1、壓桿穩定概念以及穩定設計 壓桿穩定性的概念軸向拉、壓桿的強度條件為 例：長為600mm的鋼板尺，橫截面尺寸為 32mm 1mm 。鋼的許用應力為=196MPa。按強度條件計算得鋼尺所能承受的軸向壓力為F = A = 6880 N實際上，當壓力不到 15N 時，鋼板尺就被壓彎。可見，鋼板尺的承載能力并不取決軸向壓縮的抗壓剛度，而是與 受壓時變彎 有關。引例3max 1 mm32 mm 壓桿穩定性的概念第7章 壓桿穩定壓桿在實際工作過程中，不可避免地存在與設計不相符的工作狀態，例如： 壓桿在制作時其軸線存在初彎曲； 外力作用線不可能毫無偏差的與桿軸線相重合； 壓桿材料的存在不均勻連續性。上述因素都

2、不可避免地引起外加壓力的偏心作用。受偏心壓力作用的桿件，不論偏心距多么小，壓桿的次要變形彎曲變形將隨壓力的增大而加速增長，并轉化為主要變形，從而導致壓桿喪失承載能力。 工作過程出現的其它可能因素。 壓桿穩定性的概念第7章 壓桿穩定由于影響壓桿穩定性的因素很多，我們不可能在建立力學模型時將所有的因素都考慮進去。本章中壓桿穩定性的研究對象不是實際壓桿，而是理想壓桿。理想壓桿：桿的材料均勻，軸線為直線，外力的作用線與壓桿軸線重合， 不存初彎曲、初應力和初偏心。研究方法：當壓桿承受軸向壓力后，假想地在桿上施加一微小的橫向力，使桿發生彎曲變形，然后撤去橫向力，通過理論或實驗討論壓桿的受力和變形特征，研究

3、其承載能力。 壓桿穩定性的概念第7章 壓桿穩定壓桿的穩定性：壓桿保持初始直線平衡狀態的能力。壓桿的失穩：壓桿喪失直線形狀的平衡狀態。 當 FP小于某一臨界值Fcr，撤去橫向力后，桿的軸線將恢復其原來的直線平衡形態，壓桿在直線形態下的平衡是 穩定平衡狀態。 (a)FPFPFQFcr 當 FP大于某一臨界值Fcr，撤去橫向力后，桿的軸線會繼續變彎，不能再保持平衡形態，壓桿失穩。 壓桿穩定性的概念第7章 壓桿穩定穩定平衡狀態臨界平衡狀態不穩定平衡狀態失穩(a)FPFPFQFcr 壓桿穩定性的概念第7章 壓桿穩定其它形式的構件也存在穩定性問題： 淺拱失穩q薄壁容器失穩薄壁桿件失穩F 臨界應力和臨界應力

4、總圖第7章 壓桿穩定對于兩端鉸支的細長理想壓桿，忽略桿的軸向變形和剪切變形的影響，研究其臨界力Fcr的計算公式。 兩端鉸支的細長壓桿的臨界力由于細長理想壓桿在臨界狀態時，可以保持直線和微彎兩種形式的平衡狀態。在線彈性范圍內，可利用梁在小變形條件下撓曲線近似微分方程來研究。yFcrxFcrFcrxLyFcrFcrEIEI 臨界應力和臨界應力總圖第7章 壓桿穩定 兩端鉸支的細長壓桿的臨界力xLyFcrFcrEIM(x)Fcryxl/2xyyxFcrEI該二階常微分方程的通解為 臨界應力和臨界應力總圖第7章 壓桿穩定 兩端鉸支的細長壓桿的臨界力xLyFcrFcrEIM(x)Fcryxl/2xyyxF

5、crEI 臨界應力和臨界應力總圖第7章 壓桿穩定 兩端鉸支的細長壓桿的臨界力xLyFcrFcrEIM(x)Fcryxl/2xyyxFcrEI 臨界應力和臨界應力總圖第7章 壓桿穩定 兩端鉸支的細長壓桿的臨界力xLyFcrFcrEIM(x)Fcryxl/2xyyxFcrEI歐拉公式 臨界應力和臨界應力總圖第7章 壓桿穩定 不同支承約束下的細長壓桿的臨界力 對于各種支承情況的理想壓桿，其臨界力的歐拉公式可寫成統一的形式： 稱為長度系數，與桿端的約束情況有關；L 稱為計算長度，代表壓桿失穩時撓曲線上兩拐點之間的長度；EI為桿件的抗彎剛度，其中E為彈性模量，I為截面的最小的形心主慣性矩。式中： 臨界應

6、力和臨界應力總圖第7章 壓桿穩定 不同支承約束下的細長壓桿的臨界力支承情況兩端鉸支一端固定一端鉸支兩端固定，但可沿縱向相對移動一端固定一端自由兩端固定，但可沿橫向相對移動失穩時撓曲線形狀臨界力長度系數LFcr= 1= 0.7= 0.5= 2= 1FcrLLFcr2LLFcrFcr0.7LL0.5L0.5L 臨界應力和臨界應力總圖第7章 壓桿穩定 不同支承約束下的細長壓桿的臨界力驗證：長為600mm的鋼板尺，橫截面尺寸為 32mm 1mm 。利用歐拉公式計算前面鋼板尺的臨界力。 1 mm32 mm 臨界應力和臨界應力總圖第7章 壓桿穩定各桿均為圓截面細長壓桿( P)，且所用的材料和截面均相同，試

7、比較各桿的承載力大小。 FFFa(a)1.3a(b)1.6a(c)2aF(d)各桿均為細長桿且材料和截面相同，都可用歐拉公式計算臨界力并只需比較各桿的計算長度l 即可。由歐拉公式得桿a：l = 2a = 2a桿b：l = 1a a桿c：l a a桿d：l 2a = aFcra Fcrb Fcrc Fcrd 【例7-1】【解】 臨界應力和臨界應力總圖第7章 壓桿穩定故取已知圖示圓截面壓桿的抗彎剛度為EI ，試求壓桿的臨界壓力。ABC0.5aFa在這種情況下，關鍵是必須明確壓桿兩端的支承約束類型和長度系數，以便確定每段壓桿的計算長度。 【例7-2】【解】第7章 壓桿穩定 7.1 壓桿穩定的概念 7

8、.4 壓桿的穩定設計 7.5 提高壓桿承載能力的主要措施 7.2 細長壓桿臨界力的歐拉公式 7.3 臨界應力和臨界應力總圖 臨界應力和臨界應力總圖第7章 壓桿穩定細長壓桿受臨界力FPcr作用而仍在直線平衡形態下維持平衡時，橫截面上的平均壓應力稱為壓桿的臨界應力，通常用cr表示，即注意到為壓桿橫截面對中性軸的慣性半徑，有 臨界應力歐拉公式 臨界應力和臨界應力總圖第7章 壓桿穩定引入壓桿的長細比或柔度的概念，即 臨界應力歐拉公式代入壓桿的臨界應力計算公式中，得 由于歐拉臨界力計算公式是根據撓曲線近似微分方程推導得出的，是建立在胡克定律基礎上的，因此只有材料在線彈性范圍內工作時，歐拉公式才能適用。

9、臨界應力和臨界應力總圖第7章 壓桿穩定 臨界應力歐拉公式材料在線彈性范圍內工作時，令 所以只有歐拉公式的適用范圍可表示為 其中 是與材料的力學性質有關的物理量。對于同一種材料一般可認為是一個常數，可以在相關的規范或工程手冊中查到。因此，當 p 時，歐拉公式不適用。 臨界應力和臨界應力總圖第7章 壓桿穩定 臨界應力歐拉公式關于 柔度（長細比）與慣性半徑壓桿的柔度（長細比）集中地反映了壓桿的長度、桿端約束、截面尺寸和形狀對臨界應力的影響。 越大，相應的 cr 越小，壓桿越容易失穩。 若壓桿在不同平面內失穩時的支承約束條件不同，應分別計算在各平面內失穩時的柔度，并按柔度較大者計算壓桿的臨界應力cr

10、。 臨界應力和臨界應力總圖第7章 壓桿穩定1. 大柔度桿或細長桿 壓桿將發生彈性屈曲，此時壓桿橫截面上的正應力不超過材料的比例極限。根據柔度的大小可將壓桿分為三類: 臨 界 應 力 總 圖 臨界應力和臨界應力總圖第7章 壓桿穩定2. 中長桿 壓桿亦發生屈曲，壓桿在橫截面上的正應力已超過材料的比例極限，截面上某些部分已進入塑性狀態，為非彈性屈曲。 臨 界 應 力 總 圖 臨界應力和臨界應力總圖第7章 壓桿穩定臨界應力總圖細長桿中長桿粗短桿3. 粗短桿此時壓桿不會發生屈曲，但會發生屈服失效，是一個強度問題。 臨 界 應 力 總 圖其中 也與材料的力學性質有關。 臨界應力和臨界應力總圖第7章 壓桿穩

11、定 臨 界 應 力 總 圖一些常用材料的a、b、p、s值材 料a (MPa)b (MPa)psQ235鋼3041.1210061.4優質碳鋼4602.5710060硅 鋼5773.7410060鉻 鉬 鋼9805.2955硬 鋁3923.2650松 木28.70.19959 臨界應力和臨界應力總圖第7章 壓桿穩定 臨 界 應 力 總 圖拋物線型經驗公式的壓桿臨界應力總圖需要指出，在一些工程設計規范中還采用其它形式的臨界應力總圖，如拋物線型。當C時，壓桿的臨界應力crC，可按歐拉公式計算；當C時，壓桿的臨界應力按拋物線經驗公式計算。 臨界應力和臨界應力總圖第7章 壓桿穩定 臨 界 應 力 總 圖

12、例如鋼結構設計規范對于中小柔度桿采用如下拋物線型公式。式中，f 為鋼材強度設計值；1為與構件截面類型有關的系數；fy為鋼材的屈服強度。拋物線型經驗公式的壓桿臨界應力總圖 臨界應力和臨界應力總圖第7章 壓桿穩定 Q235鋼制成的矩形截面桿,兩端約束以及所承受的載荷如圖示（a為正視圖，b為俯視圖），在AB兩處為銷釘連接。若已知L=2300mm，b=40mm，h=60mm。材料的彈性模量E=205GPa。試求此桿的臨界力和臨界應力。FFFF 【例7-3】 臨界應力和臨界應力總圖第7章 壓桿穩定FF【解】正視圖： 臨界應力和臨界應力總圖第7章 壓桿穩定FF【解】俯視圖： 臨界應力和臨界應力總圖第7章

13、壓桿穩定FFFF【解】第7章 壓桿穩定 7.1 壓桿穩定的概念 7.4 壓桿的穩定設計 7.5 提高壓桿承載能力的主要措施 7.2 細長壓桿臨界力的歐拉公式 7.3 臨界應力和臨界應力總圖壓桿的穩定設計第7章 壓桿穩定為了保證壓桿具有足夠的穩定性，設計中，必須使桿件所承受的實際壓縮載荷（又稱為工作載荷）小于桿件的臨界載荷，并且具有一定的安全裕度。壓桿的穩定性設計主要采用安全系數法與折減系數法。首先介紹安全系數法。 采用安全系數法時，穩定性安全條件一般可表示為 式中nw 為工作安全系數，nst為容許安全系數，cr和Fcr分別為臨界力和臨界應力，w 為實際工作應力，FN為壓桿的實際軸力。壓桿的穩定

14、設計第7章 壓桿穩定下面介紹壓桿穩定性設計的折減系數法(穩定系數法)。定義穩定容許應力為式中nst為穩定安全系數，通常nst隨著柔度的增大而增大。 是的函數，即 = () ，其值在01之間。定義折減系數或穩定系數為 穩定安全系數一般比強度安全系數要大些。例如對于一般鋼構件，規定強度安全系數為，穩定安全系數為。 壓桿的穩定設計第7章 壓桿穩定壓桿的穩定設計第7章 壓桿穩定即 或折減系數法(穩定系數法) 的穩定條件可表述為壓桿的實際工作應力不能超過穩定許用應力cr，有注意：截面的局部削弱對整個桿件的穩定性影響不大，因此在穩定計算中橫截面面積一般取毛面積計算。壓桿的折減系數（或柔度）受截面形狀和尺寸

15、的影響，通常采用試算法求解。壓桿的穩定設計第7章 壓桿穩定穩定性設計（stability design）一般包括三類問題：確定容許載荷當壓桿的材料、約束以及幾何尺寸已知時，根據三類不同壓桿的臨界應力公式，確定壓桿的容許載荷。 穩定性安全校核當外加載荷、桿件各部分尺寸、約束以及材料性能均為已知時，驗證壓桿是否滿足穩定性設計準則。 選擇截面尺寸當外加載荷、約束以及材料性能均為已知時，根據三類不同壓桿的臨界應力公式，選擇壓桿的截面尺寸。 壓桿的穩定設計第7章 壓桿穩定 根據材料的彈性模量與比例極限E、P，計算或查表得到p 和s，再根據桿長l、截面的慣性矩I 和面積A，以及兩端的支承條件，計算壓桿的實

16、際長細比 。 然后比較壓桿的實際長細比值與極限值，判斷屬于哪一類壓桿，選擇合適的臨界應力公式，確定臨界應力。 最后，根據壓桿的穩定性安全條件，進行穩定性設計。 對于一個系統，應用平衡方程求出壓桿所受的軸力或軸力與外力的關系。穩定性設計的一般過程：壓桿的穩定設計第7章 壓桿穩定對于單個10號槽鋼，形心在C1點。z0yy1zC1a兩根槽鋼圖示組合之后， 立柱由兩根10號槽鋼組成，下端固定，上端為球鉸支座，試問a=？時，立柱承載力最大，其值為多少？ 若壓桿的穩定安全系數是nst，求壓桿的容許荷載。，中長桿經驗公式為 。 【例7-4】【解】F6m壓桿的穩定設計第7章 壓桿穩定z0yy1zC1a【解】F

17、6m，截面布置最合理，且臨界壓力最大。大柔度桿，由歐拉公式求臨界力。壓桿的容許荷載為兩端鉸支壓桿由兩根12512512等邊角鋼組成，L，鉚釘孔徑d=30mm， F=500kN，材料為A3鋼，容許應力為 =160MPa，穩定安全系數nst，試校核壓桿是否安全？壓桿的穩定設計第7章 壓桿穩定 【例7-5】FLyxzdyy1A1【解】1、 壓桿穩定性校核查表得相關的參數：i=i1=iy，A12，P=100，S=62，a =304，b。壓桿的穩定設計第7章 壓桿穩定zdyy1A1【解】cr= a b=234MPa壓桿穩定性滿足要求。2、強度校核A凈2A12d2強度也滿足要求，壓桿安全。FLyx壓桿的穩

18、定設計第7章 壓桿穩定結構如圖，二桿的直徑均為d=20mm，材料相同，材料的彈性模量E=210GPa，比例極限P=200MPa，屈服極限s=240MPa，強度安全系數n=2，規定的穩定安全系數nst，試校核結構是否安全。 【例7-6】【解】1、 求兩桿的軸力15kNBCA0.6mFN1FN2FN1F，FN2=F=15kN2、強度校核壓桿的穩定設計第7章 壓桿穩定【解】3、 壓桿穩定性校核15kNBCA0.6mFN1FN2結構安全。 壓桿的穩定設計第7章 壓桿穩定 【例16-7】圖示結構中，梁AB為普通熱軋工字鋼，CD為圓截面直桿，其直徑為 d=20 mm，二者材料均為 Q235鋼。結構受力如圖

19、中所示，A、C、D三處均為球鉸約束。若已知FP=25kN，l1=1.25 m，l2，s=235MPa。強度安全因數ns，穩定安全系數nst。校核:此結構是否安全 。 ABFPCl2l1l1Dx30zy14壓桿的穩定設計第7章 壓桿穩定【解】需要校核梁AB的強度和桿CD的穩定性。1、梁AB的強度校核ABFPCl2l1l1Dx30zy14由型鋼表查得14普通熱軋工字鋼的Wz=102103mm3；A102 mm2，由此得到梁內最大應力壓桿的穩定設計第7章 壓桿穩定【解】max略大于，但，工程上仍認為是安全的。 Q235鋼的許用應力為ABFPCl2l1l1Dx30zy14壓桿的穩定設計第7章 壓桿穩定

20、【解】2、 校核壓桿CD的穩定性 壓桿CD的軸向壓力為 因為是圓截面桿，故慣性半徑為 ABFPCl2l1l1Dx30zy14兩端為球鉸約束，所以 由歐拉公式得結構用低碳鋼制成，E=205GPa, s=275MPa, cr，p=100，s=60，n=2，nst=3；梁AB為N016工字鋼，BC桿為圓形截面d=48mm。求:結構的容許荷載F。壓桿的穩定設計第7章 壓桿穩定 【例7-7】一次超靜定問題ABC1m1mF1m1. 由變形協調條件列補充方程求BC桿的軸力【解】壓桿的穩定設計第7章 壓桿穩定2. BC桿的穩定性方面(s p)中柔度桿cr=304=3041.1283.3=210MPaABC1m1mF1m壓桿的穩定設計第7章 壓桿穩定ABC1m1mF1m3. AB桿的強度方面0.312F0.376F+最后，第7章 壓桿穩定 7.1 壓桿穩定的概念 7.4 壓桿的穩定設計 7.5 提高壓桿承載能力的主要措施 7.2 細長壓桿臨界力的歐拉公式 7.3 臨界應力和臨界應力總圖提高壓桿承載能力的措施影