1、第三節 差分方程 差分方程是包含關于變量 k 的序列y（k）及其各階差分的方程式。 是具有遞推關系的代數方程，若已知初始條件和激勵，利用迭代法可求差分方程的數值解。1第1頁，共42頁。 對于單輸入單輸出線性定常系統，在某一采樣時刻的輸出值 y(k) 不僅與這一時刻的輸入值 r(k)有關，而且與過去時刻的輸入值r(k-1)、 r(k-2)有關，還與過去的輸出值y(k-1)、 y(k-2)有關。可以把這種關系描述如下：n系統的階次k系統的第k個采樣周期線性定常系統差分方程的一般形式差分方程的定義:2第2頁，共42頁。差分方程的物理意義1.差分方程給出了沿時間順序輸出量的若干個采樣瞬時值與輸入量在采

2、樣瞬時的值的關系。2.通常，若系統的連續部分是一個 n 階的線性環節，則構成離散系統時，其相應的差分方程也是 n 階的線性差分方程。3. 一個n 階差分方程中，一般包括有n 個過去采樣瞬時的輸出值。3第3頁，共42頁。典型的采樣系統4第4頁，共42頁。差分方程的 求解方法迭代求解5第5頁，共42頁。6第6頁，共42頁。迭代法求解示例例題：若描述某離散系統的差分方程為：已知初始條件:求:7第7頁，共42頁。解：將方程中除 y（k）以外的各項都移到等號右邊，得：對于類似的依次迭代可得：8第8頁，共42頁。迭代法的 特點思路清楚，便于編寫計算程序，能得到方程 的數值解。2. 但不容易得出輸出在采樣時

3、刻值的通解。9第9頁，共42頁。 直接求解差分方程是比較困難的，因此考慮到：能否借用類似于拉斯變換的數學方法來簡化方程求解？10第10頁，共42頁。第四節 Z 變換11第11頁，共42頁。12第12頁，共42頁。引入變量：或者寫成：S: 拉普拉斯變換的算子； Ts:采樣周期；Z：一個復變量，定義在 Z 平面上，稱為 Z 變換算子，記為：采樣信號的Z變換：Zf*(t) = F(z)F (z)是采樣脈沖序列的 Z變換， 它只考慮了采樣時刻的信號值。13第13頁，共42頁。Z 變換的實質將差分方程轉為代數方程，簡化求解過程。復變量 s 與 z 之間的關系，反映了連續函數在 s 域和離散函數在 z 域

4、的對應關系。14第14頁，共42頁。 級數求和法 部分分式法 留數計算法4.2 Z 變換的方法15第15頁，共42頁。1. 級數求和法將離散函數根據定義展開,然后逐項進行拉斯變換，F *(t) = 可得：F (z) = f(0) 1 + f (T) Z-1 + f(2T) Z-2 + f (nT) Z-n 16第16頁，共42頁。例 8-1 見教材339頁 例題841.例 8-2 求 的 F(Z)見教材339頁例題84217第17頁，共42頁。例8-3 求解 的 Z 變換 。2. 部分分式法 當連續函數可以表示為指數函數之和時，可以利用這種方法。見教材339頁例題84318第18頁，共42頁。

5、例8-4 求19第19頁，共42頁。 設連續函數f(t)的拉普拉斯變換F(S)及全部極點已知,則可用留數計算法求Z變換.當F(S)具有一階極點S=P1時,其留數為:當F(S)具有q階重復極點時,其留數為:4.2.3 留數計算法20第20頁，共42頁。例8-4-5 求的Z變換解:21第21頁，共42頁。例86 求的Z變換解:兩階重極點!例8722第22頁，共42頁。 下表列出了一些常見函數及其相應的 Laplace 變換 和 Z 變換，利用此表可以根據給定的函數或其 Laplace 變換直接查出其對應的 Z變換，不必進行繁瑣的計算，這也是實際中廣泛應用的方法。23第23頁，共42頁。常用函數的

6、Z變換（見教材341頁表841）24第24頁，共42頁。1、線性定理2、滯后定理3、初值定理4、終值定理5、超前定理6、復數偏移定理4.3 Z 變換的基本定理（p342）25第25頁，共42頁。1、線性定理設：則：函數線性組合的Z變換，等于各函數Z變換的線性組合。2、滯后定理設在t0時連續函數f(t)的值為零，其Z變換為F（Z）則:原函數在時域中延遲幾個采樣周期，相當于在象函數上乘以z-k,算子z-k的含義可表示時域中時滯環節，把脈沖延遲k個周期。 26第26頁，共42頁。3、初值定理設函數f(t)的Z變換為F（z），并且 存在，則4、終值定理 設函數f(t)的 Z變換為F（z），并且（1-z

7、-1）F(z)在以原點為圓心的單位圓上和圓外均無極點，則有經常用于分析計算機系統的穩態誤差！27第27頁，共42頁。5、超前定理設函數f(t)的 Z變換為則：若則：6、復數偏移定理設函數f(t)的Z變換為F（Z），則28第28頁，共42頁。長除法（冪級數展開法）部分分式法留數法（反演積分法）4.4 Z 反變換Z 反變換是: 已知 Z 變換表達式 F(Z) f (nT) 的逆過程.29第29頁，共42頁。要點：將F（Z）用長除法變化為降冪排列的展開形式。 4.4.1 長除法（冪級數法）Z反變換為:也即：30第30頁，共42頁。例88 求的Z反變換解：31第31頁，共42頁。32第32頁，共42頁

8、。步驟：先將變換式寫成，展開成部分分式， 查Z變換表兩端乘以Z4.4.2 部分分式法（因式分解法，查表法）33第33頁，共42頁。例89 求的Z反變換解：34第34頁，共42頁。函數F(z)zn-1在極點Zi處的留數曲線C可以是包含F(z)zn-1全部極點的任意封閉曲線若 Zi為一重極點:若 Zi為q重極點:3.留數法 （反演積分法）35第35頁，共42頁。例810 求的Z反變換解：有兩個一重極點36第36頁，共42頁。例811 求的Z反變換解：有一個兩重極點37第37頁，共42頁。用 Z 變換 解二階差分方程38第38頁，共42頁。用 Z 變換法求解下列二階差分方程：對上式兩邊取 Z變換，得代入初始條件，得查表，得39第39頁，共42頁。用 Z 變換法求解下列二階差分方程：根據 Z變換的定義有：u (n)=1對上述差分方程進行Z變換，代入初始條件，得：（Z2 - 3Z + 2 )C (z) = 1查表無法獲得上面兩個分式對應的值，但是因為：40第40頁，共42頁。根據 Z變換的性質有：c(n+1)= Z c(z) - zc(0),C(n+1) = -1 z C(z)-1 zC(0)在現在的情況下: c(0)=0, 于是有：c(n+1) =最后得：41第41頁，共42頁。 在連續量的系統中，采用了Laplace變換