1、第4章 拉氏變換與延續時間系統S域分析1、拉普拉斯變換2、拉普拉斯變換的性質3、拉普拉斯逆變換4、復頻域分析5、系統函數及其穩定性分析主要內容： 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.1 引言4.1 引言 傅立葉分析可將恣意信號分解為不同頻率的虛指數函數之和，使系統呼應的求解得到簡化；給出的結果有清楚的物理意義。但也存在明顯缺乏：一、傅立葉分析運用條件上的限制：1運用傅立葉分析必需滿足一定的條件，因此限制 了它的運用范圍；2對于給定初始形狀的系統難于進展頻域分析。 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS 針對第一個問題即找到一種新的變換，

2、既有類似于傅立葉變換的性質，又能抑制在運用上的局限。4.1 引言 19世紀末，英國電氣工程師赫維塞德O. Heaviside 1850-1925發明了“運算法算子法以處理運算中的問題。赫維塞德拉普拉斯 赫維塞德算子法的數學根底是來源于法國數學家拉普拉斯P.S.Laplace, 1749-1825的研討。 拉普拉斯變換由此建立起來。 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.2 拉普拉斯變換的定義、收斂域拉普拉斯變換的優點：1問題求解簡化；初始條件被自動計入，應 用更加普遍;2把微分、積分方程轉化為代數方程；3將復雜函數轉化為簡單的初等函數；4將卷積轉化為乘法運算;5利

3、用系統函數零、極點分布可以簡明描畫 系統性能. 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.2 拉普拉斯變換的定義、收斂域一、從傅立葉變換到拉普拉斯變換 在第3章中知道，有些函數不滿足絕對可積的條件，使求解傅立葉變換困難。為此，引入一衰減因子 為實常數乘以信號 。 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.2 拉普拉斯變換的定義、收斂域一、從傅立葉變換到拉普拉斯變換 不難看出，只需選取 ，那么信號 在時間正、負方向上信號幅度趨近于 0，從而使 的傅立葉變換存在。于是有 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS相應的傅立葉

4、逆變換為令那么那么有雙邊拉普拉斯變換對4.2 拉普拉斯變換的定義、收斂域 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS將上兩式記為4.2 拉普拉斯變換的定義、收斂域 的雙邊拉氏變換或象函數 的雙邊拉氏逆變換或原函數拉普拉斯變換與傅里葉變換的區別：變量 t、 都是實數即：傅里葉變換建立了時域與頻域之間的聯絡；拉普拉斯變換建立了時域與復頻域之間的聯絡。 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMSFT: 時域函數頻域函數變量 t變量 變量 t變量s 復頻率 t實數復數 LT: 時域函數復頻域函數4.2 拉普拉斯變換的定義、收斂域 魯東大學電子與電氣工程學院S

5、IGNALS AND SYSTEMS二、雙邊拉普拉斯變換及其收斂域 當函數 乘以一衰減因子 后，只需 滿足一定的條件，才干使信號 收斂，其積分存在，它的拉普拉斯變換才存在。 使 存在 的取值范圍，稱為雙邊拉普拉斯變換的收斂域。4.2 拉普拉斯變換的定義、收斂域 下面舉例闡明 的收斂問題。 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS例題4-2-1 知因果信號 ，求其拉氏變換。解：收斂域收斂邊境可見，對于因果信號，僅當 時，其拉氏變換存在。不定無界4.2 拉普拉斯變換的定義、收斂域收斂坐標 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS例題4-2-2 反因果

6、信號 ，求其拉氏變換。解：不定無界可見，對反因果信號，僅當 時，其拉氏變換存在。4.2 拉普拉斯變換的定義、收斂域 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS例題4-2-3 雙邊信號如下，求其拉氏變換。解：其雙邊拉氏變換為4.2 拉普拉斯變換的定義、收斂域當 時,上式第一項存在；當 時，上式第二項存在. 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS 僅當 時，其收斂域為 的一個帶狀區域。4.2 拉普拉斯變換的定義、收斂域 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS例題4-2-4 求以下雙邊信號的拉氏變換。解： 可見，原函數不同，象

7、函數一樣，但收斂域不同。所以雙邊拉氏變換必需標明收斂域。4.2 拉普拉斯變換的定義、收斂域 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS結論：1對于雙邊拉普拉斯變換，象函數Fb (s)和收斂域共同確定原函數f(t)。2不同的信號f(t)可以有一樣的 Fb(s) ，但它們的收斂域不同；不同的信號假設有一樣的收斂域，那么它們的Fb (s) 也不同。4.2 拉普拉斯變換的定義、收斂域 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS三、單邊拉普拉斯變換 實踐運用中所討論的信號都有初始時辰，普通設t0時，f(t)=0。從而拉氏變換寫為單邊拉普拉斯變換4.2 拉普拉斯

8、變換的定義、收斂域留意：積分下限取為0-是思索到f(t)中能夠包含沖激函 數其各階導數。 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS單邊拉普拉斯變換存在定理：4.2 拉普拉斯變換的定義、收斂域假設函數f(t)滿足：1在有限區間 其中 內可積；2對于某一 有那么對于 ，f(t)的拉氏變換一定存在。闡明：滿足條件1和2的因果函數f(t)存在拉氏變換，其收斂域為 的右半平面。 稱為收斂坐標, 與f(t)性質有關。0例如： 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.2 拉普拉斯變換的定義、收斂域收斂域 也就是說：單邊拉氏變換的收斂域為平行于 軸的一條收斂

9、軸的右邊區域，即0例如 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.2 拉普拉斯變換的定義、收斂域 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.2 拉普拉斯變換的定義、收斂域例題4-2-5 求以下矩形脈沖信號的拉氏變換其它解:信號f(t)顯然可積，而且 ，無論 取任何值，都有即其收斂域為那么結論：僅在有限區間 不等于0，而在該區間外為0的可積信號，其拉氏變換在全 s 平面收斂。 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS四、常用函數的拉普拉斯變換1、階躍函數2、指數函數4.2 拉普拉斯變換的定義、收斂域 魯東大學電子與電氣工

10、程學院SIGNALS AND SYSTEMS3、 函數所以容易求得那么4.2 拉普拉斯變換的定義、收斂域 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS必需留意的是：所討論的單邊拉氏變換是從0點開場積分，因此，t0時辰，那么有4.2 拉普拉斯變換的定義、收斂域5、復指數函數假設 ，那么得虛指數函數的拉氏變換為 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.3 拉普拉斯變換的性質4.3 拉普拉斯變換的性質一、線性特性linearity設K1、K2為常數，假設那么 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.3 拉普拉斯變換的性質線性

11、舉例例題4-3-1 求 的拉氏變換解：同樣可求得 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.3 拉普拉斯變換的性質線性舉例例題4-3-2 知 ，求其拉氏逆變換解：由于所以 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.3 拉普拉斯變換的性質二、時域微分特性differentiation in the time domain假設 ，那么普通地，有其中 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.3 拉普拉斯變換的性質線性、微分特性舉例例題4-3-3 求解微分方程解：對方程兩邊取拉氏變換，并根據線性和微分特性有代入給定的初始值

12、，得那么 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.3 拉普拉斯變換的性質三、s域微分特性 differentiation in s-domain 假設 ，那么普通地，有例題4-3-4 求函數 的拉氏變換解： 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.3 拉普拉斯變換的性質四、時域積分特性integration in the time domain假設 ，那么普通地，有或記為留意積分下限其中 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS六、延時特性time delay時域平移4.3 拉普拉斯變換的性質假設 ，那么七、S域平

13、移 shifting in s-domain 假設 ，那么 延遲t0后的信號，并非 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.3 拉普拉斯變換的性質s域平移舉例例題4-3-5 求函數 的拉氏變換解：知那么同樣可求得 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.3 拉普拉斯變換的性質八、尺度變換 scaling 假設 ，那么 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.3 拉普拉斯變換的性質九、初值定理 initial-value theorem 假設函數 不含沖激函數及其各階導數， 的拉氏變換存在， ，那么初值和終值定理

14、常用于由 直接求 和 的值，而不用求出原函數 。 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.3 拉普拉斯變換的性質假設函數 含有沖激函數及其各階導數， 的拉氏變換存在，此時 ，那么初值定理運用條件： 必需是真分式！ 假設 不是真分式，那么可利用長除法使 中出現真分式項 那么真分式 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.3 拉普拉斯變換的性質初值定理舉例解：例題4-3-6 知求 假設直接用 那么將得到 的錯誤結論。真分式那么 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.3 拉普拉斯變換的性質十、終值定理 expira

15、tion-value theorem 假設 ， 的拉氏變換存在， ，而且 存在，那么 當且僅當F(s)在s平面的虛軸上原點除外及其右半平面都為解析時，終值定理才可運用。 即：當且僅當F(s)的全部極點在左半s平面，或在s=0處只需一階極點時，終值定理才可運用。 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.3 拉普拉斯變換的性質例題4-3-7 知 ，求解：例題4-3-8 知在虛軸上所以， 的終值不存在。 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.3 拉普拉斯變換的性質十一、卷積定理假設 ， ，那么有, 1時域卷積 convolution theo

16、rem in time domain 2s域卷積 convolution theorem in complex frequency domain 假設 ， ，那么有 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.4 拉普拉斯逆變換4.4 拉普拉斯逆變換拉氏逆變換的求法：1直接利用逆變換的定義式求得；2利用拉氏變換的性質求得查表；3部分分式展開，結合性質求得 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.4 拉普拉斯逆變換一、部分分式展開法赫維塞德展開法 假設象函數 是s 的有理分式，其普通方式為將分母寫作如下方式是方程 的根。其中稱為 的“極點。 魯

17、東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.4 拉普拉斯逆變換同樣，可將分子寫作如下方式是方程 的根。其中稱為 的“零點。假設 均為實數，且無重根 可分解為以下方式當 時，1 的根無重根，且根為實數， 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.4 拉普拉斯逆變換待定系數那么所求拉氏逆變換為 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.4 拉普拉斯逆變換例題4-4-1 知 ，求其逆變換。解：寫成部分分式展開方式 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.4 拉普拉斯逆變換留意：以上討論假設 ，假設不

18、滿足此條件， 那么上面的方法將不能運用。 下面討論 的情況。按上述方法求得的反變換只適用與 的情況 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.4 拉普拉斯逆變換例題4-4-2 知 ，求其逆變換。解：用長除法求即滿足mn 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.4 拉普拉斯逆變換F(s)展開為以下方式那么 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS那么 求得 4.4 拉普拉斯逆變換2 包含共軛復根共軛極點 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS那么可求出對應共軛復數極點的有關部分的逆變換為4.4

19、 拉普拉斯逆變換 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS例題4-4-3 知 ，求其逆變換。4.4 拉普拉斯逆變換解：共軛復數極點 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.4 拉普拉斯逆變換由于所以那么有 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.4 拉普拉斯逆變換與極點無關的部分求得令于是有3 有重根 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.4 拉普拉斯逆變換對上式求導，可得由此得到普通方式 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.4 拉普拉斯逆變換例題4-4

20、-4 知 ，求其逆變換。解：將F(s)寫成展開式為求與重根有關的系數，令那么 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS于是有所求的逆變換為4.4 拉普拉斯逆變換 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.4 拉普拉斯逆變換二、圍線積分法留數法根據復變函數中的留數定理 上式左邊的積分是在 s 平面內，沿一條不經過被積函數極點的封鎖曲線C進展，等式右邊的積分是在此圍線C中被積函數各極點上留數之和。關鍵問題是求出圍線內各極點的留數！ 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.4 拉普拉斯逆變換 為運用留數定理，在求拉氏逆變換

21、的積分線路由 到 上補一條積分線路以構成一封鎖曲線。如右圖。那么原函數可表示為當 為有理函數時，假設 為一階極點，那么留數為 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS假設 為k 階極點，那么留數為例題4-4-5 知 ，求其逆變換。解：用留數法。令 求得兩個單極點一個二重極點下面求各極點上的留數4.4 拉普拉斯逆變換 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.4 拉普拉斯逆變換 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS那么有4.4 拉普拉斯逆變換 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.5 延續

22、時間系統的s域分析4.5 延續時間系統的s域分析一、求解具有初始條件的微分方程例題4-5-1 知某一系統的微分方程如下系統初始條件求當 時系統的強迫呼應和自在呼應。解：對系統的微分方程兩邊求拉氏變換，有 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.5 延續時間系統的s域分析那么得到輸出的拉氏變換強迫呼應自在呼應代入輸入 ，那么強迫呼應的拉氏變換為那么強迫呼應為 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS自在呼應的拉氏變換為4.5 延續時間系統的s域分析所求的自在呼應為系統的完全呼應為 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS

23、4.5 延續時間系統的s域分析分別畫出各呼應的波形二、實踐電路系統的s域分析 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.5 延續時間系統的s域分析 用拉氏變換分析電路的兩個途徑:1首先列寫時域微分方程，再求微分方程的拉氏變 換，求出電路呼應的拉氏變換，然后求逆變換；2利用元件的s域模型分析電路。例題4-5-2 以下圖所示電路，當t0時，開關S位于“1端，電路的形狀已穩定，t = 0時S從“1端打到“2端，分別求vC(t)與vR(t)。解：二、實踐電路系統的s域分析 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.5 延續時間系統的s域分析1求vC(

24、t) 列出微分方程如下此時將上式取拉氏變換，得求VC(s)的逆變換 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS那么有4.5 延續時間系統的s域分析2求vR(t)留意：從0-到0+發生了跳變的情況 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.5 延續時間系統的s域分析列出微分方程此時假設按0-條件，那么有 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS其中：4.5 延續時間系統的s域分析將上式取拉氏變換，有那么其中： 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.5 延續時間系統的s域分析假設按0+條件，那么有

25、那么最后分別畫出 和 的波形：t2EvR(t)0 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.5 延續時間系統的s域分析EvC(t)t-E0三、利用S域元件模型分析電路 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMSR、L、C元件時域關系R、L、C元件S域關系4.5 延續時間系統的s域分析電路元件的S 域模型+-RIR(s)VR(s) 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.5 延續時間系統的s域分析電阻元件的S 域模型或 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.5 延續時間系統的s域分析電感元件

26、的S 域模型_+IL(s)VL(s)sL利用電源轉換可以得到電流源方式的s域模型sL- +IL(s)VL(s)_ 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS+-Ic(s)Vc(s)+ -4.5 延續時間系統的s域分析電容元件的S 域模型+-IC(s)VC(s)電流源方式的s域模型： 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.5 延續時間系統的s域分析求解S域電路呼應的步驟：1畫0-等效電路；求起始形狀；2畫S域等效電路模型；3列寫S域KCL、KVL方程；4求解S域方程，求得呼應的拉氏變換；5求呼應的拉氏逆變換。例題4-5-4 用s域模型法求解以下

27、圖(a)電路的vC(t)和vR(t)。解：畫出s域模型圖(b) 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.5 延續時間系統的s域分析(a)(b) 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.5 延續時間系統的s域分析由得到而所以 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.5 延續時間系統的s域分析例題4-5-3 以下圖所示電路，當t=0前開關位于“1端，電路的進入形狀，t = 0時開關轉到“2端，求電流it (t)的全呼應。+-12解:(1)用拉氏變換解微分方程鼓勵信號寫為:系統的微分方程為兩邊微分有 魯東大學電子與電

28、氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.5 延續時間系統的s域分析將數據和鼓勵代入得兩邊取拉氏變換，得所以由題意知所以 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.5 延續時間系統的s域分析解:2 用S域模型求解+ -+-將下初始條件代入上面方程，有所以 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.6 系統函數4.6 系統函數設系統的 n 階微分方程為：設系統的初始形狀為零，對上式兩邊取拉氏變換得一、系統函數的概念 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.6 系統函數簡寫為： “系統函數或“網絡函數所以系統

29、函數系統零形狀呼應的拉氏變換與鼓勵的 拉氏變換之比。定義為 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.6 系統函數闡明： 1、H(s) 由系統構造、元件參數決議，與系統初始狀 態和輸入信號無關； 2、系統函數H(s)是在零形狀條件下得到的，它的原函 數即為系統的沖激呼應h(t)； 3、線性時不變系統的H(s)是s的有理函數，其分子、 分母多項式的根或為實數或為共軛復數; 4、普通情況下，H(s)分母多項式的根對應系統變量的 固有頻率。H(s)X(s)Y(s) 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS二、系統函數的涵義系統鼓勵與呼應為同一端口鼓勵

30、與呼應不在同一端口 那么網絡函數稱為“謀劃點函數或“驅動點函數 那么網絡函數稱之為“轉移函數或“傳輸函數系統4.6 系統函數 電路系統函數可以是阻抗、導納，也可以是數值之比電流之比電流或電壓之比電壓。 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.6 系統函數例題4-6-1 如圖為一低通濾波器，鼓勵為u1(t)。求呼應分別為i1(t)、i2(t)和u2(t)時的網絡函數。 解：畫出等效的S域電路如圖(b)+-+-(b)+-+-(a) 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.6 系統函數利用回路法列出方程+-+-(b) 魯東大學電子與電氣工程學院

31、SIGNALS AND SYSTEMS4.6 系統函數解方程得其中 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.6 系統函數其對應的網絡函數分別為：驅動點導納轉移導納轉移電壓比+-+- 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.6 系統函數 可見，系統函數 是該系統的沖激呼應 的拉氏變換。分別反映了s域和時域的系統特性。三、系統函數H(s)與沖激呼應h(t)的關系 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS四、 系統函數H(s)的求法 1由零形狀下系統的微分方程兩端取拉氏變換求得 2由沖激呼應的拉氏變換求得3用零形狀下的s

32、域模型、運用電路分析方法求得4.6 系統函數 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.6 系統函數例題4-6-2 知一平滑窗系統的輸入輸出關系為 為非負實數，求該系統的系統函數和沖激呼應。解：復指數信號 經過系統函數為的LT I系統，其輸出呼應為 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.6 系統函數而信號 經過該系統，其呼應為利用 和拉氏變換的時移特性，那么得 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.6 系統函數解:1先求電路的系統函數例題4-6-3 以下圖示電路，開關S在t = 0時辰閉合，以v2(t)作為呼

33、應，輸入信號1求沖激呼應h(t)；2求輸出電壓v2(t)；其中： 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS2卷積求v2(t)4.6 系統函數所以 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.6 系統函數求v2(t)的另一方法: 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.7 系統函數零極點分布與時域特性4.7 系統函數零、極點分布與時域特性 在s域的分析中，借助系統函數在s平面零點和極點分布的研討，可以簡明、直觀地給出系統呼應的許多規律。 系統的時域、頻域特性集中地以其系統函數的零、極點分布表現出來。 魯東大學電子與電氣工

34、程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.7 系統函數零極點分布與時域特性4.7 系統函數零、極點分布與時域特性什么是系統函數的零、極點？分母多項式的根，稱為系統的極點；分子多項式的根，稱為系統的零點；極點使系統函數值無窮大；零點使系統函數值為0 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.7 系統函數零極點分布與時域特性的分子、分母都可以分解成一階因子的乘積，即系統函數的零點系統函數的極點K系統的增益零極點增益型 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.7 系統函數零極點分布與時域特性例如極點零點只需知道H(s)在s平面的零、極點分布

35、情況，就可預言該系統在時域方面的特性一階零點二階極點一階極點 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.7 系統函數零極點分布與時域特性 對于具有一階極點的系統，可將H(s)展開成部分分式的方式那么其沖激呼應為一、H(s)零極點分布與h(t)時域波形的關系1、一階極點 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.7 系統函數零極點分布與時域特性由此可見，系統函數的極點pi決議了沖激呼應h(t)的根本 特性。 Ki 受零點和極點位置的影響，也就是說沖激呼應的 幅值由系統函數的零點和極點共同確定。下面分別討論典型極點分布與h(t)特性的關系 魯東大

36、學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.7 系統函數零極點分布與時域特性1極點位于s平面坐標原點， ，沖激呼應 即為階躍呼應。 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.7 系統函數零極點分布與時域特性2極點位于s平面的實軸上，那么沖激呼應具有指數函 數的方式。假設極點pi位于s左半平面，那么有 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.7 系統函數零極點分布與時域特性2極點位于s平面的實軸上，那么沖激呼應具有指數函 數的方式。假設極點pi位于s右半平面，那么有 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYST

37、EMS4.7 系統函數零極點分布與時域特性3假設極點為位于虛軸上的共軛極點，那么沖激呼應為 等幅度振蕩，即 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.7 系統函數零極點分布與時域特性4假設極點是位于s左半平面內的共軛極點，那么沖激 呼應為等幅度振蕩，即 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.7 系統函數零極點分布與時域特性假設極點是位于s右半平面內的共軛極點，那么 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.7 系統函數零極點分布與時域特性2. 二階極點1位于s平面坐標原點的二階極點，即 魯東大學電子與電氣工程學院

38、SIGNALS AND SYSTEMS4.7 系統函數零極點分布與時域特性2. 二階極點2位于負實軸上的二階極點 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.7 系統函數零極點分布與時域特性2. 二階極點3位于虛軸上的二階共軛極點，如結論：極點：左半s平面h(t)衰減右半s平面h(t)增長虛軸上一階極點h(t) 等幅振蕩二階極點h(t) 呈增長方式 h(t)衰減： 穩定系統極點在左半s平面 h(t)增長： 非穩定系統極點在右半s平面極點在虛軸上 一階：階躍或等幅振蕩臨界穩定 二階：以上不穩定系統 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.7 系

39、統函數零極點分布與時域特性 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.7 系統函數零極點分布與時域特性H(s)零點的位置對系統的特性有何影響？思索如下兩個系統： 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.7 系統函數零極點分布與時域特性結論：H(s)的零點分布只影響時域h(t)的幅度和相位，而不影響振蕩頻率外形。其中 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS二、H(s)零極點分布與自在呼應、強迫呼應的關系4.7 系統函數零極點分布與時域特性鼓勵：系統函數：呼應： 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYS

40、TEMS4.7 系統函數零極點分布與時域特性系統函數極點鼓勵信號極點自在呼應強迫呼應 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.7 系統函數零極點分布與時域特性結 論：1系統自在呼應的振蕩頻率由H(s)的極點決議， 與鼓勵無關；2自在呼應的幅度和相位與H(s)和X(s)的零點有 關，即零點影響Ki , Kk 系數；3X(s)的極點決議了強迫呼應的振蕩頻率，與H(s) 無關；4用H(s)只能研討零形狀呼應， H(s)中零極點相 消將使某些固有頻率喪失。 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.7 系統函數零極點分布與時域特性+-+-例題4-7

41、-1 如下圖電路知求 并指出其自在呼應與強迫呼應。解：可直接寫出S域的輸出表達式 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS由4.7 系統函數零極點分布與時域特性強迫呼應由U1(s)的極點確定自在呼應由H(s)的極點確定 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.8 系統函數零極點分布與頻響特性什么是頻響特性？ 系統在正弦信號鼓勵下，穩態呼應隨信號頻率變化的規律。分為： 幅度隨頻率的呼應 相位隨頻率的呼應4.8 系統函數零極點分布與頻響特性 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.8 系統函數零極點分布與頻響特性一、正

42、弦信號鼓勵下的系統H(s) 的呼應鼓勵系統函數系統呼應部分分式展開系數由正弦鼓勵的極點決議的系統的穩態呼應H(s)的極點決議著系統的穩定性 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.8 系統函數零極點分布與頻響特性其中 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.8 系統函數零極點分布與頻響特性那么系統穩態呼應可見，在正弦信號作用下，系統的穩態呼應依然為同頻率的正弦信號。 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.8 系統函數零極點分布與頻響特性當鼓勵信號的頻率改動時，那么系統函數可表示為系統穩態呼應其幅度、相位由系統

43、函數H(s)在 處的取值決議。幅頻呼應特性相頻呼應特性 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.8 系統函數零極點分布與頻響特性高通濾波器低通濾波器帶通濾波器帶阻濾波器通帶阻帶 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.8 系統函數零極點分布與頻響特性二、H(s) 零、極點分布與系統頻率特性設系統函數為頻率特性：可見，系統的頻率特性與零、極點分布有關，即取決于 的位置。 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.8 系統函數零極點分布與頻響特性對于恣意的零、極點都可表示為矢量方式畫出 的矢量如右圖所示。用幾何法求系

44、統頻率特性 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.8 系統函數零極點分布與頻響特性得由 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.8 系統函數零極點分布與頻響特性例題4-8-1 知系統的傳送函數 求當鼓勵 時系統的穩態呼應。解：系統的頻率特性為穩態呼應 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.8 系統函數零極點分布與頻響特性系統極點為 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS穩態呼應4.8 系統函數零極點分布與頻響特性例4-8-2 研討以下圖所示的RC高通濾波網絡的頻響特性+-+-RCv

45、1v2一階低通、高通濾波網絡的頻率呼應特性 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.8 系統函數零極點分布與頻響特性解：它有一個零點 ， 一個極點零極點在S平面的分布如以下圖 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.8 系統函數零極點分布與頻響特性本例中：普通將 中最大值的 倍所對應的頻率 稱為截止頻率。高通濾波網絡1 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.8 系統函數零極點分布與頻響特性解：例4-8-2 研討以下圖所示的RC低通濾波網絡的頻響特性+-+-RCv1v2 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS

46、 AND SYSTEMS4.8 系統函數零極點分布與頻響特性極點 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.8 系統函數零極點分布與頻響特性由那么頻率呼應特性為低通濾波網絡010截止頻率 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.8 系統函數零極點分布與頻響特性 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.8 系統函數零極點分布與頻響特性小 結：低通網絡高通網絡 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.9 全通系統與最小相移系統引例：第3章實驗中的一個例題全通系統 魯東大學電子與電氣工程學院

47、SIGNALS AND SYSTEMS4.9 全通系統與最小相移系統什么是全通函數系統？ 系統函數H(s)的極點位于左半s平面，零點位于右半s平面，且零、極點對于 軸互為鏡像。特點： 網絡的幅頻為常數，對于全部頻率的正弦信號都能按同樣的幅度傳輸系數經過。4.9 全通系統與最小相移系統一、全通函數系統 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.9 全通系統與最小相移系統全通系統s平面零、極點分布如以下圖復共軛復共軛 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.9 全通系統與最小相移系統根據全通系統的定義可知，各相應的矢量長度對應相等，即：其頻率特

48、性為幅頻特性為：關于相頻特性分析如下： 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.9 全通系統與最小相移系統結論： 全通網絡函數不影響傳輸信號的幅頻特性，只改動信號的相頻特性。 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS二、最小相移函數 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.9 全通系統與最小相移系統 在前面曾分析到，系統的零點分布只對其幅度和相位產生影響，那么零點位于s 左半平面或右半平面有什么不同？AA比B具有較小的相移 B 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.10 線性系統的穩定

49、性最小相移函數：零點僅位于左半平面或 軸的系統 函數，稱為最小相移函數。 設非最小相移函數在s右半平面的零點為 假設系統函數在s右半平面有一個或多個零點，那么稱之為“非最小相移函數。它在H(s)分子多項式中的復數因子為 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.10 線性系統的穩定性所以非最小相移函數可表示為：全通函數最小相移函數非最小相移函數 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.10 線性系統的穩定性因果系統： 其零形狀呼應不出如今鼓勵之前的系統。延續因果系統的充要條件是：或者，系統函數的收斂域即，H(s)的極點都在收斂軸 的左邊。4

50、.10 線性系統的穩定性 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.10 線性系統的穩定性穩定系統的定義： 一個系統，假設對恣意的有界輸入，其零形狀呼應也是有界的，那么稱該系統為有界輸入、有界輸出(BIBO)的意義下的穩定系統，簡稱穩定系統。對一切的鼓勵信號其呼應滿足式中Me、Mr為界正值。 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.10 線性系統的穩定性因果系統穩定性的3種情況穩定系統：H(s)的全部極點落入s左半平面不包括虛 軸，那么可滿足：例如都是穩定系統。 魯東大學電子與電氣工程學院SIGNALS AND SYSTEMS4.10 線性系統的穩定性不穩定系統：H(s)的全部極點落入s右半平面，或在虛 軸上具有二階以上極點。臨界穩定系統：H(s)的全部極點落入s平面虛軸上，且只 有一階。為非零值或等幅振