1、精選優質文檔-傾情為你奉上精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業專心-專注-專業精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業智慧教學設計2019-2020學年第1學期課程名稱： 高等數學C 教材名稱： 高等數學（經管類） 教師姓名： 蔡東平 教研室： 大學數學教研室 1.1函數教學設計單元標題：函數學時2在整體設計中的位置第1次教學目標能力目標知識目標素質目標能熟練把握函數的概念,確定變量關系能夠了解并確定函數的定義域與對應法則能夠熟練判斷兩個函數是不是同一個函數能夠掌握復合函數分解與合成函數概念定義域對應法則函數表示復合函數深刻思維能力團結合作能力語言表達能力能力訓練任務及案例任務1 查閱

2、資料，函數的歷史任務2 理解函數的兩個要素任務3 如何求解函數的定義域任務4 如何判斷兩個函數是同一個函數任務5 閱讀教材第3頁 總結函數的表示方法任務6 什么是分段函數？學生分組討論，給出自己的想法任務7 函數四個特性回憶與加強任務8 復合函數分解與合成案例1（速度距離問題） 一個物體速度是v，行駛路程是s，那么經過時間t，它形式了多么長的距離？案例2（納稅問題） 搜集中國的個人收入所得稅納稅標準，設某人月工資元，請建立他的納稅稅額函數。案例3 任意兩個函數是否都能合成一個函數；如何分解一個復合函數。案例4（人口問題） 1982年底，我國人口10.3億，按照年均20%的自然增長率，到2013

3、年底，我國人口將是多少？案例5（獎學金等級問題） 了解我們萊蕪職業技術學院的獎學金發放規則，建立獎學金的分段函數案例6（貸款抵押模型）設二室一廳的商品房價值元，某人自籌資金40000元，要購房還需要借款60000元，條件是每年還一些，25年還清，房子就歸債權人，該人具備什么能力才能借款？教學材料1.范益政，高等數學（經管類），科學出版社, 2018年8月第1版。2.同濟大學數學系，高等數學（上），人民郵電出版社,2016年6月第1版。3.吳玉梅，高等數學（經管類），科學出版社, 2014年6月第1版。步驟教學內容教學方法教學手段學生活動時間分配1（告知）本單元學習目標：函數概念；定義域；對應法

4、則；函數表示；分段函數；函數性質；復合函數陳述板書識記5分鐘2（引入任務1）查閱資料函數概念發展歷史出示案例1，引入函數概念學生閱讀自主討論教師提示分組研討5分鐘3（任務2）函數的兩個要素：對應法則、定義域什么是對應法則？什么是定義域？學生閱讀課本總結教師啟發講解板書師生研討5分鐘4（任務3）求解函數的定義域：例1 求定義域例2 求定義域例3 求定義域教師引導法學生分組學習學生演示學生討論10分鐘5（任務4）如何判斷兩個函數是同一個函數，判斷下列函數是不是同一個函數？，教師重復提示函數的兩個要素，引導學生注意黑板演示學生討論15分鐘6（任務5）閱讀教材第3頁 總結函數的表示方法圖表法：列表表示

5、x,y的關系案例應用：統計我們萊蕪職業技術學院某月每天的溫度，做出溫度和日期的對應圖表。圖像法：畫圖表示x,y的關系案例應用：將上述溫度和日期的對應圖表用圖像表示出來，x軸表示日期，y軸表示溫度解析法：用一個式子來表達函數，例如學生根據函數含義自行舉例黑板展示學生討論5分鐘7（任務6）分段函數表達式以及定義域例 ，求f(1),f(-0.5) ,f(3.5)例 畫出分段函數學生閱讀課本，自主學習黑板展示學生討論20分鐘8（任務7）函數的四個特性：1、有界性若存在正數M，使得，則稱在上有界。例如在實數域上有界。2、單調性（1）如果與定義域內任意兩個點，有，則在上單調增加（1）如果與定義域內任意兩個

6、點，有，則在上單調減少例 證明在其定義域內的單調性3、奇偶性設是個對稱區域，如果任意的，有，則稱在上是偶函數；如果任意的，有，則稱在上是奇函數例 判斷下列函數的奇偶性（1）（2）（3）4、周期性如果存在不為零的數,使得任意的，有，則稱在上周期函數。例如正弦函數，是最小正周期。教師分別講解黑板演示學生聽講10分鐘9（任務8）復合函數的合成與分解這是重點內容，直接涉及后面的復合函數求導例 分解：例 分解練習：分解下列復合函數(1)(2)(3)(4)(5)(6)注意：復合函數分解到簡單函數為止。簡單函數就是有基本初等函數經過有限次四則運算合成的函數。教師講解學生演練黑板演示黑板展示學生討論學習15分

7、鐘10操練深化應用案例在課堂進行中解答學生自行研究10分鐘作業P25 14,15課后體會1.2極限教學設計單元標題：數列極限、函數極限單元教學學時4在整體設計中的位置第2-3次教學目標能力目標知識目標素質目標能夠熟練掌握極限的六種過程通過對本節的學習，理解極限的概念，知道極限是怎樣一個變化過程極限6種過程；通過對極限的學習，使同學理解在變化中認識事物的本質是怎樣的一個逼近過程 深刻思維能力團結合作能力語言表達能力能力訓練任務及案例任務1 查閱資料，了解極限的含義任務2 閱讀課本，學習極限任務3 在任務2完成的基礎上，自學，案例1 書上用圓內接正邊形的面積來近似代替該圓的面積時，得到數列 （多邊

8、形的面積數列）案例2長一尺的棒子，每天截去一半，無限制地進行下去，那么剩下部分的長構成一數列： ，通項為。看其變化趨勢案例3（老人分遺產） 一個老人有17頭牛，他打算把這17頭牛的分給老大，分給老二，分給老三，請問改怎么分？提示：采取極限思想，一頭牛分，剩下。答案：老大9頭，老二6頭，老三2頭牛。案例4（無窮直角三角形面積）案例5 ，教學材料1.范益政，高等數學（經管類），科學出版社, 2018年8月第1版。2.同濟大學數學系，高等數學（上），人民郵電出版社,2016年6月第1版。3.吳玉梅，高等數學（經管類），科學出版社, 2014年6月第1版。數列極限教學設計步驟教學內容教學方法教學手段學

9、生活動時間分配1（告知）復習高中數學數列的概念，講述極限產生的歷史背景（割圓述和莊子語）引入新課題長一尺的棒子，每天截去一半，無限制地進行下去，那么剩下部分的長構成一數列： ，通項為。看其變化趨勢戰國時代哲學家莊周所著莊子天下篇引用過一句話“一尺之棰，日截其半，萬世不竭.”也就是說一根長為一尺的杖，每天截取一半，可以無限制地截取下去.把每天截下的總長度記錄如下（單位為尺）：第一天截下的杖長為第二天截下的杖長總長為如此循環下去，第n天截下的杖長總和為可以看出當天數越大，則截下的杖長總和越接近杖的總長一尺，即1陳述板書識記5分鐘2（引入任務1）查閱資料 書上用圓內接正邊形的面積來近似代替該圓的面積

10、時，得到數列 （多邊形的面積數列）我國古代數學家劉徽推算圓面積時，首先作圓的內接正六邊形，把它的面積記作A1；再作內接正十二邊形，其面積記作A2；如此循環下去，正形的面積記作An（圖1.16）.這樣就得到一系列內接正多邊形的面積“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣” 這就是說:當內接正多邊形的邊數越大，則內接正多邊形的面積越接近圓的面積，即S學生閱讀自主討論教師提示分組研討5分鐘3（任務2）上面兩個實例反映了一類數列的某種共同特性，即對于數列xn，存在某個常數A，隨著n的無限增大，xn能無限接近于這個常數A.下面我們繼續觀察一些數列=2，；=(-1)n+1=1，

11、-1，1，-1，；因為數列對應著數軸上一個點列，xn可看作一動點在數軸上依次取x1, x2, ,xn, 因此把以上數列放在數軸上觀察，可以看出隨著n的無限增大無限接近于常數0；隨著n的無限增大無限接近于常數1而隨著n的無限增大無限增大，不能無限接近于任何一個常數；(-1)n+1隨著n的無限增大在兩個數值上跳動，不能無限接近于一個確定的常數下面我們從數學上描述這些數列的變化，給出數列極限的定義教師啟發講解板書師生研討20分鐘4（任務3）閱讀課本，總結定義：當項數n無限增大時，通項無限接近一常數，對于數列來說，最重要的是研究其在變化過程中無限接近某一常數的那種漸趨穩定的狀態，這就是常說的數列的極限

12、問題下面我們從數學上描述這些數列的變化，給出數列極限的定義定義 設無窮數列xn,如果當項數n無限增大時,數列無限接近于某一確定的常數A,那么就稱常數A是數列的極限,或者稱數列收斂于A,記為，或此數列稱為收斂的.如果數列沒有極限,就說數列是發散的由定義可得=0，=1，數列及(-1)n+1發散數列的極限刻畫了當n時,數列的變化趨勢.特殊地常數列的極限等于同一常數，即 教師引導法學生練習法學生演示學生討論10分鐘5（操練）例 觀察下列數列的極限 （1） （2）解 （1）把數列放在數軸上觀察得 （2）先化簡= =再把數列放在數軸上觀察得數列極限的性質將常數A及數列x1,x2, ,xn, 在數軸上用它們

13、的對應點表示出來（圖1.17），可以看出數列幾乎所有的點都落在以A為中心的領域內.這就是數列xn極限為A的幾何意義圖1.171.有界性定理1（收斂數列的有界性） 如果數列xn收斂，那么數列xn一定有界證明略，由幾何意義易得.根據上述定理，如果數列xn無界，那么數列xn一定發散但是，如果數列xn有界，卻不能斷定數列xn一定收斂，例如數列(-1)n+1=1，-1，1，-1，有界但數列是發散的所以有界性是數列收斂的必要而非充分條件2.唯一性由極限的定義易知：定理2 若數列有極限，則極限唯一教師提示，引導學生注意黑板演示學生討論10分鐘6（案例）案例在課堂進行中解答作業作業: P35 (3) 課后體會

14、步驟教學內容教學方法教學手段學生活動時間分配1（告知）本單元學習目標：函數的六種極限過程，陳述板書識記10分鐘2（引入任務1）查閱資料了解極限含義學生閱讀自主討論教師提示分組研討10分鐘3（任務2）閱讀課本，學習極限設一個函數，給定點（1）表示自變量x從右側（數軸的正方向）趨向，隨著x從右側趨向,f(x)函數值趨向一個數，這個數就是f(x)的極限，記作。（2）舉例例1 計算的圖像是可見，隨著時，。因此=2注：此極限2也就是把x=1代入所得到的。例2 計算這個極限就不能直接把x=1導入到函數里面，因為無意義。所以應當先分解。練習1、2、3、畫圖法教師啟發講解板書師生研討30分鐘4（任務3）在任務

15、2完成的基礎上，自學，教師引導法學生練習法學生演示學生討論20分鐘5（操練）求解下列極限：例1 ，畫出函數圖像，討論，例2 ，討論，例3 例4 ，例5 分析Key: 教師提示，引導學生注意黑板演示學生討論30分鐘作業作業: P46 5,6課后體會1.4兩個重要極限教學設計單元標題：兩個重要極限單元教學學時2在整體設計中的位置第4次教學目標能力目標知識目標素質目標能夠理解并應用能夠理解并應用能夠運用無窮小替換求極限掌握掌握掌握無窮小替換定理深刻思維能力團結合作能力語言表達能力能力訓練任務及案例任務1 理解并證明任務2 在若干極限中的應用任務3 理解任務4 在若干極限中的應用任務5 無窮小替換定理

16、案例1 求 案例2 求案例3 求證，與是等價無窮小案例4 注：這個問題是個競賽題，需要學生討論解決教學材料1.范益政，高等數學（經管類），科學出版社, 2018年8月第1版。2.同濟大學數學系，高等數學（上），人民郵電出版社,2016年6月第1版。3.吳玉梅，高等數學（經管類），科學出版社, 2014年6月第1版。二、教學設計步驟教學內容教學方法教學手段學生活動時間分配1（告知）本單元學習目標： 并應用并應用運用無窮小替換求極限陳述板書識記15分鐘2（引入任務1）學生閱讀自學， （1）這個極限要注意三點，那三點？ （2）這個極限如何使用？ （3）這個極限如何證明？教師畫圖講解教師提示分組研討1

17、5分鐘3（任務2）應用學生先討論：如何應用這個極限？對嗎？為什么？例1 例2 例3 例4 教師啟發講解板書師生研討20分鐘4（任務3）理解（1）這個極限要注意什么？（2）你打算如何使用這個極限？（3）教師畫圖講解學生聽講學生討論10分鐘5（任務4）應用例1 例2 例3 （注：這個也是公式）例4 教師提示，引導學生注意黑板演示學生討論15分鐘6（任務5）無窮小替換定理設則（1）無窮小替換要注意什么事項？（2）你都知知道那些常用等價無窮小？總結出來，并記憶用無窮小替換定理處理下題例1 例2 例3 教師講解黑板演示學生聽講15分鐘7案例案例1 求（要求：兩種方法）案例2 求案例3 求證，與是等價無窮

18、小案例4 （注：這個問題是個競賽題，需要學生討論解決）教師指導10分鐘作業P52 2；3課后體會1.5無窮小 無窮大 單元教學設計單元標題：無窮小 無窮大單元教學學時2在整體設計中的位置第5次教學目標能力目標知識目標素質目標能夠理解無窮小的概念能夠應用無窮小性質計算某些函數極限能夠理解無窮大的概念能夠掌握無窮小和無窮大的倒數關系，并相互求解無窮小無窮大深刻思維能力團結合作能力語言表達能力能力訓練任務及案例任務1 無窮小概念任務2 閱讀課本，學習無窮小性質及應用任務3 學習無窮大概念，理解無窮大與無窮小關系案例1 求案例2 求案例3 求在什么情況下是無窮小，在什么情況下是無窮大。教學材料1.范益

19、政，高等數學（經管類），科學出版社, 2018年8月第1版。2.同濟大學數學系，高等數學（上），人民郵電出版社,2016年6月第1版。3.吳玉梅，高等數學（經管類），科學出版社, 2014年6月第1版。步驟教學內容教學方法教學手段學生活動時間分配1（告知）本單元學習目標：無窮小，無窮大陳述板書識記10分鐘2（引入任務1）學生閱讀，無窮小概念極限為零的函數叫做在該極限過程下的無窮小。特別注意，無窮小不是很小很小的數。例 下列函數在什么情況下是無窮小？y=2x-1學生閱讀自主討論教師提示分組研討15分鐘3（任務2）無窮小性質（1）四條無窮小性質中最重要的是什么？有限個無窮小的代數和是無窮小無窮小與

20、無窮小的積是無窮小常數與無窮小的積是無窮小有限個無窮小的積是無窮小（2）計算例 例 例 教師啟發講解板書師生研討25分鐘4（任務3）無窮大在某極限過程下，函數值的絕對值無限變大的函數叫做在該極限過程下的無窮大。（1）無窮大就是很大很大的一個數嗎？（2）無窮大與無窮小什么關系無窮大與無窮小是倒數關系。下列函數在怎么樣的情況下是無窮大？y=2x-1,y=lnx教師引導法學生練習法學生演示學生討論20分鐘5（操練案例）案例1 求案例2 求案例3 求在什么情況下是無窮小，在什么情況下是無窮大。教師提示，引導學生注意學生討論30分鐘作業 P56 3課后體會1.6-1.7函數的連續性 單元教學設計單元標題

21、：函數的連續性單元教學學時4在整體設計中的位置第6-7次教學目標能力目標知識目標素質目標能夠理解自變量增量、函數的增量概念能夠理解函數的連續的圖像定義和兩個公式定義能夠理解函數的間斷點并簡單判斷掌握自變量增量、函數的增量概念掌握函數兩個的定義掌握間斷點深刻思維能力團結合作能力語言表達能力能力訓練任務及案例任務1 理解增量任務2 利用增量定義函數連續任務3 分辨間斷點案例1 求案例2 求案例3 的間斷點類型 案例4 設，問常數何值時，函數f(x)在上連續教學材料1.范益政，高等數學（經管類），科學出版社, 2018年8月第1版。2.同濟大學數學系，高等數學（上），人民郵電出版社,2016年6月第

22、1版。3.吳玉梅，高等數學（經管類），科學出版社, 2014年6月第1版。步驟教學內容教學方法教學手段學生活動時間分配1（告知）本單元學習目標： 增量函數的連續性間斷點陳述板書識記10分鐘2（引入任務1）增量（1）自變量的增量例1 設一個物體以每秒3米的速度行進，那么從到時間增加了多少？這個增加的時間就是時間的增量例2 y=2x+1,x從1增加到3.5，x的增量是多少？（2）函數的增量隨著自變量的增量而改變的函數的增量例1 當到時間增加時，路程增加了多少？這就是時間t的函數路程的增量。例2 x從1增加到3.5時，函數y增加了多少？以后自變量增量記作，；函數增量記作，教師畫圖講解教師提示分組研討

23、25分鐘3（任務2）增量定義函數連續函數的連續，從圖像上來說就是函數圖像不間斷。第一個定義：函數在連續，那么第二個定義：函數在連續，根據連續性求，教師啟發講解注意兩個定義的過度板書師生研討15分鐘4（任務3）間斷點根據連續的第二個定義，啟發學生，函數在一個點如果不連續，會有幾種情況：（1）與均存在，但是不相等（2）與均存在（即存在），但是不等于函數值（3）與至少一個不存在例1 判斷的間斷點例2 設，討論f(x)在x=1處的連續性，1是什么間斷點例3 ，討論f(x)在x=0處的連續性，0是什么間斷點教師畫圖講解啟發學生學生聽講學生討論20分鐘5（案例）案例應用案例1 求案例2 求案例3 的間斷點

24、類型案例4 設，問常數何值時，函數f(x)在上連續教師提示，引導學生注意黑板演示學生討論30分鐘作業P63 3,5;P66 3 課后 體會2.1導數概念教學設計單元標題：導數概念單元教學學時2在整體設計中的位置第8次教學目標能力目標知識目標素質目標能夠變速直線運動速度、切線斜率能夠抽象出導數概念能夠利用導數概念計算導數能夠計算高階導數能夠總結基本函數的導數運算公式導數概念左右導數計算導數深刻思維能力團結合作能力語言表達能力能力訓練任務及案例任務1 理解變速直線運動速度、切線斜率任務2 抽象導數概念任務3 簡單計算導數、高階導數任務4 總結基本函數的導數運算公式案例1（電流強度模型） 電流強度模

25、型 設在時間這段時間內通過導線橫截面的電流是，利用導數概念分析電流強度案例2 （細桿的線密度模型） 設一根質量非均勻分布的細桿放在x軸上，在0,x上的質量是x的函數m=m(x),求桿上點處的線密度教學材料1.范益政，高等數學（經管類），科學出版社, 2018年8月第1版。2.同濟大學數學系，高等數學（上），人民郵電出版社,2016年6月第1版。3.吳玉梅，高等數學（經管類），科學出版社, 2014年6月第1版。步驟教學內容教學方法教學手段學生活動時間分配1（告知）本單元學習目標： 瞬時速度，切線斜率導數概念，高階導數陳述板書識記10分鐘2（引入任務1）（1）瞬時速度設一個物體的路程與時間的函數

26、是s=s(t)，試研究在時刻時的瞬時速度（2）切線斜率函數y=f(x)在處的切線斜率教師畫圖講解教師提示學生認真聽講分組研討40分鐘3（任務2）導數通過任務2，抽象出任意函數f=f(x)在的導數概念右導數：左導數：例 求在x=2處的導數例 求在處的導數例 求在處的導數例 設求例 設,其中在處連續，求例設函數在處可導，且，求教師啟發講解注意兩個定義公式板書師生研討15分鐘4（任務3）高階導數在一階導數的基礎上再求導就是二階導數在二階導數的基礎上再求導就是三階導數以此類推一階導數記作：二階導數記作：三階導數記作：階導數記作：例 計算的二階導數例 計算的二階導數例 計算的二階導數教師啟發講解板書師生

27、研討15分鐘5（任務4）總結基本初等函數的導數運算公式(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)，(13)(14)(15)(16)學生討論總結10分鐘5（案例）案例應用案例1 電流強度模型 設在時間這段時間內通過導線橫截面的電流是，利用導數概念分析電流強度案例2 細桿的線密度模型 設一根質量非均勻分布的細桿放在x軸上，在0,x上的質量是x的函數m=m(x),求桿上點處的線密度學生分組自主學習法學生討論10分鐘作業默寫基本初等函數導數公式P73 4；5；8課后體會3.2求導法則教學設計一、教案頭單元標題：求導法則單元教學學時6在整體設計中的位置第9-11次教學

28、目標能力目標知識目標素質目標能夠掌握導數的四則運算并運用能夠掌握復合函數求導數法則并運用能夠掌握反函數求導法則并運用能夠掌握隱函數求導法則并運用能夠掌握對數求導法則并運用能夠掌握參數方程求導法則并運用導數運算法則6條深刻思維能力團結合作能力語言表達能力能力訓練任務及案例任務1 導數的四則運算任務2 復合函數求導數法則任務3 反函數求導法則任務4 隱函數求導法則任務5 對數求導法則任務6 參數方程求導法則案例1 ，求，案例2（注水問題） 若水以2立方米/分的速度灌入一個高為10米的、底面半徑是5米的圓錐形水槽中，問當水深為6米時，水位的上升速度是多少？案例3 求方程所確定的一階導數的值，再求二階

29、導數案例4 求由方程確定的隱函數的導數教學材料1.范益政，高等數學（經管類），科學出版社, 2018年8月第1版。2.同濟大學數學系，高等數學（上），人民郵電出版社,2016年6月第1版。3.吳玉梅，高等數學（經管類），科學出版社, 2014年6月第1版。步驟教學內容教學方法教學手段學生活動時間分配1（告知）本單元學習目標： 導數的四則運算復合函數求導數法則反函數求導法則隱函數求導法則對數求導法則參數方程求導法則陳述板書識記10分鐘2（引入任務1）導數的四則運算（1）學生閱讀教材47頁內容（2）學生總結導數如何四則運算（3）例 ,求例 ，求例 ，求例 ，求例 ，求教師講解教師提示學生認真聽講分

30、組研討25分鐘3（任務2）復合函數求導數（1）學生閱讀49頁內容總結如何求復合函數的導數（2）設，則分解成。所以（3）例 ，求例 ，求例 ，求例 ，求例 假設氣體以100立方厘米/秒的速度注入氣球，假定氣體的壓力不變，那么當半徑是10厘米時，氣球半徑增加的速率是多少？教師啟發講解板書師生研討45分鐘4（任務3）反函數求導（1）學生閱讀52-53頁，總結反函數求導的辦法（2）例 根據的導數，求的導數例 根據的導數求的導數例 ，求例 ，求教師啟發講解板書師生研討45分鐘5（任務4）隱函數求導法（1）學生閱讀55頁內容總結隱函數求導法則（2）方程兩側對x求導，遇到含有y的項，先對y求導，再對x求到，

31、這樣得到一個含有的式子，求出即可例 求由方程確定的隱函數的導數例 設曲線，求在處的切線斜率和切線方程例 求由方程確定的隱函數的導數。例 求由方程確定的隱函數的導數學生分組自主學習法教師提示學生討論45分鐘6（任務5）對數求導法則（1）學生閱讀56頁內容總結對數求導法則（2）對數求導事實上是把一些通過乘除乘方開方構成的復雜函數轉化成隱函數，然后再運用隱函數求導法則求出導數例 ，求例 ，求例 ，求例 ，求學生分組自主學習法教師提示學生討論45分鐘7（任務6）參數方程求導（1）學生閱讀57頁總結參數方程求導法（2）設參數方程則例 設參數方程，求例 設，求學生分組自主學習法教師提示學生討論45分鐘8（

32、案例）案例應用案例1 ，求，案例2 若水以2立方米/分的速度灌入一個高為10米的、底面半徑是5米的圓錐形水槽中，問當水深為6米時，水位的上升速度是多少？案例3 求方程所確定的一階導數的值，再求二階導數案例4 求由方程確定的隱函數的導數學生自行討論解決50分鐘作業P78 2；5；7；8；P83 2；3P87 1；3；5；6（3P91 1；2；3課后體會2.3微分單元教學設計單元標題：微分單元教學學時2在整體設計中的位置第12次教學目標能力目標知識目標素質目標能夠掌握微分的概念能夠掌握微分和導數的關系及公式表達微分在近似計算公式中的應用微分概念微分公式微分近似計算公式深刻思維能力團結合作能力語言表

33、達能力能力訓練任務及案例任務1 微分的概念及公式表達任務2 微分的近似計算案例1（機械零件加工） 有一個球體機械加工零件，要使他的體積從972立方厘米增加到973立方厘米，試估計其半徑的增加了月多少？案例2（機械零件近似） 有一個機械零件長是，現在要加工邊長，但是不知道將具體近似值，請計算出來。案例3 求的微分。并計算的近似值教學材料1.范益政，高等數學（經管類），科學出版社, 2018年8月第1版。2.同濟大學數學系，高等數學（上），人民郵電出版社,2016年6月第1版。3.吳玉梅，高等數學（經管類），科學出版社, 2014年6月第1版。步驟教學內容教學方法教學手段學生活動時間分配1（告知）

34、本單元學習目標： 掌握微分的概念掌握微分和導數的關系及公式表達微分在近似計算公式中的應用陳述板書識記5分鐘2（引入任務1）微分概念（1）學生閱讀60-61頁資料，理解微分的含義（2）所謂的微分，就是隨著自變量的改變量，函數值的該變量。=，也即例 計算下列函數的微分例 ，求dy例 ，求dy微分和導數比較：教師講解教師提示學生認真聽講分組研討35分鐘3（任務2）微分的近似計算學生總結近似計算（1）首先要搞清楚設計的關系式，自變量和因變量（2）例 假設一機械正方形薄片，邊長是厘米，現在機械薄片邊長從增加到，求薄片面積的增加。設s=是薄片面積，則=0.8平方厘米例（膨脹問題） 設一個銅質正方體，邊長是

35、20厘米，因為熱脹冷縮，到了夏天，經測量他的邊長有20厘米增加了0.1厘米，試問這個銅質正方體的體積膨脹了多少？教師啟發講解板書師生研討20分鐘4（任務3）案例應用案例1 有一個球體機械加工零件，要使他的體積從972立方厘米增加到973立方厘米，試估計其半徑的增加了月多少？案例2 有一個機械零件長是，現在要加工邊長，但是不知道將具體近似值，請計算出來。案例3 求的微分。并計算的近似值教師啟發講解板書師生研討40分鐘作業P100 3（2）（4）（6）（8）；5；7（1）課后體會4.1微分中值定理教學設計單元標題：微分中值定理單元教學學時4在整體設計中的位置第13-14次教學目標能力目標知識目標素

36、質目標能夠理解和掌握羅爾定理能夠掌握拉格朗日定理并證明相關問題能夠掌握導數判斷函數的單調性能夠掌握柯西中值定理及洛比達法則洛爾定理、拉格朗日定理單調性、柯西定理、洛比達法則深刻思維能力團結合作能力語言表達能力能力訓練任務及案例任務1 羅爾定理 任務2 拉格朗日定理 任務3 單調性 任務4 柯西定理與洛比達法則案例1 求的單調區間案例2 討論的單調性案例3 計算案例4 設f(x)在0,1上連續，在（0,1）內可導，且f(1)=0,試證：至少存在一個點 ，使得案例5 設在區間上連續，在內可導，證明：在內至少存在一點，使得案例6 若均為常數，求教學材料1.范益政，高等數學（經管類），科學出版社, 2

37、018年8月第1版。2.同濟大學數學系，高等數學（上），人民郵電出版社,2016年6月第1版。3.吳玉梅，高等數學（經管類），科學出版社, 2014年6月第1版。步驟教學內容教學方法教學手段學生活動時間分配1（告知）本單元學習目標： 洛爾定理拉格朗日定理單調性柯西定理洛比達法則陳述板書識記10分鐘2（引入任務1）洛爾定理學生閱讀73頁，理解羅爾定理。教師黑板畫圖像：根據圖像尋找點，結合導數的幾何意義，尋找經過討論：原來這個點就是最高點或者最低點。例： 設，驗證符合洛爾定理。練習：設驗證符合洛爾定理。教師講解教師提示學生認真聽講分組研討30分鐘3（任務2）拉格朗日定理學生閱讀70頁教材，結合下面

38、的圖像：分析拉格朗日定理的成立理由例 研究在區間1,2上滿足拉格朗日定理證明：如果在區間a,b內滿足，則在a,b內f(x)是個常數。練習：證明教師啟發講解板書師生研討40分鐘4（任務3）單調性學生閱讀72頁內容，總結單調性與導數有何關系。總結：（1）如果在內的導數，那么f(x)在這個區間內單調增加（2）如果在內的導數，那么f(x)在這個區間內單調減少要研究函數的單調區間步驟（1）求駐點（2）以駐點分開定義域為若干塊，在每塊內探討一階導數的正負。正的單調增加，負則單調減少。例：研究的單調區間例：研究的單調區間練習：證明，時，教師啟發講解板書師生研討60分鐘5（任務4）柯西定理與洛比達法則柯西定理

39、是前面兩個定理的推廣，學生了解即可。他的證明是把兩個函數看成參數方程，連接的連線的斜率是，在曲線上必有一個點，它的切線斜率是柯西定理的一個主要應用就是證明羅比達法則：例 計算例 計算例 計算例 計算練習 計算 計算 計算教師啟發講解板書師生研討60分鐘6（案例）案例1 求的單調區間案例2 討論的單調性案例3 計算案例4 設f(x)在0,1上連續，在（0,1）內可導，且f(1)=0,試證：至少存在一個點 ，使得案例5 設在區間上連續，在內可導，證明：在內至少存在一點，使得案例6 若均為常數，求學生討論學習60分鐘作業P109 1（2）；2；5；8；9（2）P114 1；5；P120 1；2；3課

40、后體會4.2函數的極值和最值教學設計一、教案頭單元標題：函數的極值和最值單元教學學時2在整體設計中的位置第15次授課班級上課地點教學目標能力目標知識目標素質目標能夠極值和最值的概念和區別能夠求解函數的極值和最值單調性極值最值求法深刻思維能力團結合作能力語言表達能力能力訓練任務及案例任務1 函數的極值定理及其求解任務2 函數的最值及其求解案例1 求的極值案例2 討論的極值案例3（最大流量出口） 有一塊寬為2a的長方形鐵皮，將寬的兩個邊緣向上折起，做成一個開口水槽，其橫截面積為矩形，高為x,問高x取和值時水槽的流量最大？案例4 （鐵路站點安置） 鐵路線距離為100公里，工廠距為20公里，垂直于，今

41、要在上選定一個點向工廠修筑一條公路，已知鐵路與公路每公里貨運費之比是3:5，問點選在何處才能使從B到C的運費最少？案例5 （最大面積問題） 現在用一張鋁合金材料加工一個日字型窗框，問它的長和寬分別為多少時，才能是窗戶的面積最大，最大面積是多少？如下圖教學材料1.范益政，高等數學（經管類），科學出版社, 2018年8月第1版。2.同濟大學數學系，高等數學（上），人民郵電出版社,2016年6月第1版。3.吳玉梅，高等數學（經管類），科學出版社, 2014年6月第1版。二、教學設計步驟教學內容教學方法教學手段學生活動時間分配1（告知）本單元學習目標： 極值最值陳述板書識記5分鐘2（引入任務1）極值學

42、生閱讀77頁內容，搞清楚：（1）極值點的定義（2）求解極值點的方法定義：設函數在點的某鄰域內都有，則稱是極大點，為極大值。設函數在點的某鄰域內都有，則稱是極小點，為極小值。如下圖是極大點，是極小點判斷一個點的極大點或者極小點有兩種方法1、根據兩側的的符號來判定左側右側極小點極大點不是極值點不是極值點例 求函數的極值點和極值練習：求函數的極值點和極值2、根據二階導數的符號來確定設是駐點，如果，則是極小點；如果，則是極大點；，則是無法判斷是極大點還是極小點。例 求函數的極值例 求函數的極值教師講解教師提示學生認真聽講分組研討50分鐘3（任務2）函數的最值學生閱讀教材79頁，總結求最值的辦法以及極值

43、和最值的區別。求解最大值和最小值的辦法：（1）求出在內的一切駐點和一階導數不存在的點，并計算個點的函數值（此時不必判斷是極大值點還是極小值點）（2）求出端點（3）比較前面求出的所有函數值，最大的就是最大值，最小的就是最小值。例 求函數在-3,4上的最值解：，得。所以。所以最大值點是4，最大值是128；最小值點是1，最小值是-7.練習：求函數在-3,3上的最值參考圖像教師啟發講解板書師生研討40分鐘4（案例）案例應用案例1 求的極值案例2 討論的極值案例3 有一塊寬為2a的長方形鐵皮，將寬的兩個邊緣向上折起，做成一個開口水槽，其橫截面積為矩形，高為x,問高x取和值時水槽的流量最大？案例4 鐵路線

44、距離為100公里，工廠距為20公里，垂直于，今要在上選定一個點向工廠修筑一條公路，已知鐵路與公路每公里貨運費之比是3:5，問點選在何處才能使從B到C的運費最少？案例5 現在用一張鋁合金材料加工一個日字型窗框，問它的長和寬分別為多少時，才能是窗戶的面積最大，最大面積是多少？如下圖學生討論學習數學軟件演示圖像60分鐘作業P127 3；4（2）；6（3）P136 4；74.4函數圖像的描繪教學設計單元標題：函數圖像的描繪單元教學學時4在整體設計中的位置第16-17次教學目標能力目標知識目標素質目標能夠掌握函數的凸凹性及拐點能夠求解函數漸進線能夠按照步驟畫出復雜函數的圖像凸凹性拐點漸進線函數的圖像深刻

45、思維能力團結合作能力語言表達能力能力訓練任務及案例任務1 函數的凸凹性和拐點任務2 函數的漸近線.任務3 按步驟描繪函數圖像案例1（注水曲線凸凹） 設水以常數注入下圖的容器中，請做出水上升的高度關于時間t的函數，并闡明此函數的拐點和凸凹性。案例2 描繪函數的圖像。案例3（最值問題） 要用鐵皮造一個容積為V的圓柱形閉合油罐，問底半徑r和高h等于多少時，能使所使用的鐵皮最省？這時候的半徑r和高h的比值是多少？案例4（最值問題） 要建造一個上面是半球形，下面是圓柱形的糧倉，其容積是V，問當圓柱體的高h和底半徑r為何值時，糧倉所使用的建筑材料最省？教學材料1.范益政，高等數學（經管類），科學出版社,

46、2018年8月第1版。2.同濟大學數學系，高等數學（上），人民郵電出版社,2016年6月第1版。3.吳玉梅，高等數學（經管類），科學出版社, 2014年6月第1版。步驟教學內容教學方法教學手段學生活動時間分配1（告知）本單元學習目標： 凸凹性拐點漸近線描繪函數圖像陳述板書識記10分鐘2（引入任務1）凸凹性學生閱讀83頁，理解凸凹性。如下面函數圖像觀察圖像，發現函數的圖像有的在其上的點的切線下方（下凹），有時函數的圖像有的在其上的點的切線上方（上凹）。例如A點，圖像在過A點的切線下方，那么A點周圍的函數圖像就是下凹。例如B點，圖像在過B點的切線上方，那么B點周圍的函數圖像就是上凹。關于凸凹性有重

47、要的定理：設函數在內有二階導數。那么（1）若在內，則曲線在內上凹。（2）若在內，則曲線在內下凹。拐點如果點P的兩側，函數的凹向性不一樣，那么這樣的點P叫做函數的拐點。因此拐點就是使得或者二階導數不存在的點。例 求曲線的凸凹性與拐點。例 判定函數的凸凹性例 求函數的拐點。教師講解教師提示學生認真聽講分組研討30分鐘3（任務2）漸近線（1）斜漸近線若滿足：，且則曲線有漸近線如下圖：例 求曲線的斜漸近線例 求曲線的斜漸近線（2）垂直漸近線如果(或者或者)時，。則是的垂直漸近線例 求的垂直漸近線例 求曲線的垂直漸近線（3）水平漸進線如果(或者或者)時，。則是函數的水平漸近線例 求的水平漸近線例 求曲線

48、的水平漸近線例 求曲線的水平漸近線。例 求的漸近線例 求曲線的斜漸近線教師啟發講解板書師生研討60分鐘4（任務3）描繪函數圖像學生閱讀86頁，總結描繪函數圖像的步驟：確定函數的定義域考察函數的周期性和奇偶性確定函數的單調區間、極值點、凸凹性、拐點、考察考察函數的曲線的漸進線考察函數曲線與坐標軸的交點最后畫出圖像例 描繪函數的圖像（1）定義域（2）函數不具備周期性和奇偶性（3）令得表明函數與x軸有兩個交點，一個是0，一個是3.（4）得駐點0,2.用二階導數判定,x=0是極小點，極小值f(0)=0,x=2是極大點,極大值f(2)=4(5) ,拐點x=1,在1的左側，上凹；在1的右側，下凹（6）無漸

49、近線作圖如下：例 畫出的圖像。參考圖像教師啟發講解板書師生研討60分鐘5（案例）案例應用案例1 設水以常數注入下圖的容器中，請做出水上升的高度關于時間t的函數，并闡明此函數的拐點和凸凹性。參考圖像?案例2 描繪函數的圖像。案例3 要用鐵皮造一個容積為V的圓柱形閉合油罐，問底半徑r和高h等于多少時，能使所使用的鐵皮最省？這時候的半徑r和高h的比值是多少？案例4 要建造一個上面是半球形，下面是圓柱形的糧倉，其容積是V，問當圓柱體的高h和底半徑r為何值時，糧倉所使用的建筑材料最省？學生討論數學軟件演示60分鐘作業P140 1（4）；2（3）；4課后體會5.1不定積分概念教學設計單元標題：不定積分概念

50、單元教學學時2在整體設計中的位置第18次教學目標能力目標知識目標素質目標能夠掌握原函數并熟練應用能夠利用概念求解不定積分能夠掌握不定積分的性質原函數不定積分不定積分的性質深刻思維能力團結合作能力語言表達能力能力訓練任務及案例任務1 原函數任務2 不定積分概念任務3 基本初等函數不定積分公式任務4 不定積分性質定案例1 已知曲線過點（0,0），且在點處的切線斜率是，求該曲線的方程。案例2 的一個原函數是cosx,則為何？案例3 ，求案例4 ，且，求案例5 設某機械物體以速度做直線運動，當時，求運動規律教學材料1.范益政，高等數學（經管類），科學出版社, 2018年8月第1版。2.同濟大學數學系，

51、高等數學（上），人民郵電出版社,2016年6月第1版。3.吳玉梅，高等數學（經管類），科學出版社, 2014年6月第1版。二、教學設計步驟教學內容教學方法教學手段學生活動時間分配1（告知）本單元學習目標： 原函數不定積分不定積分的性質陳述板書識記10分鐘2（引入任務1）原函數學生閱讀95頁內容，總結原函數。如果或者，那么是的原函數。例如 ，則sinx是cosx的原函數。例如 ，則是的原函數例如 ，則sinx+C是cosx的原函數也就是說cosx的原函數是一族函數sinx+C；反過來所有的sinx+C都是cosx的原函數。因此有下面的定理：如果是的原函數，那么+C是的全部原函數，或者說的全部原函

52、數是+C。例 求的全部原函數解：因為，所以的全部原函數是例 求的全部原函數例 求的全部原函數學生閱讀教師講解教師提示學生認真聽講分組研討30分鐘3（任務2）不定積分學生閱讀96頁內容，理解不定積分的全部原函數+C叫做的不定積分，記作例 例 例 例 例 求過點(1,2)且斜率是2x的曲線方程學生閱讀教師啟發講解板書師生研討40鐘4（任務3）基本初等函數不定積分運算公式通過對初等函數，利用不定積分運算，得到下面的基本初等函數的不定積分運算公式，供以后參考： （1）教師啟發講解板書師生研討60分鐘5任務4 不定積分的性質學生閱讀98頁，理解不定積分性質。（1）（2）例 例 求下列不定積分（1）（2）

53、（3）下面是個復雜題，教師提示，學生解答：（1） （2）教師啟發講解板書師生研討40分鐘6案例訓練案例1 已知曲線過點（0,0），且在點處的切線斜率是，求該曲線的方程。案例2 的一個原函數是cosx,則為何？案例3 ，求案例4 ，且，求案例5 設某機械物體以速度做直線運動，當時，求運動規律學生思考教師提示50分鐘作業100頁 2、（1）-（6）課后體會5.2不定積分的積分方法教學設計單元標題：不定積分的積分方法單元教學學時6在整體設計中的位置第19-21次教學目標能力目標知識目標素質目標能夠掌握湊微分法求不定積分能夠掌握換元法求不定積分能夠掌握分部積分法能夠掌握簡單有理函數的不定積分湊微分法換

54、元法分部積分法簡單有理函數的不定積分深刻思維能力團結合作能力語言表達能力能力訓練任務及案例任務1 湊微分法不定積分任務2 換元法不定積分任務3 分部積分法任務4 簡單有理函數不定積分案例1 案例2 案例3 案例4 設，且，求案例5 設，計算。提示:用到反三角函數。教學材料1.范益政，高等數學（經管類），科學出版社, 2018年8月第1版。2.同濟大學數學系，高等數學（上），人民郵電出版社,2016年6月第1版。3.吳玉梅，高等數學（經管類），科學出版社, 2014年6月第1版。二、教學設計步驟教學內容教學方法教學手段學生活動時間分配1（告知）本單元學習目標： 湊微分法換元法分部積分法簡單有理函

55、數的不定積分陳述板書識記10分鐘2（引入任務1）湊微分學生閱讀100頁內容，總結湊微分方法。（1）把被積函數的一部分，利用微分，轉移到d的后面，形成某函數的微分（2）d后面的微分正好與被積函數剩下的部分有相同的關系，然后把它們看成一個整體，利用基本初等函數公式求得。（3）前面的轉移到d后面的函數被看做一個整體，其實也是換元法，所以湊微分又叫第一換元法。例 求第一步：注意到sinx,它轉移到d后面稱為dcosx。因為根據微分的知識dcosx=sinxdx。這樣不定積分變成了第二步：把cosx看成一個整體，可以令t=cosx，則不定積分變成了。根據基本初等函數不定積分公式有第三步：再把t換回cos

56、x，于是原來的不定積分等于。解答完畢。以上就是湊微分的全過程，注意，不必把中間的代換過程寫出來。用湊微分法計算下列不定積分（1）（2）（3）湊微分運用時的難點在于原題并未指明把哪一部分湊成,這需要解題經驗，多做練習，做熟悉。例如下面的公式常用 練習：（1）（2）(3) 學生閱讀教師講解教師提示學生認真聽講分組研討60分鐘3（任務2）換元法學生閱讀104頁內容，理解不定積分換元法不定積分的換元法種類大題有兩類種，一種是消掉根號的模式，另一種是三角函數換元。（1）消掉根號例 為了消掉根號，令，這樣，于是原來的不定積分變成了：練習：（1）（2）（2）三角函數換元例 本例要是直接代換根號，做不出來，必

57、須另尋其他途徑。令，代入原來的不定積分得：下面利用直角三角形把t轉換成x。首先根據代換公式，得，做角度是t的直角三角形所以,所以，最后所求的不定積分是三角代換常用還有cosx,tanx等練習：（1）（2) 學生閱讀教師啟發講解板書師生研討90鐘4（任務3）分部積分法學生閱讀106-107頁，理解分部積分法。公式：分布積分前面一部分其實是湊微分，后面才利用上面的分部積分公式。例 解：例 練習：（1）（2）（3）教師啟發講解板書師生研討60分鐘5任務4 簡單有理函數不定積分學生閱讀109-110頁內容，理解簡單有理函數不定積分的三種情況。分子分布都是多項式函數的不定積分，叫做簡單有理函數不定積分。

58、例如。總的說，這類不定積分就是想辦法把被積函數分解開成，然后分別積分。例 解：因為所以例 解：先令，然后得。這樣就把被積函數分解了，然后一個一個積分。=練習：（1）（2）注意：理論上所有的有理函數都是能夠積分的，但是大部分計算起來很麻煩。教師啟發講解板書師生研討50分鐘6案例訓練案例操練案例1 案例2 案例3 案例4 設，且，求案例5 設，計算。提示:用到反三角函數學生思考教師提示50分鐘作業113頁 2、（1）-（3）5、（1）-（4）6、（1）-（4）7、8、課后體會6.1定積分的概念與微積分基本公式教學設計單元標題：定積分的概念與微積分基本公式單元教學學時4在整體設計中的位置第22-23

59、次教學目標能力目標知識目標素質目標能夠掌握曲邊梯形面積的求解思路和辦法能夠掌握定積分的概念與基本性質能夠掌握微積分基本公式的內容和證明能夠利用微積分基本公式求解一些簡單初步的定積分曲邊梯形面積定積分的概念與基本性質微積分基本公式求解簡單定積分深刻思維能力團結合作能力語言表達能力能力訓練任務及案例任務1 曲邊梯形面積任務2 定積分概念任務3 微積分基本公式任務4 簡單定積分計算案例1（面積估計） 利用曲邊梯形面積估計值，估計案例2 計算變上限定積分案例3 已知 ，求。教學材料1.范益政，高等數學（經管類），科學出版社, 2018年8月第1版。2.同濟大學數學系，高等數學（上），人民郵電出版社,2

60、016年6月第1版。3.吳玉梅，高等數學（經管類），科學出版社, 2014年6月第1版。二、教學設計步驟教學內容教學方法教學手段學生活動時間分配1（告知）本單元學習目標： 曲邊梯形面積定積分的概念與基本性質微積分基本公式求解簡單定積分陳述板書識記10分鐘2（引入任務1）曲邊梯形面積學生閱讀165頁內容，明確下列內容。（1）什么是曲邊梯形（2）曲邊梯形面積如何求得（3）曲邊梯形面積分割注意事項如上圖，類似這種圖形都叫做曲邊梯形。其面積的求解是通過分割法：（1）分割 任取分點，把分成n個小區間，小區間長度記作（2）取近似值 每個小區間上任取一個點，豎線做高，則得到小長條矩形的面積是，（3）求和 把