1、考點二十四基本不等式及其應用知識梳理.重要不等式：a2+b22ab(a, bCR),當且僅當a=b時取等號.一 a+b.基本不等式： 向02( a 0, b0),當且僅當a=b時取等號.a b其中Y稱為a, b的算術平均數，相稱為a, b的幾何平均數.因此基本不等式可敘述為兩個非負數的算術平均數不小于它們的幾何平均數；也可以敘述為兩個正數的等差中項不小于它們的等比中項.基本不等式的幾個常見變形a+ b2fab (a, b0).x+ 12(x0), b+a2(a, b 同號). xa bbC R).la + b 2 (3)ab SaTb (a, bC R).利用基本不等式求最值的條件：一正二定三

2、相等 所謂“一正”是指正數，“二定”是指應用基本不等式求最值時，和或積為定值，“三相等”是指滿足等號成立的條件.利用基本不等式求最值問題已知x0 , y0,貝U2 s(1)和定積最大：若x+y=s(和為定值)，則當x= y時，積xy取得最大值(2)積定和最?。喝魓y=p(積為定值)，則當x= y時，和x+ y取得最小值2標.典例剖析題型一基本不等式成立條件問題 例1若a, bC R,且ab0,則下列不等式中，恒成立的是 a2+b22ab a+ b2Vab答案解析a與b可能相等，.a2 + b22ab,故不正確；對于、，當a0, b0,b0, ；0, ： +。2、：2成立(當且僅當a=b時等號

3、成立).變式訓練下列不等式中一定成立的是x+-2 2+且2 sin x+ 1xa bsin xA2(xwk& kCZ)2(x0)x答案解析 對于選項，當x0時顯然不成立；對于選項，當b 0時顯然不成立； a對選項，當sin x0,則x +2的最小值是 x1(2)當x1時，函數 y=x+的取小值是 x 1答案(1) 2 2(2) 3x= 2x即x= 加時取等號，故最小值是解析(1)由基本不等式可得 x+x2jx2 =272,當且僅當2 2.(2)y=x+ 六=x1+占+12 #T )土+1=3當且僅當x-1= , x- 1即乂= 2時等號成立:.4變式訓練(1)當x1時，x+的最小值為x 1(2

4、)當x 4時，x+x47的最小值為 . TOC o 1-5 h z - 一16答案(1)5 (2)163解析 (1)x1,x- 10. .x + 4-=x-1 + 4-+12J4+ 1 = 5.x- 1x-144(當且僅當x-1= -IP x= 3時號成立+方的最小值為5.1. x4,x- 13.4 ,:函數y=x+-在3 , + 00 )上為增函數, x當 x 1 = 3 時，y=(x1) +上+1 有最小值 16.x 13例3設0 x2,求函數y= /(4 2x#最大值解析 -0 x0, y=x(4-2x 尸平 jx(27尸事 x+2x = 2p,當且僅當x=2-x,即x= 1時取等號，當

5、x= 1時，函數y = x(4- 2x/J最大彳I為42.變式訓練若a, b均為大于1的正數，且ab= 100,則lg a lg b的最大值是 .答案 1解析 a1, b1 , lg a0, lg b0.1g a+ b 2 lg ab2lg a lg b 0, b0, a+b=1,則1 + 1的最小值為a b答案 4解析a0, b0, a+b=1,.+、型 + 壟= 2+b+a*+2%陣=4,a b a b a b，: a b即1的最小值為4,當且僅當a=b = 1時等號成立.a b2變式訓練已知x0, y0且x+ y=1,則8 + 2的最小值為x y答案 18解析x0, y0,且 x+ y=

6、 1,鼻 2=(/2)(x+y)=10+%210 + 2%犀=18.x y x yx y; x y當且僅當8y=a，即x= 2y時等號成立，x y，當x= 2, y = 1時，8+-有最小值18. 33 x y解題要點解決這類條件最值問題通常有兩種方法：一是消元法，即根據條件建立兩個量之間的函數關系，然后代入代數式轉化為函數的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數代換的方法構造 和或積為常數的式子，然后利用基本不等式求解最值.當堂練習3.右0 x0, b0, a+b=2,貝U y= 1+4的最小值是 .a b答案2解析依題意得a + b= 2, rb 4aa十a0. b0.+ 4 = 1(1

7、+ 4)(a+ b)=1x5+(b+4a)lx(5 + 2f4：)=微，當且僅當 a b 2 a b2 a b 2; a b 2 TOC o 1-5 h z 即a = 2, b= 4時取等號，即1+4的最小值是W 33a b2.已知 f(x) = x+1-2(x0),則 f(x)有 x答案最大值為-4解析 .x0,c ,11c.-x+x-2=-(-x+)-20, a0)在x=3時取得最小值，則 a=答案 36解析 a0, x0, . f(x)= 4x + a24xa= 4，S當且僅當4x= x即a=4x2時等號成立：,又x= 3時函數取得最小值，a= 4X9=36.若2x+2y=1,則x+y的

8、取值范圍是 答案 ,2解析 1 = 2x+ 2yA 2啦。=2、/2K，2x+yx+y- 2.4課后作業填空題1 .若0vx1,則當f(x) = x(4 3x)取得最大值時，x的值為答案23解析,0 x1,11 3x+ 4-3x2 4.f(x)=x(4-3x)=- 3x(4-3x)0, b0, ln(a+b)=0,則ab的最大值為1解析 . ln(a+b)=0,，a+b=1,又 a0, b0, . a+b2/ab, . ab1)的圖象最低點的坐標為x+ 1答案 (0,2)解析 yJx1=x+1+六2,1當x+1=x,即x=0時，y最小值為2.4.右5 一1x,則f(x) = 4x+ 的取小值為

9、4、， 4x- 5答案解析一、11f(x)= 4x+= 4x 5+ 5.4x54x5x5, 1- 4x50,，4x5 + 1 2.44x5一 3故f(x)2+5 = 7,等號成立的條件是x = 3.a b5.已知a, b為正頭數且ab=1,右不等式(x+y)(x+y)m對任息正頭數 x, y恒成立，則頭數 m的取值范圍是答案 (一8, 4)解析因為(x+y)(a+b)=a+b+?+bxna+b+2ab+2=4,當且僅當i ?弋時等號成立，即a=b, x=y時等號成立，故只要 m2a;%b忘2;*2+/七1,其中正確的個數是答案 11 o1解析 不正確，正確，x + 2+1 =(x+1)+ 2+

10、1 -1 21=1. 127. (2015湖南又)若實數a, b滿足a + b=W，則ab的取小值為 答案 2 21 2解析 由條件JOB知a, b均為正數.因而可利用基本不等式求解.a b,1 2,由g+ b= 婀知a0, b0,所以婀=；+b1 = 2,a b,即ab2J2,當且僅當l1+ b=vab，a b= 4/2, b=24/2時取“=，所以ab的最小值為2迎.若向量a=(x 1,2), b=(4, y)相互垂直，則9x+3y的最小值為 .答案 6解析 依題意得 4(x-1)+2y=0,即 2x + y=2,9x+ 3y= 32x+3y232xx 3y = 232x+y =2=6,當

11、 且僅當2x=y=1時取等號，因此 9x+3y的最小值是6.a.已知函數f(x)=4x+x(x0, a0)在x=3時取得最小值，則 a=.答案 36解析 因為 x0, a0,所以 f(x)=4x+ a 2-4a = 4yfa,當且僅當4x=-,即a = 4x2時取等號.由題意可得a=4X 32=36.x. (2014年上海卷)若實數x, y滿足xy=1,則x2+2y2的最小值為 .答案 2 2解析 x2+2y227x2 2y2 = 25xy= 242,當且僅當x2=2y2時等號成立.已知x0, y0,且3x+ 4y=12,貝U xy的最大值為 .答案 3解析12 = 3x+ 4yA 2.3x 4y, . xyW3.二、解答題.已知 a0, b0, a+b=1,求證：(1+1)(1 +7) 9. a b證明 方法- a0, b0, a+b=1,. 1 + l= 1 + ab =2 + b, a a a同理，1+1=2+；, 11 b a b a，。+1。+ 0 =化 + 7化 + b）=5+2（a+b）5 + 4=9.（I + Ld+L人當且僅當a=b = 1時等號成立）. a b2方法二（1+1）（1+1）= i + 1十三.由（i）知 1