1、馬渠九年制學校九年級數學助學案系列 第21章PAGE PAGE 24課題211 一元二次方程（1）課型新授主備劉 統審核劉統班級姓名時間學習目標1通過設置問題，建立數學模型，了解一元二次方程的概念和一般式ax2+bx+c=0（a0）；2應用一元二次方程概念解決一些問題；3通過解決生活中的數學問題來激發學生的學習熱情重點一元二次方程的概念及其一般形式，并用這些概念解決問題難點通過提出問題，建立一元二次方程的數學模型，再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的概念學習過程學（教）記錄【自助學習】1、什么叫一元一次方程？ 2、解下列一元一次方程.(1)12x-8=3x+6 (2)【互助探究】問題：有

2、一面積為54m2的長方形，將它的一邊剪短5m，另一邊剪短2m，恰好變成一個正方形，那么這個正方形的邊長是多少？ 解.設剪后的正方形邊長為x，那么原來長方形長是_，寬是_ _，根據題意，得： 總結新知： 是一元二次方程，它滿足那幾個條件？各項如何區分？【求助交流】1、要組織一次排球邀請賽,參賽的每兩隊之間都要比賽一場,根據場地和時間等條件,賽程計劃安排7天,每天安排4場比賽,比賽組織者應邀請多少個隊參加比賽?（列一元二次方程并化成一般形式，指出二次項、一次項及常數項）2、方程（2a4）x2 2bx+a=0, 在什么條件下此方程為一元二次方程？在什么條件下此方程為一元一次方程？ 【補助練兵】1.在

3、下列方程中，一元二次方程的個數是（ ） 3x2+7=0 ax2+bx+c=0 （x-2）（x+5）=x2-1 3x2-=0 A1個 B2個 C3個 D4個2.方程2x2=3（x-6）化為一般形式后二次項系數、一次項系數和常數項分別為（ ）A2，3，-6 B2，-3，18 C2，-3，6 D2，3，63.方程3x2-3=2x+1的二次項系數為_，一次項系數為_，常數項為_4. 一元二次方程的一般形式是 .5.關于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，則a的取值范圍 【共助反饋】1、px2-3x+p2-q=0是關于x的一元二次方程，則（ ）Ap=1 Bp0 Cp0 Dp為任意實數2、方程

4、3x2-3=2x+1的二次項系數為_，一次項系數為_，常數項為_ 關于x的方程（a-1）x+3x=0是一元二次方程，則a的取值范圍_a滿足什么條件時，關于x的方程a（x2+x）=x-（x+1）是一元二次方程？關于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程嗎？為什么？續助反思課題21.1一元二次方程（2）課型新授主備劉 統審核劉統班級姓名時間學習目標1、了解一元二次方程根的概念，會判定一個數是否是一個一元二次方程的根及利用它們解決一些具體問題2、提出問題，根據問題列出方程，化為一元二次方程的一般形式，列式求解；3、由解給出根的概念；再由根的概念判定一個數是否是根重點會判定一個數是

5、否是方程的根；難點由實際問題列出的一元二次方程解出根后還要考慮這些根是否是實際問題的根學習過程學（教）記錄【自助學習】 1、把方程化成一般式是 2、關于的方程中, 二次項是 ; 常數項是 ;一次項是 ;3、在, 中,一元二次方程的個數為 ( ) A .3 個 B .4 個 C. 5 個 D .6 個【互助探究】問題:一個面積為120m2的矩形苗圃，它的長比寬多2m，苗圃的長和寬各是多少？ 設苗圃的寬為xm，則長為_ _m 根據題意，得_ _ 整理，得_ _列表：x01234567891011所以，此一元二次方程的解是 ，如果拋開實際問題，還有其它解 .得出新知：一般的， 叫做一元二次方程的根一

6、元二次方程有 個根.【求助交流】1.下面哪些數是方程2x2+10 x+12=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4學法指導：要判定一個數是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式兩邊相等即可2你能用以前所學的知識求出下列方程的根嗎？ （1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0學法指導：要求出方程的根，就是要求出滿足等式的數，可用直接觀察結合平方根的意義【補助練兵】1、如果x2-81=0，那么x2-81=0的兩個根分別是x1= x2= 2、已知方程5x2+mx-6=0的一個根是x=3,則m的值為 3、方程x+1=0的根是 4、若x=-1是方程（a2-1）x2+x

7、+1=0的解，求a的值.【共助反饋】1、已知1是關于x的一元二次方程（m-1）x2+x+1=0的一個根，則m的值是（ ） A、1 B、-1 C、0 D無法確定2、m是方程x2+x-1=0的根，則式子m3+2m2+2007的值為（ ）A、2007 B、2008 C、2009 D、20103、小明家有一塊長150cm，寬100cm的矩形地毯，為了使地毯美觀，小明請來工匠，在地毯的四周鑲上寬度相同的花色地毯，鑲完后地毯的面積是原地毯面積的2倍，若設花色地毯的寬度為xcm，則根據題意列方程為 4、寫出下列方程的根.（1）9x2=1 （2）25x2-4=0 （3）4x2=2續助反思課題21.2 配方法(

8、1)課型新授主備劉 統審核劉統班級姓名時間學習目標1、會用直接開平方法解形如x2p(p0) ，(x+m)2=n(n0)的方程2、能根據具體問題的實際意義檢驗結果的合理性3、理解一元二次方程降次的轉化思想，增強其數學應用意識和能力重點利用直接開平方法解一元二次方程難點把一元二次方程轉化為(x+m)2n(n0)的形式學習過程學（教）記錄【自助學習】若x2=16，則x= a+1有平方根，則a的取值范圍是 3.寫出完全平方公式 ，并用語言敘述.4.并利用完全平方公式填空： x2 + 6x + 9 = 2 x2 - 8x + 16 = 2 x2+ 10 x +2 = 2 x2 - 3x + 2 = 2【

9、互助探究】（1）若x2=25，則x的值是 （2）若（x+1）2=16，則x的值有 個，它們是 （3）若（2t+1）2=49,則t的值為 （4）若（5x）2-10=15,則x的值為 總結新知：、若一元二次方程一邊是 ，另一邊是 時，可以用直接開平方法。【求助交流】 用直接開平方法解一元二次方程.(1)(x+1)=4 （2)12(x-2)-9=0（3）2x2-1=0 (4)x2+4x+1=1【補助練兵】1若8x2-16=0，則x的值是_2如果方程2（x-3）2=72，那么，這個一元二次方程的兩根是_3.方程3x2+9=0的根為（ ） A3 B-3 C3 D無實數根4.解下列方程（1）x2-7=0

10、（2）9x2 -25=0小結：如果方程能化成x2=p或（mx+n)2=p(p0)的的形式，那么可得x= ，或mx+n= 。【共助反饋】方程（x-a）2=b能直接開方的條件為 若一個正方形的面積為a2+1,則正方形的邊長為（ ）A、a+1 B、（a+1）C、 D、3、用直接開方法解方程： 16 x2=49 4（2x-1）2 =9 x2-4x+4=5 9x2 +6x+1=4拓展延伸1、若4x2 -16=0，則x的值是_ 2、如果方程8（x-3）2 =72，那么，這個一元二次方程的兩根是_ 3、解方程 （ 1 ）3（x -1)2 = 6 （ 2 ）9x2 6x + 1 = 5學（教）反思課題21.2

11、 配方法（2）課型新授主備劉 統審核劉統班級姓名時間學習目標1.理解配方法解一元二次方程的方法.2.會利用配方法熟練、靈活地解數字系數為1的一元二次方程.3.通過對配方法過程的反思，體會在解決問題的過程中所呈現的數學方法和數學思想.重點用配方法熟練地解數字系數為1的一元二次方程.難點靈活地運用配方法解數字系數不為1的一元二次方程.學習過程學（教）記錄【自助學習】1、完全平方式是 項式，其中 是完全平方項， 項是這兩個數（式）的乘積的2倍。2、x2+mx+9是完全平方式，則m的值是 3、4x2+12x+a是完全平方式，則a的值是 4、解方程（1）（x-2）2=5 （2）y2-6y+9=25 【互

12、助探究】：觀察下面解方程的過程并回答下列問題x2+6x-16=0 移項得：x2+6x=16 兩邊加9得：x2+6x+9=16+9 （x+3）2=25 x+3=5 或x+3=-5 解一元二次方程得：x1=2，x2=-8以上解法中，為什么在第二步兩邊加9，其它的數行嗎？ 通過觀察你有何發現？與同伴交流.你能說說配方法的解題步驟嗎？【求助交流】用配方法解下列方程：（1）x26x70； 解（1）移項，得x2 6x_.方程左邊配方，得x22x3_27_，即 （_ _）2_ _.所以 x3_.原方程的解是 x1_，x2_.（2）按照上面的解題步驟解： x23x10.【補助練兵】1、說說用配方法解一元二次方

13、程的步驟。2、解方程.（1）x2+10 x+9=0 (2)4x2-6x-3=0【共助反饋】1、用配方法解方程x2-2x-5=0時，原方程變形為（ ）A、（x+1）2=6 B、（x-1）2=6 C、（x+2）2=9 D、（x-2）2=92、將一元二次方程化成（x+a）2=b的形式，則b= （ ）A、-4 B、4 C、-14 D、143、解一元二次方程.（1）x28x20 （2）x24x60. （3）x2+2-4=0 續助反思課題21.2.2用公式法解一元二次方程課型新授主備劉 統審核劉 統班級姓名時間學習目標1理解一元二次方程的求根公式的推導過程。2熟記求根公式并理解公式中的條件.3能熟練地運用

14、求根公式解一元二次方程。重點掌握一元二次方程的求根公式，熟練地運用求根公式解一元二次方程。難點一元二次方程求根公式的推導過程.學習過程學（教）記錄【自助學習】用配方法解下列一元二次方程.（1）x2-8x=20 （2）2x2-6x-1=0【互助探究】如何用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）？學法指導：我們現在不妨把a、b、c當成一個具體數字，根據配方法的步驟推導【求助交流】：（1）解一元二次方程時，當b2-4ac 時，方程有 個根，根為x= ；當b2-4ac 時，方程有 個根，根為x= ；當b2-4ac 時，方程沒有實數根。（2）x= 叫做一元二次方程ax2+bx+c=0

15、（a0）的求根公式 （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫 （4）一般地，式子 叫做方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判別式，通常用希臘字表示它，即= 【補助練兵】1、不解方程，判別一元二次方程根的情況： （1）2x2+3x-4=0 (2) 16x2+9=24x (3)5(x2+1)-7x=0 2、若關于一元二次方程3x2-3x+c=0有實數根，則方程c的取值范圍是_。3、用公式法解下列方程： （1）x2-4x-7=0 （2）2x2-22x+1=0（3）5x2-3x=x+1 (4)x2+17=8x課堂小結 ：一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的求根公式_ _，根的判別式_ _，當0

16、時，方程有_，當=0時，方程有_當0時，方程_。【共助反饋】1、在方程5x2-7x+2=0中，a=_,b=_,c=_;b2-4ac=_ _,方程的兩根為X1=_, X2=_.2、用公式法解方程： （1）x2-6x+1=0 （2）5x2-7x+2=0（3）4x2-3x-1=x-2 (4)3x(x-3)=2(x-1)(x+1) 疑難摘錄續助反思課題21.2.3用因式分解法解一元二次方程課型新授主備劉 統審核劉 統班級姓名時間學習目標1、了解用因式分解法解方程的根據.2、體會用因式分解法解一元二次方程的過程3、體會因式分解法的降次策略和化歸思想，提高學生用所學的數學知識解決問題的能力。重點運用因式分

17、解法解特殊的一元二次方程。難點將方程的右邊化為零后，對左邊進行正確的因式分解.學習過程學（教）記錄【自助學習】1、解下列方程 （1）2x2+x=0（用配方法） （2）3x2+6x=0（用公式法）2、請試著說出下列方程的根（口答）（1）x（x+8）=0 （2）（x-4）（x-3）=0 （3）（x+7）（x+6）=0 （4）（5x+1）（x-2）=0 （5）（x-a）（x+b）=0【互助探究】當時，必有 . 舉例：如方程2x2+x=0 可化為 x（2x+1）=0 ，則x1= x2= 嘗試：方程3x2+6x=0化為： ，則x1= x2= 得出新知：像這種 解方程的方法叫做因式分解法。【求助交流】1、

18、解下列方程：（1）x23x10=0 （2）(x+3)(x1)=5 （3）4x2=11x 2、（1）x2-3x-4=0 （2）x2-7x+6=0 （3）x2+4x-5=0【補助練兵】用因式分解法解下列方程：(1) (x5)(x+2)=18 (2) (2a3)2=(a2)(3a4) （3）x2-12x-28=0 (4) x2+7x+12=0 (5)t(t+3)=28 (6) (4x3)2=(x+3)2 【共助反饋】 用因式分解法解下列方程 1、3y2-6y=0 2、25y2-16=0 3、x2-12x+35=0 4、(x16)(x8)0 5、x212x0； 6、4x210；7、(x1)(x3)12

19、 8、x24x210 9、x27x【疑難摘錄】 例2學法指導：十字相乘法：x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），則x2-（a+b）x+ab=0就可轉化為（x-a（x-b）=0，續助反思課題21.2.4一元二次方程的根與系數的關系課型新授 主備劉 統審核劉 統班級姓名時間學習目標1、掌握一元二次方程的根與系數的關系并會簡單應用2、經歷一元二次方程根與系數關系的探究過程，領略運用類比、歸納等思想進行科學地思考問題的策略。3、培養學生觀察、歸納的能力和合作交流的意識。重點一元二次方程根與系數的關系及其應用。難點一元二次方程根與系數的關系的推導過程及其應用。學習過程學（教）記錄【自助學習】1

20、、寫出一元二次方程的一般式和求根公式2、用適當的方法解方程： x2-5x60， 2x2x-30【互助探究】完成下面表格方程x1x2x1+x2x1x2abc9x2-6x+1=03x2-4x+1=03x2+7x+2=01、猜想：方程ax2+bx+c=0(a0,b、c均為常數，b2-4ac0)的根是x1，x2 則：x1+x2= ， x1x2= .2、 證明：【求助交流】 根據一元二次方程根與系數的關系，求下列方程兩根x1、x2的和與積：（1）x2-6x-15=0 （2）3x2+7x-9=0 （3）5x-1=4x2【補助練兵】寫出下列方程中兩根的和與兩根的積.（1）x2-2x10； （2）x2-9x1

21、00； （3）2x2-9x50；（4）4x2-7x10； （5）2x2-5x0； （6）x2-10 課堂小結：方程ax2+bx+c=0(a0,b、c均為常數，b2-4ac0)的根是x1，x2 則：x1+x2= ， x1x2= .【共助反饋】1、如果方程的兩根為，那么+= ，= . 2、方程的兩根為，那么+= ，= .3、如果一元二次方程的兩根互為相反數，那么= ；如果兩根互為倒數，那么= .4、方程的兩個根是2和4，那么= ，= .5、下列方程中，兩個實數根之和為2的一元二次方程是（ ）（A）（B）（C） （D）6、已知方程5x2kx-60的根是2，求它的另一根及k的值7、若關于的方程的一個根

22、是5，求另一個根及的值.【疑難摘錄】 學法指導：用求根公式來證明續助反思課題21.3實際問題與一元二次方程（1）課型新授主備劉 統審核劉 統班級姓名時間學習目標1、會根據具體問題中的數量關系列出一元二次方程并求解，能根據實際問題中的意義檢驗所得的結果是否合理。2、經歷“問題情境建立模型求解解釋與應用”的過程，獲得更多運用數學知識分析，解決實際問題的方法和經驗，進一步掌握解決應用題的步驟和關鍵。重點列出方程解決實際問題。難點找出實際問題中的數量關系。學習過程學（教）記錄【自助學習】1、某校九年級畢業時，每個同學都將自己的相片向全班其他同學各送一張留念，全班共送了2250張相片；如果全班有x名同學

23、，根據題意列方程為（ ）A、 B、 C、2、某廠今年一月總產量為500噸，三月的總產量為700噸，平均每月增長率為x，列方程得（ ）A、500（1+2x）=720 B、500(1+x)2=720 C、500(1+x2)=720 D、720(1+x)2=5003、某校去年對實驗器材的投資為2萬元，預計今明兩年的投資為8萬元，若設該校今明兩年在實驗器材投資上的平均增長率是x，則可列方程為： 。【互助探究】探究1 ：有一人患了流感,經過兩輪傳染后共有121人患了流感,每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人?思考下列問題：（1）設每輪傳染中平均一個人傳染x個人，那么患流感的這個人在第一輪傳染中傳染了 人；第

24、一輪傳染后，共有 人患了流感。（2）在第二輪傳染中，傳染源是 人，這些人中每一個人又傳染了 人，那么第二輪傳染了 人，第二輪傳染后，共有 人患流感。（3）根據等量關系列方程并求解。為什么要舍去一解？（4）如果按照這樣的傳播速度，三輪傳染后，有多少人患流感？【求助交流】 問題：某非法組織由頭目一人發展到若干人的下線成員，每個下線成員再發展同樣的數目的下線成員，經過兩輪后，非法組織的成員共有421人，問，在每輪發展中平均一個成員發展下線多少人？【補助練兵】1某種細菌，一個細菌經過兩輪繁殖后，共有256個細菌，求每輪繁殖中平均一個細菌繁殖多少個細菌？2.某廠今年一月的總產量為500噸,三月的總產量為

25、720噸,平均每月增長率是x,列方程( )A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500【共助反饋】1、某種植物的主干長出若干數目的枝干，每個枝干又長出同樣數目的小分支主干，枝干和小分支的總數是91，每個枝干長出多少小分支？2.某鄉無公害蔬菜的產量在兩年內從20噸增加到45噸.求這兩年無公害蔬菜產量的年平均增長率。【疑難摘錄】續助反思課題21.3.2實際問題與一元二次方程（2）課型新授主備劉 統審核劉統班級姓名時間學習目標利用提問的方式復習幾種特殊圖形的面積公式來引入新課，并解決新課中的問題.2、引導學生經歷和體驗

26、用一元二次方程解決實際問題的過程，增強學生學習數學的意識。重點運用面積和速度等公式建立數學模型并運用它們解決實際問題。難點尋找等量關系，用一元二次方程解決實際問題。學習過程學（教）記錄【自助學習】個位數字為a，十位數字為b,則這個兩位數字表示為 偶數表示為 ，奇數表示為 為執行“兩免一補”政策，我縣2007年投入教育經費2500萬元，預計2009年投入3600萬元，則這兩年投入教育經費的平均增長率為多少？【互助探究】問題：要用一條鐵絲圍成一個面積為120cm2的矩形，并使長比寬多2cm.則矩形的長是多少cm？【求助交流】1：兩年前生產1噸甲種藥品的成本是5000元,生產1噸乙種藥品的成本是60

27、00元,隨著生產技術的進步,現在生產1噸甲種藥品的成本是3000元,生產1噸乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大? 2：某校為了美化校園,準備在一塊長32米,寬20米的長方形場地上修筑若干條寬度相同的道路,余下部分作草坪, 并請全校同學參與設計,現在有兩位學生各設計了一種方案(如圖),根據兩種設計方案各列出方程, 使圖(1),(2)的草坪面積均為540平方米，求圖中道路的寬分別是多少?【補助練兵】某種襯衫的價格經過連續兩次降價后，由每件150元降至96元，平均每次降價的百分率為多少？ 一個兩位數，十位上的數字比個位上的數字的平方少9，如果把個位上的數字和十位上的數字對調，

28、得到的兩位數比原來的兩位數小27.求原來的兩位數？【共助反饋】某小區規劃在一個長為40m，寬為26m的矩形ABCD上修建三條同樣寬的小路，使其中兩條與AB平行，另一條與AD平行，其余部分種草，若使草坪的總面積為864m2,求小路的寬度？續助反思課題21.一元二次方程單元復習課型新授主備劉 統審核劉統班級姓名時間學習目標熟練掌握一元二次方程的概念、一般形式及變相應用。熟練掌握一元二次方程的各種解法。會用一元二次方程解決實際問題。重點會選擇適當的方法解一元二次方程。難點會用一元二次方程解決增長率、降低率、面積等實際問題。學習過程學（教）記錄【自助學習】：概念： ，叫做一元二次方程一般形式為： 例1

29、將方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數、一次項系數及常數項練習：將方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項、二次項系數；一次項、一次項系數；常數項【互助探究】求證：關于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不論m取何值，該方程都是一元二次方程練習：方程（2a4）x22bx+a=0, 在什么條件下此方程為一元二次方程？在什么條件下此方程為一元一次方程？ 【求助交流】一元二次方程解法：配方法：通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫配方法1填空（1）x2-8x+_=（x-_）2；（2）9x2+12x+_=（3x+_）（3）x2+px+_=（x+_）例1：解方程：(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 (3)x