1、專題拓展課七機械能守恒定律和功能關系的應用【學習目標要求】1.應用機械能守恒定律分析和求解多物體或連接體問題。2.理解力學中的各種功能關系，并能綜合利用功能關系分析和解決問題。拓展點1“三種典型連接體模型”的機械能守恒問題(模型構建)1.輕繩連接的物體系統模型(1)常見情景(如圖所示)。(2)三點提醒分清兩物體是速度大小相等，還是沿繩方向的分速度大小相等。用好兩物體的位移大小關系或豎直方向高度變化的關系。對于單個物體，一般繩上的力要做功，機械能不守恒；但對于繩連接的系統，機械能則可能守恒。2.輕桿連接的物體系統模型(1)常見情景(如圖所示)。(2)三大特點平動時兩物體線速度大小相等，轉動時兩物

2、體角速度相等。桿對物體的作用力并不總是沿桿的方向，桿能對物體做功，單個物體機械能不守恒。對于桿和物體組成的系統，忽略空氣阻力和各種摩擦且沒有其他力對系統做功，則系統機械能守恒。3.輕彈簧連接的物體系統模型(1)題型特點由輕彈簧連接的物體系統，一般既有重力做功，又有彈簧彈力做功，這時系統內物體的動能、重力勢能和彈簧的彈性勢能相互轉化，而總的機械能守恒。(2)兩點提醒對于同一彈簧，彈性勢能的大小由彈簧的形變量決定，無論彈簧伸長還是壓縮。物體運動的位移與彈簧的形變量或形變量的變化量有關。【例1】 (2020江蘇宿豫中學高一月考)如圖所示，A物體用板托著，離地高度h1.0 m，輕質細繩通過光滑定滑輪與

3、A、B相連，繩子處于繃直狀態。已知A物體質量M1.5 kg，B物體質量m1.0 kg，現將板抽走，A將拉動B上升，設A著地后不反彈，B上升過程中不會碰到定滑輪，g取10 m/s2。求：(1)A著地時，B的速度大小；(2)B物體在上升過程中離地面的最大高度。解析(1)在A下降B上升的過程中，A、B系統機械能守恒，由機械能守恒定律得(Mgmg)heq f(1,2)Mv2eq f(1,2)mv2解得veq r(f(2（Mgmg）h,Mm)，代入數據得v2 m/s。(2)A落地后，B繼續上升的高度為h，由機械能守恒得eq f(1,2)mv2mgh，解得h0.2 m則B離地面的最大高度Hhh1.2 m。

4、答案(1)2 m/s(2)1.2 m【針對訓練1】 (2020重慶八中高一月考)如圖所示，長度為L的三根輕桿構成一個正三角形支架，在A處固定質量為2m的小球；B處固定質量為m的小球，支架懸掛在O點，可繞過O點與支架所在平面相垂直的固定軸轉動。開始時OB與地面相垂直，放手后開始運動。在無任何阻力的情況下，下列說法中正確的是()A球到達最低點時速度為eq r(f(gL,5)A球到達最低點時，B球速度為eq r(f(gL,3)A球到達最低點時，桿對A做功為eq f(2,3)mgL擺動過程中A球機械能守恒A. B. C. D.解析當A球到達最低點時，對A、B組成的系統由機械能守恒定律(2mgmg)eq

5、 f(L,2)eq f(1,2)(2mm)v2，解得veq r(f(gL,3)，即此時A、B兩球的速度均為eq r(f(gL,3)，則錯誤，正確；當A球到達最低點時，對A球由動能定理2mgeq f(L,2)Weq f(1,2)2mv2，解得Weq f(2,3)mgL，則正確；擺動過程中，A、B組成的系統的機械能守恒，A球機械能不守恒，選項錯誤。答案C拓展點2能量守恒定律、功能關系的理解和應用1.能量守恒定律能量既不會憑空產生，也不會憑空消失，它只能從一種形式轉化為另一種形式，或者從一個物體轉移到別的物體，在轉化或轉移的過程中，能量的總量保持不變。2.功能關系概述(1)不同形式的能量之間的轉化是

6、通過做功實現的，做功的過程就是能量之間轉化的過程。(2)功是能量轉化的量度。做了多少功，就有多少能量發生轉化。3.功與能的關系：由于功是能量轉化的量度，某種力做功往往與某一種具體形式的能量轉化相聯系，具體功能關系如下表：功能量轉化關系式重力做功重力勢能的改變WGEp彈力做功彈性勢能的改變WFEp合力做功動能的改變W合Ek除重力、系統內彈力以外的其他力做功機械能的改變WE機兩物體間滑動摩擦力對物體系統做功內能的改變Ffx相對Q【例2】 (2020江蘇省高二學業考試)高空拋物現象被稱為“懸在城市上空的痛”。如圖所示，是某小區宣傳窗中的一則漫畫。不計空氣阻力，若畫中被拋下的物體在下落過程中重力做功3

7、0 J，下列說法正確的是()A.物體重力勢能保持不變B.物體重力勢能增加了30 JC.物體機械能減少了30 JD.物體動能增加了30 J解析重力做正功，重力勢能減小，重力做功30 J，物體重力勢能減小30 J，故A、B錯誤；只有重力做功，物體的機械能不變，故C錯誤；重力為物體所受的合外力，根據動能定理，重力做功30 J，物體動能增加了30 J，故D正確。答案D【例3】 (2020湖南長沙一中高二月考)一物體從某一高度自由落下，落在直立于地面的輕彈簧上，如圖所示。在A點物體開始與彈簧接觸，到B點時物體速度為零，然后被彈回，不計空氣阻力，下列說法中正確的是()A.物體從A點下降到B點的過程中，動能

8、不斷變小B.物體從B點上升到A點的過程中，動能不斷變大C.物體從B點上升到A點的過程中加速度先減小后增大D.物體在A、B之間某點時(不包含A、B兩點)，系統的重力勢能與彈性勢能之和最大解析物體在從A下降到B的過程中，開始階段，重力大于彈簧的彈力，加速度方向向下，物體做加速運動，彈力在增大，合力減小，則加速度減小；當重力大小等于彈力大小時，加速度為零，速度達到最大；后來彈力大于重力，加速度方向向上，物體做減速運動，運動的過程中彈力增大，加速度增大，到達最低點，速度為零。可知加速度先減小后增大，速度先增大后減小，則動能先增大后減小，選項A、B錯誤，C正確；物體在A、B之間運動時，只有重力和彈簧的彈

9、力做功，系統的機械能守恒。當重力等于彈力時，物體的速度最大，動能最大，系統的重力勢能與彈性勢能之和最小；反之，在B點速度為零，系統的重力勢能與彈性勢能之和最大，選項D錯誤。答案C【針對訓練2】 (多選)(2020湖北武漢二中高一月考)如圖，第一次，小球從粗糙的eq f(1,4)圓形軌道頂端A由靜止滑下，到達底端B的速度為v1，克服摩擦力做功為W1；第二次，同一小球從底端B以v2沖上圓形軌道，恰好能到達A點，克服摩擦力做功為W2，則()A.v1可能等于v2B.W1一定小于W2C.小球第一次運動機械能變大了D.小球第一次經過圓弧某點C的速率小于它第二次經過同一點C的速率解析從A下滑到B根據動能定理

10、可得mgRW1eq f(1,2)mveq oal(2,1)；從B上滑到A根據動能定理可得mgRW2eq f(1,2)mveq oal(2,2)，則v2v1，故A錯誤；因v2v1，故第二次小球在軌道上的平均正壓力較大，摩擦力較大，故摩擦力做功較多，即W1一定小于W2，故B正確；小球第一次運動因為要克服摩擦力做功，故機械能變小了，故C錯誤； 小球第一次經過圓弧某點C時滿足mghWC1eq f(1,2)mveq oal(2,C1)；它第二次經過同一點C時滿足mghWC2eq f(1,2)mveq oal(2,C2)，即eq f(1,2)mveq oal(2,C2)mghWC2，且WC1WC2，則vC

11、2vC1，則小球第一次經過圓弧某點C的速率小于它第二次經過同一點C的速率，故D正確。答案BD1.(連接體的機械能守恒問題)如圖所示，可視為質點的小球A、B用不可伸長的細軟輕線連接，跨過固定在地面上半徑為R的光滑圓柱，A的質量為B的兩倍。當B位于地面時，A恰與圓柱軸心等高。將A由靜止釋放，B上升的最大高度是()A.2R B.eq f(5R,3) C.eq f(4R,3) D.eq f(2R,3)解析設A、B的質量分別為2m、m，當A落到地面，B恰好運動到與圓柱軸心等高處，以A、B整體為研究對象，機械能守恒，故有2mgRmgReq f(1,2)(2mm)v2，當A落地后，B球以速度v豎直上拋，到達

12、最高點時上升的高度為heq f(v2,2g)，故B上升的最大高度為Rheq f(4,3)R，選項C正確。答案C2.(功能關系的理解和應用)(2020河南省高二學業考試)如圖，在距離地面h高處以初速度v0沿水平方向拋出一個小球，不計空氣阻力，物體在下落過程中，下列說法中正確的是()A.小球在c點比在a點具有的機械能大B.小球在c點比在a點具有的動能小C.小球在a、b、c三點具有的動能一樣大D.小球在a、b、c三點具有的機械能相等解析小球在平拋運動過程中只有重力做功，小球的機械能守恒，A錯誤，D正確；重力做正功，由動能定理可知小球動能增大，B、C錯誤。答案D3.(功能關系的理解和應用)(多選)(2

13、020河北唐山一中高一月考)如圖，海王星繞太陽沿橢圓軌道運動，P為近日點，Q為遠日點，M、N為軌道短軸的兩個端點，運行的周期為T0，若只考慮海王星和太陽之間的相互作用，則海王星在從P經過M、Q到N的運動過程中()A.從P到M所用的時間等于eq f(T0,4)B.從Q到N階段，機械能逐漸變大C.從P到Q階段，速率逐漸變小D.從M到N階段，萬有引力對它先做負功后做正功解析海王星在PM段的速度大小大于MQ段的速度大小，則PM段的時間小于MQ段的時間，所以從P到M所用的時間小于eq f(T0,4)，故A錯誤；從Q到N的過程中，由于只有萬有引力做功，機械能守恒，故B錯誤；從P到Q階段，萬有引力做負功，速

14、率減小，故C正確；根據萬有引力方向與速度方向的關系知，從M到N階段，萬有引力對它先做負功后做正功，故D正確。答案CD課時定時訓練(限時25分鐘)對點題組練題組一連接體的機械能守恒問題1.如圖所示，質量為m和3m的小球A和B，系在長為L的細線兩端，桌面水平光滑，高h(hL)，B球無初速度從桌邊滑下，落在沙地上靜止不動，則A球離開桌邊的速度為()A.eq r(f(3gh,2) B.eq r(2gh) C.eq r(f(gh,3) D.eq r(f(gh,6)解析A、B組成的系統機械能守恒，則有3mgheq f(1,2)(m3m)v2，解得veq r(f(3gh,2)，選項A正確。答案A2.(多選)

15、如圖所示，輕質彈簧的一端與固定的豎直板P連接，另一端與物體A相連，物體A置于光滑水平桌面上，A右端連接一細線，細線繞過光滑的定滑輪與物體B相連。開始時托住B，讓A處于靜止且細線恰好伸直，然后由靜止釋放B，直至B獲得最大速度。下列有關該過程的分析正確的是 ()A.A物體與B物體組成的系統機械能守恒B.A物體與B物體組成的系統機械能不守恒C.B物體機械能的減少量小于彈簧彈性勢能的增加量D.當彈簧的拉力等于B物體的重力時，A物體的動能最大解析A物體、彈簧與B物體組成的系統機械能守恒，但A物體與B物體組成的系統機械能不守恒，選項A錯誤，B正確；B物體機械能的減少量等于A物體機械能的增加量與彈簧彈性勢能

16、的增加量之和，故B物體機械能的減少量大于彈簧彈性勢能的增加量，選項C錯誤；當彈簧的拉力等于B物體的重力時，A物體的加速度為0，A物體速度最大，A物體的動能最大，選項D正確。答案BD3.(多選)(2020江蘇宿豫中學高一月考)如圖所示，小球從高處下落到豎直放置的輕彈簧上，從小球接觸彈簧開始到彈簧被壓縮至最短的過程中(彈簧一直保持豎直)，下列說法正確的是()A.小球的動能不斷減小B.彈簧的彈性勢能不斷增大C.彈簧的彈性勢能和小球的動能之和不斷增大D.小球的動能和重力勢能之和不斷減小解析小球剛接觸彈簧時，重力大于彈力，小球先向下做加速度逐漸減小的加速運動，當加速度減小為0時，速度最大，然后重力小于彈

17、力，小球向下做加速度逐漸增大的減速運動到速度為0，所以小球的速度先增大后減小，故動能先增大后減小，故A錯誤；下落過程，小球與彈簧組成的系統機械能守恒，重力對小球做正功，故小球的重力勢能不斷減小，則彈簧的彈性勢能和小球的動能之和不斷增大；球接觸彈簧到將彈簧壓縮至最短的過程中，形變量一直增大，所以彈性勢能一直增大，故小球的動能和重力勢能之和不斷減小，故B、C、D正確。答案BCD題組二功能關系的理解和應用4.如圖所示，某段滑雪雪道傾角為30，總質量為m(包括雪具在內)的滑雪運動員從距底端高為h處的雪道上由靜止開始勻加速下滑，加速度為eq f(1,3)g。在他從上向下滑到底端的過程中，下列說法正確的是

18、()A.運動員減少的重力勢能全部轉化為動能B.運動員獲得的動能為eq f(1,3)mghC.運動員克服摩擦力做功為eq f(2,3)mghD.下滑過程中系統減少的機械能為eq f(1,3)mgh解析運動員的加速度為eq f(1,3)g，小于gsin 30，所以必受摩擦力的作用，且大小為eq f(1,6)mg，克服摩擦力做功為eq f(1,6)mgeq f(h,sin 30)eq f(1,3)mgh，故C錯誤；摩擦力做功，機械能不守恒，減少的勢能沒有全部轉化為動能，而是有eq f(1,3)mgh轉化為內能，故選項A錯誤，D正確；由動能定理知，運動員獲得的動能為eq f(1,3)mgeq f(h,

19、sin 30)eq f(2,3)mgh，故B錯誤。答案D5.(多選)質量為m的物體，由靜止開始下落，由于阻力作用，下落的加速度為eq f(4,5)g，在物體下落h的過程中，下列說法正確的是()A.物體的動能增加了eq f(4,5)mghB.物體的重力勢能減少了mghC.物體機械能減少了eq f(4,5)mghD.物體克服阻力所做的功為eq f(1,5)mgh解析根據合力做功等于動能的變化，下落的加速度為eq f(4,5)g，物體的合力為eq f(4,5)mg，W合eq f(4,5)mgh，所以物體的動能增加了eq f(4,5)mgh，選項A正確；重力做功WGmgh，重力做的功等于重力勢能的減少

20、量，所以重力勢能減少了mgh，物體的動能增加了eq f(4,5)mgh，則機械能減少了eq f(1,5)mgh，選項B正確，C錯誤；物體受豎直向下的重力和豎直向上的阻力，下落的加速度為eq f(4,5)g，根據牛頓第二定律得阻力為eq f(1,5)mg，所以阻力做功Wffheq f(1,5)mgh，所以物體克服阻力所做的功為eq f(1,5)mgh，選項D正確。答案ABD綜合提升練6.(2020湖南長沙一中高二開學考試)如圖所示的木板由傾斜部分和水平部分組成，兩部分之間由一段圓弧面相連接。在木板的中間有位于豎直面內的光滑圓槽軌道，斜面的傾角為。現有10個質量均為m、半徑均為r的均勻剛性球，在施加于1號球的水平外力F的作用下均靜止，此時1號球球心距它在水平槽運動時的球心高度差為h。現撤去力F使小球開始運動，直到所有小球均運動到水平