?2m p2(P)(P P bP Pi b1 ix)2(e,P Pi b i xe )dx()2eixdx(P)dp E(P).即 cosKcoska sin kak此式是間隔等于a,勢(shì)壘強(qiáng)度的梳狀D

24、irac周期勢(shì)壘的能帶公式.16在p表象中，求解均勻 V (x) =-Fx中粒子的能量本征函數(shù)。(設(shè)F0 )(解)建立動(dòng)量表象中的一維薛定謂方程式。根據(jù)第二章第15題以及本章第10題的方法，薛定謂方程式用一維動(dòng)量p作自變量時(shí)，形式是：(定態(tài))2V ( i) (p) E (p)2mp(1)在勢(shì)能這一項(xiàng)上，將 V看作一個(gè)算符，V中原來(lái)含有的X應(yīng)更換成i然后將這樣構(gòu)成的勢(shì)能算符作用到動(dòng) p能波函數(shù)(p)上，因而在本題情形：2(p)iF E (p)2mp此式容易分離變量：2.2iFd ( E) dp 一 (p ) dp 2m2m iF iF積分得：Inp一型常數(shù)6m iF iFp2 Epc5下積分常數(shù)

25、C用動(dòng)量波函數(shù)歸一化決定：*/、dp (E E)p(2)(3)(4)這種計(jì)算是所謂“ 函數(shù)歸一化”。原因是波函數(shù)(3)實(shí)際上是平面波包，當(dāng) p時(shí)(p)不趨近于0,所以(3)實(shí)際上是不能歸一化的，而只能令幾率積分等于，這樣* Z、(p, E)/*(E E/)(p, E ) dp C C e iF dpp*C C(2C*C(2i(E/ E) doF) e F 型2FF)(EE/)因而(1965 )本題可參看 Davydov : Quantum Mechanics17粒子處在 勢(shì)阱V(x)Vo (x) (Vo0)中，用動(dòng)量表象中的薛定渭方程式，求解其束縛態(tài)的能量本征值及其相應(yīng)的本征函數(shù)。(解)(甲法

26、):薛定謂方程式的確定，與第二章習(xí)題15、本章習(xí)題10的方法類似，但是不能簡(jiǎn)單地用V (x) V ( i-)P來(lái)得到結(jié)果，因?yàn)楸绢}的情形V (x)Vo (x)Vo( i 一)P這種算符運(yùn)用不便，可以用第二章15題方法；寫(xiě)下坐標(biāo)表象薛氏方程式(定態(tài))22(1)廠 V (x)E2m x2遍乘以ipx/,再對(duì)坐標(biāo)積分:ipx/ exd22-dx dxipx/Vx .2(x)(x) dxEipx/e2 xxx)dx等號(hào)左方第二項(xiàng)被積函數(shù)中的(x)再用福里哀變換使成為p的積分。左方第一項(xiàng)和右方一項(xiàng)按逆變換變成動(dòng)量波函數(shù)的項(xiàng):2p2m(p)1ex2ipx/./ /ip x/ep/(p/)dp/dx V (

27、x)E (p)2即：22m(p)i (p/ p) x/ex/-V (x) dx ( p ) dpE (p)利用函數(shù)的變換性質(zhì)f (x)x(x x/) dx f (x),有i (p，exp)x/ V (x)dxVoxVoeii ( p/ p)e(p/ p) x/前式中等號(hào)左方的積分x/(x) dxVoVo2 p,(p/) dp/ 常數(shù) A動(dòng)量表象的薛氏方程式成為:22m(p) A E (x)(4)不需積分就得到動(dòng)量表象的波函數(shù):/ 、 2mA(p)-22mE p(5)首先確定能量的本征值 E （即允許的值），在本題中因?yàn)闆](méi)有尋常的勢(shì)阱問(wèn)題中的邊界條件可以利用，這只能依靠積分式（3）來(lái)解決，將式（

28、5）代入（3）,得:消去常數(shù)Vo2mA ,-2dp2 p 2mE p2 pA,并注意到在束縛態(tài)情形mVodp2mE/mVo2pE/0,前一式成為:(6)tg.2mE/2mE/m Vo2E/E, 警,EA可以將波函數(shù)（2 ,、(p) dp 1p利用不定積分公式5)mVo22 2通過(guò)歸一化計(jì)算來(lái)定2dp(2mA) /2!p(2mE/ p2)2(8)1 i Pga adp7222p(a p )，pC 2222a a p從（8）式求得:A (- )2(2mEz)42跳）3（乙法）如果我們不要求首先得到動(dòng)量表象薛定謂方程式，再根據(jù)它計(jì)算能量本征函數(shù);求得動(dòng)量表象的能量本征函數(shù)，則可以先求得同一問(wèn)題的坐標(biāo)

29、表象本征函數(shù)，這個(gè)函數(shù)是:而是用任何方法來(lái)（參看課本 P.72.48但Uo2mV02-利用從坐標(biāo)動(dòng)量的福利哀變換得:(p)Uoipx/eipx/(x) dxUox/2 ,dxipx/ Uox/2、edx)0 xUoUoUomVo)2mVo)2（io）式與（5）式形式一樣，注意（7）和（9）,知道兩種計(jì)算結(jié)果一致。18設(shè)粒子在一維無(wú)限高勢(shì)壘中運(yùn)動(dòng)，試求作用在勢(shì)壘壁上的平均力。（解）與經(jīng)典力學(xué)中的力相對(duì)應(yīng)，量子力學(xué)力是一個(gè)觀察（三維）或 一V （x）表示，在某位置x指空間所有范圍內(nèi)的平均值（假定空間各點(diǎn)上受力）r上的力由該點(diǎn)單值用算符 V （r）決定，它的平均值*( r, t)V (r)(r, t

30、) d2r*/、V(x, t) x(x, t) dx在如圖示的對(duì)稱有限深勢(shì)壘的情形，因?yàn)閯?shì)壘內(nèi)部勢(shì)能無(wú)變化，外部也無(wú)變化，故只有這勢(shì)能突變點(diǎn) （-）（一）處受力，該兩點(diǎn)的力為無(wú)限大:lLm0Vo 0此外，又發(fā)現(xiàn)在包括a .、 a-（或一）點(diǎn)在內(nèi)的小范圍中力的積分是有限值:FdxVdx xVoV0a2V dx x因此在該二點(diǎn)上的力滿足函數(shù)的三個(gè)主要性質(zhì)，所以每一點(diǎn)上的力表示為一個(gè)函數(shù)F? (x) Vo (x可以分別計(jì)算一壁的平均力，在.1 a、Vo (x )2x 處的平均力:2a2一 * .F(x) Voa x 2(x(2)這里（x）是歸一化的一維有限深度 （Vo）勢(shì)壘中粒子的波函數(shù)。 象附圖那

31、樣取坐標(biāo)， 并假設(shè) k J2mE/k ,2m (Vo-E) /并注意(x)具有奇或偶的宇稱。(1) 奇宇稱：可設(shè)I、n、出三個(gè)區(qū)間的波函數(shù)依次是:k/xkAe , Bsin kx, Ae在點(diǎn)x 一處的連續(xù)條件是 2Bsin阻2Aek /a,Bk/ae 2 A/sin 2寫(xiě)出歸一化條件:a2(2k/x ,e dxk/ae2 kasin 一2a22-2sin kxdxa22k/x , dx 1得A2k/aea2 ka11 , kacse / ctg22k/k 2B2a 1八-?sin2 k/12 ka 1 , ka kasin cos -現(xiàn)在根據(jù)這個(gè)結(jié)果代入平均力公式(2),就求得a,一壁上的平均

32、力，至于式中的波函數(shù)2(x),則用 Bsin kx.k/x , 一. . .或Ae 都是等效的，我們有:a222F V0B sin kxa2(x一)dx V0B2 sin 22 ka2Voa 2 ka11 , kacse / ctg -22 k/ k 2(5)這個(gè)結(jié)果還可以根據(jù)有限深勢(shì)壘的能量量子化條件加以簡(jiǎn)化。后一個(gè)條件是根據(jù)在壘壁上波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件得到的，在奇宇稱情形有:,/kak kctg (6)見(jiàn)(6)代入式(5)得到令VoFa 12 k722m (VoE)就得到一維無(wú)限高勢(shì)壘上右壁(x2Ea(2) 偶宇稱：在有限深勢(shì)阱的情形,x 一二個(gè)區(qū)間中的波函數(shù)是:2,/, /k xk xAe , B coskx, Ae a在x 處的波函數(shù)連續(xù)條件:2Bcoska2k/a/2Ae(8)歸一化條件:a1 2(2k/xdxA22k/a e2 ka cos 2k/aea22 ,cos kxdxa22k/xdxa 2 ka sec 一2211 ka7 -tg k， k 2B21/cos k/又根據(jù)點(diǎn)上波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)條件，得能量量子化條件k， ktg 。平均力：FVoB2cos2 kxa22 ka(x