1、2014年中考解決方案角平分線輔助線學生姓名：XXX上課時間：2013.XX.xX角平分線輔助線基礎自檢自查必考點知識點一角平分線性質(1)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等；(2)到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.(3)天然的軸對稱模型，三線合一模型知識點二角平分線輔助線秘籍一：往角兩邊作垂線解讀：用角平分線上的點往角兩邊作垂線，這是常用的輔助線，可以利用邊角邊構造全等秘籍二：往角兩邊截取相等的線段解讀：在角兩邊截取相等的線段，這也是角平分線常用的輔助線，常用于解決線段和差問題秘籍三：過角平分線上的點作垂線解讀：過角平分線上的點作垂線，常用于構造三線合一，構造等腰三角形秘籍四：過角平分線

2、上的點作角一邊的平行線解讀：可以構造等腰三角形，可以記作口訣：角平分線+平行線，等角三角形現。總結：往角兩邊作垂線或平行線、及截取等線段，或用四點共圓知識點三角平分線模型模型一兩角平分線相交模型解讀：這些是三角形角平分線的經典題型，必須讓學生掌握這些證明過程1類型一：在4ABC中，如圖1,BP、CP為/ABC和ACB的角平分線，/P與/A為/P=90口+/A21推理萬法：如圖，可得/A+2(x+y)=180口，/P+(x+y)=180化簡可得ZP=90+-ZA21類型二：如圖2,BP、CP為ZABC和/ACE的角平分線，求2P與/A之間的關系為ZP=-AK21推理方法：如圖，可得2y=2x+/

3、A,y=x+/P,化簡可得ZP=-ZA21類型三：如圖3,BP、CP為/CBD和NBCE的角平分線，則/P與/A之間的關系為/P=90/A21推理萬法：如圖，2x+2y=180=+/A,x+y+/P=180化簡可得/P=9001/A2模型二對角互補模型條件：/DOC=/DOE=a,/AOB+/DCE=的結論：CD=CEODOE=2OCcos：2S四邊形doec=Saodc1,Saoce=OCsin、工cos、工難度較大，記得經常復習（慶功獨家提供，見幾何小秘籍），中考滿分必做題一、往角兩邊截取相等的線段?考點說明：解讀：在角兩邊截取相等的線段，這也是角平分線常用的輔助線，常用于解決線段和差問題

4、 TOC o 1-5 h z 把兩條折線段拉直”成線段，利用角平分線可以構造全等三角形.同樣地，將長線段拆分成兩段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的需要說明的是，無論采取哪種方法，都體現出關于角平分線對稱”的思想.常用方法分別稱之為補短法”和戳長法”，它們是證明等量關系時優先考慮的方法.【例1】已知9BC中，=60,BD、CE分別平分/ABC和/ACB,BD、CE交于點。，試判斷BE、CD、BC的數量關系，并加以證明.【答案】BECD=BC理由是：在BC上截取BF=BE,連結OF利用SAS證彳導iBEO色四FO，/1=/2,NA=601ZBOC=90+Na=120,NDOE=12

5、02.A.DOE=180/AEOSADO=180Z1+Z3=180,Z2+Z4=180.1./1=/2,N3=/4利用AAS證彳導CDO9iCFO.CD=CF,BC=BF+CF=BE+CD【練1】如圖，在MBC中，BE、CD分別是NABC、NACB的角平分線，且BD+CE=BC,則/A的度數為.【練2】如圖，在 MBC中，/B=602 AD、 證：FE=FD.【答案】在 AC上截取AG =AE ,連結FG , ZAFE =NAFG , FE =FG ,可推出ACE分別平分/BAC、/BCA,且AD與CE的交點為F .求AAEF 色 AAGF , /CFG =60=/CFD ,進而證明ACFG色

6、ACFD ,有FA= FD ,進而得FE =FD .【例2】 如圖，在四邊形 ABCD中，AD / BC ,NA的平分線 AE交DC于E .求證：當BE是/B的平分線時，有 AD +BC =AB .【答案】在AB上截取AF,使AF=AD,連接EF,則可得MDEMFE,于是/ADE=/AFE.由AD/BC,知ZADE+ZC=180,而/EFB+ZAFE=180*,從而.EFBZC注意到BE平分/B,BE公用，于是，由角邊角公理的推論，知AEFB9AECB,從而BF=BC.故AD+BC=AF+BF=AB.【練1】如圖所示，AD平行于BC,/DAE=/EAB,/ABE=/EBC,AD=4,BC=2,

7、那么AB=【解析】過E做EF交AB于F,使AF=AD,易證MDEMFE；AEFB=隹BC則AB=AD+BC=6.【答案】6【練2】如圖，1A+/D=180，BE平分/ABC,DECE平分/BCD，點E在AD上.探討線段AB、CD和BC之間的等量關系.探討線段BE與CE之間的位置關系.【答案】AB+CD=BC;BECE在線段BC上取點F,使FB=AB,連結EF.在MBE和AFBE中AB=FB.ABE=.FBEBE=BEMBE懺BEZAEB=/FEB,/BAE=/BFE.AD=180而.BFE.CFE=180ZCDEZCFE在ACDE和ACFE中J?CDE=CFE一DCE=FCECE=CEACDE

8、9iCFE/DEC=/FEC,CD=CFAB+CD=BC,/BEC=/BEF+/CEF=90【例3】 已知等腰 MBC , /A=100,/ABC的平分線交 AC于D ,則BD + AD = BC .（利用角平分作對稱模型）如圖，延長BD到E,使DE=AD,在BC上截取BF=BA.1-180 -100 )=20 ,N1=Z2,BD為公共邊，BADABFD,AD=FD,NADB=/FDB.ZADB=180_(/A+/1)=180。_(100。+20)60.ZFDB=60,故ZFDC=60,/EDC=60%.DF=DE,ADFC省ADEC./E=/DFC,/3=/4.DFC2.FDB=2060=8

9、0,.NE=80.24=40,/3=40,故/ECB=/3+/4=809.NECB=NE,故BC=BE.BE=BD+DE,BC=BD+AD.注：學習程度好的，另外補充兩種解法解法一（截長法）：如圖，在BC上截取BE=BD，連接DE,過D作DF / BC ,交AB于F ,于是 /3=/2 , /ADF =/ECD .又= Z1 =22,N1 =/3,故DF =BF .顯然FBCD是等腰梯形. BF =DC , DF11=DC . . Z2 =-ZABC =-x1-180 -100 ：尸20 ,.BED BDE1二3 180 - 2 )=80 , . NDEC =180*-/BED =100 s,

10、 . NFAD =NDEC =100電，MFD 9 任DC , AD =EC .又 BE =BD , BC =BD +EC =BD 十AD .解法二(補短法)：如圖，延長BD到E ,使BE = BC .延長BA到F使 BF =BC .連接 CE、EF、DF .Z1 =Z2 , BD 公共，ABDC 色 ABDF . ZBDC =/BDF , /BCD =/BFD .ADCEBEC又/BDC =/1 +/BAC =20-100n = 120、/BCD =40， ZBFD =40. . BE=BF , /1=20, NBEF =/BFE =80,. ZDFE =80 40=40, 而 NFAD =

11、180/BAD =180100 =80 *.，NFAD =NDEF .又 FD 公共，&FAD AFED .ED=AD .，BC = BE =BD + AD【練1】如圖所示，在 MBC中，/A=100,2ABC=401 BD是/ABC的平分線，延長 BD至E ,使DE =AD ,求證：BC =AB +CE【答案】在BC上取一點F,使得BF=BA易證得AADBAFDBDF=AD,又DA=DEDF=DE2A=1002AB=AC.ABC=40BD平分/ABC,.ABD-20.ADB=/FDB=60.CDEADB=60.FDC-.EDC=60iDCF9CEFC=ECBC=BFFC=ABCE【練2】已知

12、等腰直角MBC中，ZBAC=90。，BD是角平分線，CE_LBD,交BD延長線于點E.求證：BD=2CE.【答案】延長CE、BA交于點F.因為ZBAC=90,CE_LBE,所以ZF+/ACF=90、/F+/ABD=900,所以/ABD=/ACF.因為等腰直角MBC中，AB=AC,且/BAD=/CAF=90,所以MBDMCF,所以BD=CF.因為BD是角平分線，且NBEC=NBEF=90BE是公共邊，所以用CE色&BFE,所以CE=FE,即BD=2CE.【練3】如圖，在直角AABC中，/BAC=90AB=AC,BD=2CE,作CE_LBD交BD的延長線于E,求證：BD平分/ABC【答案】方法同上

13、一題AC【例4】 如圖，在 MBC中，/BAC=60，AD是2BAC的平分線，且 AC = AB + BD ,求/ABC的度數.【答案】解法一（補短）：如圖所示，延長AB至E使BE=BD,連接ED、EC.由AC=AB+BD知AE=AC,而NBAC=60,則MEC為等邊三角形.注意至U.EAD=.CAD,AD=AD,AE=AC,故MED9MCD.從而有DE=DC,.DEC=.DCE,故.BED.ZBDE./DCE./DEC=2/DEC.所以.DEC=.DCE=20,.ABC=.BEC.BCE=6020=80.解法二（截長）：在AC上取點E,使得AE=AB,則由題意可知CE=BD.在MBD和MED

14、中，AB=AE,/BAD=/EAD,AD=AD,則MBDMED,從而BD=DE,進而有DE=CE,.ECD=/EDC,ZAEDZECDZEDC=2.dECD.注意到ZABD=/AED,則：3ZABC/ACB/ABCABC=.ABCB80ZBAC=1202故.ABC=80.【練1】如圖，在MBC中，/B=2/C,/BAC的平分線AD交BC與D.求證：AB+BD=AC.【答案】方法一：在AC上取一點E,使得AB=AE連結DE.在AABD和MED中AB=AE,/BAD=/EADAD=ADMBDMEDBD=ED,/B=/AED又ZAED=/EDC+ZC=NB=2/C/EDC=/C,ED=ECAB+BD

15、=AC.方法二：在AB的延長線上取一點E使得AC=AE,連結DE.在MED和MCD中，AE=ACZEAD=ZCAD,AD=AD.MED9MCD,ZC=NE又/ABC=/E+/BDE=2/C=2/BDEZE=ZBDEBE=BD,，AB+BD=AC.方法三：延長DB到點E使得AB=BE,連結AE則有.EABZE.ABC=.E.EAB=2.E又/ABC=2/C,AE=AC又ZEAD=/EAB+/BAD=/E+/DACZC/DACZADEAE=DE,AB+BD=EB+BD=ED=AE=AC方法四：如圖，作BF平分/ABC交AD、AC于E、延長BF到M,使FM=FA,連結AM/ABF/FBCZABC=2

16、ZC,ZFBC=ZC.，FB=FCAF=FM,NM=/FAMNAFE=/FBC+NC,又ZAFE=NM+NFAM即NAFE=2/M=2NC,.NC=/MNM=/ABM=NDBF=/C.AB=AM.ADB=.C.DAC且DEBZEBA./BAEZBAD=NDAC,./ADB=dDEB.，BD=BE同理MA二MEAF=FM,FB=FC,AC=BM.AC=AB+BD【練2在MBC中，AD平分ZBAC,AB+BD=AC.求ZB:ZC的值.【答案】在AC上截取AE=AB,連結DE根據SAS證得MBDMED,/AED=/B=/EDC+/C,DE=BD,結合已知可得ED=EC,ZEDC=/C,/B=2/C,

17、/B:/C=2:1【練3】如圖，AABC中，AB=AC,/A=108。BD平分NABC交AC于D點.求證：BC=AC+CD.【答案】方法一：在BC上截取E點使BE=BA,連結DE.BD平分NABC,ZABD=/EBD.在MBD與任BD中AB=EB,/ABD=/EBD,BD=BD.AABDWiEBD,ZA=ZDEB/A=108,/DEB=/108*，/DEC=72上又/ADB=36+18=54.CDE=72,CDE=.DECCD=CEBC=BE+EC,BC=AC+CD方法二：如圖，延長CA到F,使CF=CB,連結BF.AB=AC,且ZBAC=108-/ABC=/C=36.CB=CF,ZF=/FB

18、C./FAB=ZC+/ABC./FAB=72.1.ADB=，C1ABC2，/ADB=54,又/FBD=54=BF=AB=AC=FD.AF=CD.BC=AC+CD.【練4】如圖，在MBC中，ZBAC=901NB=2/C,D點在BC上，AD平分ZBAC,若AB=1,則BD的長為.A【解析】在BC上截取AE=AB,連接DE.AE =AB , /BAD =/CAD , AD = AD ABD.AEDBD=DE, /ABD=/AED, AB = AE. NBAC=90, NB =2/C.NB=60： ZC =304 /DEC =30./C DE =CEBD =AC AB - ；3 -1【例5】 如圖所示

19、，在 MBC中，AD是/BAC的外角平分線，P是AD上異于點A的任意一點，試比較PB +PC與AB +AC的大小，并說明理由.【解析】PB+PCAB+AC,理由如下.如圖所示，在AB的延長線上截取AE=AC,連接PE.因為AD是ZBAC的外角平分線，故NCAP=/EAP.在MCP和MEP中，AC=AE,/CAP=/EAP,AP公用,因此MCP色MEP,從而PC=PE.在3PE中，PB+PEBE,而BE=BA+AE=AB+AC,故PB+PCAB+AC.【練1】在MBC中，ABAC,AD是NBAC的平分線.P是AD上任意一點.求證：AB-ACPB-PC.【答案】在AB上截取AE=AC,連結EP,根

20、據SAS證彳導MEP=MCP,PE=PC,AE=AC又ABEP中，BEPB-PE,BE=ABAC,AB-ACPB-PC【例6】已知點M是四邊形ABCD的BC邊的中點，且/AMD=120中，證明：AB+-BC+CDAD.2AC【答案】顯然，要證題設的不等式，應當把1 2BC, CD三條線段首尾連接成一條折線，然后再與線段AD比較.要實現這一構想，折線之首端應與以AM為對稱軸，作點 B關于AMA點重合，尾端應與 D點重合，這可由軸對稱來實現 的對稱點B1，連接AB1、MB1 ,則 AB1 =AB , MB1 =MB ,即 MB1M 目 AABM ,由此 NRMA =/BMA .再以DM為對稱軸，作

21、點 C關于DM的對稱點G ,連接DC1、Mg , 貝U DC1 =DC , MC1 =MC ,即 ADC1M 0 ADCM ,由此 /C1MD =/CMD . 而/AMD =120，所以 /BMA +/CMD =180 /AMD =180 s-120 s= 60. 注意到 /B1MA +ZC1MD =NBMA +NCMD =60,因此 ZB1MC1 =120(/BMA +/GMD) =120，60 = 60)一1 一而 MB1 =MC =-BC ,所以由于兩點之間以直線段為最短,B1 MC1是等邊三角形， B1C1 =2 BC .所以AB1+ B1G +GD 之 AD ,1即 AB BC CD

22、 _ AD .22ZAMD =135*,求證：AB +BC +CD 之 AD .2【練1】設M是凸四邊形ABCD的邊BC的中點,【答案】作點B關于AM的對稱點B,作點C關于DM的對稱點C,連接 AB、BC、CD,則 MB=MB =MC =MC ,且 AB=AB , CD =CD .而 NCMB=901,2則BC=2MB=BC,22故ABBCCD=ABBCCD_AD.2*中考真題拔高【例7】如圖1,OP是/MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以OP所在直線為對稱軸的全等三角形請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題:（1）如圖2,在AABC中，/ACB是直角，/B=60,AD、CE分別是/B

23、AC、/BCA的平分線,AD、CE相交于點F.請你判斷并寫出FE與FD之間的數量關系;（2）如圖3,在BBC中，如果/ACB不是直角，而（1）中的其他條件不變，請問，你在（1）中所得結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由圖一圖二圖三（2006年北京中考試題）【例8】已知，點P是/MON的平分線上的一動點，射線PA交射線OM于點A,將射線PA繞點P逆時針旋轉交射線ON于點B,且使/APB+/MON=180.(1)利用圖1,求證：PA=PB；(2)(3)MPBSAPOB【解析】(1)在OB上截取OD.=OA,連接PD,OP平分ZMON,./MOP=ZNOP.XOA=OD,OP=OP,.AOPADOP.PA=PD,Z1=Z2.APB+ZMON=180,1+/3=180.2+74=180,/3=Z4.PD=PB.PA=PB.(2)VPA=PB,/3=Z4.+Z2+ZAPB=180,且/3+/4+/APB=180,./1+Z2=Z3+Z4./2=Z4./5=Z5,.PBCsAPOB.PC_/S，