1、習題33-1 .求下列齊次線性方程組的通解:x y 2z 0（1） 3x 5y z 03x 7y 8z 0解對系數矩陣施行行初等變換，得 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark168 o Current Document 1120270414 HYPERLINK l bookmark43 o Current Document 11 2027B（階梯形矩陣）000 HYPERLINK l bookmark160 o Current Document 1120272000 HYPERLINK l bookmark91 o Current Document 101120

2、172C（行最簡形矩陣）,000與原方程組同解的齊次線性方程組為11x z 027）y z 0211-z2 （其中z是自由未知量）7-z2令z 1 ,得到方程組的一個基礎解系11萬21)T，所以，方程組的通解為k（117,1)T, k為任意常數.2x1 x2 2x3 2x4 7x50（2） 2x1 3x2 4x3 5x4 03x1 5x2 6x3 8x4 0解對系數矩陣施行行初等變換，得 HYPERLINK l bookmark0 o Current Document 11227A2 3 4503 5 68071421112 20 10 10 2 0 2 TOC o 1-5 h z 11227

3、0 10114B（階梯形矩陣） HYPERLINK l bookmark55 o Current Document 0 0 007 HYPERLINK l bookmark2 o Current Document 10 21210 10114 HYPERLINK l bookmark57 o Current Document 0 0 00710 2100 1010C（行最簡形矩陣）,0 0 00 1與原方程組同解的齊次線性方程組為 HYPERLINK l bookmark59 o Current Document x12x3x40 x2x40Xi2x3X4X2X5X40（其中X3, X4是自由

4、未知量）令(X3,X4)T(1,0)T（0,1）T,得到方程組的一個基礎解系(2,0,1,0,0)T2( 1, 1,0,1,0)T,所以，方程組的通解為k1 1k2 2ki(2,0,1,0,0)Tk2( 1, 1,0,1,0)T, %*2為任意常數.(3)XiX2X14x12x1X23x42X3X50 x402x2 6x3 3x44x2 2x3 4x44X57x5解對系數矩陣施行行初等變換,00101100010010006 6 37 5 10與原方程組同解的齊次線性方程組為B（階梯形矩陣）C（行最簡形矩陣）, HYPERLINK l bookmark29 o Current Document

5、 “ X3 6 X505 HYPERLINK l bookmark32 o Current Document X2 X3 -X50,61 八 HYPERLINK l bookmark36 o Current Document X4 -X50即7XiX3 X565一，,一一X2 X3 -X5(其中X3, X5是自由未知量)，61X4 3X5令(X3, X5)T(1,0)T , (0,1)T ,得到方程組的一個基礎解系1( 1,1,1,0,0)T,2(7,-,0,1,1)T , TOC o 1-5 h z 63所以，方程組的通解為51. HYPERLINK l bookmark47 o Curre

6、nt Document ki 1 k2 2 K( 1,1,1,0,0)T k2(-,-,0,-,1)T, K,k2為任意常數. 6 633-2 .當 取何值時，方程組4x 3y z x 3x 4y 7z y HYPERLINK l bookmark156 o Current Document x 7y 6zz有非零解？解原方程組等價于(4 )x 3y z 0 3x (4 )y 7z 0, x 7y (6 )z 0上述齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是它的系數行列式 TOC o 1-5 h z 4313470,176即(2 675) 0,從而當 0和 3 2 J21時方程組有非零解.3-3

7、.求解下列非齊次線性方程組:Xi(1)XiXi2x2 X32X2 X32x2 X3X4 1X41 .5x45解對增廣矩陣A施行行初等變換2 1112 1112 155 TOC o 1-5 h z 12 11100011B ,00000因為r(A) r(A),所以方程組有解，繼續施行行初等變換12 10 000011 C, 000 0 0與原方程組同解的齊次線性方程組為 HYPERLINK l bookmark73 o Current Document X1 2X2 X30X41XiX42x2 x3(其中X2,X3為自由未知量)1令(X2, X3)T(0,0)T ,得到非齊次方程組的一個解o (

8、0,0,0,1)T ,對應的齊次方程組(即導出方程組)為X12x2 X3c(其中X2,X3為自由未知量)，X40令(X2, X3)T (1,0)T , (0,1)T ,得到對應齊次方程組的一個基礎解系1(2,1,0,0)T ,2( 1,0,1,0)T,方程組的通解為0ki 1 k2 2(0,0,0,1)Tki(2,1,0,0)T k2( 1,0,1,0)T ,其中k1，k2為任意常數.(2)2X13x1X1X23x3X4 12x2 2x3 3x43x2 5x3 4x427x1 5x2 9x3 10 x48解對增廣矩陣A施行行初等變換 HYPERLINK l bookmark11 o Curre

9、nt Document 2132A11 HYPERLINK l bookmark38 o Current Document 753112335429 10 811542 HYPERLINK l bookmark53 o Current Document 0113930000000000因為r(A) r(A),所以方程組有解，繼續施行行初等變換 TOC o 1-5 h z 10 850 1 139B 0 0000 000與原方程組同解的齊次線性方程組為 HYPERLINK l bookmark61 o Current Document x1 8x3 5x41 HYPERLINK l bookma

10、rk63 o Current Document x2 13x3 9x43,即x11 8x3 5x4(其中x3, x4為自由未知量)，x23 13x3 9x4令(x3,x4)T (0,0) T ,得到非齊次方程組的一個解0( 1, 3,0,0)T,對應的齊次方程組(即導出方程組)為x18x3 5x4(其中*34為自由未知量)，x213x3 9x4令(x3,x4)T (1,0)T , (0,1)T ,得到對應齊次方程組的一個基礎解系1( 8, 13,1,0)T,2(5, 9,0,1)T,方程組的通解為0 k1 1 k2 2 ( 1, 3,0,0) T k1( 8, 13,1,0)T k2(5, 9

11、,0,1)T, 其中k1，k2為任意常數.(3)XiX23X32x1 x2 2x3Xi2x，2 3X3X1 X2 X3 100解對增廣矩陣A施行行初等變換1131-2 121A1231 HYPERLINK l bookmark162 o Current Document 1 111001131 HYPERLINK l bookmark93 o Current Document 0143 HYPERLINK l bookmark103 o Current Document 0102 HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 00 410111310 143

12、0 0450 0410111310 1430 0450 0096因為r(A) 4 r(A) 3 ,所以方程組無解3-4 .討論下述線性方程組中,取何值時有解、無解、有惟一解？并在有解時求出其解.(3)X1 X2 2X3X1(1)X2 X33(1)X1X2 (3)X3 3解方程組的系數行列式為3A3(1)212(1).3(1)當A 0時，即0且 1時，方程組有惟一解.(2)當A=0時，即 =0或=1時,(i)當 =0時，原方程組為 TOC o 1-5 h z 3x1 x2 2x3 0 X2 X30,3為 3x3 3顯然無解.(ii)當 =1時，原方程組為4x1 x2 2x3 1 xi x31,

13、HYPERLINK l bookmark105 o Current Document 6x1 x2 4x33對該方程組的增廣矩陣 A施行行初等變換4 12 11011A10 110123,6 1 4 30000因為r(A) r(A) 2 3 ,所以方程組有無窮多組解，與原方程組同解的方程組為 HYPERLINK l bookmark77 o Current Document x X31 HYPERLINK l bookmark79 o Current Document x2 2x33即x1 1 x3(其中x3為自由未知量)，x23 2x3令x3 0 ,得到非齊次方程組的一個解0 (1, 3,0

14、)T,對應的齊次方程組(即導出方程組)為Xx3(其中X3為自由未知量)x2 2x3令X3 1 ,得到對應齊次方程組的一個基礎解系(1,2,1)T,方程組的通解為(1, 3,0)T k( 1,2,1)T,其中k為任意常數. TOC o 1-5 h z 22 HYPERLINK l bookmark187 o Current Document 34為通解的齊次線性方程組.2 ( 2,4,0,1)T是齊次線性方程組3-5 .寫出一個以 X C1c21001解 由已知，1(2, 3,1,0)T和AX O的基礎解系，即齊次線性方程組 AXO的基礎解系所含解向量的個數為2,而未知數的個數為4 ,所以齊次線

15、性方程組AX O的系數矩陣 A的秩為4 2 2,故可設系數矩陣 TOC o 1-5 h z a11 a12 a13 a14 A,a21 a22 a23 a24由AX O可知141,優2e13,44和2a21,a22,a23,a24滿足方程組24 HYPERLINK l bookmark99 o Current Document X1, X2,X3,X4O,10012X1 3x2x3 0即方程組的線性無關的兩個解即為1, 2，2x1 4x2 x4 0方程組的系數矩陣23 1 02 0 4 32 4 0 10 1 1 1,該方程組等價于2x14x3 3x4(其中X3, X4為自由未知量)，X2X3

16、 X4令(X3,X4)T(1,0)T , (0,1)T ,得到該齊次方程組的一個基礎解系1 ( 2, 1,1,0)T,2 ( 2, 1,0,1)T，21 1 0故要求的齊次線性方程組為AX O，其中A 31 0 1 2即2X1 x2 x3 0 3 2X1 X2 X43-6 .設線性方程組a11X1 a12X2am1 X1 am2X2的解都是be b2X21(a11 , a12 ), a1n ) , 2a1nxn0amnxn 0bnXn 0的解，試證(a21 , a22), a2n ) , ,性組合.證 把該線性方程組記為（*），由已知bX1b2X2bn xn(b1，b2,，bn）T是向量組m

17、(am1，am2,，amn）的線方程組（* ）的解都是0的解，所以方程組（*）與方程組an%42X2L ainXnL L Lam1Xiam2X2 Lamnxn0bKb2X2 LbnXn0同解，從而有相同的基礎解系，于是二者有相同的秩，則它們系數矩陣的行向量組1, 2,L , m和1, 2,L , m,的秩相同，故 可由1 , 2,L , m線性表示.3-7 .試證明：r(AB) r(B)的充分必要條件是齊次線性方程組ABX 。的解都是BX O的解.證 必要性.因為r(AB) r(B),只須證 ABX 。與BX O的基礎解系相同.ABX 。與BX 。的基礎解系都含有 n r(B)個線性無關的解向

18、量.又因為BX 。的解都是ABX 。得解.所以BX 。的基礎解系也是 ABX 。的基礎解系.即 ABX 。與BX O有完全相同的解.所以 ABX 。的解都是BX O的解.充分性.因ABX 。的解都是BX O的解，而BX 。的解都是ABX O的解，故 ABX O與BX 。有完全相同的解，則基礎解系也完全相同，故n r(AB) n r(B),所以 r(AB) r(B).3-8 .證明r(A) 1的充分必要條件是存在非零列向量a及非零行向量bT,使A abT .a1a2T證 充分性.若存在列向量a及行向量bTb1b2 L bn ,其中M2namai, bj 不全為零 i 1,L ,m , j 1,L

19、 ,n ,則有aiTa2A abb| b2 L bnMama1bla1b2La1bna2bla2b2La2blLLLLambiamb2Lambn顯然矩陣A的各行元素對應成比例，所以 r(A) 1.必要性.若r(A) 1 ,則A經過一系列的初等變換可化為標準形 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark228 o Current Document 10L000L0D HYPERLINK l bookmark144 o Current Document LLLL00L0而矩陣D可以表示為0M皿，010L000L0DL L L L00 L 0則存在可逆矩陣 P, Q使得P

20、1AQ D ,從而1 HYPERLINK l bookmark116 o Current Document 1011A PDQ 1 P 1,0,L ,0 Q : 其中 P,Q 1 均可逆, M0記10 Ta P ,bT1,0,L ,0 Q 1 ,M0又因為P可逆，則P至少有一行元素不全為零，故列向量 a的分量不全為零，同理，因為Q 1可逆，所以行向量 bT的分量不全為零.因此，存在非零列向量非零行向量bT ,使A abT .補充題B3-1.設A是m n矩陣，AX O是非其次線性方程組 AX b所對應齊次線性方程組，則下列結論正確的是( D ).(A) 若AX 。僅有零解，則 AX B有惟一解；

21、(B)若AX 。有非零解，則AX B有無窮多個解；(C) 若AX B有無窮多個解，則 AX 。僅有零解；(D)若AX B有無窮多個解，則 AX 。有非零解.B3-2.設A為n階實矩陣，AT是A的轉置矩陣，則對于線性方程組AX O;AT AX O,必有(D ).(n)的解是(i)的解， (i)的解也是(n)的解；(n)的解是(i)的解，但(i)的解不是(n)的解；(i)的解不是(n)的解， (n)的解也不是(i)的解；(i)的解是(n)的解，但(n)的解不是(i)的解.B3-3 .設線性方程組 AX B有n個未知量，m個方程組，且r(A)此方程組(A ).r m時，有解；(C) m n時，有惟一

22、解;r n時，有惟一解；(D) r n時，有無窮多解.B3-4 .討論 取何值時，下述方程組有解，并求解:x y z 1x y z2x y z解 (法一)方程組的系數行列式11A 11(11 HYPERLINK l bookmark75 o Current Document (1)當A 0時，即1且1x 1y 一(2)當A=0時，即 =1或=2時1)2(2),2時，方程組有惟一解(1)2(i)當=1時原方程組為x y z 1,因為r(A) r(A) 1 ,所以方程組有無窮多組解，其通解為0 k1 1 k2 2(1,0,0) T k1( 1,1,0)Tk2( 1,0,1)T,其中k1，k2為任意

23、常數.(ii)當 =-2時，原方程組為2x y z 1x 2y z 2,x y 2z 4對該方程組的增廣矩陣A施行行初等變換12 411 200 15 HYPERLINK l bookmark164 o Current Document 1111 HYPERLINK l bookmark114 o Current Document 1112222322 I(1)(1)2因為r(A) 2 r(A) 3,所以方程組無解.解(法二)對該方程組的增廣矩陣 A施行行初等變換 TOC o 1-5 h z 11A 111101 1 HYPERLINK l bookmark232 o Current Docu

24、ment 0 112 11011_20021101100(1)(2)當2時，r(A) r(A) 3,方程組有惟一解11(1)2,y , z 222(2)當=1時,r(A) r(A) 1,方程組有無窮多組解，其通解為0k1 1k2 2(1,0,0) Tk1( 1,1,0)Tk2( 1,0,1)T, 其中ki, k2為任意常數.(3)當=-2時，由B知，r(A) 2 r(A) 3,所以方程組無解.B3-5.若1, 2, 3是某齊次線性方程組的一個基礎解系，證明：12, 23, 31也是該方程組的一個基礎解系.證 設有三個數 匕*2*3使得k1( 12 ) k2 ( 23) k3( 31) 0 ,則

25、有(k1 k3) 1 (k1 k2) 2 (k2 k3 ) 3 0 ,因為1, 2, 3是某齊次線性方程組的一個基礎解系，所以1, 2, 3線性無關，故k1 k30k1 k20,k2 k3 0該方程組的系數行列式1 0 111020,0 1 1所以該方程組只有零解.即 k1k2 k3 0.即12, 23,31線性無關.又由齊次線性方程組的性質知12, 23, 31都是方程組的解.所以12, 23, 31構成方程組的一個基礎解系.B3-6.設四元非齊次線性方程組的系數矩陣的秩為3,已知1, 2, 3是它的三個解向量，且求該方程組的通解.解 因為n 4,r 3 ,故原方程組的導出組的基礎解系含有n

26、 r 1個解向量，所以只須找出其導出組的一個非零解向量即可.由解的性質知，1 2, 1 3均為導出組的解，所以( 12) ( 13)2 1( 23)為導出組的解.故原方程組的通解為231 k452 1 (23)為導出組的解，即34,5634k , k為任意常數.56* 、一 B3-7.設是非齊次線性方程組AX B的一個解,n r是它對應的齊次線性方程組的一個基礎解系，證明：.,*., 1, 2, n r線性無關；* * * * .,1,2, , n r線性無關.*證(1) 反證法.設n r線性相關，由1, 2n r是對應的齊次線性方程組的一個基礎解系知1, 2, n r線性無關，故 可由. . * . . . . .1, 2, , n r線性表示，即是對應的齊次線性方程組的解，與題設矛盾.故* ,1, 2, n r線性無關.證（2） 反證法.設1,n r線性相關，則存在不全為零的數 ko,ki,k2,L ,kn r，使得ko*k1(1)k2(2)knr(0,(k0kik2kn r)ki 1k2kn r0,知,n r線性無關,