1、1981年2018年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試試題分類(lèi)匯編1、邏輯部分0,xU2014B3、對(duì)于實(shí)數(shù)R的任意子集U，我們?cè)赗上定義函數(shù)f(x)1,xUU，如果A,B是實(shí)數(shù)R的兩個(gè)子集，則f(x)f(x)1，的充分必要條件是AB答案：A,B互為補(bǔ)集解析：對(duì)于任意的xR，f(x)f(x)1，這說(shuō)明f(x),f(x)中至少有一個(gè)是1，即xAB，ABAB所以ABR，另一方面，f(x),f(x)中僅有一個(gè)是1，即AB，從而A,B互為補(bǔ)集。AB2001*15、（本題滿(mǎn)分20分）用電阻值分別為a,a,a,a,a,a123456(aaaaaa)的電123456阻組裝成一個(gè)如圖的組件，在組裝中應(yīng)如何選取電阻，才能使該

2、組件總電阻值最小？證明你的結(jié)論解析：首先，對(duì)電路圖進(jìn)行截取分段考慮，如下三個(gè)圖FG最小2設(shè)6個(gè)電阻的組件（如圖3）的總電阻為R列時(shí)，RFG當(dāng)Ra，i3,4,5,6，R，R是a，a的任意排ii1211設(shè)當(dāng)兩個(gè)電阻R，R并聯(lián)時(shí)，所得組件阻值為R：則1RRR證明如下：11故交換二電阻的位置，1212不改變R值，且當(dāng)R或R變小時(shí)，R也減小，因此不妨取RR12122設(shè)3個(gè)電阻的組件(如圖1)的總電阻為RAB：RRRABRR12RR12RRRRRRR121323123顯然RR越大，R12AB越小，所以為使RAB最小必須取R為所取三個(gè)電阻中阻值最小的一個(gè)33設(shè)4個(gè)電阻的組件(如圖2)的總電阻為RCD：RRR

3、RRRRRRRRRCDAB4124134234111RRRRRRRRRR1213142324RRR則S1、S2為定值于是RCDSRRR3SRR若記SRR，S1ij21ij4ijk1ijk4134212只有當(dāng)RR最小，RRR最大時(shí)，R34123阻的阻值最小CD最小，故應(yīng)取RR，RR，RR，即得總電4332314對(duì)于圖3，把由R,R,R組成的組件用等效電阻R123AB代替要使RFG最小，由3必需使R6R5；且由1，應(yīng)使RCE最小由2知要使RCE最小，必需使R5R4，且應(yīng)使RCD最小而由3，要使RCD最小，應(yīng)使RRR且RRR432431這就說(shuō)明，要證結(jié)論成立1998*4、設(shè)命題P:關(guān)于x的不等式ax

4、2bxc0與ax2bxc0的解集相同；命題111222abcQ:111。則命題Q（）abc222A.是命題P的充分必要條件B.是命題P的充分條件但不是必要條件C.是命題P的必要條件但不是充分條件D.既不是命題P的充分條件也不是命題P的必要條件答案：D解析：若兩個(gè)不等式的解集都是R，否定A、C，若比值為1，否定A、B，選D1995*3、如果甲的身高數(shù)或體重?cái)?shù)至少有一項(xiàng)比乙大，則稱(chēng)甲不亞于乙，在100個(gè)小伙子中，如果某人不亞于其他99人，就稱(chēng)他為棒小伙子，那么，100個(gè)小伙子中的棒小伙子最多可能有()A.1個(gè)B.2個(gè)C.50個(gè)D.100個(gè)答案：D解析：把身高按從高到矮排為1100號(hào)，而規(guī)定二人比較

5、，身高較高者體重較小，則每個(gè)人都是棒小3；命題乙：a、b、c相交于一點(diǎn)則伙子故選D1994*2、給出下列兩個(gè)命題：(1)設(shè)a,b,c都是復(fù)數(shù)，如果a2b2c2，則a2b2c20；(2)設(shè)a,b,c都是復(fù)數(shù)，如果a2b2c20，則a2b2c2那么下述說(shuō)法正確的是（）A.命題(1)正確，命題(2)也正確B.命題(1)正確，命題(2)錯(cuò)誤C.命題(1)錯(cuò)誤，命題(2)也錯(cuò)誤D.命題(1)錯(cuò)誤，命題(2)正確答案：B解析：正確，錯(cuò)誤；理由：a2b2c2，成立時(shí)，a2b2與c2都是實(shí)數(shù)，故此時(shí)a2b2c20成立；當(dāng)a2b2c20成立時(shí)，a2b2c2是實(shí)數(shù)，但不能保證a2b2與c2都是實(shí)數(shù)，故a2b2c2

6、不一定成立故選B1988*4已知三個(gè)平面、，每?jī)蓚€(gè)之間的夾角都是，且a，b，c，若有命題甲：A甲是乙的充分條件但不必要B甲是乙的必要條件但不充分C甲是乙的充分必要條件DA、B、C都不對(duì)答案：C解析：a、b、c或平行，或交于一點(diǎn)但當(dāng)a/b/c時(shí)，3當(dāng)它們交于一點(diǎn)時(shí)，3選C1985*1、假定有兩個(gè)命題：甲：a是大于0的實(shí)數(shù)；乙：ab且a1b1那么()A甲是乙的充分而不必要條件B甲是乙的必要而不充分條件C甲是乙的充分必要條件D甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件答案：B解析：由于ab且a1b1成立時(shí)，必有a0,b0故由乙可得甲，故選B1985*10、對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y，定義運(yùn)算xy為xyaxbycx

7、y，其中a,b,c為常數(shù)，等式右端中設(shè)A,B是坐標(biāo)平面上的兩個(gè)點(diǎn)集，若對(duì)任意r0，都有CACB,Cx,yx2y2r2，Ax,yxyr222，Ax,y0 x2y2r2，于是CACB恒成立，但不滿(mǎn)足的運(yùn)算是通常的實(shí)數(shù)加法、乘法運(yùn)算現(xiàn)已知123，234，并且有一個(gè)非零實(shí)數(shù)d，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)都有xdx，則d答案：4解析：axbdcdxx取x0，代入得，bd0，但d0，故b0，a2b2c3，2a3b6c4a5,c1取x1代入，得d4經(jīng)驗(yàn)算：xy5xxy，對(duì)于一切x，有x45x4xx成立故d41984*一、(本題滿(mǎn)分15分)下列命題是否正確？若正確，請(qǐng)給予證明，否則給出反例。若P,Q是直線l同側(cè)的兩不同

8、點(diǎn)，則必存在兩個(gè)不同的圓，通過(guò)P,Q且與直線l相切；若a0,b0，且a1，b1，則logbloga2；abrrr則必有AB。解析：若PQ/l，則只能作出一個(gè)圓過(guò)P,Q且與直線l相切；若a1,0b1，則logbloga2；abrrAB1983*1、設(shè)p,q是自然數(shù)，條件甲：p3q3是偶數(shù)；條件乙：pq是偶數(shù)那么（）A甲是乙的充分而非必要條件B甲是乙的必要而非充分條件C甲是乙的充要條件D甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件答案：C解析：p3q3pqp2pqq2又pqpq2q，故pq與pq的奇偶性相同pq為偶數(shù)，得pq為偶數(shù)，p3q3為偶數(shù)pq為奇數(shù)，p,q一奇一偶，p3q3為奇數(shù)故選C1112

9、1982*8、當(dāng)a,b是兩個(gè)不相等的正數(shù)時(shí)，下列三個(gè)代數(shù)式：甲：ab，乙：ab，ababab22丙：，中間，值最大的一個(gè)是（）2abA必定是甲B必定是乙C必定是丙D一般并不確定，而與a,b的取值有關(guān)答案：D解析：甲乙，但甲、丙大小不確定故選D1981*1、條件甲：兩個(gè)三角形的面積和兩條邊對(duì)應(yīng)相等條件乙：兩個(gè)三角形全等則下列正確的是（）A甲是乙的充分必要條件B甲是乙的必要條件C甲是乙的充分條件D甲不是乙的必要條件，也不是乙的充分條件答案：B解析：乙甲，但甲乙，故選B.1981*2、條件甲：1sina條件乙：sincos22a則下列正確的是（）A甲是乙的充分必要條件B甲是乙的必要條件C甲是乙的充分

10、條件D甲不是乙的必要條件，也不是乙的充分條件答案：D解析：由1sina得sin2cos2a；而sincos22a，得1sina故選D1981*10、(本題15分)組裝甲、乙、丙三種產(chǎn)品，需用A,B,C三種零件每件甲需用A,B各2個(gè)；每件乙需用B,C各1個(gè)；每件丙需用2個(gè)A與1個(gè)C用庫(kù)存的A,B,C三種零件，如組裝成p件甲產(chǎn)品、q件乙產(chǎn)品和r件丙產(chǎn)品，則剩下2個(gè)A和1個(gè)B，但C恰好用完試證：無(wú)論怎樣改變甲、乙、兩產(chǎn)品的件數(shù)，也不能把庫(kù)存的A,B,C三種零件都恰好用完解析：已知即：每個(gè)甲用A2，B2，每個(gè)乙用B1，C1，每個(gè)丙用A2，C1共有A產(chǎn)品2p2r2件；B產(chǎn)品2pq1件；C產(chǎn)品qr件設(shè)組裝m件甲，n件乙，k件丙，則用2m2k件A；用2mn件B；用nk件C如全部用完，則有pr1mkqrnk2p2r22m2k2pq12mn(1)(2)(3)(4)(2)(3)(4)：3p23m這是不可能的故證(1981*11、本題20分)一張臺(tái)球桌形狀是正六邊形ABCDEF，一個(gè)球從AB的中點(diǎn)P擊出，擊中BC邊上的某點(diǎn)Q，并且