1、導數(do sh)與函數專練作業(三十三)1(2014鄭州質量(zhling)預測)(本小題滿分(mn fn)14分)已知函數f(x)xex.(1)求函數f(x)的單調區間和極值；(2)當0 xf(eq f(k,x)，求實數k的取值范圍解析(1)由題知f(x)(1x)ex(xR)，當f(x)0時，x1，當f(x)1，(3分)所以函數f(x)的單調遞增區間為(，1)，單調遞減區間為(1，)，其極大值為f(1)eq f(1,e)，無極小值(5分)(2)由題知0 x1，當k0時，因為eq f(k,x)0 xf(eq f(k,x)，符合題意；(7分)當0kf(1)，這與函數在(，1)上單調遞增不符；(

2、9分)當k1時，因為eq f(k,x)eq f(1,x)1，由(1)知函數f(x)在(1，)上單調遞減，所以f(eq f(k,x)f(eq f(1,x)，即只需證f(x)f(eq f(1,x)，即證xexeq f(1,x)eeq f(1,x).即lnxxlnxeq f(1,x)，2lnxxeq f(1,x)0，令h(x)2lnxxeq f(1,x)(0 x1)，則h(x)eq f(x22x1,x2)eq f(x12,x2)0對0 xh(1)0.所以f(x)f(eq f(k,x)，符合題意(13分)綜上：k(，01，)為所求(14分)2(2014南通調研)(本小題滿分16分)已知函數f(x)(x

3、a)2ex在x2處取得極小值(1)求實數a的值；(2)是否存在區間m，n，使得f(x)在該區間上的值域為e4m，e4n？若存在，求出m，n的值；若不存在，請說明理由解析(1)f(x)ex(xa)(xa2)，由題意知f(2)0，解得a2或a4.(2分)當a2時，f(x)exx(x2)，易知f(x)在(0,2)上為減函數，在(2，)上為增函數，符合題意；當a4時，f(x)ex(x2)(x4)，易知f(x)在(0,2)上為增函數，在(2,4)上為減函數，不符合題意所以滿足條件的a2.(5分)(2)因為f(x)0，所以m0.(7分)若m0，因為f(0)42，所以(n2)2ene4n.(9分)設g(x)

4、eq f(x22,x)ex(x2)，則g(x)eq f(x24,x2)eq f(x22,x)ex0，所以(suy)g(x)在(2，)上為增函數由于(yuy)g(4)e4，即方程(fngchng)(n2)2ene4n有唯一的解為n4.(11分)若m0，則2m，n，即nm2或0mnm2時，eq blcrc (avs4alco1(fmm22eme4m，,fnn22ene4n，)由可知不存在滿足條件的m，n.(13分)當0mn2時，eq blcrc (avs4alco1(m22eme4n，,n22ene4m，)兩式相除，得m(m2)2emn(n2)2en.設h(x)x(x2)2ex(0 x2)則h(x

5、)(x3x24x4)ex(x2)(x1)(x2)ex.h(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,2)上單調遞減，由h(m)h(n)，得0m1,1n2.此時(m2)2em4e4n，與(m2)2eme4n矛盾綜上所述，滿足條件的m，n的值只有一組，即m0，n4.(16分)3(2014湖南郴州二模)(本小題滿分14分)設函數f(x)x2aln(x1)有兩個極值點x1，x2，且x1m成立，求實數m的取值范圍解析(1)由f(x)x2aln(x1)，得f(x)2xeq f(a,x1)eq f(2x22xa,x1)(x1)令g(x)2x22xa(x1)，則其對稱軸為xeq f(1,2)，故由題意(t y)可知

6、x1，x2是方程(fngchng)g(x)0的兩個均大于1的不相等(xingdng)的實數根，其充要條件為eq blcrc (avs4alco1(48a0，,g1a0，)解得0aeq f(1,2).(5分)(2)由(1)可知f(x)eq f(2x22xa,x1)eq f(2xx1xx2,x1)，其中1x10，即f(x)在區間(1，x1)上單調遞增；當x(x1，x2)時，f(x)0，即f(x)在區間(x2，)上單調遞增(9分)(3)由(2)可知f(x)在區間(x1，)上的最小值為f(x2)又由于g(0)a0，因此eq f(1,2)x20.又由g(x2)2xeq oal(2,2)2x2a0可得a(

7、2xeq oal(2,2)2x2)，從而f(x2)xeq oal(2,2)aln(x21)xeq oal(2,2)(2xeq oal(2,2)2x2)ln(x21)設h(x)x2(2x22x)ln(x1)，其中eq f(1,2)x0，則h(x)2x2(2x1)ln(x1)2x2(2x1)ln(x1)由eq f(1,2)x0，ln(x1)0，故h(x)在(eq f(1,2)，0)上單調遞增所以(suy)f(x2)h(x2)h(eq f(1,2)eq f(12ln2,4).故實數(shsh)m的取值范圍(fnwi)為meq f(12ln2,4).(14分)4(2014湖南)(本小題滿分13分)已知

8、函數f(x)xcosxsinx1(x0)(1)求f(x)的單調區間；(2)記xi為f(x)的從小到大的第i(iN*)個零點，證明：對一切nN*，有eq f(1,xoal(2,1)eq f(1,xoal(2,2)eq f(1,xoal(2,n)0，此時f(x)0；當x(2k1)，(2k2) (kN)時，sinx0.故f(x)的單調遞減區間為(2k，(2k1)(kN)，單調遞增區間為(2k1)，(2k2)(kN)(5分)(2)由(1)知，f(x)在區間(0，)上單調遞減，又feq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)0，故x1eq f(,2).當nN*時，因為f(n)f(n1)(1)nn

9、1(1)n1(n1)10，且函數f(x)的圖像是連續不斷的，所以f(x)在區間(n，(n1)內至少存在一個零點又f(x)在區間(n，(n1)上是單調的，故nxn1(n1).(9分)因此(ync)當n1時，eq f(1,xoal(2,1)eq f(4,2)eq f(2,3)； 當n2時，eq f(1,xoal(2,1)eq f(1,xoal(2,2)eq f(1,2)(41)eq f(2,3)；(10分)當n3時，eq f(1,xoal(2,1)eq f(1,xoal(2,2)eq f(1,xoal(2,n)eq f(1,2)eq blcrc(avs4alco1(41f(1,22)f(1,n12)eq f(1,2)eq blcrc(avs4alco1(5f(1,12)f(1,n2n1)eq f(1,2)eq blcrc(avs4alco1(5blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1,3)blc(rc)(avs4alco1(f(1,n2)f(1,n1)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(6f(1,n1)eq f(6,2)eq f(2,3).綜上所述，對一切(yqi)n