1、2014年中考解決方案角平分線輔助線學(xué)生姓名：XXX上課時(shí)間：2013.XX.xX角平分線輔助線基礎(chǔ)自檢自查必考點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)一角平分線性質(zhì)(1)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；(2)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.(3)天然的軸對稱模型，三線合一模型知識(shí)點(diǎn)二角平分線輔助線秘籍一：往角兩邊作垂線解讀：用角平分線上的點(diǎn)往角兩邊作垂線，這是常用的輔助線，可以利用邊角邊構(gòu)造全等秘籍二：往角兩邊截取相等的線段解讀：在角兩邊截取相等的線段，這也是角平分線常用的輔助線，常用于解決線段和差問題秘籍三：過角平分線上的點(diǎn)作垂線解讀：過角平分線上的點(diǎn)作垂線，常用于構(gòu)造三線合一，構(gòu)造等腰三角形秘籍四：過角平分線

2、上的點(diǎn)作角一邊的平行線解讀：可以構(gòu)造等腰三角形，可以記作口訣：角平分線+平行線，等角三角形現(xiàn)。總結(jié)：往角兩邊作垂線或平行線、及截取等線段，或用四點(diǎn)共圓知識(shí)點(diǎn)三角平分線模型模型一兩角平分線相交模型解讀：這些是三角形角平分線的經(jīng)典題型，必須讓學(xué)生掌握這些證明過程1類型一：在4ABC中，如圖1,BP、CP為/ABC和ACB的角平分線，/P與/A為/P=90口+/A21推理萬法：如圖，可得/A+2(x+y)=180口，/P+(x+y)=180化簡可得ZP=90+-ZA21類型二：如圖2,BP、CP為ZABC和/ACE的角平分線，求2P與/A之間的關(guān)系為ZP=-AK21推理方法：如圖，可得2y=2x+/

3、A,y=x+/P,化簡可得ZP=-ZA21類型三：如圖3,BP、CP為/CBD和NBCE的角平分線，則/P與/A之間的關(guān)系為/P=90/A21推理萬法：如圖，2x+2y=180=+/A,x+y+/P=180化簡可得/P=9001/A2模型二對角互補(bǔ)模型條件：/DOC=/DOE=a,/AOB+/DCE=的結(jié)論：CD=CEODOE=2OCcos：2S四邊形doec=Saodc1,Saoce=OCsin、工cos、工難度較大，記得經(jīng)常復(fù)習(xí)（慶功獨(dú)家提供，見幾何小秘籍），中考滿分必做題一、往角兩邊截取相等的線段?考點(diǎn)說明：解讀：在角兩邊截取相等的線段，這也是角平分線常用的輔助線，常用于解決線段和差問題

4、 TOC o 1-5 h z 把兩條折線段拉直”成線段，利用角平分線可以構(gòu)造全等三角形.同樣地，將長線段拆分成兩段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的需要說明的是，無論采取哪種方法，都體現(xiàn)出關(guān)于角平分線對稱”的思想.常用方法分別稱之為補(bǔ)短法”和戳長法”，它們是證明等量關(guān)系時(shí)優(yōu)先考慮的方法.【例1】已知9BC中，=60,BD、CE分別平分/ABC和/ACB,BD、CE交于點(diǎn)。，試判斷BE、CD、BC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.【答案】BECD=BC理由是：在BC上截取BF=BE,連結(jié)OF利用SAS證彳導(dǎo)iBEO色四FO，/1=/2,NA=601ZBOC=90+Na=120,NDOE=12

5、02.A.DOE=180/AEOSADO=180Z1+Z3=180,Z2+Z4=180.1./1=/2,N3=/4利用AAS證彳導(dǎo)CDO9iCFO.CD=CF,BC=BF+CF=BE+CD【練1】如圖，在MBC中，BE、CD分別是NABC、NACB的角平分線，且BD+CE=BC,則/A的度數(shù)為.【練2】如圖，在 MBC中，/B=602 AD、 證：FE=FD.【答案】在 AC上截取AG =AE ,連結(jié)FG , ZAFE =NAFG , FE =FG ,可推出ACE分別平分/BAC、/BCA,且AD與CE的交點(diǎn)為F .求AAEF 色 AAGF , /CFG =60=/CFD ,進(jìn)而證明ACFG色

6、ACFD ,有FA= FD ,進(jìn)而得FE =FD .【例2】 如圖，在四邊形 ABCD中，AD / BC ,NA的平分線 AE交DC于E .求證：當(dāng)BE是/B的平分線時(shí)，有 AD +BC =AB .【答案】在AB上截取AF,使AF=AD,連接EF,則可得MDEMFE,于是/ADE=/AFE.由AD/BC,知ZADE+ZC=180,而/EFB+ZAFE=180*,從而.EFBZC注意到BE平分/B,BE公用，于是，由角邊角公理的推論，知AEFB9AECB,從而BF=BC.故AD+BC=AF+BF=AB.【練1】如圖所示，AD平行于BC,/DAE=/EAB,/ABE=/EBC,AD=4,BC=2,

7、那么AB=【解析】過E做EF交AB于F,使AF=AD,易證MDEMFE；AEFB=隹BC則AB=AD+BC=6.【答案】6【練2】如圖，1A+/D=180，BE平分/ABC,DECE平分/BCD，點(diǎn)E在AD上.探討線段AB、CD和BC之間的等量關(guān)系.探討線段BE與CE之間的位置關(guān)系.【答案】AB+CD=BC;BECE在線段BC上取點(diǎn)F,使FB=AB,連結(jié)EF.在MBE和AFBE中AB=FB.ABE=.FBEBE=BEMBE懺BEZAEB=/FEB,/BAE=/BFE.AD=180而.BFE.CFE=180ZCDEZCFE在ACDE和ACFE中J?CDE=CFE一DCE=FCECE=CEACDE

8、9iCFE/DEC=/FEC,CD=CFAB+CD=BC,/BEC=/BEF+/CEF=90【例3】 已知等腰 MBC , /A=100,/ABC的平分線交 AC于D ,則BD + AD = BC .（利用角平分作對稱模型）如圖，延長BD到E,使DE=AD,在BC上截取BF=BA.1-180 -100 )=20 ,N1=Z2,BD為公共邊，BADABFD,AD=FD,NADB=/FDB.ZADB=180_(/A+/1)=180。_(100。+20)60.ZFDB=60,故ZFDC=60,/EDC=60%.DF=DE,ADFC省ADEC./E=/DFC,/3=/4.DFC2.FDB=2060=8

9、0,.NE=80.24=40,/3=40,故/ECB=/3+/4=809.NECB=NE,故BC=BE.BE=BD+DE,BC=BD+AD.注：學(xué)習(xí)程度好的，另外補(bǔ)充兩種解法解法一（截長法）：如圖，在BC上截取BE=BD，連接DE,過D作DF / BC ,交AB于F ,于是 /3=/2 , /ADF =/ECD .又= Z1 =22,N1 =/3,故DF =BF .顯然FBCD是等腰梯形. BF =DC , DF11=DC . . Z2 =-ZABC =-x1-180 -100 ：尸20 ,.BED BDE1二3 180 - 2 )=80 , . NDEC =180*-/BED =100 s,

10、 . NFAD =NDEC =100電，MFD 9 任DC , AD =EC .又 BE =BD , BC =BD +EC =BD 十AD .解法二(補(bǔ)短法)：如圖，延長BD到E ,使BE = BC .延長BA到F使 BF =BC .連接 CE、EF、DF .Z1 =Z2 , BD 公共，ABDC 色 ABDF . ZBDC =/BDF , /BCD =/BFD .ADCEBEC又/BDC =/1 +/BAC =20-100n = 120、/BCD =40， ZBFD =40. . BE=BF , /1=20, NBEF =/BFE =80,. ZDFE =80 40=40, 而 NFAD =

11、180/BAD =180100 =80 *.，NFAD =NDEF .又 FD 公共，&FAD AFED .ED=AD .，BC = BE =BD + AD【練1】如圖所示，在 MBC中，/A=100,2ABC=401 BD是/ABC的平分線，延長 BD至E ,使DE =AD ,求證：BC =AB +CE【答案】在BC上取一點(diǎn)F,使得BF=BA易證得AADBAFDBDF=AD,又DA=DEDF=DE2A=1002AB=AC.ABC=40BD平分/ABC,.ABD-20.ADB=/FDB=60.CDEADB=60.FDC-.EDC=60iDCF9CEFC=ECBC=BFFC=ABCE【練2】已知

12、等腰直角MBC中，ZBAC=90。，BD是角平分線，CE_LBD,交BD延長線于點(diǎn)E.求證：BD=2CE.【答案】延長CE、BA交于點(diǎn)F.因?yàn)閆BAC=90,CE_LBE,所以ZF+/ACF=90、/F+/ABD=900,所以/ABD=/ACF.因?yàn)榈妊苯荕BC中，AB=AC,且/BAD=/CAF=90,所以MBDMCF,所以BD=CF.因?yàn)锽D是角平分線，且NBEC=NBEF=90BE是公共邊，所以用CE色&BFE,所以CE=FE,即BD=2CE.【練3】如圖，在直角AABC中，/BAC=90AB=AC,BD=2CE,作CE_LBD交BD的延長線于E,求證：BD平分/ABC【答案】方法同上

13、一題AC【例4】 如圖，在 MBC中，/BAC=60，AD是2BAC的平分線，且 AC = AB + BD ,求/ABC的度數(shù).【答案】解法一（補(bǔ)短）：如圖所示，延長AB至E使BE=BD,連接ED、EC.由AC=AB+BD知AE=AC,而NBAC=60,則MEC為等邊三角形.注意至U.EAD=.CAD,AD=AD,AE=AC,故MED9MCD.從而有DE=DC,.DEC=.DCE,故.BED.ZBDE./DCE./DEC=2/DEC.所以.DEC=.DCE=20,.ABC=.BEC.BCE=6020=80.解法二（截長）：在AC上取點(diǎn)E,使得AE=AB,則由題意可知CE=BD.在MBD和MED

14、中，AB=AE,/BAD=/EAD,AD=AD,則MBDMED,從而BD=DE,進(jìn)而有DE=CE,.ECD=/EDC,ZAEDZECDZEDC=2.dECD.注意到ZABD=/AED,則：3ZABC/ACB/ABCABC=.ABCB80ZBAC=1202故.ABC=80.【練1】如圖，在MBC中，/B=2/C,/BAC的平分線AD交BC與D.求證：AB+BD=AC.【答案】方法一：在AC上取一點(diǎn)E,使得AB=AE連結(jié)DE.在AABD和MED中AB=AE,/BAD=/EADAD=ADMBDMEDBD=ED,/B=/AED又ZAED=/EDC+ZC=NB=2/C/EDC=/C,ED=ECAB+BD

15、=AC.方法二：在AB的延長線上取一點(diǎn)E使得AC=AE,連結(jié)DE.在MED和MCD中，AE=ACZEAD=ZCAD,AD=AD.MED9MCD,ZC=NE又/ABC=/E+/BDE=2/C=2/BDEZE=ZBDEBE=BD,，AB+BD=AC.方法三：延長DB到點(diǎn)E使得AB=BE,連結(jié)AE則有.EABZE.ABC=.E.EAB=2.E又/ABC=2/C,AE=AC又ZEAD=/EAB+/BAD=/E+/DACZC/DACZADEAE=DE,AB+BD=EB+BD=ED=AE=AC方法四：如圖，作BF平分/ABC交AD、AC于E、延長BF到M,使FM=FA,連結(jié)AM/ABF/FBCZABC=2

16、ZC,ZFBC=ZC.，F(xiàn)B=FCAF=FM,NM=/FAMNAFE=/FBC+NC,又ZAFE=NM+NFAM即NAFE=2/M=2NC,.NC=/MNM=/ABM=NDBF=/C.AB=AM.ADB=.C.DAC且DEBZEBA./BAEZBAD=NDAC,./ADB=dDEB.，BD=BE同理MA二MEAF=FM,FB=FC,AC=BM.AC=AB+BD【練2在MBC中，AD平分ZBAC,AB+BD=AC.求ZB:ZC的值.【答案】在AC上截取AE=AB,連結(jié)DE根據(jù)SAS證得MBDMED,/AED=/B=/EDC+/C,DE=BD,結(jié)合已知可得ED=EC,ZEDC=/C,/B=2/C,

17、/B:/C=2:1【練3】如圖，AABC中，AB=AC,/A=108。BD平分NABC交AC于D點(diǎn).求證：BC=AC+CD.【答案】方法一：在BC上截取E點(diǎn)使BE=BA,連結(jié)DE.BD平分NABC,ZABD=/EBD.在MBD與任BD中AB=EB,/ABD=/EBD,BD=BD.AABDWiEBD,ZA=ZDEB/A=108,/DEB=/108*，/DEC=72上又/ADB=36+18=54.CDE=72,CDE=.DECCD=CEBC=BE+EC,BC=AC+CD方法二：如圖，延長CA到F,使CF=CB,連結(jié)BF.AB=AC,且ZBAC=108-/ABC=/C=36.CB=CF,ZF=/FB

18、C./FAB=ZC+/ABC./FAB=72.1.ADB=，C1ABC2，/ADB=54,又/FBD=54=BF=AB=AC=FD.AF=CD.BC=AC+CD.【練4】如圖，在MBC中，ZBAC=901NB=2/C,D點(diǎn)在BC上，AD平分ZBAC,若AB=1,則BD的長為.A【解析】在BC上截取AE=AB,連接DE.AE =AB , /BAD =/CAD , AD = AD ABD.AEDBD=DE, /ABD=/AED, AB = AE. NBAC=90, NB =2/C.NB=60： ZC =304 /DEC =30./C DE =CEBD =AC AB - ；3 -1【例5】 如圖所示

19、，在 MBC中，AD是/BAC的外角平分線，P是AD上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，試比較PB +PC與AB +AC的大小，并說明理由.【解析】PB+PCAB+AC,理由如下.如圖所示，在AB的延長線上截取AE=AC,連接PE.因?yàn)锳D是ZBAC的外角平分線，故NCAP=/EAP.在MCP和MEP中，AC=AE,/CAP=/EAP,AP公用,因此MCP色MEP,從而PC=PE.在3PE中，PB+PEBE,而BE=BA+AE=AB+AC,故PB+PCAB+AC.【練1】在MBC中，ABAC,AD是NBAC的平分線.P是AD上任意一點(diǎn).求證：AB-ACPB-PC.【答案】在AB上截取AE=AC,連結(jié)EP,根

20、據(jù)SAS證彳導(dǎo)MEP=MCP,PE=PC,AE=AC又ABEP中，BEPB-PE,BE=ABAC,AB-ACPB-PC【例6】已知點(diǎn)M是四邊形ABCD的BC邊的中點(diǎn)，且/AMD=120中，證明：AB+-BC+CDAD.2AC【答案】顯然，要證題設(shè)的不等式，應(yīng)當(dāng)把1 2BC, CD三條線段首尾連接成一條折線，然后再與線段AD比較.要實(shí)現(xiàn)這一構(gòu)想，折線之首端應(yīng)與以AM為對稱軸，作點(diǎn) B關(guān)于AMA點(diǎn)重合，尾端應(yīng)與 D點(diǎn)重合，這可由軸對稱來實(shí)現(xiàn) 的對稱點(diǎn)B1，連接AB1、MB1 ,則 AB1 =AB , MB1 =MB ,即 MB1M 目 AABM ,由此 NRMA =/BMA .再以DM為對稱軸，作

21、點(diǎn) C關(guān)于DM的對稱點(diǎn)G ,連接DC1、Mg , 貝U DC1 =DC , MC1 =MC ,即 ADC1M 0 ADCM ,由此 /C1MD =/CMD . 而/AMD =120，所以 /BMA +/CMD =180 /AMD =180 s-120 s= 60. 注意到 /B1MA +ZC1MD =NBMA +NCMD =60,因此 ZB1MC1 =120(/BMA +/GMD) =120，60 = 60)一1 一而 MB1 =MC =-BC ,所以由于兩點(diǎn)之間以直線段為最短,B1 MC1是等邊三角形， B1C1 =2 BC .所以AB1+ B1G +GD 之 AD ,1即 AB BC CD

22、 _ AD .22ZAMD =135*,求證：AB +BC +CD 之 AD .2【練1】設(shè)M是凸四邊形ABCD的邊BC的中點(diǎn),【答案】作點(diǎn)B關(guān)于AM的對稱點(diǎn)B,作點(diǎn)C關(guān)于DM的對稱點(diǎn)C,連接 AB、BC、CD,則 MB=MB =MC =MC ,且 AB=AB , CD =CD .而 NCMB=901,2則BC=2MB=BC,22故ABBCCD=ABBCCD_AD.2*中考真題拔高【例7】如圖1,OP是/MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以O(shè)P所在直線為對稱軸的全等三角形請你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問題:（1）如圖2,在AABC中，/ACB是直角，/B=60,AD、CE分別是/B

23、AC、/BCA的平分線,AD、CE相交于點(diǎn)F.請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系;（2）如圖3,在BBC中，如果/ACB不是直角，而（1）中的其他條件不變，請問，你在（1）中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由圖一圖二圖三（2006年北京中考試題）【例8】已知，點(diǎn)P是/MON的平分線上的一動(dòng)點(diǎn)，射線PA交射線OM于點(diǎn)A,將射線PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交射線ON于點(diǎn)B,且使/APB+/MON=180.(1)利用圖1,求證：PA=PB；(2)(3)MPBSAPOB【解析】(1)在OB上截取OD.=OA,連接PD,OP平分ZMON,./MOP=ZNOP.XOA=OD,OP=OP,.AOPADOP.PA=PD,Z1=Z2.APB+ZMON=180,1+/3=180.2+74=180,/3=Z4.PD=PB.PA=PB.(2)VPA=PB,/3=Z4.+Z2+ZAPB=180,且/3+/4+/APB=180,./1+Z2=Z3+Z4./2=Z4./5=Z5,.PBCsAPOB.PC_/S，