1、動態幾何之面動形成的等腰三角形存在性問題三、選擇題填空題解答題1.(2013年重慶市B12分)已知：在矩形ABCD中，E為邊BC上的一點，AEDE,AB=12,BE=16,FNG=6 , MG=8，斜邊 MN 與為線段BE上一點，EF=7,連接AF。如圖1,現有一張硬紙片公GMN,/NGM=90。,邊BC在同一直線上，點 N與點E重合，點G在線段DE上如圖2, GMN從圖1的位置出發,以每秒1個單位的速度沿 EB向點B勻速移動，同時，點P從A點出發，以每秒1個單位的速度沿AD向點D勻速移動，點Q為直線GN與線段AE的交點，連接PQ。當點N到達終點B時， GMNP和點同時停止運動。設運動時間為

2、t秒,解答問題：在整個運動過程中，當點G在線段AE上時，求t的值;(2)求出t的值；若不存在，說明在整個運動過程中,是否存在點口，使公APQ是等腰三角形，若存在,理由；(3)在整個運動過程中，設4GMN與公AEF重疊部分的面積為S,請直接寫出S與t的函數關系式以及自變量t的取值范圍。【答案】解：(1)?/NGM=90,NG=6,MG=8,?由勾股定理，得NM=10o當點G在線段AE上時，如圖，此時，GGMN=10。?GMN從圖1的位置出發，以每秒1個單位的速度沿EB向點B勻速移動,?t=10秒(2)存在。由矩形ABCD中，AB=12,BE=16,得AE=20當0vtw10時，線段GN與線段AE

3、相交，如圖，過點Q作QH，BC于點H,QIAB于點I,過點P作PJ，IJ于點J。根據題意，知AP=EN=t,由公QNEGNM得，即，1由公QHENGM得，即，錦元數學工作室繪制若AP=AQ,則，解得，不存在;若AP=PQ？0,無解，不存在若AQ=PQ,則，無正數解，不存在。由(2)，EN=t,二式相加，得。二。當Vt16時，如圖，GMN與公AEF重疊部分的面積等于IFM的面積。2.(2013年重慶市A12分)已知，如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=12,BC=6,ADBDo以AD為斜邊在平行四邊形ABCD的內部作RtAAED,/EAD=30,/AED=90。(1)求公AED的周長；(2)若公

4、AED以每秒2個長度單位的速度沿DC向右平行移動，得到AoEoDo,當AoDo與BC重合時停止移動。設移動時間為t秒，AoEoDo與ABDC重疊部分的面積為S,請直接寫出S與t之間的函數關系式，弁寫出t的取值范圍；(3)如圖，在(2)中，當AED停止移動后得到公BEC,將BEC繞點C按順時針方向旋轉，在旋轉過程中，B的對應點為B!,E的對應點為巳，設直線B與直線BE交于點P、與直線CB交于點Q。是否存在這樣的，使BPQ為等腰三角形？若存在，求出的度數；若不存在，請說明理由。【答案】解：（1）在平行四邊形ABCD中，BC=6,.AD=BC=6。?在RtAAED中,/EAD=300,/AED=90

5、0,.DE=3,AE=。?AED的周長為。3.(2013年湖北隨州13分)在平面直角坐標系xOy中，矩形ABCO的頂x=2 .點A、C分別在y軸、x軸正半軸上，點P在AB上，PA=1,AO=2.經過原點的拋物線的對稱軸是直線(1)求出該拋物線的解析式.(2)如圖1,將一塊兩直角邊足夠長的三角板的直角頂點放在P點處，兩直角邊恰好分別經過點0和C.現在利用圖2進行如下探究：將三角板從圖1中的位置開始，繞點P順時針旋轉，兩直角邊分別交0A、0C于點E、F,當點E和點A重合時停止旋轉.請你觀察、猜想，在這個過程中，的值是否發生變化？若發生變化，說明理由；若不發生變化，求出的值.設(1)中的拋物線與x軸

6、的另一個交點為D,頂點為M,在的旋轉過程中，是否存在點F,使DMF為等腰三角形？若不存在，請說明理由.存在。.拋物線的解析式為：，令y=0，即，解得：x=0或x=4,?D(4,0)。(2013年貴州貴陽12分)如圖，在平面直角坐標系中，有一條直線I:與x軸、y軸分別交于點M、N,一個高為3的等邊三角形ABC,邊BC在x軸上，將此三角形沿著x軸的正方向平移.在平移過程中，得到,此時頂點州恰落在直線I上，寫出A!點的坐標A；繼續向右平移，得到A2B2c2,此時它的外心P恰好落在直線I上，求P點的坐標；在直線I上是否存在這樣的點，與(2)中的A?、B2、C2任意兩點能同時構成三個等腰三角形？如果存在

7、，求出點的坐標；如果不存在，說明理由.由(2)得，C2(4,0),點C2滿足直線的關系式，？點C2與點M重合。?/PMB2=30設點Q滿足的條件，QA2B2,AB2QC2,AA2QC2能構成等腰三角形，止匕時QA2=QB2,B2Q=B2c2,A2Q=A2c2。作QD，x軸與點D,連接QB2,TQB2=2,ZQB2D=2/PMB2=60?QD=3,.Q(,3)。綜上所述，存在四個點，與(2)中的A2、B2、C2任意兩點能同時構成三個等腰三角形，分別是P(3,1),Q(,3),S(4-3,R(4+3,-)o(2013年遼寧錦州14分)如圖，拋物線經過ABC的三個頂點，點A坐標為(0,3),點B坐標

8、為(2,3),點C在x軸的正半軸上求該拋物線的函數關系表達式及點C的坐標；點E為線段OC上一動點，以OE為邊在第一象限內作正方形OEFG，當正方形的頂點F恰好落在線段AC上時，求線段OE的長；將(2)中的正方形OEFG沿0C向右平移，記平移中的正方形OEFG為正方形DEFG,當點E和點C重合時停止運動？設平移的距離為t,正方形DEFG的邊EF與AC交于點M,DG所在的直線與AC交于點N,連接DM,是否存在這樣的八使公DMN是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；在上述平移過程中，當正方形DEFG與公ABC的重疊部分為五邊形時，請直接寫出重疊部分的面積S與平移距離t的函數關系式及

9、自變量t的取值范圍；并求出當t為何值時，S有最大值，最大值是多少？(3)存在滿足條件的t?理由如下：如答圖2，易證CEMCOA,?,即，得。過點M作MH，DN于點H,則DH=ME=，MH=DE=2。易證MNHCOA，:，即，得NH=1。?DN=DH+HN=。在RtAMNH中，MH=2,NH=1，由勾股定理得：MN=。當公DMN是等腰三角形時：若DN=MN，貝U=，解得t=。設直線BC與EF交于點K,?xK=t+2,?。設直線BC與GF交于點J，?yJ=2,?2=，得。FJ=XFXj=t+2=t。（2012四川宜賓12分）如圖，在ABC中，已知AB=AC=5,BC=6,且ABCDEF,將DEF與

10、ABC重合在一起，ABC不動，DEF運動，并滿足：點E在邊BC上沿B到C的方向運動，且DE、始終經過點A,EF與AC交于M點.(1)求證：ABEECM;(2)探究：在公DEF運動過程中，重疊部分能否構成等腰三角形？若能，求出BE的長；若不能，請說明理由；(3)當線段AM最短時，求重疊部分的面積.此時，EFAC,:。?0?當線段AM最短時，重疊部分的面積為。(2011年福建漳州13分)如圖，直線y=2x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點，將OAB繞點0逆時針方向旋轉90后得到OCD.(1)填空：點C的坐標是(,)，點D的坐標是(,);(2)設直線CD與AB交于點M,求線段BM的長；在y軸上是否存

11、在點P,使得BMP是等腰三角形？若存在，請求出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.【考點】一次函數綜合題，坐標與圖形旋轉變化，勾股定理；相似三角形的判定和性質，等腰三角形的性質。【分析】(1)把=0,=0分別代入解析式求出A、B的坐標，由旋轉的性質即可得出C、D的坐標。根據勾股定理求出CD,證BMCDOC,得到比例式即可求出答案。(3)分三種情況：以BM為腰時，BP=BM,以BM為腰時，MP=MB,以BM為底時，即PB=PM,根據等腰三角形的性質求出即可。(2011年廣東省9分)如圖(1),ABC與公EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB=AC=EF=9,/BAC=/DEF=

12、90o,固定ABC,將DEF繞點A順時針旋轉，當DF邊與AB邊重合時，旋轉中止.現不考慮旋轉開始和結束時重合的情況，設DE,DF(或它們的延長線)分別交BC(或它的延長線)于G,H點，如圖(2)(1)問：始終與AGC相似的三角形有及;(3)問：當為何值時，AGH是等腰三角形.【考點】三角形外角定理，相似三角形的判定和性質，勾股定理，幾何問題列函數關系式，等腰三角形的判定。【分析】(1)在公AGC和公HAB中，?/AGC=/B+ZBAG=ZB+90/GAC=135/GAC,/BAH=ZBAC+ZEAFZEAC=90+45ZGAC,(2011年遼寧遼陽14分)如圖，已知RtAABO,ZBAO=90以點O為坐標原點，OA所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，AO=3,ZAOB=30將RtAABO沿OB翻折后，點A落在第一象限內的點D處.求D點坐標；若拋物線y=ax2+bx+3(a0經過B、D兩點，求此拋物線的表達式；(3)若拋物線的頂點為E,它的對稱軸與OB交于點F,點P為射線OB上一動點，過點P作y軸的平行線，交拋物線于點M.是否存在點P,使得以E、F、M、P為頂點的四邊形為等腰梯形？若存在，請求出所有符合條件的點P. 參考公式：拋物線y=ax2+bx+c(aA0的頂點坐標b4ac-b2是-2a,【答案】解：(1)如圖，過點