1、復旦高等代數II（15級）每周一題問題2016S01設$f(x)=xAn+a_n-1xn-1+cdots+a_1x+a_0$是整系數首一多項式，滿足：$|a_0|$是素數且$|a_0|1+sum_i=1“n-1|a_i|,$證明：$f(x)$是有理數域上的不可約多項式.注上述不可約多項式的判別法稱為Osada定理.問題2016S02(1)設$varphi$是$n$維線性空間$V$上的線性變換,$V$有一個直和分解：$V=V_1oplusV_2opluscdotsoplusV_m,$其中每個$V_i$都是$varphi$-不變子空間.設$lambda_O$是$varphi$的特征值，$V_0=v

2、inVmidvarphi(v)=lambda_Ov$為對應的特征子空間，$V_i,0=vinV_imidvarphi(v)=lambda_Ov$為$V_i$的子空間($i=1,cdots,m$).證明：$V_0=V_1,0oplusV_2,0opluscdotsoplusV_m,0.$設$n$階方陣$A=mathrmdiagA_1,A_2,cdots,A_m$為分塊對角陣,其中$A_i$是$n_i$階方陣任取$A_i$的特征值$lambda_i$和特征向量$0neqalpha_iinmathbbCAn_i$,證明：可在$alpha_i$的上下添加適當多的零,得到非零向量$widetildeal

3、pha_iinmathbbCAn$,使得$Awidetildealpha_i=lambda_iwidetildealpha_i$,即$widetildealpha_i$是$A$關于特征值$lambda_i$的特征向量,稱為$alpha_i$的延拓.假設同(2),任取$A$的特征值$lambda_0$,并設$lambda_0$是$A_i_1,cdots,A_i_r$的特征值,但不是其他$A_j,(1leqjleqm,jneqi_1,cdots,i_r)$的特征值,證明：$A$關于特征值$lambda_0$的特征子空間的一組基可取為$A_i_k,(k=1,cdots,r)$關于特征值$lambda

4、_0$的特征子空間的一組基的延拓的并集.問題2016S03(1)$n$元非零復系數多項式$f(x_1,x_2,cdots,x_n)$的零點集$Z(f)=(a_1,a_2,cdots,a_n)inmathbbCAnmidf(a_1,a_2,cdots,a_n)=0$稱為$mathbbCAn$中的一個超曲面.證明：若把線性同構$M_n(mathbbC)congmathbbCAnA2$看成是等同,則所有不可對角化的$n$階復矩陣包含在$mathbbCAnA2$的一個超曲面中.(2)設$A=(a_ij)$為$n$階復矩陣,證明：存在$n$階矩陣$A(t)=(a_ij(t)$,其中$a_ij(t)$是關

5、于$t$的多項式,使得$A(0)=A$,即$a_ij(O)=a_ij$對任意的$i,j$都成立，并且當$0sumlimits_i=0Am-1|a_i|$.證明：矩陣方程$2X+AX=XAA2$只有零解.問題2016S05設$A=(a_ij)$為$n$階復矩陣，證明：存在正數$delta$,使得對任意的$sin(O,delta)$,下列矩陣均可對角化：$A(s)=beginpmatrixa_11+s&a_12&cdots&a_1na_21&a_22+sA2&cdots&a_2nvdots&vdots&vdotsa_n1&a_n2&cdots&a_nn+sAnendpmatrix.$注本題由樓紅衛

6、教授提供.問題2016S06(1)設$A(lambda)=(a_ij(lambda)$是$n$階$lambda$-矩陣，則其行列式定義為$|A(lambda)|=sum_(i_1,i_2,cdots,i_n)inS_n(-1)AN(i_1,i_2,cdots,i_n)a_i_11(lambda)a_i_22(lambda)cdotsa_i_nn(lambda).$利用上述定義證明：$n$階$lambda$-矩陣的行列式滿足九條性質，其中前八條參考教材的第1.3節和第1.4節，第九條性質參考教材的定理1.4.1和定理1.4.2.(2)證明：$lambda$-矩陣的行列式滿足Laplace定理和C

7、auchy-Binet公式.特別地，設$A(lambda),B(lambda)$為$n$階$lambda$-矩陣，則$|A(lambda)cdotB(lambda)|=|A(lambda)|cdot|B(lambda)|,$即$lambda$-矩陣乘積的行列式等于其行列式的乘積.設$n,(ngeq2)$階$lambda$-矩陣$A(lambda)$的伴隨矩陣為$A(lambda)A*$,它的元素即為$A(lambda)$中元素的代數余子式，因此$A(lambda)A*$也是一個$n$階$lambda$-矩陣.設$A(lambda),B(lambda)$為$n,(ngeq2)$階$lambda$

8、-矩陣，證明$lambda$-矩陣的伴隨矩陣滿足如下性質：$A(lambda)A(lambda)A*=A(lambda)A*A(lambda)=|A(lambda)|I_n$;$(A(lambda)B(lambda)A*=B(lambda)A*A(lambda)A*$;$|A(lambda)A*|=|A(lambda)|An-1$;$(A(lambda)A*)A*=|A(lambda)|An-2A(lambda)$.設$AinM_n(mathbbK)$的特征多項式$f(lambda)=|lambdal_n-A|$,試對特征矩陣$lambdal_n-A$利用(3.1)證明Cayley-Hamil

9、ton定理,即$f(A)=0$.設$A(lambda)$為$n$階$lambda$-矩陣，證明下列結論等價：$A(lambda)$是可逆$lambda$-矩陣；$A(lambda)$的行列式是非零常數；$A(lambda)$的相抵標準型是$l_n$;$A(lambda)$只通過$lambda$-矩陣的初等行變換或初等列變換就可變為$l_n$;$A(lambda)$是有限個初等$lambda$-矩陣的乘積，上述結論之一成立時，$A(lambda)A-1=dfrac1|A(lambda)|A(lambda)A*$.注上述結論的(2)和(5)將會在講授教材第7.2節時給出證明.問題2016S07設$

10、A$為3階實矩陣，滿足$AA=kA2I_3$且$|A|=kA3$,其中$k$是非負實數.求證：存在實數$tin-1,3$,使得$AA3-tkAA2+tkA2A-kA3l_3=0.$問題2016S08試用線性空間理論以及多項式理論重新證明教材中的推論7.3.4:設$mathbbFsubseteqmathbbK$是兩個數域,$A,B$是$mathbbF$上的兩個矩陣,則$A,B$在$mathbbF$上相似當且僅當$A,B$在$mathbbK$上相似.提示將$mathbbK$看成是$mathbbF$上的線性空間，當$dim_mathbbFmathbbKinfty$時，把基寫出并把$mathbbK$上

11、的過渡矩陣寫成$mathbbF$上矩陣的$mathbbK$-線性組合，然后再利用多元多項式理論得到$mathbbF$上的過渡矩陣；當$dim_mathbbFmathbbK=infty$時，由Zorn引理可取到一組基(個數無限)，重復上述討論時仍可回到有限的情形.問題2016S09設$V$是數域$mathbbK$上的$n$維線性空間，$varphi$是$V$上的線性變換.設$0neqvinV$,多項式$g(lambda)inmathbbKlambda$,若$g(varphi)(v)=O$,則稱$g(lambda)$為$varphi$在$v$處的零化多項式.若首一多項式$m_v(lambda)in

12、mathbbKlambda$是$varphi$在$v$處所有非零零化多項式中的次數最小者，則稱$m_v(lambda)$為$varphi$在$v$處的極小多項式(當固定$varphi$時，$m_v(lambda)$簡稱為$v$的極小多項式).證明：對任意的$0neqvinV$,其極小多項式$m_v(lambda)$存在并且唯一(先證基本性質:極小多項式整除任意的零化多項式).設$0neqvinV$,由$v,varphi(v),varphiA2(v),cdots$張成的子空間記為$C(varphi,v)$,稱為$varphi$的由$v$生成的循環子空間(這是包含$v$的最小的$varphi$-不

13、變子空間)，$v$稱為循環子空間$C(varphi,v)$的循環向量.設$dimC(varphi,v)=k$,證明：$v,varphi(v),cdots,varphiAk-1(v)$是$C(varphi,v)$的一組基.若設$varphiAk(v)=-a_0v-a_1varphi(v)-cdots-a_k-1varphiAk-1(v),$令$m_v(lambda)=lambdaAk+a_k-1lambdaAk-1+cdots+a_1lambda+a_0,$證明：$m_v(lambda)$是$v$的極小多項式.記號和假設同(2),證明：$C(varphi,v)$中任一向量都可寫成$g(varph

14、i)(v)$的形式,其中$g(lambda)inmathbbKx$,$degg(lambda)k$;$g(varphi)(v)$也是$C(varphi,v)$的循環向量(即$C(varphi,g(varphi)(v)=C(varphi,v)$)的充要條件是$(g(lambda),m_v(lambda)=1$;對$m_v(lambda)$的任一非常數首一因式$h(lambda)$,存在$0neqwinC(varphi,v)$,使得$m_w(lambda)=h(lambda)$;$C(varphi,v)$只有有限個$varphi$-不變子空間，即為$C(varphi,g(varphi)(v)mid

15、g(lambda)$是$m_v(lambda)$的首一因式$.設$0nequ,vinV$的極小多項式分別為$m_u(lambda),m_v(lambda)$,證明：若$(m_u(lambda),m_v(lambda)=1$,則$C(varphi,u)+C(varphi,v)=C(varphi,u)oplusC(varphi,v)$,并且$u+v$的極小多項式為$m_u(lambda)cdotm_v(lambda)$;存在$0neqwinC(varphi,u)+C(varphi,v)$,使得$m_w(lambda)=m_u(lambda),m_v(lambda)$.設$v_1,v_2,cdots

16、,v_n$是$V$的一組基，$m_i(lambda)$分別是$v_i$的極小多項式，$m(lambda)$是$varphi$的極小多項式，證明：$m(lambda)=m_1(lambda),m_2(lambda),cdots,m_n(lambda).$設$m(lambda)$是$varphi$的極小多項式,證明:存在$0neqvinV$,使得$v$的極小多項式$m_v(lambda)=m(lambda)$.設$varphi$在$mathbbK$中有$n$個不同的特征值$lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_n$,對應的特征向量為$v_1,v_2,cdots,v_n$,證

17、明：$V$是循環空間,并求其循環向量.注第6問可由有理標準型理論或線性空間理論得到直接的存在性證明，這里請利用前5問的結論給出具體的構造性證明.問題2016S10(1)證明實對稱陣的特征值都是實數,進一步利用Jordan標準型理論和反證法證明實對稱陣都可實對角化.(2)證明實反對稱陣的特征值都是0或純虛數,進一步利用Jordan標準型理論和反證法證明實反對稱陣都可復對角化.問題2016S11(1)設$AinM_n(mathbbC)$與所有的$AAk,(kgeq1)$都相似，求$A$的Jordan標準型.(2)設非異陣$AinM_n(mathbbC)$與$AA-1$相似，求$A$的Jordan標

18、準型.注本題為新白皮書例7.7和例7.8的逆向命題.問題2016S12設$A$是非異復矩陣，證明：$A=BC$,滿足：$B$可對角化;$C$的特征值全為$1$;$BC=CB$;$B,C$都可表示為$A$的多項式，并且滿足條件(1)-(3)的分解必唯一.注本題稱為乘法形式的Jordan-Chevalley分解定理.問題2016S13設$varphi$是數域$mathbbK$上$n$維線性空間$V$上的線性變換,其特征多項式$f(lambda)=P_1(lambda)P_2(lambda)cdotsP_k(lambda)$,其中$P_i(lambda)$是$mathbbK$上互異的首一不可約多項式

19、試求所有的$varphi$-不變子空間.問題2016S14證明：對任意的非異陣$AinM_n(mathbbC)$,存在$BinM_n(mathbbC)$，使得$mathrmeAB=A$.問題2016S15設$f(z)$是收斂半徑等于$+infty$的復幕級數,證明：對任一$AinM_n(mathbbC)$,存在一個依賴于$A$的多項式$g(lambda)inmathbbClambda$,使得$f(A)=g(A)$.注矩陣函數也可以用多項式來定義.本題告訴我們,這種定義與幕級數的定義是等價的.問題2016S16(1)設$A$為$n$階正定實對稱陣，證明：對任意的$xinmathbbRAn$,成立

20、$0leqx(A+xx)A-1x1$,并求等于零的充要條件；進一步，對任意的$BinM_ntimesm(mathbbR)$,成立$0leq|B(A+BB)A-1B|1$,并求等于零的充要條件；(2)設$A$為$n$階半正定實對稱陣,證明：存在$xinmathbbRAn$,使得$A+xx$正定且$x(A+xx)A-1x=1$的充要條件是$r(A)=n-1$；進一步,存在$BinM_ntimesm(mathbbR),(mleqn)$,使得$A+BB$正定且$|B(A+BB)A-1B|=1$的充要條件是$r(A)=n-m$.問題2016S17設$A$為$n$階實對稱陣，其特征值為$lambda_1l

21、eqlambda_2leqcdotsleqlambda_n$,證明：$lambda_i=minlimits_V_imaxlimits_0neqxinV_ifracxAxxx=maxlimits_V_n-i+1minlimits_0neqxinV_n-i+1fracxAxxx,(i=1,2,cdots,n),$其中$V_j$表示$mathbbRAn$的$j$維子空間.注本題的結論稱為極小極大定理或Courant-Fisher定理.問題2016S18設$A$為$n$階實對稱陣，其特征值為$lambda_1leqlambda_2leqcdotsleqlambda_n$.(1)設$S$為$ntimes

22、m$階實矩陣,滿足$SS=I_m$,$m$階實對稱陣$SAS$的特征值為$mu_1leqmu_2leqcdotsleqmu_n$,證明：$lambda_jleqmu_j,lambda_n-j+1geqmu_m-j+1,(j=1,2,cdots,m)；$(2)若$A_m$是$A$的$m$階主子陣，其特征值為$mu_1leqmu_2leqcdotsleqmu_n$,證明：$lambda_jleqmu_j,lambda_n-j+1geqmu_m-j+1,(j=1,2,cdots,m).$注本題的結論稱為“特征值隔離定理”或“Poincare定理”，結論(2)稱為“Cauchy交錯定理”.問題2016

23、S19設$n$階實對稱陣$A,B$的特征值分別為$lambda_1leqlambda_2leqcdotsleqlambda_n$,$mu_1leqmu_2leqcdotsleqmu_n$,$C=A+B$的特征值為$nu_1leqnu_2leqcdotsleqnu_n$,證明：$lambda_j+mu_1leqnu_jleqlambda_j+mu_n,(j=1,2,cdots,n).$特別地,$|nu_j-lambda_j|leq|B|_2：=max|mu_1|,|mu_n|.$注本題的結論稱為“Weyl攝動定理”.問題2016S20設$V$是實(復)線性空間，若存在$V$上的實值函數$|,cd

24、ot,|:VtomathbbR$,對任意的$alpha,betainV$,$cinmathbbR,(mathbbC)$,滿足：非負性：$|alpha|geq0$,等號成立當且僅當$alpha=O$;齊次性:$|calpha|=|c|cdot|alpha|$;三角不等式：$|alpha+beta|leq|alpha|+|beta|$,則稱$|,cdot,|$是$V$上的一個范數.給定范數的實(復)線性空間稱為賦范線性空間例如在內積空間$V$中,由內積$(-,-)$誘導的范數為$|alpha|=(alpha,alpha)Afrac12$,因此內積空間必為賦范線性空間.證明下列實值函數是$mathbbRAn$上的范數其中$alpha=(a_1,a_2,cdots,a_n)inmathbbRAn$:$|alpha|_1：=sumlimits_i=1An|a_i|$(稱為1-范數);$|alpha|_2：=Big(sumlimits_i=1Ana_iA2Big)Afrac12$(稱為2-范數,即由Euclid空間$mathbbRAn$上的標準內積誘導的Euclid范數);$|alpha|_infty:=maxlimits