1、第三章桿件的扭轉理論13-1 直桿的扭轉基本概念（1）何謂直桿扭轉直桿在兩端受到作用于桿斷面的大小相等方向相反的力矩（扭矩）作用，則發生扭轉。（2）一般直桿扭轉變形的特點截面發生扭轉變形截面有可能發生翹曲（3）直桿扭轉劃分2圓斷面桿的扭轉、非圓斷面桿的扭轉 薄壁桿件扭轉 開口、閉口薄壁桿件扭轉（2）按桿件斷面形狀劃分為： （1）按翹曲變形是否受約束劃分： 自由扭轉與非自由扭轉自由扭轉（純扭轉）：非自由扭轉（約束扭轉）：如果一等斷面桿僅在兩端受到扭矩作用，并不受其他任何約束，桿在扭轉時可以自由變形。翹曲一致。如果桿在受到扭矩作用后，由于支座或其他約束存在使它在扭轉時不能自由變形 。翹曲不一致3d

2、x式中 為扭矩， 為斷面半徑， 為斷面的“極慣性矩” 斷面最大剪應力為：（3-1）設 為桿的扭角，則單位長度的扭角 即扭矩為：（3-2）圓斷面桿的自由扭轉研究桿件的扭轉問題就是在給定的扭矩下求出桿件的扭轉應力與變形（扭角）。滿足剛周邊假定條件。如下圖：最簡單的等斷面圓桿 Mt Mtxl4如圖：內徑為和外徑為 d=2r 和 D=2R的空心圓斷面 如圖可見斷面剪力分布極慣性矩為：式中 為薄壁管壁厚中心線的直徑； 為壁厚內徑及外徑處的剪應力分別為：對于薄壁桿件， r 與R相差不大，可近似認為 與 差不多相等由此：式中 為薄壁管壁中心線所包圍的面積剪流為：Rr（3-3）（3-4）5非圓斷面的自由扭轉如

3、果桿件斷面不是圓形，則扭轉變形特征 有所不同，其主要差別在扭轉時段面不在保持 平面而發生“翹曲”(warping)翹曲問題與圓截面自由扭轉的最大區別： 在自由扭轉條件下，因桿扭轉不受阻礙，所以各段面 的翹曲都相同，因此桿件上平行于桿軸的直線在變形后長度不變且仍為直線。但翹曲是自由的應力分布不同6如圖：狹長矩形斷面（矩形段面長邊或高度h與短邊或高度t之比為大于5）的扭率： 稱為斷面的“扭轉慣性矩”變形斷面在長邊周界中點的剪應力最大，為： 狹長矩形斷面的變形及應力分布尺度比：應力分布及最大剪應力73-2 薄壁桿件的自由扭轉(a) (e)(d)(c)(b)薄壁桿件的定義薄壁桿件的劃分：開口薄壁桿件閉

4、口薄壁桿件本章學習的目的：求解位移及應力8開口薄壁桿件的自由扭轉 一等斷面的開口薄壁桿件，在兩端的扭矩作用下就發生自由扭轉。在自由扭轉時，桿件斷面不能保持平面而發生翹曲。如圖（a）：工字形梁扭轉時的變形情況。 可見梁的上下翼板相互轉動了一個角度（即扭角），梁的斷面不再為平面，上下翼板向沿相反的方向發生翹曲。9 薄壁桿件在扭轉時斷面雖然發生翹曲，但在小變形情況下可以假定桿件扭轉后在其原來平面中的投影形狀與原斷面形狀相同，即 “剛周邊假定”。 (b)變形的基本假定條件剛周邊假定：假定條件對分析產生的影響： 在計算桿件斷面在其平面內的扭轉位移時可把斷面當作一剛體一樣發生平面運動，斷面在扭轉時各組成部

5、分的扭角相同。10，整個工字形斷面的扭矩滿足力的平衡條件截面的力平衡條件截面的變形條件工字形斷面在扭轉后的變形情況:11截面的力平衡條件式中：，；變形條件每個狹長矩形承擔的扭矩提示: 截面中的扭矩分布特點：按抗扭抗剛度比進行分配， 剛度較大的矩形，承受較大的扭矩。12截面的總扭轉慣性矩13推廣到一般（n個狹長矩形）：考慮到實際中薄壁型鋼斷面的各組成部分在連接處通過圓角連成一體，因此剛度略為增加，所以慣性矩一般公式為：hi與ti分別為第個狹長矩形斷面的長邊與短邊的長度，系數 與型鋼斷面形狀有關 (3-9)14截面上的應力分布：截面上最大應力出現在厚度最大的矩形的長邊中點處。右圖為工字形斷面在自由

6、扭轉時的 剪應力分布情況其分布規律為：沿壁厚為線性分布，在壁厚中心線處為零。15 任意曲線形狀的開口薄壁斷面亦可以看作 是狹長矩形斷面組合的結果（圖a），故其扭轉慣性矩亦可用公式（3-9）推廣得到：式中s為沿薄壁斷面中心線的坐標;s1為薄壁斷面的長度。 開口薄壁斷面的扭轉慣性矩與壁厚的三次方成正比例,因此壁厚的大小對扭轉慣性矩的影響甚為顯著，即開口薄壁桿件的壁厚越小，其抗扭能力越小，反之薄壁增加，抗扭能力大大增加。：ts116桿件在扭轉時斷面中的剪應力將沿著斷面形成剪應力流。用 表示。因為壁厚很小，故可認為剪應力沿壁厚不變， 閉口薄壁桿件的自由扭轉 其主要特征是：17如圖：一等斷面的閉口薄壁桿

7、件，兩端受到扭矩 M t作用而發生扭轉。X軸為型心軸。MtMt薄壁桿件自由扭轉時，斷面上任意點的剪應力與壁厚的乘積始終不變。 由平衡條件：dxxdsyzxo現桿件中取出 的一微塊（如圖），在微塊的斷面上有剪流 及剪力流等于常數18o桿件斷面中剪力流對斷面上任一點的力矩應等于扭矩，現在把剪流對斷面與x軸的交點（左圖中O點）取矩，則有： 式中r為剪流f到O 點的垂直距離；rds為斷面上 ds長度與O點之間所形成的三角形面積的兩倍； rds沿斷面周長的積分則為斷面中心線所圍成的面積的兩倍，我們用2A表示之，即這就是閉口薄壁桿件自由扭轉時的剪流計算公式，稱為 布雷特（Bredt）公式。于是得 或rfd

8、sA(3-12)(3-13)19 以下用材料力學中的“單位力法”推導聯系扭角與剪應力的“ 環流方程” 將兩端受扭矩作用的閉口薄壁桿件叫做第一狀態，如圖 （a） ；同樣這根桿兩端受單位扭矩作用時叫做第二狀態，如圖（b）。 dsdx 為了計算應變能，在桿中考慮 的微塊，MtMt11lds(a)(b)于是第二狀態外力（單位扭矩）對第一狀態變形（扭角）的功則有應變能為 :dx=第二狀態的內力對第一狀態應變的功即應變能。20為第二狀態中的剪應力 ; 為第一狀態桿中的剪切角所以：于是得：或此式為環流方程式。將（3-13）式代入后，即得閉口薄壁自由扭轉的扭率為：(3-14)21閉口薄壁自由扭轉的扭率為：閉口

9、薄壁自由扭轉的剪應力：環流方程式閉口薄壁斷面的扭轉慣性矩(3-15)(3-16)22對于寬為a ，高為b，厚度為t 的盒形薄壁斷面,由（3-16）式得：a(3-17)bt對于直徑為D1，壁厚為t的圓管，由（3-16）得23左邊ABCF為第 區，剪流為右邊CDEF為第 區，剪流為將其分為兩區：方向如圖，于是兩個區公共壁（即CF ）中的剪流為（方向向上）任取圖中 O點，建立力矩等于扭矩 Mt的方程式：左圖為雙閉室斷面。設此雙閉室斷面的薄壁桿件在扭矩Mt作用下發生自由扭轉，此時，斷面中每一段的剪流 常數的結論仍然成立。下面計算這個剪力流大小。 式中 為剪流到點O的垂直距離；積分號下面字母為積分的路線

10、。上式可改寫為：AFBCEDO24可得：(3-18)AFBCDOE25補充方程式： 變形的基本條件 扭率相等此方程有兩個未知數和，所以不能求解，為此列補充方程式。AFBCDOE26令 ， 可得：聯立方程（3-18）和（3-19），即可求出 ， 和扭率。式中 為CDEF段的壁厚同理對第 區有：式中 為FABC段的壁厚； 為CF 段的壁厚。 (3-19)27現具體計算 一簡單的例子。如圖所示的等厚度雙閉室斷面，這時公式（3-18）將為： 或（3-20）公式（3-19）將為：或（3-21）公式（3-21）給出 ，代入（3-20）中，即得： taa/2a因而，斷面中面壁上的剪流為 。此桿扭率為：28這

11、個扭轉慣性矩與寬為2a，高為a，厚度為t的單閉室斷面得扭轉慣性矩相同，這是因為所論的雙閉室斷面的中間壁上沒有剪應力，因此中間壁在扭轉中不起作用，所以其扭轉慣性矩就和上述的單閉室斷面一樣。此雙壁室斷面的扭轉慣性矩為：29薄壁桿斷面有兩個及兩個以上以上的閉口形成，求出自由扭轉時的剪力流、扭率、斷面扭轉慣性矩1、建立斷面中每一室的剪流的力矩之和等于扭矩的方程式；2、建立各室扭率相同的方程式.3、聯立求解剪流 和扭率 。4、在最后得出了扭率之后，將扭率寫成的式子，式中 就是所論斷面的扭轉慣性矩。30A=BH-bd 由于在同樣的外形及壁厚情況下閉口斷面比開口斷面有更大的抗扭剛度，所以如果桿件斷面既有閉口

12、又有開口部分，則在計算扭轉慣性矩時常可以不計開口部分的面積。單壁的集裝箱斷面,如圖（a）就是這種例子。為使弦側在扭轉中發揮作用，目前有將集裝箱船做成雙壁的，如圖（b）。bdBtbtstitetdH如圖（b），斷面成了多閉式的，其抗扭剛度提高很多。計算時可將其中的縱絎等略去而近似當作一閉室來處理。(a)(b) 抗扭彎矩為：式中(3-22)313.1 計算圖示薄壁斷面的扭轉慣性矩（單位：mm）a）b）32333.2 設有兩根同樣長度的直桿，兩端手扭矩發生自由扭轉，一桿為閉口斷面，另一桿為開口斷面，如下圖。一直a=40cm，t=2cm，此兩桿在相同的扭矩作用下扭角相差多少倍？343.3 比較正方形管與圓管截面的桿件（如下圖），若二者的壁厚及斷面面積均相同，在受到同樣大小的扭矩作用時，哪一個桿件的扭轉剪應力大，大多少倍？35aa