1、漫談“幾何直觀”武進區(qū)星韻學校 許 強簡潔明了的表情達意。形象直觀的解決問題。一、幾何直觀的提出 1952年，大綱提出小學“算術(shù)教學應該培養(yǎng)和發(fā)展兒童的邏輯思維能力”，中學數(shù)學應該“發(fā)展學生生動的空間想象力，發(fā)展學生邏輯的思維力和判斷力”。 1963年，中小學數(shù)學教學的能力培養(yǎng)任務修改為培養(yǎng)“計算能力、邏輯推理能力和空間想象力”（即傳統(tǒng)的三大能力）。 1988年，中小學大綱將能力培養(yǎng)任務改為“培養(yǎng)運算能力、發(fā)展邏輯思維能力和空間觀念”。 2001年課標提出“豐富對現(xiàn)實空間及圖形的認識，建立初步的空間觀念，發(fā)展形象思維”。 2003年普通高中數(shù)學課程標準指出：“幾何學是研究現(xiàn)實世界中物體的形狀、

2、大小與位置關(guān)系的數(shù)學學科。人們通常采用直觀感知、操作確認、思辯論證、度量計算等方法認識和探索幾何圖形及其性質(zhì)。三維空間是人類生存的現(xiàn)實空間，認識空間圖形，培養(yǎng)和發(fā)展學生的空間想象能力、推理論證能力、運用圖形語言進行交流的能力以及幾何直觀能力，是高中階段數(shù)學課程的基本要求。” 2011年版課標把幾何直觀作為十個核心概念之一，并明確指出幾何直觀的含義，闡明其教育價值。由我國課程基本要求可以看出，從空間想象能力到空間觀念，再到幾何直觀能力，幾何直觀的建立和發(fā)展是一個歷史演變過程。 2001年課標在“空間觀念”中提出“能運用圖形形象地描述問題，利用直觀來進行思考”。2011年課標指出“幾何直觀”主要指

3、利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學生直接的理解數(shù)學，在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用。關(guān)于幾何直觀的闡述逐漸明晰：從上述演變過程還可以看出： 目前，有關(guān)幾何直觀方面的研究主要停留在兩個方面。 1.初中、高中的研究比較熱烈。提出較早，且新課程標準已經(jīng)把幾何直觀看作是貫穿高中數(shù)學課程的線索之一。依賴幾何直觀的“直觀形”課程成為數(shù)學課程設計的主流之一。研究幾何直觀是研究的一種趨勢。 2.在小學，數(shù)形結(jié)合思想研究較多，而幾何直觀是新生事物，其核心價值研究比較散點，不成系統(tǒng)，不夠全面。最常見的內(nèi)容往往是借助數(shù)

4、形結(jié)合的思想，培養(yǎng)學生的幾何直觀能力，忽略了幾何直觀的空間想象、直觀洞察、直觀推理、直觀探究等其它重要能力的培養(yǎng)。 二、課標怎么說課程內(nèi)容：在數(shù)學課程中，應當注重發(fā)展學生的 數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直 觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理 能力和模型思想。為了適應時代發(fā)展 對人才培養(yǎng)的需要，數(shù)學課程還要特 別注重發(fā)展學生的應用意識和創(chuàng)新意 識。“幾何直觀”是重要的核心能力之一。課程內(nèi)容：主要指利用圖形描述和分析問題。借 助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變 得簡明、形象，有助于探索解決問題 的思路，預測結(jié)果。幾何直觀可以幫 助學生直接的理解數(shù)學，在整個數(shù)學 學習過程中都發(fā)揮著重要作用。描述性的定

5、義，側(cè)重于作用。課程目標總目標：建立數(shù)感、符號意識和空間觀念，初步 形成幾何直觀和運算能力，發(fā)展形象思 維與抽象思維。學段目標（第二學段）： 初步形成數(shù)感和空間觀念，感受符號和幾何 直觀的作用。學段目標（第三學段）： 經(jīng)歷借助圖形思考問題的過程，初步建立幾 何直觀。建立幾何直觀的能力是有一個過程的，而且?guī)缀沃庇^的能力是有高低的。實施建議（教材編寫應體現(xiàn)整體性）： 本標準在設計思路中提出了幾個核心詞：數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想，以及應用意識和創(chuàng)新意識，它們是義務教育階段數(shù)學課程內(nèi)容的核心，也是教材的主線。實施建議（教材編要體現(xiàn)可讀性）： 對于第

6、一學段的學生，可以采用圖片、游戲、卡通、表格、 文字等多種方式，直觀形象、圖文并茂、生動有趣地呈現(xiàn)素 材，提高他們的學習興趣。附錄（例61）： 在第一和第二學段都討論過分類的問題，通過分類有助于學 生把握問題本質(zhì)，了解研究對象的共性與差異，分類是探索 數(shù)學研究對象性質(zhì)的有效途徑。特別是對于幾何圖形分類， 有利于培養(yǎng)幾何直觀性和思維的層次性。附錄（例79）： 利用直角坐標系，不僅能夠推導出幾何圖形的代數(shù)表達式， 還能夠利用幾何圖形來研究代數(shù)問題，這是幫助學生建立幾 何直觀的有效途徑。三、專家怎么說三個人扛著一段圓木，如何渡過沒有橋的小溪？直觀什么是“直觀”？辭海：直觀即感性認識。其特點是生動性、

7、具體 性和直接性。克萊因：數(shù)學的直觀就是對概念、證明的直接把 握。徐利治：直觀就是借助于經(jīng)驗、觀察、測試或類 比聯(lián)想，所產(chǎn)生的對事物關(guān)系直接的感 知與認識。陳洪杰： 第一，直觀和我們認識世界的方法與特點密切相關(guān)。相同的事物可以用不同的方法加以記錄、表示與刻畫。這些方法在邏輯關(guān)系上有簡單和復雜之分，在感知類型上有直接付諸感官直覺和需要經(jīng)過理性分析之分，在表現(xiàn)形式上有直觀和抽象之分。把事情直觀化，是我們認識世界的一個方法與特點。 第二，直觀是相對的，有不同的層面和表現(xiàn)。眼前的美景難以描摹，我們拍下照片，這是一種直觀；抽象的道理難以領悟，我們講了一個故事，這是直觀；復雜的邏輯關(guān)系難以梳理，我們畫了一

8、個流程圖，這也是直觀。 第三，直觀含有可視化的意思（英文Visual），作為一個隱喻，直觀意味著是感官可以直接感知的，但并不局限于視覺。比如，相較于文字的描繪，聲音、顏色、氣味、圖形、味道，可以直接作用于不同感官的東西都可以構(gòu)成一種直觀。 第四，直觀在認知過程中具有雙重的意義，一方面，它是認識的淺層次階段，是進一步抽象的基礎；另一方面，直觀又構(gòu)成了抽象意義的一個側(cè)面，從另一個角度豐富、深化了人們的認識。直觀的價值既有工具性層面的（我為了），又有本體論層面的（我就是）。 第五，從形式與內(nèi)容的的哲學（邏輯）范疇考慮，直觀也是對內(nèi)容的形式特點的概括，直觀與由直觀獲得的意義構(gòu)成形式與內(nèi)容的邏輯關(guān)系。自

9、然，內(nèi)容是多變的，而形式則可以相對穩(wěn)定。什么是“直觀”？具有一定經(jīng)驗基礎的感性的直接的未證明的整體感知的什么是“幾何直觀”？課標：主要指利用圖形描述和分析問題。借助幾 何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、 形象，有助于探索解決問題的思路，預測 結(jié)果。幾何直觀可以幫助學生直接的理解 數(shù)學，在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重 要作用。蔣文蔚：幾何直觀是一種思維活動，是人腦對客 觀事物及其關(guān)系的一種直接的識別或猜 想的心理狀態(tài)。徐利治：幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何 圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接 感知。孔凡哲、史寧中： 幾何直觀是指，借助于見到的（或想象出來的）幾何圖形的形象關(guān)系，對數(shù)學的研究

10、對象（即空間形式和數(shù)量關(guān)系）進行直接感知、整體把握的能力。幾何圖形作用于形和數(shù)。王林： 幾何直觀是學生通過幾何學習，在掌握幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征、空間關(guān)系以及度量的基礎上，學會建立和操作平面或空間內(nèi)物體的心智表癥，形成準確感知和洞察客觀世界的能力；能從空間形式和關(guān)系的角度對現(xiàn)實問題進行抽象和推理認證（小學階段不涉及幾何證明）的能力。“幾何直觀”的表現(xiàn)形式：孔凡哲、史寧中： 實物直觀 簡約符號直觀 圖形直觀 替代物直觀 曹培英： 直觀感知 直觀洞察 “幾何直觀”的兩種層次： 王林指出：小棒圖只表示數(shù)量的多少，計數(shù)器圖只表示十位上去掉三個十的過程，不具備圖形形狀和度量的特征，不應視為幾何直觀。四、我怎

11、么認為“幾何直觀”與“空間觀念”：空間觀念（課標實驗稿）： 能運用圖形形象地描述問題，能利用直觀來進行思考。幾何直觀是空間思維的重要組成部分，空間觀念涵蓋幾何直觀。幾何直觀是建立在空間觀念基礎之上的；借助幾何直觀描述和分析數(shù)學問題的過程是發(fā)展空間觀念的重要途徑。“幾何直觀”與“空間觀念”：空間觀念（課標）： 主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運動和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等。主要指物體和形狀之間的關(guān)系、變化等。幾何直觀（課標）： 主要指利用圖形描述和分析問題。用圖形解決幾何問題，還有數(shù)與代數(shù)的問題。“幾何

12、直觀”與“數(shù)形結(jié)合”：百度： 數(shù)與形是數(shù)學中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。中學數(shù)學研究的對象可分為數(shù)和形兩大部分，數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合，或形數(shù)結(jié)合。作為一種數(shù)學思想方法，數(shù)形結(jié)合的應用大致又可分為兩種情形：或者借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關(guān)系，即數(shù)形結(jié)合包括兩個方面：第一種情形是“以數(shù)解形”，而第二種情形是“以形助數(shù)”。“以數(shù)解形”就是有些圖形太過于簡單，直接觀察卻看不出什么規(guī)律來，這時就需要給圖形賦值，如邊長、角度等。“幾何直觀”與“數(shù)形結(jié)合”：聯(lián)系：“以形助數(shù)”是幾何直觀和數(shù)形結(jié)合共同的功

13、能與表現(xiàn)。區(qū)別：1.從對象上講，數(shù)形結(jié)合還具有“以數(shù)解形”的作用，而幾何直觀還可以運用于幾何本身。2.從“形”含義上講，幾何直觀的“形”，可以是眼睛見到的，可以是畫出的，也可以是大腦想到的。3.從作用上講，幾何直觀是依托“形”直接地產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系及事物其他本質(zhì)屬性的感知。“幾何直觀”與“直觀幾何”：希爾伯特： 通過圖形進行觀察，根據(jù)直觀認識來研究圖形的性質(zhì)和相關(guān)問題，以這種方法為主要手段的幾何學是直觀幾何。“幾何直觀”與“直觀幾何”：區(qū)別：直觀幾何是數(shù)學課程的一種形態(tài)，而幾何直觀是數(shù)學認知的方式與數(shù)學教學的手段。聯(lián)系：直觀幾何課程需要幾何直觀。“幾何直觀”與“幾何直覺”：幾何直觀是在直觀感知的

14、感性基礎之上所形成的理性思考的結(jié)果所致，是學習者對于數(shù)學對象的幾何屬性的整體把握和直接判斷的能力；幾何直覺屬于學習者對于數(shù)學對象的感性認識，有很大程度上的猜測成分和朦朧的整體把握。幾何直觀是學習者、研究者對于數(shù)學對象的全貌和本質(zhì)進行的直接把握，這種直接判斷建立在針對幾何圖形長期有效的觀察和思考的基礎之上，有相對豐富的經(jīng)驗積淀，更有經(jīng)驗基礎之上的理性的概括和升華；幾何直覺無需推理就能直接地對事物及其關(guān)系做出迅速的識別和理解。聯(lián)系：都是從“整體把握”。“幾何直觀”與“幾何直覺”：區(qū)別：1.幾何直觀的“整體把握”往往帶有明顯的邏輯成分，而幾何直覺則不然。2.幾何直觀可能是思考的結(jié)果，甚至是遲緩的、深

15、思熟慮的產(chǎn)物；而幾何直覺是意識的本能反應，迅捷、敏銳，但有時就是一種猜測。“幾何直觀”是“幾何”，是“直觀”？是，也不是。1.是建立在一定的幾何知識基礎之上的。沒有一定的幾何知識何談直觀。學生需要幾何知識作為直觀思考的載體。2.是建立在直觀感知的基礎之上的。是一種直接的、感性的類似于直覺的認識。3.“幾何直觀”的呈現(xiàn)應該是一種動態(tài)的，是具有一定的思維含量的。cab4.“幾何直觀”的能力是有高低的。 直觀感知是能夠看懂圖，并以之分析解決問題，那么直觀洞察就是直接抓住問題的本質(zhì)。一只小熊乘著熱氣球以每秒5米的速度上升。小熊飛2秒、4秒、6秒、8秒，能飛多高？2秒4秒6秒8秒0米10米20米30米4

16、0米如果每秒上升5米5.“幾何直觀”能力是可以培養(yǎng)的。 不僅要培養(yǎng)直觀感知的能力，更要培養(yǎng)直觀洞察的能力。看懂圖是一種能力，關(guān)鍵是我們怎么想到這個圖的。6.“幾何直觀”的一般過程。直觀感知直觀洞察看圖畫圖想圖靈感解決問題創(chuàng)造能力空間觀念提出問題7.個體經(jīng)歷的過程。 意識能力思維方式被動主動五、培養(yǎng)策略1.幾何知識的充分掌握是基礎。1.1認識圖形（一）1.11認位置1.12認識圖形（一）1.2認識圖形（二）1.21認識長方形、正方形和圓1.22認識三角形和平行四邊形2.1平行四邊形的初步認識2.11四邊形、五邊形和六邊形的 初步認識2.12認識平行四邊形2.2認識角3.1長方形和正方形3.11長

17、方形和正方形的基本特征3.12認識周長3.13長方形和正方形周長的計算3.2平移和旋轉(zhuǎn)3.21平移和旋轉(zhuǎn)3.2軸對稱圖形3.21軸對稱圖形3.2長方形和正方形的面積3.21面積的含義3.22面積單位3.23長方形和正方形面積的計算3.24面積單位間的進率4.1角4.11認識角4.12用量角器量角4.13角的分類4.14用量角器畫角4.1平行與相交4.11認識平行與相交4.12畫平行線4.13認識垂直4.14畫垂線4.15垂直線段最短4.2三角形4.21三角形的認識4.22三角形的分類4.23三角形的內(nèi)角和4.24等腰三角形和等邊三角形4.2平行四邊形和梯形4.21認識平行四邊形4.22認識梯形

18、4.2對稱、平移和旋轉(zhuǎn)4.21圖形的對稱4.22圖形的平移4.23圖形的旋轉(zhuǎn)5.1多邊形的面積計算5.11面積是多少5.12平行四邊形的面積計算5.13三角形的面積計算5.14梯形的面積計算5.2圓5.21圓的認識5.22圓的周長5.23圓的周長的應用5.24圓的面積5.25圓環(huán)的面積6.1長方體和正方體6.11長方體和正方體的特征6.12長方體和正方體的展開圖6.13長方體和正方體的表面積6.14長方體和正方體表面積的 實際應用6.15體積和容積的含義6.16體積單位和容積單位6.17體積計算方法（一）6.18體積計算方法（二）6.19體積單位間的進率6.2圓柱和圓錐6.21圓柱和圓錐的意義

19、6.22圓柱的側(cè)面積6.23圓柱的表面積6.24圓柱的體積6.25圓錐的體積2.不可忽視材料袋的使用。高水平的幾何直觀的養(yǎng)成，卻是主要依賴于后天，依賴于個體參與其中的幾何活動，包括觀察、操作、判斷、推理等等。配套的材料袋給每一個學生提供了這樣的機會。 3.多種方式相結(jié)合。日常教學中要多采用學生喜愛的“看一看、擺一擺、折一折、剪一剪、拼一拼、量一量、畫一畫”等具體、實際的活動方式，引導學生通過親自觸摸、觀察、測量、制作和實驗，把視覺、聽覺、觸覺、動覺等協(xié)同起來，強有力地促進心理活動的內(nèi)化，從而使學生掌握圖形特征，更好地感知幾何直觀。在幾何知識的學習過程中，需要注意幾個問題：1.重視學習的過程。不

20、僅僅是知識的掌握，更要讓學生經(jīng)歷知識的形成或發(fā)現(xiàn)過程。在過程中潛移默化的培養(yǎng)幾何直觀能力。2.畫圖策略的應用是載體。 （1）養(yǎng)成畫圖的習慣： 畫圖本是學習幾何的常規(guī)直觀手段，也是解決一些算術(shù)問題的有效方法。但在我們小學教學里缺乏足夠的重視。如課標中沒有明確提出培養(yǎng)畫圖習慣的要求；在我們實際教學中對學生書寫習慣的要求遠高于畫圖的習慣；對于學生出現(xiàn)的草圖不能進行有效的利用與交流；不能夠面向全體學生。 （2）掌握一定的畫圖能力： 草圖簡單示意圖線段圖韋恩圖面積圖，要習慣于讓學生用簡潔的圖形來表示題意，進行直觀感知。會場原來每排20座，有15排，擴建后每排增加5座，增加3排。擴建后共增加多少個座位？原

21、計劃買20個皮球，每個15元。實際每個漲價3元，且多買5個。實際比計劃多花多少元？學校長方形植物園原來長20米，寬15米，擴建后長增加5米，寬增加3米。擴建后面積增加多少平方米？201553 （3）能夠根據(jù)畫出的圖分析、解決問題： 如行程問題、分數(shù)應用題等一些較復雜的實際問題，借助圖形直觀感知解決的方法。 從甲地到乙地，已經(jīng)行駛了全程的75%，還剩50千米，請問已經(jīng)行駛了多少千米？已經(jīng)行駛75%還剩50千米 （4）培養(yǎng)畫圖意識更重要： 與畫圖相比，顯然更重要的是遇到困難會想到畫圖。這種畫圖的意識是培養(yǎng)幾何直觀能力的關(guān)鍵。有了意識，才會發(fā)展成能力；有了能力，才會達到一種境界。 如果一池塘里的浮萍每天生長是前一天的兩倍,正好10天長滿全池塘,請問長滿池塘的1/4需要多少天? 3.具體課例中如何實施。 （1）借助幾何圖形直觀思考實際問題，在觀察比較的過程中發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律。加法交換律：因為9+6=15，6+9=15，所以9+6=6+93.具體課例中如何實施。 （1）借助幾何圖形直觀思考實際問題，在觀察比較的過程中發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律。乘法分配律：借助圖形可以更直觀的解釋運算律。347因為34+37=