1、 數 學 K單元 概率 K1隨事件的概率20 2014湖北卷 計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水年入流量X(年入流量：一年內上游來水與庫區降水之和，單位：億立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，并假設各年的年入流量相互獨立(1)求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率(2)水電站希望安裝的發電機盡可能運行，但每年發電機最多可運行臺數受年入流量X限制，并有如下關系：年入流量X40X120發電機最多可運行臺數123若某臺發電機運

2、行，則該臺年利潤為5000萬元；若某臺發電機未運行，則該臺年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發電機多少臺？20解：(1)依題意，p1P(40X120)eq f(5,50)0.1.由二項分布得，在未來4年中至多有1年的年入流量超過120的概率為pCeq oal(0,4)(1p3)4Ceq oal(1,4)(1p3)3p30.9440.930.10.947 7.(2)記水電站年總利潤為Y(單位：萬元)安裝1臺發電機的情形由于水庫年入流量總大于40，故一臺發電機運行的概率為1，對應的年利潤Y5000，E(Y)500015000.安裝2臺發電機的情形依題意，當40X80時，一臺

3、發電機運行，此時Y50008004200，因此P(Y4200)P(40X80)p10.2；當X80時，兩臺發電機運行，此時Y5000210 000，因此P(Y10 000)P(X80) p2p30.8.由此得Y的分布列如下：Y420010 000P0.20.8所以，E(Y)42000.210 0000.88840.安裝3臺發電機的情形依題意，當40X80時，一臺發電機運行，此時Y500016003400，因此P(Y3400)P(40X120時，三臺發電機運行，此時Y5000315 000，因此P(Y15 000)P(X120)p30.1.由此得Y的分布列如下：Y3400920015 000P0

4、.20.70.1所以，E(Y)34000.292000.715 0000.18620.綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發電機2臺17，2014四川卷 一款擊鼓小游戲的規則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現一次音樂，要么不出現音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現一次音樂獲得10分，出現兩次音樂獲得20分，出現三次音樂獲得100分，沒有出現音樂則扣除200分(即獲得200分)設每次擊鼓出現音樂的概率為eq f(1,2)，且各次擊鼓出現音樂相互獨立(1)設每盤游戲獲得的分數為X，求X的分布列(2)玩三盤游戲，至少有一盤出現音樂的概率是多少？(3)玩過這款游戲的許多人都發現，若干盤游

5、戲后，與最初的分數相比，分數沒有增加反而減少了請運用概率統計的相關知識分析分數減少的原因17解：(1)X可能的取值為10，20，100，200.根據題意，有P(X10)Ceq oal(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(1)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)eq sup12(2)eq f(3,8)，P(X20)Ceq oal(2,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(2)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)eq sup12(1)eq f(3,8)，P(X100)Ceq o

6、al(3,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(3)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)eq sup12(0)eq f(1,8)，P(X200)Ceq oal(0,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(0)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)eq sup12(3)eq f(1,8).所以X的分布列為：X1020100200Peq f(3,8)eq f(3,8)eq f(1,8)eq f(1,8)(2)設“第i盤游戲沒有出現音樂”為事件Ai(i1，2，3)，則P(A1)P(A2)P

7、(A3)P(X200)eq f(1,8).所以“三盤游戲中至少有一盤出現音樂”的概率為1P(A1A2A3)1eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,8)eq sup12(3)1eq f(1,512)eq f(511,512).因此，玩三盤游戲至少有一盤出現音樂的概率是eq f(511,512).(3)由(1)知，X的數學期望為EX10eq f(3,8)20eq f(3,8)100eq f(1,8)200eq f(1,8)eq f(5,4).這表明，獲得分數X的均值為負因此，多次游戲之后分數減少的可能性更大K2古典概型11、2014廣東卷 從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取

8、七個不同的數，則這七個數的中位數是6的概率為_11.eq f(1,6)18、2014福建卷 為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進行獎勵，規定：每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額(1)若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元，其余3個均為10元，求：(i)顧客所獲的獎勵額為60元的概率；(ii)顧客所獲的獎勵額的分布列及數學期望(2)商場對獎勵總額的預算是60 000元，并規定袋中的4個球只能由標有面值10元和50元的兩種球組成，或標有面值20元和40元的兩種球組成為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預

9、算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設計，并說明理由18解：(1)設顧客所獲的獎勵額為X.(i)依題意，得P(X60)eq f(Ceq oal(1,1)Ceq oal(1,3),Ceq oal(2,4)eq f(1,2).即顧客所獲的獎勵額為60元的概率為eq f(1,2)，(ii)依題意，得X的所有可能取值為20，60.P(X60)eq f(1,2)，P(X20)eq f(Ceq oal(2,3),Ceq oal(2,4)eq f(1,2)，即X的分布列為X2060P0.50.5所以顧客所獲的獎勵額的期望為E(X)200.5600.540(元)(2)根據商場

10、的預算，每個顧客的平均獎勵額為60元所以，先尋找期望為60元的可能方案對于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇(10，10，10，50)的方案，因為60元是面值之和的最大值，所以期望不可能為60元；如果選擇(50，50，50，10)的方案，因為60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能為60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，記為方案1.對于面值由20元和40元組成的情況，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，記為方案2.以下是對兩個方案的分析：對于方案1，即方案(10，10，50，50)，設顧客所獲

11、的獎勵額為X1，則X1的分布列為X12060100Peq f(1,6)eq f(2,3)eq f(1,6)X1的期望為E(X1)20eq f(1,6)60eq f(2,3)100eq f(1,6)60，X1的方差為D(X1)(2060)2eq f(1,6)(6060)2eq f(2,3)(10060)2eq f(1,6)eq f(1600,3).對于方案2，即方案(20，20，40，40)，設顧客所獲的獎勵額為X2，則X2的分布列為X2406080Peq f(1,6)eq f(2,3)eq f(1,6)X2的期望為E(X2)40eq f(1,6)60eq f(2,3)80eq f(1,6)60

12、，X2的方差為D(X2)(4060)2eq f(1,6)(6060)2eq f(2,3)(8060)2eq f(1,6)eq f(400,3).由于兩種方案的獎勵額的期望都符合要求，但方案2獎勵額的方差比方案1的小，所以應該選擇方案2.52014新課標全國卷 4位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學參加公益活動的概率為()A.eq f(1,8) B.eq f(3,8)C.eq f(5,8) D.eq f(7,8)5D62014陜西卷 從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為 ()A.eq f(1,5) B.eq

13、f(2,5) C.eq f(3,5) D.eq f(4,5)6C16、2014天津卷 某大學志愿者協會有6名男同學，4名女同學在這10名同學中，3名同學來自數學學院，其余7名同學來自物理、化學等其他互不相同的七個學院現從這10名同學中隨機選取3名同學，到希望小學進行支教活動(每位同學被選到的可能性相同)(1)求選出的3名同學是來自互不相同學院的概率；(2)設X為選出的3名同學中女同學的人數，求隨機變量X的分布列和數學期望16解：(1)設“選出的3名同學是來自互不相同的學院”為事件A，則P(A)eq f(Ceq oal(1,3)Ceq oal(2,7)Ceq oal(0,3)Ceq oal(3,

14、7),Ceq oal(3,10)eq f(49,60)，所以選出的3名同學是來自互不相同學院的概率為eq f(49,60).(2)隨機變量X的所有可能值為0，1，2，3.P(Xk)eq f(Ceq oal(k,4)Ceq oal(3k,6),Ceq oal(3,10)(k0，1，2，3)，所以隨機變量X的分布列是X0123Peq f(1,6)eq f(1,2)eq f(3,10)eq f(1,30)隨機變量X的數學期望E(X)0eq f(1,6)1eq f(1,2)2eq f(3,10)3eq f(1,30)eq f(6,5).9、2014浙江卷 已知甲盒中僅有1個球且為紅球，乙盒中有m個紅球

15、和n個藍球(m3，n3)，從乙盒中隨機抽取i(i1，2)個球放入甲盒中(a)放入i個球后，甲盒中含有紅球的個數記為i(i1，2)；(b)放入i個球后，從甲盒中取1個球是紅球的概率記為pi(i1，2)則()Ap1p2，E(1)E(2) Bp1E(2) Cp1p2，E(1)E(2) Dp1p2，E(1)E(2)9A18，2014重慶卷 一盒中裝有9張各寫有一個數字的卡片，其中4張卡片上的數字是1，3張卡片上的數字是2，2張卡片上的數字是3.從盒中任取3張卡片(1)求所取3張卡片上的數字完全相同的概率；(2)X表示所取3張卡片上的數字的中位數，求X的分布列與數學期望(注：若三個數a，b，c滿足abc

16、，則稱b為這三個數的中位數)18解：(1)由古典概型中的概率計算公式知所求概率為Peq f(Ceq oal(3,4)Ceq oal(3,3),Ceq oal(3,9)eq f(5,84).(2)X的所有可能值為1，2，3，且P(X1)eq f(Ceq oal(2,4)Ceq oal(1,5)Ceq oal(3,4),Ceq oal(3,9)eq f(17,42)，P(X2)eq f(Ceq oal(1,3)Ceq oal(1,4)Ceq oal(1,2)Ceq oal(2,3)Ceq oal(1,6)Ceq oal(3,3),Ceq oal(3,9)eq f(43,84)，P(X3)eq f(

17、Ceq oal(2,2)Ceq oal(1,7),Ceq oal(3,9)eq f(1,12)，故X的分布列為X123Peq f(17,42)eq f(43,84)eq f(1,12)從而E(X)1eq f(17,42)2eq f(43,84)3eq f(1,12)eq f(47,28).K3幾何概型14、2014福建卷 如圖14，在邊長為e(e為自然對數的底數)的正方形中隨機撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為_圖1414.eq f(2,e2)72014湖北卷 由不等式組eq blc(avs4alco1(x0，,y0，,yx20)確定的平面區域記為1，不等式組eq blc(avs4alco1

18、(xy1，,xy2)確定的平面區域記為2，在1中隨機取一點，則該點恰好在2內的概率為()A.eq f(1,8) B.eq f(1,4) C.eq f(3,4) D.eq f(7,8)7D142014遼寧卷 正方形的四個頂點A(1，1)，B(1，1)，C(1，1)，D(1，1)分別在拋物線yx2和yx2上，如圖13所示若將個質點隨機投入正方形ABCD中，則質點落在圖中陰影區域的概率是_圖1314.eq f(2,3)K4 互斥事件有一個發生的概率17、2014湖南卷 某企業有甲、乙兩個研發小組，他們研發新產品成功的概率分別為eq f(2,3)和eq f(3,5).現安排甲組研發新產品A，乙組研發新

19、產品B.設甲、乙兩組的研發相互獨立(1)求至少有一種新產品研發成功的概率(2)若新產品A研發成功，預計企業可獲利潤120萬元；若新產品B研發成功，預計企業可獲利潤100萬元求該企業可獲利潤的分布列和數學期望17解：記E甲組研發新產品成功，F乙組研發新產品成功，由題設知P(E)eq f(2,3)，P(E)eq f(1,3)，P(F)eq f(3,5)，P(F)eq f(2,5)，且事件E與F，E與F，E與F，E與F都相互獨立(1)記H至少有一種新產品研發成功，則HE F，于是P(H)P(E)P(F)eq f(1,3)eq f(2,5)eq f(2,15)，故所求的概率為P(H)1P(H)1eq

20、f(2,15)eq f(13,15).(2)設企業可獲利潤為X(萬元)，則X的可能取值為0，100，120，220.因為P(X0)P(E F)eq f(1,3)eq f(2,5)eq f(2,15)，P(X100)P(E F)eq f(1,3)eq f(3,5)eq f(1,5)，P(X120)P(E F)eq f(2,3)eq f(2,5)eq f(4,15)，P(X220)P(EF)eq f(2,3)eq f(3,5)eq f(2,5)，故所求的分布列為X0100120220Peq f(2,15)eq f(1,5)eq f(4,15)eq f(2,5)數學期望為E(X)0eq f(2,15

21、)100eq f(1,5)120eq f(4,15)220eq f(2,5)eq f(3004801320,15)eq f(2100,15)140.16、2014天津卷 某大學志愿者協會有6名男同學，4名女同學在這10名同學中，3名同學來自數學學院，其余7名同學來自物理、化學等其他互不相同的七個學院現從這10名同學中隨機選取3名同學，到希望小學進行支教活動(每位同學被選到的可能性相同)(1)求選出的3名同學是來自互不相同學院的概率；(2)設X為選出的3名同學中女同學的人數，求隨機變量X的分布列和數學期望16解：(1)設“選出的3名同學是來自互不相同的學院”為事件A，則P(A)eq f(Ceq

22、oal(1,3)Ceq oal(2,7)Ceq oal(0,3)Ceq oal(3,7),Ceq oal(3,10)eq f(49,60)，所以選出的3名同學是來自互不相同學院的概率為eq f(49,60).(2)隨機變量X的所有可能值為0，1，2，3.P(Xk)eq f(Ceq oal(k,4)Ceq oal(3k,6),Ceq oal(3,10)(k0，1，2，3)，所以隨機變量X的分布列是X0123Peq f(1,6)eq f(1,2)eq f(3,10)eq f(1,30)隨機變量X的數學期望E(X)0eq f(1,6)1eq f(1,2)2eq f(3,10)3eq f(1,30)e

23、q f(6,5).K5 相互對立事件同時發生的概率17、2014安徽卷 甲乙兩人進行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現連勝，則判定獲勝局數多者贏得比賽假設每局甲獲勝的概率為eq f(2,3)，乙獲勝的概率為eq f(1,3)，各局比賽結果相互獨立(1)求甲在4局以內(含4局)贏得比賽的概率；(2)記X為比賽決出勝負時的總局數，求X的分布列和均值(數學期望)17解： 用A表示“甲在4局以內(含4局)贏得比賽”，Ak表示“第k局甲獲勝”，Bk表示“第k局乙獲勝”，則P(Ak)eq f(2,3)，P(Bk)eq f(1,3)，k1，2，3，4，5.(1)P(A)P(A1A2)

24、P(B1A2A3)P(A1B2A3A4) P(A1)P(A2)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)eq sup12(2)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)eq sup12(2)eq f(2,3)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)eq sup12(2)eq f(56,81).(2)X的可能取值為2，3，4，5.P(X2)P(A1A2)P(B1B2)P(A1)P(A2)P(B1)P(B2)eq f(5,9)，P(X3)P(B1A2A3)

25、P(A1B2B3)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(B3)eq f(2,9)，P(X4)P(A1B2A3A4)P(B1A2B3B4)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)eq f(10,81)，P(X5)1P(X2)P(X3)P(X4)eq f(8,81).故X的分布列為X2345Peq f(5,9)eq f(2,9)eq f(10,81)eq f(8,81)EX2eq f(5,9)3eq f(2,9)4eq f(10,81)5eq f(8,81)eq f(224,81).16、2014北京卷 李明在10場籃球比賽中的投籃情況統計如

26、下(假設各場比賽相互獨立)：場次投籃次數命中次數場次投籃次數命中次數主場12212客場1188主場21512客場21312主場3128客場3217主場4238客場41815主場52420客場52512(1)從上述比賽中隨機選擇一場，求李明在該場比賽中投籃命中率超過0.6的概率；(2)從上述比賽中隨機選擇一個主場和一個客場，求李明的投籃命中率一場超過0.6，一場不超過0.6的概率；(3)記x為表中10個命中次數的平均數，從上述比賽中隨機選擇一場，記X為李明在這場比賽中的命中次數，比較EX與x的大小(只需寫出結論)16解：(1)根據投籃統計數據，在10場比賽中，李明投籃命中率超過0.6的有5場，分

27、別是主場2，主場3，主場5，客場2，客場4.所以在隨機選擇的一場比賽中，李明的投籃命中率超過0.6的概率是0.5.(2)設事件A為“在隨機選擇的一場主場比賽中，李明的投籃命中率超過0.6”，事件B為“在隨機選擇的一場客場比賽中，李明的投籃命中率超過0.6”，事件C為“在隨機選擇的一個主場和一個客場中，李明的投籃命中率一場超過0.6，一場不超過0.6”則CABAB，A，B相互獨立根據投籃統計數據，P(A)eq f(3,5)，P(B)eq f(2,5).故P(C)P(AB)P(AB)eq f(3,5)eq f(3,5)eq f(2,5)eq f(2,5)eq f(13,25).所以，在隨機選擇的一

28、個主場和一個客場中，李明的投籃命中率一場超過0.6，一場不超過0.6的概率為eq f(13,25).(3)EXeq o(x,sup6().17、2014廣東卷 隨機觀測生產某種零件的某工廠25名工人的日加工零件數(單位：件)，獲得數據如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36.根據上述數據得到樣本的頻率分布表如下：分組頻數頻率25，3030.12(30，3550.20(35，4080.32(40，45n1f1(45，50n2f2(1)確定樣本頻率分布表中n1，n2，f1和f2的值；(

29、2)根據上述頻率分布表，畫出樣本頻率分布直方圖；(3)根據樣本頻率分布直方圖，求在該廠任取4人，至少有1人的日加工零件數落在區間(30，35的概率20、2014湖北卷 計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水年入流量X(年入流量：一年內上游來水與庫區降水之和，單位：億立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，并假設各年的年入流量相互獨立(1)求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率(2)水電站希望安裝的發電機盡可能運行，但每年發電機最

30、多可運行臺數受年入流量X限制，并有如下關系：年入流量X40X120發電機最多可運行臺數123若某臺發電機運行，則該臺年利潤為5000萬元；若某臺發電機未運行，則該臺年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發電機多少臺？20解：(1)依題意，p1P(40X120)eq f(5,50)0.1.由二項分布得，在未來4年中至多有1年的年入流量超過120的概率為pCeq oal(0,4)(1p3)4Ceq oal(1,4)(1p3)3p30.9440.930.10.947 7.(2)記水電站年總利潤為Y(單位：萬元)安裝1臺發電機的情形由于水庫年入流量總大于40，故一臺發電機運行的概率

31、為1，對應的年利潤Y5000，E(Y)500015000.安裝2臺發電機的情形依題意，當40X80時，一臺發電機運行，此時Y50008004200，因此P(Y4200)P(40X80)p10.2；當X80時，兩臺發電機運行，此時Y5000210 000，因此P(Y10 000)P(X80) p2p30.8.由此得Y的分布列如下：Y420010 000P0.20.8所以，E(Y)42000.210 0000.88840.安裝3臺發電機的情形依題意，當40X80時，一臺發電機運行，此時Y500016003400，因此P(Y3400)P(40X120時，三臺發電機運行，此時Y5000315 000，

32、因此P(Y15 000)P(X120)p30.1.由此得Y的分布列如下：Y3400920015 000P0.20.70.1所以，E(Y)34000.292000.715 0000.18620.綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發電機2臺21、2014江西卷 隨機將1，2，2n(nN*，n2)這2n個連續正整數分成A，B兩組，每組n個數A組最小數為a1，最大數為a2；B組最小數為b1，最大數為b2.記a2a1，b2b1.(1)當n3時，求的分布列和數學期望；(2)令C表示事件“與的取值恰好相等”，求事件C發生的概率P(C)；(3)對(2)中的事件C，eq o(C,sup6()表示C的

33、對立事件，判斷P(C)和P(eq o(C,sup6()的大小關系，并說明理由21解：(1)當n3時，的所有可能取值為2，3，4，5.將6個正整數平均分成A，B兩組，不同的分組方法共有Ceq oal(3,6)20(種)，所以的分布列為：2345Peq f(1,5)eq f(3,10)eq f(3,10)eq f(1,5)E2eq f(1,5)3eq f(3,10)4eq f(3,10)5eq f(1,5)eq f(7,2).(2)和恰好相等的所有可能取值為n1，n，n1，2n2.又和恰好相等且等于n1時，不同的分組方法有2種；和恰好相等且等于n時，不同的分組方法有2種；和恰好相等且等于nk(k1

34、，2，n2)(n3)時，不同的分組方法有2Ceq oal(k,2k)種所以當n2時，P(C)eq f(4,6)eq f(2,3)，當n3時，P(C)eq f(2blc(rc)(avs4alco1(2o(,sup6(n2),sdo4(k1)Ceq oal(k,2k),Ceq oal(n,2n).(3)由(2)得，當n2時，P(C)eq f(1,3)，因此P(C)P(C)而當n3時，P(C)P(C)理由如下：P(C)P(C)等價于4(2eq o(,sup6(n2),sdo4(k1)Ceq oal(k,2k)Ceq oal(n,2n)，用數學歸納法來證明：(i)當n3時，式左邊4(2Ceq oal(

35、1,2)4(22)16，式右邊Ceq oal(3,6)20，所以式成立(ii)假設nm(m3)時式成立，即4eq blc(rc)(avs4alco1(2o(,sup6(m2),sdo4(k1)Ceq oal(k,2k)Ceq oal(m,2m)成立，那么，當nm1時，左邊4eq blc(rc)(avs4alco1(2o(,sup6(m12),sdo4(k1)Ceq oal(k,2k)4eq blc(rc)(avs4alco1(2o(,sup6(m2),sdo4(k1)Ceq oal(k,2k)4Ceq oal(m1,2（m1）)Ceq oal(m,2m)4Ceq oal(m1,2（m1）)eq

36、 f(（2m）！,m！m！)eq f(4（2m2）！,（m1）！（m1）！)eq f(（m1）2（2m）（2m2）！（4m1）,（m1）！（m1）！)eq f(（m1）2（2m）（2m2）！（4m）,（m1）！（m1）！)Ceq oal(m1,2（m1）)eq f(2（m1）m,（2m1）（2m1）)Ceq oal(m1,2（m1）)右邊，即當nm1時，式也成立綜合(i)(ii)得，對于n3的所有正整數，都有P(C)P(C)成立18、2014遼寧卷 一家面包房根據以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖14所示圖14將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設每天的銷售量相互獨

37、立(1)求在未來連續3天里，有連續2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率；(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數，求隨機變量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)18解：(1)設A1表示事件“日銷售量不低于100個”，A2表示事件“日銷售量低于50個”，B表示事件“在未來連續3天里有連續2天日銷售量不低于100個且另1天銷售量低于50個”因此P(A1)(0.0060.0040.002)500.6，P(A2)0.003500.15，P(B)0.60.60.1520.108.(2)X可能取的值為0，1，2，3，相應的概率分別為P(X0)Ceq oal(0,

38、3)(10.6)30.064，P(X1)Ceq oal(1,3)0.6(10.6)20.288，P(X2)Ceq oal(2,3)0.62(10.6)0.432，P(X3)Ceq oal(3,3)0.630.216.X的分布列為X0123P0.0640.2880.4320.216因為XB(3，0.6)，所以期望E(X)30.61.8，方差D(X)30.6(10.6)0.72.20、2014全國卷 設每個工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某種設備的概率分別為0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用設備相互獨立(1)求同一工作日至少3人需使用設備的概率；(2)X表示同一工作日需使用設備的人數，求

39、X的數學期望20解：記A1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用設備，i0，1，2.B表示事件：甲需使用設備C表示事件：丁需使用設備D表示事件：同一工作日至少3人需使用設備(1)因為P(B)0.6，P(C)0.4，P(Ai)Ceq oal(i,2)0.52，i0，1，2，所以P(D)P(A1BCA2BA2BC)P(A1BC)P(A2B)P(A2BC)P(A1)P(B)P(C)P(A2)P(B)P(A2)P(B)P(C)031.(2)X的可能取值為0，1，2，3，4，其分布列為P(X0)P(BA0C)P(B)P(A0)P(C)(10.6)0.52(10.4)0.06，P(X1)P(BA0CB

40、A0CBA1C)P(B)P(A0)P(C)P(B)P(A0)P(C)P(B)P(A1)P(C)0.60.52(10.4)(10.6)0.520.4(10.6)20.52(10.4)0.25，P(X4)P(A2BC)P(A2)P(B)P(C)0.520.60.40.06，P(X3)P(D)P(X4)0.25，P(X2)1P(X0)P(X1)P(X3)P(X4)10.060.250.250.060.38，所以 EX0P(X0)1P(X1)2P(X2)3P(X3)4P(X4)0.2520.3830.2540.062.17，2014四川卷 一款擊鼓小游戲的規則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出

41、現一次音樂，要么不出現音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現一次音樂獲得10分，出現兩次音樂獲得20分，出現三次音樂獲得100分，沒有出現音樂則扣除200分(即獲得200分)設每次擊鼓出現音樂的概率為eq f(1,2)，且各次擊鼓出現音樂相互獨立(1)設每盤游戲獲得的分數為X，求X的分布列(2)玩三盤游戲，至少有一盤出現音樂的概率是多少？(3)玩過這款游戲的許多人都發現，若干盤游戲后，與最初的分數相比，分數沒有增加反而減少了請運用概率統計的相關知識分析分數減少的原因17解：(1)X可能的取值為10，20，100，200.根據題意，有P(X10)Ceq oal(1,3)eq blc(rc)(avs4al

42、co1(f(1,2)eq sup12(1)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)eq sup12(2)eq f(3,8)，P(X20)Ceq oal(2,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(2)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)eq sup12(1)eq f(3,8)，P(X100)Ceq oal(3,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(3)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)eq sup12(0)eq f(1,8)，P(X200)Ceq oal(0,3)

43、eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(0)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)eq sup12(3)eq f(1,8).所以X的分布列為：X1020100200Peq f(3,8)eq f(3,8)eq f(1,8)eq f(1,8)(2)設“第i盤游戲沒有出現音樂”為事件Ai(i1，2，3)，則P(A1)P(A2)P(A3)P(X200)eq f(1,8).所以“三盤游戲中至少有一盤出現音樂”的概率為1P(A1A2A3)1eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,8)eq sup12(3)1eq f(1,512)eq f(511,

44、512).因此，玩三盤游戲至少有一盤出現音樂的概率是eq f(511,512).(3)由(1)知，X的數學期望為EX10eq f(3,8)20eq f(3,8)100eq f(1,8)200eq f(1,8)eq f(5,4).這表明，獲得分數X的均值為負因此，多次游戲之后分數減少的可能性更大K6離散型隨機變量及其分布列17、2014安徽卷 甲乙兩人進行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現連勝，則判定獲勝局數多者贏得比賽假設每局甲獲勝的概率為eq f(2,3)，乙獲勝的概率為eq f(1,3)，各局比賽結果相互獨立(1)求甲在4局以內(含4局)贏得比賽的概率；(2)記X為

45、比賽決出勝負時的總局數，求X的分布列和均值(數學期望)17解： 用A表示“甲在4局以內(含4局)贏得比賽”，Ak表示“第k局甲獲勝”，Bk表示“第k局乙獲勝”，則P(Ak)eq f(2,3)，P(Bk)eq f(1,3)，k1，2，3，4，5.(1)P(A)P(A1A2)P(B1A2A3)P(A1B2A3A4) P(A1)P(A2)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)eq sup12(2)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)eq sup12(2)eq f(2,3)eq f

46、(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)eq sup12(2)eq f(56,81).(2)X的可能取值為2，3，4，5.P(X2)P(A1A2)P(B1B2)P(A1)P(A2)P(B1)P(B2)eq f(5,9)，P(X3)P(B1A2A3)P(A1B2B3)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(B3)eq f(2,9)，P(X4)P(A1B2A3A4)P(B1A2B3B4)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)eq f(10,81)，P(X5)1P(X2)P(X3)P(X4)eq f(8,81).故X的分

47、布列為X2345Peq f(5,9)eq f(2,9)eq f(10,81)eq f(8,81)EX2eq f(5,9)3eq f(2,9)4eq f(10,81)5eq f(8,81)eq f(224,81).16、2014北京卷 李明在10場籃球比賽中的投籃情況統計如下(假設各場比賽相互獨立)：場次投籃次數命中次數場次投籃次數命中次數主場12212客場1188主場21512客場21312主場3128客場3217主場4238客場41815主場52420客場52512(1)從上述比賽中隨機選擇一場，求李明在該場比賽中投籃命中率超過0.6的概率；(2)從上述比賽中隨機選擇一個主場和一個客場，求李

48、明的投籃命中率一場超過0.6，一場不超過0.6的概率；(3)記x為表中10個命中次數的平均數，從上述比賽中隨機選擇一場，記X為李明在這場比賽中的命中次數，比較EX與x的大小(只需寫出結論)16解：(1)根據投籃統計數據，在10場比賽中，李明投籃命中率超過0.6的有5場，分別是主場2，主場3，主場5，客場2，客場4.所以在隨機選擇的一場比賽中，李明的投籃命中率超過0.6的概率是0.5.(2)設事件A為“在隨機選擇的一場主場比賽中，李明的投籃命中率超過0.6”，事件B為“在隨機選擇的一場客場比賽中，李明的投籃命中率超過0.6”，事件C為“在隨機選擇的一個主場和一個客場中，李明的投籃命中率一場超過0

49、.6，一場不超過0.6”則CABAB，A，B相互獨立根據投籃統計數據，P(A)eq f(3,5)，P(B)eq f(2,5).故P(C)P(AB)P(AB)eq f(3,5)eq f(3,5)eq f(2,5)eq f(2,5)eq f(13,25).所以，在隨機選擇的一個主場和一個客場中，李明的投籃命中率一場超過0.6，一場不超過0.6的概率為eq f(13,25).(3)EXeq o(x,sup6().18、2014福建卷 為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進行獎勵，規定：每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵

50、額(1)若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元，其余3個均為10元，求：(i)顧客所獲的獎勵額為60元的概率；(ii)顧客所獲的獎勵額的分布列及數學期望(2)商場對獎勵總額的預算是60 000元，并規定袋中的4個球只能由標有面值10元和50元的兩種球組成，或標有面值20元和40元的兩種球組成為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設計，并說明理由18解：(1)設顧客所獲的獎勵額為X.(i)依題意，得P(X60)eq f(Ceq oal(1,1)Ceq oal(1,3),Ceq oal(2,4)eq f(1,2).即顧

51、客所獲的獎勵額為60元的概率為eq f(1,2)，(ii)依題意，得X的所有可能取值為20，60.P(X60)eq f(1,2)，P(X20)eq f(Ceq oal(2,3),Ceq oal(2,4)eq f(1,2)，即X的分布列為X2060P0.50.5所以顧客所獲的獎勵額的期望為E(X)200.5600.540(元)(2)根據商場的預算，每個顧客的平均獎勵額為60元所以，先尋找期望為60元的可能方案對于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇(10，10，10，50)的方案，因為60元是面值之和的最大值，所以期望不可能為60元；如果選擇(50，50，50，10)的方案，因為60元是面值

52、之和的最小值，所以期望也不可能為60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，記為方案1.對于面值由20元和40元組成的情況，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，記為方案2.以下是對兩個方案的分析：對于方案1，即方案(10，10，50，50)，設顧客所獲的獎勵額為X1，則X1的分布列為X12060100Peq f(1,6)eq f(2,3)eq f(1,6)X1的期望為E(X1)20eq f(1,6)60eq f(2,3)100eq f(1,6)60，X1的方差為D(X1)(2060)2eq f(1,6)(6

53、060)2eq f(2,3)(10060)2eq f(1,6)eq f(1600,3).對于方案2，即方案(20，20，40，40)，設顧客所獲的獎勵額為X2，則X2的分布列為X2406080Peq f(1,6)eq f(2,3)eq f(1,6)X2的期望為E(X2)40eq f(1,6)60eq f(2,3)80eq f(1,6)60，X2的方差為D(X2)(4060)2eq f(1,6)(6060)2eq f(2,3)(8060)2eq f(1,6)eq f(400,3).由于兩種方案的獎勵額的期望都符合要求，但方案2獎勵額的方差比方案1的小，所以應該選擇方案2.20、2014湖北卷 計

54、劃在某水庫建一座至多安裝3臺發電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水年入流量X(年入流量：一年內上游來水與庫區降水之和，單位：億立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，并假設各年的年入流量相互獨立(1)求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率(2)水電站希望安裝的發電機盡可能運行，但每年發電機最多可運行臺數受年入流量X限制，并有如下關系：年入流量X40X120發電機最多可運行臺數123若某臺發電機運行，則該臺年利潤為5000萬元；若某臺發電機未運行，則該臺年虧損

55、800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發電機多少臺？20解：(1)依題意，p1P(40X120)eq f(5,50)0.1.由二項分布得，在未來4年中至多有1年的年入流量超過120的概率為pCeq oal(0,4)(1p3)4Ceq oal(1,4)(1p3)3p30.9440.930.10.947 7.(2)記水電站年總利潤為Y(單位：萬元)安裝1臺發電機的情形由于水庫年入流量總大于40，故一臺發電機運行的概率為1，對應的年利潤Y5000，E(Y)500015000.安裝2臺發電機的情形依題意，當40X80時，一臺發電機運行，此時Y50008004200，因此P(Y4200)P

56、(40X80)p10.2；當X80時，兩臺發電機運行，此時Y5000210 000，因此P(Y10 000)P(X80) p2p30.8.由此得Y的分布列如下：Y420010 000P0.20.8所以，E(Y)42000.210 0000.88840.安裝3臺發電機的情形依題意，當40X80時，一臺發電機運行，此時Y500016003400，因此P(Y3400)P(40X120時，三臺發電機運行，此時Y5000315 000，因此P(Y15 000)P(X120)p30.1.由此得Y的分布列如下：Y3400920015 000P0.20.70.1所以，E(Y)34000.292000.715

57、0000.18620.綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發電機2臺17、2014湖南卷 某企業有甲、乙兩個研發小組，他們研發新產品成功的概率分別為eq f(2,3)和eq f(3,5).現安排甲組研發新產品A，乙組研發新產品B.設甲、乙兩組的研發相互獨立(1)求至少有一種新產品研發成功的概率(2)若新產品A研發成功，預計企業可獲利潤120萬元；若新產品B研發成功，預計企業可獲利潤100萬元求該企業可獲利潤的分布列和數學期望17解：記E甲組研發新產品成功，F乙組研發新產品成功，由題設知P(E)eq f(2,3)，P(E)eq f(1,3)，P(F)eq f(3,5)，P(F)eq f

58、(2,5)，且事件E與F，E與F，E與F，E與F都相互獨立(1)記H至少有一種新產品研發成功，則HE F，于是P(H)P(E)P(F)eq f(1,3)eq f(2,5)eq f(2,15)，故所求的概率為P(H)1P(H)1eq f(2,15)eq f(13,15).(2)設企業可獲利潤為X(萬元)，則X的可能取值為0，100，120，220.因為P(X0)P(E F)eq f(1,3)eq f(2,5)eq f(2,15)，P(X100)P(E F)eq f(1,3)eq f(3,5)eq f(1,5)，P(X120)P(E F)eq f(2,3)eq f(2,5)eq f(4,15)，P

59、(X220)P(EF)eq f(2,3)eq f(3,5)eq f(2,5)，故所求的分布列為X0100120220Peq f(2,15)eq f(1,5)eq f(4,15)eq f(2,5)數學期望為E(X)0eq f(2,15)100eq f(1,5)120eq f(4,15)220eq f(2,5)eq f(3004801320,15)eq f(2100,15)140.122014江西卷 10件產品中有7件正品、3件次品，從中任取4件，則恰好取到1件次品的概率是_12.eq f(1,2)21、2014江西卷 隨機將1，2，2n(nN*，n2)這2n個連續正整數分成A，B兩組，每組n個數

60、A組最小數為a1，最大數為a2；B組最小數為b1，最大數為b2.記a2a1，b2b1.(1)當n3時，求的分布列和數學期望；(2)令C表示事件“與的取值恰好相等”，求事件C發生的概率P(C)；(3)對(2)中的事件C，eq o(C,sup6()表示C的對立事件，判斷P(C)和P(eq o(C,sup6()的大小關系，并說明理由21解：(1)當n3時，的所有可能取值為2，3，4，5.將6個正整數平均分成A，B兩組，不同的分組方法共有Ceq oal(3,6)20(種)，所以的分布列為：2345Peq f(1,5)eq f(3,10)eq f(3,10)eq f(1,5)E2eq f(1,5)3eq