1、-. z.中考佳題 等腰三角形與分類討論例1.2005年王叔叔家有一塊等腰三角形的菜地， 腰長為40米，一條筆直的水渠從菜地穿過，這條水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿過菜地局部的長為15米(水渠的寬不計)， 請你計算這塊等腰三角形菜地的面積解：根據題意，有兩種情況，(1)當等腰三角形為銳角三角形時(如圖1)，AD=BD=20， DE=15，AE=eq r(,202+152)=25過C點作CFAB于F DECF eq f(DE,CF)=eq f(AE,AC) CF=eq f(1540,25)=24(2)當等腰三角形為鈍角三角形時(如圖2)， 過A點作AFBC于FAD=BD=20，DE=1

2、5，BE=25 BDEBFAeq f(BD,BF)=eq f(BE,AB)=eq f(DE,AF). BF=eq f(2040,25)=32 BC=232=64. AF=24 SABC=eq f(1,2)6424=768m2例2.2005年等腰三角形ABC中BC=8,AB、AC的長是關于*的方程*2-10*+m=0的兩根，求m的值。解：(1)假設BC為底邊，則方程有兩個相等的實數根，所以=0，即100-4m=0,m=25; (2)假設BC為一腰時，則方程必有一根為8，代人方程，得 64-80+m=0,此時m=16。例3. 2005年如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，C90，BC16，DC1

3、2，AD21。動點P從點D出發，沿射線DA的方向以每秒2兩個單位長的速度運動，動點Q從點C出發，在線段CB上以每秒1個單位長的速度向點B運動，點P，Q分別從點D，C同時出發，當點Q運動到點B時，點P隨之停頓運動。設運動的時間為t秒。1設BPQ的面積為S，求S與t之間的函數關系式；2當t為何值時，以B，P，Q三點為頂點的三角形是等腰三角形？3當線段PQ與線段AB相交于點O，且2AOOB時，求BQP的正切值；4是否存在時刻t，使得PQBD？假設存在，求出t的值；假設不存在，請說明理由。解1如圖1，過點P作PMBC，垂足為M，則四邊形PDCM為矩形。PMDC12ABMCDPQ圖1QB16t，S12(

4、16t)96t2由圖可知：CMPD2t，CQt。熱以B、P、Q三點為頂點的三角形是等腰三角形，可以分三種情況：假設PQBQ。在RtPMQ中，由PQ2BQ2得 ，解得t；假設BPBQ。在RtPMB中，。由BP2BQ2 得： 即。由于7040無解，PBBQ假設PBPQ。由PB2PQ2，得整理，得。解得不合題意，舍去綜合上面的討論可知：當t秒時，以B、P、Q三點為頂點的三角形是等腰三角形。PAEEDCQBO圖23如圖2，由OAPOBQ，得AP2t21，BQ16t，2(2t21)16t。t。過點Q作QEAD，垂足為E，PD2t，EDQCt，PEt。在RTPEQ中，tanQPEPAEEDCQBO圖34設

5、存在時刻t，使得PQBD。如圖3，過點Q作QEADS，垂足為E。由RtBDCRtQPE，得，即。解得t9所以，當t9秒時，PQBD。例4.2005年如圖，RtABC中，ACB=90，CAB=30，用圓規和直尺作圖，用兩種方法把它分成兩個三角形，且要求其中一個三角形的等腰三角形。保存作圖痕跡，不要求寫作法和證明解：作法一：作AB邊上的中線；作法二：作CBA的平分線；作法三：在CA上取一點D，使CD=CB。練習：練習：1.2008年市等腰三角形的一個角為，則這個等腰三角形的頂角為 C A B C或D或2.2008年涼山州等腰兩邊的長分別是一元二次方程的兩個解，則這個等腰三角形的周長是7或83.20

6、05年在平面直角坐標系，點A(2，1)，O為坐標原點請你在坐標軸上確定點P，使得AOP成為等腰三角形在給出的坐標系中把所有這樣的點P都找出來，畫上實心點，并在旁邊標上P1，P2，Pk，(有k個就標到Pk為止，不必寫出畫法)解：以A為圓心，OA為半徑作圓交坐標軸得和；以O為圓心，OA為半徑作圓交坐標軸得，和；作OA的垂直平分線交坐標軸得和。4. (1997年)等腰三角形的兩邊長a、b是方程的*2-k*+12=0兩根，另一邊長c=4，求k的值。5.2005年在下面網格中，每個小正方形的邊長均為1，請你畫出以格點為頂點，面積為10個平方單位的等腰三角形，在給出的網格中畫出兩個符合條件且不全等的三角形

7、(所畫的兩個三角形假設全等視為1個).符合題意的三角形每畫出1個得4分例如底 20 10 2 4 410222高1 2 10 5225編號(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)6.(1999年)關于*的方程*2-(2k+1)*+4=01求證：無論k取任何實數，這個方程總有實數根； 2假設等腰ABC的一邊長a=4，另兩邊長b、c恰好是這個方程的兩個根，求ABC的周長。7.(2002年)在等腰三角形ABC中，A、B、C的對邊分別為a、b、c，a=3,b和c是關于*的方程的兩個實數根，求ABC的周長。8.(2000年)直線*-2y=-k+6和*+3y=4k+1，假設它們的交點在第四象

8、限1求k的取值圍； 2假設k為非負整數，點A的坐標為(2,0),點P在直線*-2y=-k+6上，求使PAO為等腰三角形的點P的坐標。9.2008年市：如圖，拋物線與y軸交于點C0，4，與*軸交于點A、B，點A的坐標為4，0。1求該拋物線的解析式；2點Q是線段AB上的動點，過點Q作QEAC，交BC于點E，連接CQ。當CQE的面積最大時，求點Q的坐標；3假設平行于*軸的動直線與該拋物線交于點P，與直線AC交于點F，點D的坐標為2，0。問：是否存在這樣的直線，使得ODF是等腰三角形？假設存在，請求出點P的坐標；假設不存在，請說明理由。解：1由題意，得解得所求拋物線的解析式為：2設點的坐標為，過點作軸

9、于點由，得，點的坐標為，28題圖，即又，當時，有最大值3，此時3存在在中假設，又在中，此時，點的坐標為由，得，此時，點的坐標為：或假設，過點作軸于點，由等腰三角形的性質得：，在等腰直角中，由，得，此時，點的坐標為：或假設，且，點到的距離為，而，此時，不存在這樣的直線，使得是等腰三角形綜上所述，存在這樣的直線，使得是等腰三角形所求點的坐標為：或或或摘錄于中學生數學2006.10中考佳題 等腰三角形與分類討論例1.2005年王叔叔家有一塊等腰三角形的菜地， 腰長為40米，一條筆直的水渠從菜地穿過，這條水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿過菜地局部的長為15米(水渠的寬不計)， 請你計算這塊等腰

10、三角形菜地的面積例2.2005年等腰三角形ABC中BC=8,AB、AC的長是關于*的方程*2-10*+m=0的兩根，求m的值。例3. 2005年如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，C90，BC16，DC12，AD21。動點P從點D出發，沿射線DA的方向以每秒2兩個單位長的速度運動，動點Q從點C出發，在線段CB上以每秒1個單位長的速度向點B運動，點P，Q分別從點D，C同時出發，當點Q運動到點B時，點P隨之停頓運動。設運動的時間為t秒。1設BPQ的面積為S，求S與t之間的函數關系式；2當t為何值時，以B，P，Q三點為頂點的三角形是等腰三角形？3當線段PQ與線段AB相交于點O，且2AOOB時，求B

11、QP的正切值；4是否存在時刻t，使得PQBD？假設存在，求出t的值；假設不存在，請說明理由。例4.2005年如圖，RtABC中，ACB=90，CAB=30，用圓規和直尺作圖，用兩種方法把它分成兩個三角形，且要求其中一個三角形的等腰三角形。保存作圖痕跡，不要求寫作法和證明練習：1.2008年市等腰三角形的一個角為，則這個等腰三角形的頂角為 A B C或D或2.2008年涼山州等腰兩邊的長分別是一元二次方程的兩個解，則這個等腰三角形的周長是3.2005年在平面直角坐標系，點A(2，1)，O為坐標原點請你在坐標軸上確定點P，使得AOP成為等腰三角形在給出的坐標系中把所有這樣的點P都找出來，畫上實心點

12、，并在旁邊標上P1，P2，Pk，(有k個就標到Pk為止，不必寫出畫法)4. (1997年)等腰三角形的兩邊長a、b是方程的*2-k*+12=0兩根，另一邊長c=4，求k的值。5.2005年在下面網格中，每個小正方形的邊長均為1，請你畫出以格點為頂點，面積為10個平方單位的等腰三角形，在給出的網格中畫出兩個符合條件且不全等的三角形(所畫的兩個三角形假設全等視為1個).6.(1999年)關于*的方程*2-(2k+1)*+4=01求證：無論k取任何實數，這個方程總有實數根；2假設等腰ABC的一邊長a=4，另兩邊長b、c恰好是這個方程的兩個根，求ABC的周長。7.(2002年)在等腰三角形ABC中，A、B、C的對邊分別為a、b、c，a=3,b和c是關于*的方程的兩個實數根，求ABC的周長。8.(2000年)直線*-2y=-k+6和*+3y=4k+1，假設它們的交點在第四象限1求k的取值圍； 2假設k為非負整數，點A的坐標為(2,0),點P在直線*-2y=-k+6上，求使PAO為等腰三角形的點P的坐標。9.2008年市：如圖，拋物線與y軸