1、1本次課主要內容勒讓德多項式及其應用(一)、勒讓德多項式的母函數(二)、勒讓德多項式的遞推公式(三)、勒讓德多項式正交性與展開定理(四)、勒讓德多項式的應用 2(一)、回顧1、n階勒讓德方程:n為實數或復數.本課程只考慮實數情形。2、n階勒讓德方程的通解(1)、當n為一般實數時，通解可表達為：3其中：(2) 當n是整數時，方程的通解為：Qn(x)稱為第二類勒讓得函數，在-1,1上無界。3、勒讓德多項式的羅得利克公式 44、勒讓德多項式的積分表達式 (一)、勒讓德多項式的母函數可以證明：5關于勒讓德多項式母函數等式的說明1、由拉普拉斯方程的基本解引出一個復變函數在上圖中,置于北極處的正點電荷在M

2、處產生電勢為：1drxyzM6據此引出復變函數如下：其中：x1 顯然：G (x, z)在單位園z1內解析。于是考慮其在z=0處的冪級數展開，得到：其中：7C是單位園內包圍z=0的任意一條閉曲線。2、可以證明：C n( x )是n階勒讓德多項式。 證明：作代換：則：8為勒讓德多項式的母函數稱例1、證明：證明：在母函數中取x=1時有：9所以：取x=-1時有：所以：例2、證明：10證明：在母函數中取x=0得：由于：所以11例3、證明：證明：在母函數中用-x代x，同時用-z代z得：所以得：注：對于n階勒讓得多項式Pn(x)，n為奇數時是奇函數，n為偶數時為偶函數。(二)、勒讓德多項式的遞推公式(重點)

3、12三個公式中，n=1,2,3.先證明公式1：由母函數兩端對z求導數得：13進一步得：對上式整理得：14于是得：15于是得：所以，當n1時有：公式2的證明：將母函數兩端z求導得：16進一步得：將母函數兩端對x求導得：進一步得：比較(1)與(2)得：17公式3的證明：由公式1兩端對x求導得：又由公式2得：將(1)-(2)得：例4、證明：18證明：由遞推公式2得：由(1)+(2)得：得：又由遞推公式319(三)、勒讓德多項式正交性與展開定理1、勒讓德多項式正交性(重點) (1)、勒讓德多項式正交性定理： 勒讓德多項式序列：在-1,1上正交。即：20證明：由于Pm (x)與P n (x)分別為勒讓得

4、方程的解，所以有：進一步得：21上面兩個式子相減得：兩邊積分得：22于是得：即得：(2)、歸一性定理定理：勒讓得多項式滿足：證明：當n= 0，1時，易證明結論成立；23設n=m時結論成立，下面證明：由遞推公式：取n=m得：進一步有：24兩邊積分得：又在遞推公式中令n=m+1得：代入得：由歸納法知定理成立。25稱 為n階勒讓得多項式的模。由于：所以，上面定理稱為歸一性定理。2、函數的勒讓德多項式展開勒讓德多項式展開定理：若且：f (x)在-1,1上分段連續，則：26在-1,1上可以展開為絕對且一致收斂的級數：其中：例6、將f (x)=|x|按勒讓德多項式展開.解：27解：由于P2n+1(x)為奇

5、函數，所以C2n+1=0.下面計算C2n,當n=0時：當n1時：28對于29對于所以：30所以：31于是得展開式為：例7 計算解：由于32所以：33例8、將f (x)=x2+x3按勒讓德多項式展開.解：顯然，展開式具有形式：所以：34例9、求球域內的電位分布：在半徑為1的球域內求調和函數u，使它在球面上滿足：(四)、勒讓德多項式的應用 分析：根據邊界條件的形式可以斷定：u只與r,有關，即解具有軸對稱性。解：定解問題為：35分離變量令：令： 得：方程(2)是n階勒讓得方程。36令：由問題的物理意義，u (r，)必須在0，上有界，因此，n必須為整數。得：又另一個常微分方程(歐拉方程)的通解為：要使u有界，必須Dn=03