1、小波變換與多分辨率分析Gabor變換小波變換的基本概念多分辨率分析離散小波變換小波變換的應用第1頁，共121頁。時頻分析 信號分析的主要目的是尋找一種簡單有效的信號變換方法，以便突出信號中重要特性，簡化運算的復雜度。大家熟知的Fourier變換就是一種刻劃函數空間，求解微分方程，進行數值計算的主要方法和有效的數學工具。它可把許多常見的微分、積分和卷積運算簡化為代數運算。第1節 Gabor變換第2頁，共121頁。 從物理意義上理解，一個周期振動信號可看成是具有簡單頻率的簡諧振動的疊加。Fourier展開正是這一物理過程的數學描述。即：（3197） (3198)第3頁，共121頁。 Fourier

2、變換的特點是域變換，它把時域和頻域聯系起來，把時域內難以顯現的特征在頻域中十分清楚地顯現出來。頻譜分析的本質就是對 F() 的加工與處理。基于這一基本原理，現代譜分析已研究與發展了多種行之有效的高效、多分辨率的分析算法。第4頁，共121頁。 由于 ，因此，頻譜 F() 的任一頻率成份的值是由時域過程 f(t) 在 , + 上的貢獻決定的，而過程 f(t) 在任一時刻的狀態也是由 F() 在整個頻域 , + 的貢獻決定的。第5頁，共121頁。 該性質可由 (t) 函數來理解，即時域上的一個沖激脈沖在頻域中具有無限伸展的均勻頻譜。f(t) 與 F() 間的彼此的整體刻劃，不能反映各自在局部區域上的

3、特征。第6頁，共121頁。只能確定信號中有哪些頻率，但不能確定此頻率何時發生。第7頁，共121頁。章毓晉 (TH-EE-IE) 在實際過程中,時變信號是常見的，如語音信號、地震信號、雷達回波等。在這些信號的分析中，希望知道信號在突變時刻的頻率成份，顯然利用Fourier變換處理這些信號，這些非平穩的突變成份往往被Fourier變換的積分作用平滑掉了。因此，不能用于局部分析。在實際應用中，也不乏不同的時間過程卻對應著相同的頻譜的例子。第8頁，共121頁。第9頁，共121頁。 由于Fourier變換存在著不能同時進行時間頻率局部分析的缺點，曾出現許多改進的方法。1946年D.Gabor提出一種加窗

4、的Fourier變換方法，它在非平穩信號分析中起到了很好的作用。是一種有效的信號分析方法，而且與當今的小波變換有許多相似之處。 Gabor變換的定義第10頁，共121頁。在Gabor變換中，把非平穩過程看成是一系列短時平穩信號的疊加，而短時性是通過時間上加窗來實現的。整個時域的覆蓋是由參數的平移達到的。第11頁，共121頁。 換句話說，該變換是用一個窗函數 g(t-) 與信號f(t)相乘實現在 附近開窗和平移，然后施以Fourier變換，這就是Gabor變換也稱短時Fourier變換或加窗Fourier變換。Gabor變換的定義由下式給出：對于 f(t) L2(R)第12頁，共121頁。 是積

5、分核。 該變換在 點附近局部測量了頻率為 的正弦分量的幅度。 通常g(t)選擇能量集中在低頻處的實偶函數 （1）第13頁，共121頁。 D.Gabor采用高斯(Gauss)函數作窗的函數，相應的Fourier變換仍舊是Gauss函數，從而保證窗口Fourier變換在時域和頻域內均有局部化功能。第14頁，共121頁。令窗口函數為則有：式中a決定了窗口的寬度， 的Fourier變換用 表示。相應的重構公式為：第15頁，共121頁。 顯然信號f(t)的Gabor變換按窗口寬度分解了f(t)的頻譜F(),提取出它的局部信息。 當在整個時間軸上平移時，就給出了Fourier的完整變換。第16頁，共121

6、頁。 為了提取高頻分量，時域窗口應盡量窄，頻域窗口適當放寬。 對于慢變的低頻信號，時窗可適當加寬，而頻窗應盡量縮小，保證有較高的頻率分辨率和較小的測量誤差。 總之，對多尺度信號希望時頻窗口有自適應性，高頻情況下，頻窗大，時窗小，低頻情況下，頻窗小，時窗大。Gabor變換的缺點第17頁，共121頁。 Gabor變換的時頻口是固定不變的，窗口沒有自適應性，不適于分析多尺度信號過程和突變過程，而且其離散形式沒有正交展開，難于實現高效算法，這是Gabor變換的主要缺點，因此也就限制了它的應用。但是Gabor變換已具備了平移功能，只是其相當于放大倍數固定的顯微鏡而已。在這方面J.Morlet為此作出了重

7、大貢獻。第18頁，共121頁。 小波分析是當前應用數學和工程學科中一個迅速發展的新領域，經過近20年的探索研究，重要的數學形式化體系已經建立，理論基礎更加扎實。第2節 小波變換的基本概念 信號和信息處理專家認為，小波分析是時間尺度分析和多分辨分析的一種新技術，它在信號分析、語音合成、圖像識別、計算機視覺、數據壓縮、地震勘探、大氣與海洋波分析等方面的研究都取得了有科學意義和應用價值的成果第19頁，共121頁。與Fourier變換、Gabor變換相比，小波變換是時間（空間）頻率的局部化分析，它通過伸縮平移運算對信號（函數）逐步進行多尺度細化，最終達到高頻處時間細分，低頻處頻率細分 能自動適應時頻信

8、號分析的要求，從而可聚焦到信號的任意細節，解決了Fourier變換的困難問題，成為繼Fourier變換以來在科學方法上的重大突破。 有人把小波變換稱為“數學顯微鏡”。 第20頁，共121頁。1 .小波 形如下式的函數稱之為小波。其中a為尺度參數，b是定位參數。 小波的概念第21頁，共121頁。 若a1，函數 具有伸展作用； 若0a1，函數 具有收縮作用。而其Fourier變換 則恰好相反。伸縮參數a對小波 的影響見下圖。 小波 隨伸縮參數a平移參數b而變化如下圖所示。第22頁，共121頁。a:a1。 第23頁，共121頁。小波的波形隨參數變化的情形 第24頁，共121頁。圖中小波函數 。當a=

9、2, b=15時， 的波形 從原點向右移至t=15且波形展寬，a=0.5, b=-10時， 則是從原點向左平移至t=-10處且波形收縮。第25頁，共121頁。 隨著參數a的減小， 的支撐區也隨之變窄，而 的頻譜隨之向高頻端展寬，反之亦然。這就有可能實現窗口大小自適應變化，當信號頻率增高時，時窗寬度變窄，而頻窗寬度增大，有利于提高時域分辨率，反之亦然。第26頁，共121頁。小波 的選擇既不是唯一的，也不是任意的。這里 是歸一化的具有單位能量的解析函數，它應滿足如下幾個條件： (1)定義域應是緊支撐的(Compact Support)，換句話說就是在一個很小的區間之外，函數為零，也就是函數應有速降

10、特性。2 .小波的特點 第27頁，共121頁。(2)平均值為零，即：該條件也叫小波的容許條件(Admissibility Condition)其高階矩也為零。（6）（7）第28頁，共121頁。式中 , 是有限值 它意味著 處 連續可積（8）（9）第29頁，共121頁。 上面兩個條件可概括為：小波應是一個具有振蕩性和迅速衰減的波。 由上式可以看出，小波 在 t 軸上取值有正有負才能保證式上式積分為零。所以 應有振蕩性。第30頁，共121頁。 小波變換的形式： 設函數 具有有限能量，即: （10） 則小波變換的定義如下：第31頁，共121頁。其中，積分核就是函數族： 如果 是復變函數時，上式采用復

11、共軛函數 。第32頁，共121頁。對于所有的 ， ，連續小波逆變換由式（11）給出。(11) 其中第33頁，共121頁。 圖 3加窗Fourier分析和小波分析的時頻特性比較第34頁，共121頁。圖 4 Gabor變換特性（a）和小波濾波特性(b)第35頁，共121頁。 圖4顯示了Gabor變換與小波變換的濾波特性。由圖可見Gabor濾波是恒定帶寬濾波，而小波濾波隨著中心頻率增加而帶寬加大。 第36頁，共121頁。 可以這樣理解小波變換的含義：打個比喻，我們用鏡頭觀察目標信號f (t)， (t)代表鏡頭所起的所用。b 相當于使鏡頭相對于目標平行移動，a的所用相當于鏡頭向目標推進或遠離。由此可見

12、，小波變換有以下特點： 多尺度/多分辨的特點，可以由粗及細地處理信號； 可以看成用基本頻率特性為()的帶通濾波器在不同尺度a下對信號做濾波。 適當地選擇小波，使(t)在時域上為有限支撐,()在頻域上也比較集中，就可以使WT在時、頻域都具有表征信號局部特征的能力。第37頁，共121頁。小波變換的思想來源于伸縮和平移方法。 尺度伸縮 對波形的尺度伸縮就是在時間軸上對信號進行壓縮和伸展，如圖所示。小波變換的思想第38頁，共121頁。第39頁，共121頁。 尺度與頻率的關系尺度與頻率的關系如下： 小尺度a 壓縮的小波快速變換的細節高頻部分 大尺度a 拉伸的小波緩慢變換的粗部低頻部分第40頁，共121頁

13、。 時間平移 時間平移就是指小波函數在時間軸上的波形平行移動，如圖所示。第41頁，共121頁。(1) 選擇一個小波函數，并將這個小波與要分析的信號起始點對齊；(2) 計算在這一時刻要分析的信號與小波函數的逼近程度，即計算小波變換系數C，C越大，就意味著此刻信號與所選擇的小波函數波形越相近，如圖所示。小波運算的基本步驟：第42頁，共121頁。(3) 將小波函數沿時間軸向右移動一個單位時間，然后重復步驟(1)、(2)求出此時的小波變換系數C，直到覆蓋完整個信號長度，如圖所示；第43頁，共121頁。(4) 將所選擇的小波函數尺度伸縮一個單位，然后重復步驟(1)、(2)、(3)，如圖所示；(5) 對所

14、有的尺度伸縮重復步驟(1)、(2)、(3)、(4)。第44頁，共121頁。小波變換的基本性質 （1）線性小波變換是線性變換。設 為 的小波變換,則有: (14) 為 的小波變換,第45頁，共121頁。（2）平移和伸縮的共變性連續小波變換在任何平移 b0 之下是共變的，即：如果 是小波變換關系，則也是小波變換關系。 3）尺度轉換 若f(x)的小波變換為為 ，則 的小波變換為 第46頁，共121頁。幾種典型的一維小波 小波的選擇是靈活的，凡能滿足條件的函數均可作為小波函數，這里僅介紹幾種具有代表性的小波以供參考。 第47頁，共121頁。該正交函數是由A.Haar于1910年提出的，對t平移時可得到

15、： (12)（1） Haar小波第48頁，共121頁。 (13) 其波形如圖 5所示： 圖 5 Haar 小波 第49頁，共121頁。（2） Mexico Hat小波Mexico Hat小波是Gauss函數的二階導數，即： ( 13)Mexico Hat小波也叫Marr小波，Mexico Hat小波是實值小波0.867 -2 -1 0 1 2 x0 sFTMarr小波及其頻譜 第50頁，共121頁。（3） Morlet小波Morlet小波是最常用的復值小波，它可由下式給出：(3237)其Fourier變換為： (3-238)第51頁，共121頁。52第3節 多分辨率分析 多分辨率分析（MRA，

16、Multi-Resolution Analysis） 現代信號處理中的一個重要的概念。 例如，不同比例的地圖就形成了一套典型的多分辨率圖形： 全國地圖，可以分辨地形地貌（山川、湖泊等）的主要特征，但無法分辨細節； 城市地圖，可以分清局部細節（街道、廣場和公園等），但無法看到大特征。 再如，照相機鏡頭不同拉伸（zoom）時形成的一套多分辨率照片： 當鏡頭拉遠時，我們看到的大場面，能夠分辨大的特征，但看不清細節； 當鏡頭拉近時，能夠看清細節，但看不清大特征。小波基函數： a1時，時域變寬，便于表現大特征；a1時，時域變窄，便于分析細節。 導致了信號多分辨率分析的最基本思路。第52頁，共121頁。5

17、3 若 函數 的整數平移序列 滿足 則 為尺度函數（scaling function）。 張成零尺度空間V0 ： (6.23) 對任意 ，可由V0空間的尺度函數的線性組合表示： 一、尺度函數和尺度空間第53頁，共121頁。54 尺度函數既平移又伸縮： （6.24） 張成Vj 尺度空間： （6.25） 對任意 ，可由Vj空間的尺度函數的線性組合表示 （6.26）由此，尺度函數在不同尺度下其平移序列構成了一系列的尺度空間： 第54頁，共121頁。55 尺度j 增大，j=2，尺度函數的定義域變大，實際的平移間隔（由2 j 決定）變大， 它們的線性組合式（6.26）不適宜表示函數的細微（小于該尺度）變

18、化， 因此其張成的尺度空間只能包括大跨度的緩變信號。 尺度j 減小，j=0，尺度函數的定義域變小，實際的平移間隔變小， 它們的線性組合式便能表示函數的更細微（小尺度范圍）的變化， 張成的尺度空間所包含的函數增多（包括小尺度信號和大尺度的緩變信號）。 隨著尺度j 的減小，尺度空間變大。j=0j=1j=2圖6.6 不同尺度空間的尺度函數第55頁，共121頁。56 由不同的尺度函數和尺度空間可以組成一個多分辨率分析， 滿足下述性質的 上的一系列閉子空間 。 1) 一致單調性： （6.27） 反映不同尺度空間之間的包含關系。 2) 漸進完全性： （6.28） 3) 伸縮規則性：（不同尺度間） 若 ，則

19、 （6.29）二、多分辨率分析第56頁，共121頁。Digital Image Processing574) 平移不變性（同一尺度內）： 若 ，則 （6.30） 5) 尺度函數存在性： 存在尺度函數 ，使得 成為 的一個線性無關基。 （6.31）MRA分析：所有閉子空間都是由同一尺度函數伸縮、平移系列張成的尺度空間。V0V1V2V3W1W2W3圖6.7 尺度空間和小波空間V-1粗尺度細尺度Riesz基第57頁，共121頁。58 （1）小波函數和小波空間 MRA的一系列尺度空間是由一個尺度函數在不同的尺度下張成的， 不同的尺度空間互相包含，基函數在不同尺度間不具有正交性， 在同一尺度下具有正交性

20、。 定義尺度空間的補空間： （6.32）VmVm-1 Wm圖6.8 小波空間示意三、小波分析第58頁，共121頁。59任意 與 是相互正交的（空間不相交），記為 。由（6.27）（6.28）式可知： （6.33） 因此， 構成了 的一系列正交的子空間，由（6.33）可得： ， ， ， （6.34） 由尺度函數伸縮規則可得： 如果 ，則 （6.35）設 為 的正交基，則 為 的正交基。 的整個集合必然構成了 空間的一組正交基。 是由同一母函數伸縮、平移得到的正交小波基（小波函數）。小波空間第59頁，共121頁。60（2）正交小波分解 多分辨率分析： 對于任意函數，可以將它分解為細節部分和大尺度逼

21、近部分， 然后將大尺度逼近部分進一步分解， 如此重復可以得到任意尺度（分辨率）上的 大尺度逼近部分和細節部分。第60頁，共121頁。61【例6.3】一連續信號f(t)在尺度空間的投影為信號的概貌fs(t)， 在小波空間的投影為信號的細節fd(t)。圖6.9 信號在尺度空間和小波空間的投影t在V4 空間的投影fs4(t )W4 = V3 V4在W4 空間的投影fd4(t ) t在V5 空間的投影fs5(t ) tW5 = V4 V5在W5 空間的投影fd5(t ) t在V3 空間的投影fs3(t )tW3 = V2 V3(a) 信號在不同尺度空間的投影(b) 信號在不同小波空間的投影在W3 空間

22、的投影fd3(t ) t第61頁，共121頁。62j尺度下的概貌信號 其中，尺度展開系數為： （6.36） j尺度下的細節信號 其中，小波展開系數為： （6.37） 若將 按以下空間組合展開： （6.38）第62頁，共121頁。63其中J為任意設定的尺度，則形成小波綜合公式： （6.39） （6.40）記dj,k為f(t)的離散小波變換WTf(j,k)，離散小波變換綜合公式（逆變換）為 （6.41） 離散正交小波變換同多分辨率分析的思想是一致的。所有細 細節Wj 概貌第63頁，共121頁。64 （4）尺度函數和小波函數的正交性 1）尺度函數在同一尺度 下正交： 不同尺度之間不正交。 （6.42

23、） 2）小波函數在所有空間正交： （6.43） 3）同一尺度下小波函數同尺度函數正交： （6.44）第64頁，共121頁。65（5）二尺度方程 由MRA可知，V0空間的任一函數可用V1空間的尺度函數線性展開： 其中展開系數h0(n)、h1(n)分別為： （6.47） （6.45）和（6.46）為二尺度方程：描述相鄰二尺度空間基函數之間的關系。V0空間 組合系數 V1空間尺度函數（6.45）（6.46）第65頁，共121頁。Digital Image Processing66頻域的二尺度方程：DFTDFT（6.48）（6.49）第66頁，共121頁。67（6）尺度向量和小波向量 二尺度關系存在于

24、任意相鄰尺度 j 和 j-1 之間，即： （6.50） （6.51） 展開系數h0和h1是由尺度函數和小波函數決定的，與具體的尺度j無關。 稱濾波系數 h0為尺度向量，h1為小波向量，具有以下特性： ， ， （6.52）第67頁，共121頁。在連續小波變換中，伸縮參數和平移參數連續取值，連續小波變換主要用于理論分析，在實際應用中離散小波變換更適于計算機處理。第4節 離散小波變換 第68頁，共121頁。 為了減小小波變換系數的冗余度，我們將小波基函數 的a、限定在一些離散的點上取值。離散化方法第69頁，共121頁。（1）尺度的離散化 目前通行的做法是對尺度進行冪數級離散化。即令a取第70頁，共1

25、21頁。（2）位移離散化通常對進行均勻離散取值，以覆蓋整個時間軸， 滿足Nyquist采樣定理。在a=2j時，沿軸的響應采樣間隔是2j 0，在a0=2情況下，j增加1，則尺度a增加一倍，對應的頻率減小一半。此時采樣率可降低一半而不導致引起信息的丟失。第71頁，共121頁。因此在尺度j下，由于 的寬度是 的 倍，因此采樣間隔可擴大 ，而不會引起信息的丟失。 可寫成：離散小波變換的定義為：第72頁，共121頁。一般，取a0=2，則a=2j，=2jk0，則采樣間隔為=2j0當a=2j時，的采樣間隔是 2j0 ，此時， 變為：第73頁，共121頁。一般，將0歸一化，即0=1，于是有： -二進小波此時，

26、對應的WTf為：第74頁，共121頁。75二進小波基函數的示例 b=4b=4b=3b=2b=2b=1b=0b=0b=0a=1a=1/2a=1/2a=1/2a=1/4a=1/4a=1/4a=1/4a=1/4j=0-k=0j=-1-k=0j=-1-k=4j=-1-k=8j=-2-k=0j=-2-k=4j=-2-k=8j=-2-k=12j=-2-k=16x0 1 2 3 4 5圖6.18 二進小波示意圖第75頁，共121頁。76（3）正交二進小波 如果二進小波函數 滿足： （6.74） 則稱為正交小波基。 如果任一函數 f(x)，可由正交小波基的線性組合表示，也可稱作小波級數： （6.75）f(x)

27、的小波系數第76頁，共121頁。77（4）正交小波基幾例 1）Haar正交小波基: （6.76） 2）Meyer正交小波基，其傅里葉變換為： （6.77） 3）二階Marr正交小波基: （6.78） 4）Morlet復正交小波基: （6.79） 頻譜 （6.80）第77頁，共121頁。*離散小波變換方法執行離散小波變換的有效方法是使用濾波器該方法是Mallat在1988年開發的，叫做Mallat算法這種方法實際上是一種信號的分解方法，在數字信號處理中稱為雙通道子帶編碼用濾波器執行離散小波變換的概念如圖所示S表示原始的輸入信號，通過兩個互補的濾波器產生A和D兩個信號A表示信號的近似值(appro

28、ximations)D表示信號的細節值(detail)第78頁，共121頁。*在許多應用中，信號的低頻部分是最重要的，而高頻部分起一個“添加劑”的作用。比如聲音，把高頻分量去掉之后，聽起來聲音確實是變了，但還能夠聽清楚說的是什么內容。相反，如果把低頻部分去掉，聽起來就莫名其妙。在小波分析中，近似值是大的縮放因子產生的系數，表示信號的低頻分量。而細節值是小的縮放因子產生的系數，表示信號的高頻分量。雙通道濾波過程第79頁，共121頁。*離散小波變換可以被表示成由低通濾波器和高通濾波器組成的一棵樹原始信號通過這樣的一對濾波器進行的分解叫做一級分解信號的分解過程可以疊代，也就是說可進行多級分解。如果對

29、信號的高頻分量不再分解，而對低頻分量連續進行分解，就得到許多分辨率較低的低頻分量，形成如圖所示的一棵比較大的樹。這種樹叫做小波分解樹(wavelet decomposition tree)分解級數的多少取決于要被分析的數據和用戶的需要小波分解樹第80頁，共121頁。*小波包分解樹 小波分解樹表示只對信號的低頻分量進行連續分解。如果不僅對信號的低頻分量連續進行分解，而且對高頻分量也進行連續分解，這樣不僅可得到許多分辨率較低的低頻分量，而且也可得到許多分辨率較低的高頻分量。這樣分解得到的樹叫做小波包分解樹(wavelet packet decomposition tree)，這種樹是一個完整的二進

30、制樹。第81頁，共121頁。 對于一幅圖像，量化級數決定了圖像的分辨率，量化級數越高，圖像就越清晰，即圖像的分辨率高。對于任意一幅圖像，都可以用不同的量化空間來表示，細節比較豐富的部分用高分辨率來表示，細節比較單一的部分可用低分辨率來表示。 我們可以將不同的量化級數構成的空間看成不同的多分辨空間Vj，顯然這些量化空間是相互嵌套的 從圖像處理的角度，多分辨空間的分解可以理解為圖像的分解，假設有一幅256級量化的圖像，不妨將它看成量化空間Vj中的圖像，則 可理解為Vj空間中的圖像有一部分保留在Vj+1空間中，還有一部分放在Wj+1空間，如下圖所示：第82頁，共121頁。VjWj+1Vj+1RETU

31、RN第83頁，共121頁。84 用一維張量乘積構造的二維尺度空間，各維變量是相互獨立的。 二維j 尺度空間為： （6.81） 如果 是 Vj 的標準正交基， 則 是 的標準正交基。 （6.82）對應的尺度和小波函數二維多分辨率分析第84頁，共121頁。85由 構成的張量積二維MRA：1）2） （6.84）3） （6.85）4） 圖6.19 二維MRA空間示意圖（6.86）（6.83）第85頁，共121頁。Digital Image Processing86 二維尺度向量 二維尺度函數 可分離 一維尺度函數 小波函數 4個基本小波: 由此可建立二維二進小波函數集： （6.87）二維離散小波變換第

32、86頁，共121頁。87（1）二維小波正變換 NN的圖像f1(x,y)，N=2 i ，二維離散小波變換的第一層分解（j=1）如下： （6.88） （6.89） （6.90） （6.91） 當j=2時，可以一直分解下去。 具體運算時，在行和列兩個方向上的間隔抽樣后依次做下去。第87頁，共121頁。Digital Image Processing88【例6.6】圖像的三層小波分解實際過程如圖6.20所示。 (a) 一層小波分解的計算h0(-y)h1(-y)h0(-y)h1(-y)h0(-x)h1(-x)f1(x,y)W10(x,y)W11(x,y)W12(x,y)W13(x,y) 列處理 丟奇數行

33、行處理 丟奇數列2:12：12：1第88頁，共121頁。Digital Image Processing89圖6.20 圖像小波分解的示例2：12：1W20 W12 W11 W13 W22 W21 W23 j=2層次W40 W12 W11 W13 W22 W21 W23 j=3層次(b) 三層小波分解的示意圖f1(x,y)W10 W12 W11 W13 j=1層次2：1原圖像第89頁，共121頁。Digital Image Processing90 圖6.20 圖像小波分解的示例(c) 二層小波分解結果第90頁，共121頁。91（2）二維小波逆變換 二維小波逆變換（IDWT）過程和正變換相反，

34、其中一層的計算如圖6.21所示。重建f1(x,y)W10(m,n)列插0行插0卷積行卷積列圖6.21一次小波反變換示意圖h0(m)h1(m)h0(m)h1(m)h0(n)h1(n)W11(m,n)W12(m,n)W13(m,n)1:21:21:21:21:21:2第91頁，共121頁。章毓晉 (TH-EE-IE)小波家族名稱wname簡稱Haar wavelethaarMorlet waveletmorlMeyer waveletmeyrBiothogonal waveletbiorDaubechies waveletsdbSymletssymMatlab中的小波變換函數：第92頁，共121頁

35、。章毓晉 (TH-EE-IE)小波家族函數waveletfamilies()Waveletfamilies或waveletfamilies(f)：該函數返回Matlab中所有可用的小波家族名稱Waveletfamilies(n)：該函數返回Matlab中所有可用的小波家族名稱及成員小波的名稱Waveletfamilies(a)：該函數返回在Matlab中所有可用的小波家族名稱、成員小波的名稱及其特性第93頁，共121頁。章毓晉 (TH-EE-IE)小波函數信息查詢函數Waveinfo(wname)：返回名為wname的小波家族的具體信息waveinfo(db)第94頁，共121頁。章毓晉 (T

36、H-EE-IE)小波函數和尺度函數wavefun()PHI,PSI,XVAL = wavefun(wname, ITER)該函數返回名為wname的正交小波的小波函數和尺度函數；XVAL表示橫坐標采樣點，PHI為對應采樣點的尺度函數縱坐標，PSI為對應采樣點的小波函數，ITER確定小波函數和尺度采樣點數為2ITER個，默認取8，即默認采256點第95頁，共121頁。章毓晉 (TH-EE-IE)小波函數和尺度函數wfilters()LO_D,HI_D,LO_R,HI_R = WFILTERS(wname)該函數返回與母小波wname相關的4個濾波器；其中，LO_D和HI_D分別表示分解低通濾波器

37、和分解高通濾波器，LO_R和HI_R表示重構低通濾波器和高通濾波器第96頁，共121頁。1-D離散小波變換函數dwt（）格式：cA,cD=dwt(X,wname)cA,cD=dwt(X,Lo_D,Hi_D)說明：cA,cD=dwt(X,wname)使用指定的小波基函數wname對信號X進行分解，cA和cD分別是近似分量和細節分量；cA,cD=dwt(X,Lo_D,Hi_D)用指定的濾波器組Lo_D,Hi_D對信號進行分解第97頁，共121頁。1-D離散小波反變換函數idwt（）格式：X=idwt(cA,cD,wname)X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R)X=idwt(cA,cD,w

38、name,L)X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,L)說明：由近似分量cA和細節分量cD經過小波反變換，選擇某小波函數或濾波器組，L為信號X中心附近的幾個點第98頁，共121頁。章毓晉 (TH-EE-IE)單層二維離散小波分解函數dwt2()cA, cH, cV, cD = dwt2(X, wname)該函數利用母小波函數wname對圖像矩陣X進行二維離散小波分解，計算返回圖像X的近似系數矩陣cA，細節系數矩陣的水平分量cH，垂直分量cV以及對角分量CD第99頁，共121頁。章毓晉 (TH-EE-IE)第100頁，共121頁。章毓晉 (TH-EE-IE)單層二維離散小波逆變換函數id

39、wt2()X = idwt2(cA, cH, cV, cD, wname)該函數利用指定母小波函數wname實現單層圖像矩陣的重構，輸入參數cA表示近似系數矩陣，cH,cV,cD分別表示細節系數的水平、垂直及對角矩陣，計算返回結果為重構的圖像矩陣X第101頁，共121頁。章毓晉 (TH-EE-IE)多層二維離散小波分解函數wavedec2()C, S = wavedec2(X, N, wname)該函數利用母小波wname對于圖像矩陣X的在第N層進行二維離散小波分解，其中N取值為正整數，返回結果為分解系數矩陣C和相對應分解系數的長度矢量矩陣S第102頁，共121頁。章毓晉 (TH-EE-IE)

40、多層二維離散小波逆變換函數X = waverec2(C, S, wname)利用指定母小波wname實現多層圖像矩陣的二維離散逆小波變換，C和S分別表示小波的分解系數矩陣、相應的分解系數的長度矩陣，結果返回給圖像矩陣X第103頁，共121頁。章毓晉 (TH-EE-IE)二維小波系數閾值去噪函數wthcoef2()NC = wthcoef2(type, C, S, N, T, SORH)返回根據小波分解結構C, S獲得細節系數水平分量、垂直分量及對角分量經過閾值去噪后的系數。type表示選取細節參數的哪種分量，取值可以是h, v, d，分別代表細節系數的水平、垂直及對角分量；C, S是通過函數w

41、avedec2()獲得小波分解結構；SORH表示選取的閾值濾波函數, s代表軟閾值函數，h代表硬閾值函數；N表示進行閾值去噪的小波分解層；T為小波閾值第104頁，共121頁。章毓晉 (TH-EE-IE)圖像去噪或壓縮函數XC, CXC, LXC, PERF0, PERFL2 = wdencmp(gbl, X, wname, N, THR, SORH, KEEPAPP)返回圖像X利用指定母小波wname經過N層分解后，小波系數進行閾值處理后的消噪信號XC和信號XC的小波分解結構CXC, LXC。其中，gbl表示每層都采用同一個閾值進行處理，THR為閾值向量；KEEPAPP取值為1時，則低頻系數不

42、進行閾值量化，反之，則低頻系數要進行閾值量化；PERF0表示小波系數中設置為”0”的百分比；PERFL2表示壓縮后圖像能量的百分比第105頁，共121頁。章毓晉 (TH-EE-IE)獲取圖像去噪或壓縮閾值選取函數THR, SORH, KEEPAPP, CRIT = ddencmp(IN1, IN2, X)返回圖像的小波、小波包消噪和壓縮的閾值選取方案。其中，X為一維或二維的信號向量或矩陣；IN1表示出了目的是去噪還是壓縮，取值為den(信號消噪)或cmp；IN2表示出了的方式，取值wv(使用小波分解)或wp(使用小波包分解)；THR為函數選擇的閾值，SORH為函數選擇閾值使用方式：輸出參數KE

43、EPAPP決定是否對近似分量進行閾值處理，可選為0或1；CRIT為使用小波包進行分解時所選取的熵函數類型第106頁，共121頁。對數據矩陣進行偽真彩色編碼函數wcodemat（）格式：Y=wcodemat(X,NB,OPT,ABSOL)Y= wcodemat(X,NB,OPT)Y= wcodemat(X,NB)Y= wcodemat(X)說明： Y=wcodemat(X,NB,OPT,ABSOL)返回數據矩陣X的編碼矩陣Y；NB為編碼的最大值（缺省16），OPT是編碼方式，row行方式，col列方式mat整個矩陣編碼（缺省），ABSOL是函數的控制方式，0返回編碼矩陣，1返回數據矩陣的ABS（

44、缺省）第107頁，共121頁。示例1：對圖象做2-D小波分解load woman;nbcol=size(map,1);cA1,cH1,cV1,cD1=dwt2(X,db1);cod_X=wcodemat(X,nb,col);cod_cA1=wcodemat(cA1,nb,col);cod_cH1=wcodemat(cH1,nb,col);cod_cV1=wcodemat(cV1,nb,col);cod_cD1=wcodemat(cD1,nb,col);dec2d=cod_cA1,cod_cH1;cod_cV1,cod_cD1;subplot(1,2,1);imshow(cod_X,);subplot(1,2,2);imshow(dec2d,);第108頁，共121頁。實驗結果第109頁，共121頁。示例：2-D小波重構load woman;sX=size(X);cA1,cH1,cV1,cD1=dwt2(X,db4);A0=i