1、第十二章 漸近法及超靜定結構的影響線12-1 力矩分配法的基本概念12-2 多結點的力矩分配12-3 對稱結構的計算12-4 無剪力分配法12-5 力矩分配法與位移法的聯合應用12-6 超靜定力的影響線12-7 連續梁的最不利荷載分布及內力包絡圖12-0 簡介1本章主要內容：1、位移法的漸近解法(1) 力矩分配法；(2) 無剪力分配法；(3) 力矩分配法與位移法聯合應用。2、超靜定力的影響線。3、連續梁的最不利荷載分布及內力包絡圖。本章要求：1、主要掌握力矩分配法求解連續梁和超靜定剛架；2、了解利用撓度圖作超靜定力的影響線；3、了解連續梁的最不利荷載分布及內力包絡圖。2漸近法：不解聯立方程，通

2、過逐步修正的方法，按照一定的步驟循環計算，循環次數越多越接近精確解。單結點力矩分配結果為精確解，多結點力矩分配結果為漸近解。本章介紹兩種屬于位移法類型的漸近解法力矩分配法和無剪力分配法。適用范圍：力矩分配法適用于連續梁和無結點線位移的剛架；無剪力分配法適用于剛架中除兩端無相對線位移的桿件外，其余桿件都是剪力靜定桿件的情況，它是力矩分配法的一種特殊形式。對于一般有結點線位移的剛架，可用力矩分配法和位移法聯合求解。312-1 力矩分配法的基本概念適用范圍：連續梁和無側移剛架。符號規定：桿端彎矩的符號正負規定與位移法相同。一、力矩分配法的基本概念以下例說明力矩分配法概念的建立。(a)ABCDMAiA

3、BiADiAC圖 12-11、圖示剛架，角位移A，在結點A作用集中力偶M。M、A以順時針轉動為正；各桿線剛度為iAB、iAC、iAD。2、建立轉角位移方程4桿端彎矩：(a)MAB=3iABA MAC=4iACAMAD=iADA(b)MBA=0 MCA=2iACAMDA=-iADA根據結點A的力矩平衡條件，得位移法方程：圖 12-1AMMABMACMAD(b)(c)MAB+MAC+MAD=M將(a)式代入(c)式可解得：(d)A=M/(4iAC+3iAB+iAD)3、各桿端彎矩將A代入(a)式和(b)式得：5eMiiiiMADACABABAB+=433MiiiiMADACABAD+=43AD)M

4、iiiiMADACABACAC+=434(fMiiiiMADACABADDA+-=43MiiiiMADACABACCA+=432MBA=0)(圖 12-1(c)ABCDM圖4、引入幾個概念(1) 轉動剛度式(a)可寫成統一式子： MAK=SAKA SAKAK桿A端的轉動剛度(近端轉動剛度)6SAK的物理意義：SAK表示在桿AK的A端順時針方向產生單位轉角時在A端所需施加的力矩。或者說：抵抗單位轉動所需的力矩(表示桿端對轉動的抵抗能力)。SAK值取決于桿件的線剛度iAK和遠端(K端)的支承。由(a)式可知，對AK桿：遠端(K端)鉸支：SAK=3iAK (SAB=3iAB)遠端(K端)固定：SAK

5、=4iAK (SAC=4iAC)遠端(K端)滑動：SAK=iAK (SAD=iAD)(2) 分配系數由(e)式知，可將桿端彎矩寫成統一式子：7MMSSMAKAAKAK=m端的轉動剛度之和。的所有桿件在匯交于結點AASA力矩分配系數，僅與=AAKAKSSm有關。和AAKSS即：作用在A點的彎矩按AK分配到各桿端。分配系數AK的性質：i1，則近于1(如i220i1，誤差在5%以內)。梁端彎矩接近于時，豎柱對橫梁而言，起固定支座的作用。此(2) 當橫梁比豎柱的剛度大很多時，即i1i2，則近于零(如i120i2，誤差在5%以內)。梁端彎矩接近于零。此時，豎柱對橫梁而言，起鉸支座的作用。從這個例子可以看

6、出：結構中相鄰部分(如這里的梁和柱)是互為支承的，支承的作用不僅決定于構造作法，也與相對剛度有關。48在本例中只要橫梁線剛度i1超過豎柱線剛度i2的20倍(如l1=l2，即)橫梁即可按簡支梁計算；反之只要豎柱線剛度i2超過橫梁線剛度i1的20倍，橫梁即可按兩端固定的梁計算，誤差均在5%以內。4912-4 無剪力分配法前述已知：力矩分配法不能應用于有結點線位移(側移)的剛架。 無側移剛架力矩分配法有側移剛架某些特殊剛架無剪力分配法 (類似于力矩分配法)。剛架：一般有側移剛架力矩分配法與位移法的聯合應用。什么是特殊的有側移剛架？這就是無剪力分配法的應用條件。一、無剪力分配法的應用條件50條件：剛架

7、中除兩端無相對線位移的桿件(可以不是剪力靜定桿)外，其余各桿件都是剪力靜定桿。問題：什么是剪力靜定桿呢？下面用單跨多層剛架說明什么是剪力靜定桿。圖12-12(a)2P2P2P原結構DCB=(b)PPPPPP對稱結構對稱荷載+(c)PPPPPP對稱結構反對稱荷載由圖12-12c可知，反對稱荷載下的單跨對稱剛架，可取半剛架進行求解(如圖12-12d)。51圖12-12PPPDCBA(d)此時，三根橫梁是兩端無相對線位移的桿件；豎柱(各層)兩端具有相對線位移，但是剪力是靜定的(可根據平衡條件直接求出)，稱為剪力靜定桿(如圖12-12e)。Q圖P2P3PABCD(e)只有上述情況，才能應用無剪力分配法

8、，否則不能應用。圖12-13所示有側移剛架，兩豎柱既不是兩端無相對線位移的桿件，也不是剪力靜定桿，則不能用無剪力分配法求解。ABCD圖12-1352分析圖12-14的幾種剛架能否應用無剪力分配法計算。(b)(d)(e)(f)(a)(c)圖12-14圖(a)中橫梁兩端雖無相對線位移，但是豎柱的剪力不能靜定求出，故不能用無剪力分配法計算；圖(b)中橫梁兩端有相對線位移，故也不能用無剪力分配法計算；而圖(c)、(d)、(e)、(f)中除兩端雖無相對線位移的桿件外，其他各桿都是剪力靜定桿，故可以用無剪力分配法計算。53二、剪力靜定桿的固端彎矩無剪力分配法的計算步驟與力矩分配法的計算步驟相同，關鍵是計算

9、固端彎矩mij，求得不平衡力矩Mi。即：第一步，鎖住結點，求各桿端的固端彎矩；第二步，放松結點，求各桿的分配彎矩和傳遞彎矩。圖12-15PPPDCBAMDMCMB求：m和約束力矩MB、 MC、 MD。(1) 此時橫梁上沒有固端彎矩；(2) 各層豎柱有固端彎矩為mij。變形特點：兩端無轉動，但有相對側移；受力特點：各桿的剪力靜定。 QDC=P QCB=2P QBA=3P54根據豎柱變形特點，每層豎柱均可視為底端固定、上端滑動的桿件，而將結點荷載作為外荷載，查表11-1可求得固端彎矩mij。圖12-16 EI=常數，線剛度i=EI/lPDClPDC2PCBl2PCB3PBAl3PBA查表并計算得：

10、由以上分析知，求固端彎矩的步驟是：55(1) 根據靜力條件求出桿端剪力；(2) 將桿端剪力視為桿端荷載；(3) 按一端固定一端滑動的桿件計算固端彎矩。三、零剪力桿件的轉動剛度和傳遞系數問題：什么是零剪力桿件？在第二步中，放松結點相當于在結點上加反向力偶荷載。圖12-17DCBA-MD D考慮CD桿：D端作用有與MD相反的力偶荷載，此時D點既有轉角，同時又有側移，但是桿上所有截面的剪力Q=0，因而彎矩為常數。即：在結點力偶作用下，剪力靜定桿都是零剪力桿。56由前述分析可知圖12-17所示的CD桿與12-18a所示的懸臂桿相同。若使D端產生轉角D，所需施加的力矩為：圖12-18DCQ0DMDCMC

11、D(a) MDC=iDC D ，而：MCD=-MDC所以零剪力桿件的轉動剛度：SDC=iDC 傳遞系數：CDC=-1若考慮C點的剪力Q=0，可將C點視為滑動支座，此時兩者的內力、桿軸的彎曲形狀和端點轉角相同，只是水平位移差一個常數C(是待定值，需考慮額外的條件才能確定)。DMDCMCD(c)MDCCDCDMCD(b)57當放松C結點和B結點時，同樣分析有： SBA=iBA， CBA=-1； SBC=iBC， CBC=-1；SCB=iCB， CCB=-1； SCD=iCD， CCD=-1。以上分析，當放松結點時(結點轉動和側移發生)，這些桿件都可以視為一端鉸支一端滑動的桿件，且在鉸支端作用有集中

12、力偶矩(被分配的不平衡力矩)，且是在剪力為零的條件下進行分配與傳遞的，稱為無剪力分配。還應指出：無剪力分配法更適用于單跨多層和單跨單層剛架的計算，而對于多跨剛架，則應用本章第五節的方法將其推廣，想辦法將多跨剛架劃分成幾個單跨對稱剛架來處理。 四、例題例12-9 求作圖12-19a所示剛架的彎矩圖。58圖12-19(a)i2=3BCAi1=42m2m4m1kN/m5kN解：剛架中桿BC為兩端無相對線位移桿件，桿AB為剪力靜定桿，可采用無剪力分配法計算。(1) 計算固端彎矩(查表11-1)特別注意：計算固端彎矩查表11-1時，AB桿是A端固定、B端滑動的桿件；BC桿是一端固定一端簡支的桿件。(2)

13、 轉動剛度和分配系數 59(3) 分配與計算過程，如圖12-19b所示。(b)BCA1/54/5BABC圖12-19注意：桿BA的傳遞系數為-1。(4) 繪制彎矩圖，如圖12-19c所示。(c)BCA6.611.391.395.7052M圖 (kNm)例12-10 求作圖12-20a所示剛架在水平力作用下的彎矩圖。60(a)3.6m3.3m8kN17kNABC3.527i=3.55527圖12-20解：剛架為對稱結構，所以其M圖與圖12-20b所示反對稱荷載作用下的情況相同，可取圖12-20c所示半邊剛架計算。但要注意橫梁的線剛度增大一倍。(c)4kN8.5kNABC3.554554DE(b)

14、4kN8.5kNABC4kN8.5kN(1) 固端彎矩立柱AB和BC為剪力靜定桿，由平衡方程求得剪力為61將桿端剪力看作桿端荷載，按圖12-20d所示桿件可求得固端彎矩如下：(d)12.5kNBC4kNAB圖12-20(2) 分配系數以結點B為例：故結點B的分配系數為同理可求出結點A的分配系數。62(3) 力矩分配和傳遞計算過程如圖12-20e所示。結點分配次序為B、A、B。圖12-20(e)ACDEB0.02110.97890.02930.95010.0206注意：立柱的傳遞系數為-1。(4) 作M圖(如圖12-20f所示)ABCDEF7.0521.646.1527.7923.367.056

15、.1523.3627.7921.64(f)M圖 (kNm)63例12-11 書中習題12-14。 (a)ABCDEI=5EI=2EI=210m6m6kN/m圖12-21=+ABCD3kN/m3kN/m對稱荷載ABCD3kN/m3kN/m反對稱荷載AB3kN/m無剪力分配法力法AB3kN/m力矩分配法位移法64(b)20kN/mBCEI=常數AD3m3m8m圖12-2110kN/mBC對稱荷載AD10kN/mBC反對稱荷載AD=+10kN/mB力矩分配法位移法A10kN/mB無剪力分配法力法A65本題特點：原題中的兩個小題用力法或位移法求解均有3個基本未知量，且用力矩分配法無法求解。但將荷載分解

16、成對稱荷載和反對稱荷載后，可取半剛架計算：其中由對稱荷所選取的半剛架可用力矩分配法計算(還可用位移法計算，基本未知量只有一個)，由反對稱荷載所選取的半剛架可用無剪力分配法計算(還可用力法計算，基本未知量也只有一個) 。疊加這兩種情況的計算結果，可得原結構的彎矩圖。6612-5 力矩分配法與位移法的聯合應用我們知道：力矩分配法適用于無結點線位移的連續梁和剛架；無剪力分配法適用于具有側移的單跨多層剛架的特殊情況(剛架除兩端結點無相對線位移的桿件外，其余桿件必須都是剪力靜定桿) 。對于一般有結點線位移的剛架均不能單獨應用上述兩種方法，這時可考慮力矩分配法和位移法的聯合應用。即力矩分配法和位移法的聯合

17、應用適用于具有側移的一般剛架。該方法的特點是：(1) 用力矩分配法考慮結點角位移的影響；(2) 用位移法考慮結點線位移的影響。67下面以圖12-22a所示剛架為例說明計算的原理。(a)qABC圖12-22首先用位移法求解，但注意只將結點線位移作為基本未知量，而結點角位移不算作基本未知量。基本體系的兩個分解狀態如圖12-22b、c所示。(b)qABCF1P(c)ABCk111=+第一個狀態控制結點線位移1=0，即為基本體系在荷載單獨作下的情況，可用力矩分配法求解，并作出相應的MP圖，求出附加反力F1P。68第二個狀態控制結點發生線位移1(結構實際的線位移)，所需施加的力為k11 1。為計算方便，

18、給定1=1可獲得M1圖，同時可求得此時的附加支反力k11。兩種狀態疊加，相應的位移法方程為：按式(a)可求得： 1=- F1P/k11 按式(b)可求得M1圖。可以看出：關鍵的問題是求出k11和F1P。例12-12 求圖12-23所示剛架的內力。解：(1) 在D點加水平鏈桿，然后求作荷載作用下的彎矩圖MP。69Aq=20kN/mB4I05I0CD4I03I0FE3I06m4m5m4m4m圖12-23在D點加水平鏈桿可獲得基本體系，此時由于沒有結點線位移，可用力矩分配法計算，得出的彎矩圖如圖12-24所示(此時與例12-3完全相同，此時的MP圖即是例12-3的最后M圖)。利用MP圖可以很簡單的求

19、出附加鏈桿的支反力F1P。ABCDFE3.454062.543.446.918.21.726.99.814.624.44.9F1P=1.16kNQFCQEB圖12-24MP圖(kNm)70由桿端彎矩求出柱底剪力：3.45kNm1.7kNmEQEBQBEB4.9kNmFQFC9.8kNmQCFC由剛架整體平衡X=0，求得：(2) 計算支座D向右產生單位位移時剛架的彎矩圖此時，結點線位移已知為1=1，可用力矩分配法計算，固端彎矩由1=1產生(見下頁圖)。 71ABCDFE1=1k11BE1=1mEBmBE同理：分配系數ij(由例12-3知)：BA=0.3， BE=0.3， BC=0.4，CB=0.

20、445， CF=0.222，CD=0.333 令EI0 =1， 則 mBE=-1.125， mCF=-0.50分配與傳遞過程略。作彎矩圖(見圖12-25)。72圖12-250.3180.3400.4360.0960.4880.8060.9650.467ABCDFEk11=0.594求k11：由桿端彎矩求出的柱底剪力為：再由整體平衡求出k11：(3) 求結點水平位移1由位移法方程求得注意：1=-1.95是假值，并非真值，因EI0=1。73(4) 作彎矩圖利用彎矩計算公式求解即將圖中的各個控制截面的標距乘以與MP圖中的各個控制截面的標距疊加，就可得出最后的彎矩圖，如圖12-26所示。， 再圖12-

21、26ABCDEE47.842.85.018.526.714.88.93.64.04062.5MP圖 (kNm)74對于具有多個結點線位移的剛架，求解的步驟與單個結點線位移完全一樣。力矩分配法與位移法的聯合應用的計算步驟如下：1、選取基本體系，只限制結點線位移(i ，i=1、2n)；2、力矩分配法解基本體系受外荷載作用時的MP圖，由MiPFiP；3、力矩分配法計算i=1時的Mi圖，并求kii，kij；(i=1、2n)4、位移法方程為：由此解出i ， (i=1、2n)5、疊加法作M圖7512-7 超靜定力影響線在第七章我們曾經介紹過靜定結構影響線的作法，方法有兩種：即靜力法、機動法。實際上影響線是

22、一種計算結構內力的工具。超靜定力影響線的作法也有兩種：1、用解超靜定結構的方法(力法、位移法、力矩分配法等)直接求出影響系數的方法(和靜定結構求影響線的靜力法相對應)；2、利用超靜定力影響線與撓度圖間的比擬關系(和靜定結構求影響線的機動法相對應)。本節主要介紹第二種方法。76特點：能方便的繪出影響線的形狀，有利于判斷不利荷載的分布。一、方法原理以連續梁(兩跨超靜定梁)為例。作圖12-27a所示連續梁支座B的支座反力Z1的影響線。(a)xBACZ1P=1圖12-27解：(1) 設P=1作用在距A點為x的任一點。(2) 去掉支座B，代之以支反力Z1(注意：此時的結構仍為超靜定)，作為基本體系，如圖

23、12-27b所示。(b)xBACZ1P=177力法方程為：由此解得這里1P、11都是單位力產生的位移，如圖12-27c、d。(c)xBACZ1P=11P(d)xBACZ1=111P1圖12-27利用位移互等定理 1P=P1 ，式(12-13)可寫為其中：P1是單位力Z1=1所引起的沿荷載P作用點的豎向位移，如圖12-27d所示。78(3) 考慮荷載移動支座反力Z1和位移P1都隨荷載P的移動而變化，都是荷載位置參數x的函數，即： Z1(x) ，P1(x) 。11則是常數，與荷載位置參數x無關。因此上式可寫成如下形式：這就是Z1的影響線函數，由此可得出影響線。(4) 分析由圖12-27d可知：P1

24、(x)的變化圖形就是荷載(P=1)作用點的撓度圖。由此可以看出影響線與撓度圖之間的關系：影響線等于撓度圖乘以因子：79二、作影響線的步驟1、撤去與所求約束力Z1相應的約束，代之以約束力Z1；2、使體系沿Z1的正方向發生位移，作出荷載作用點的撓度圖(P1(x)曲線)，即為影響線的形狀；3、將P1(x)除以常數11，(或在P1圖中令11=1)，便得出影響線的數值。4、橫坐標以上圖形為正，以下圖形為負。三、P1、11的計算在求得單位荷載作用下(Z1=1)的M圖后，對每一跨來說都是端點受集中力偶作用的靜定梁，則兩端轉角A和B為：80AxlyMABMBAB圖12-28任一點處的撓度為：下面給出(a)、(

25、b)兩式的推導。(a)式中A的推導：ABMAMBMP圖MAMBAB1P=1圖81同理可計算出：y(x)的推導：圖ABP=1xMP圖ABMAMBMAMB計算可得出：82四、舉例例12-13 求圖12-29a所示連續梁支座彎矩MB的影響線。(a)6m6m6mABCDP=1P=1P=1x1x2x3圖12-29解：(1) 作撓度圖P1撤除與B截面彎矩相應的約束(在B截面加鉸)，并施加一對方向相反的力偶MB=1，使體系沿MB的正向發生位移，產生撓度圖P1(圖12-29b)。則有：11= 11+ 11。(b)AMB=1CD 11 11(2) 求P1和11用力矩分配法作MB=1引起的彎矩圖(圖12-29c、

26、d)。(c)ACD0.50.51-1-0.50.583注意下面兩種情況的固端彎矩。A-1BmAB=-0.5B1CmAB=0.5由MB=1引起的彎矩圖如圖12-29d所示。(d)AMB=1CD0.2510.5圖12-29利用公式(a)計算11、也可以直接利用圖乘法簡單求出。這里：84計算P1 ：利用(b)式求y(x)即可得出P1 。第一跨撓度方程為第二跨撓度方程為第三跨撓度方程為85將相應的x值代入后，求得EIy(x)圖如圖12-30a所示，此即為EIP1圖。(a)ABCD0.352m0.5630.4920.9141.691.6171.2661.1250.422mX2=1.5(撓度圖)EIP1(x) 圖12-30 (3) 驗算第二跨x2=1.5時的撓度86將P1除以11即得影響線如圖12-30b所示。(b)ABCD0.108m0.1750.1510.2810.5200.4970.3890.3460.123mMB的影響線 X=1.5圖12-30(4) 驗證第二跨x2=1.5處的影響線的豎距等跨度等截面連續梁各截面彎矩的影響線和支座截面剪力的影響線均有制成的表格，設計時可以直接查用。8712-8 連續梁的最不利荷載分布及內力包絡圖一、概述連續梁通常承受兩種荷載