1、第二十二章 二次函數單元復習知識點一知識點二知識點一二次函數的定義及一般形式一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常數,a0)的函數,叫做二次函數.其中,x是自變量,a,b,c分別是函數解析式的二次項系數、一次項系數和常數項.名師解讀:(1)任何一個二次函數的解析式,都可以化成y=ax2+bx+c(a,b,c是常數,a0)的形式,因此,把y=ax2+bx+c叫做二次函數的一般式,其中ax2叫做二次項,a叫做二次項系數,bx叫做一次項,b叫做一次項系數,c叫做常數項.(2)二次函數y=ax2+bx+c(a,b,c是常數,a0)中,x,y是變量,a,b,c是常量.自變量x的取值范圍是全體實

2、數,b和c可以是任意實數,當然都可以為0,a必須是不等于0的實數,因為a=0時,y=ax2+bx+c就變成了y=bx+c,就不再是二次函數了.22.1.1二次函數知識點一知識點二知識點一知識點二解答這類問題的一般方法是:先把各關系式整理,然后再根據二次函數的定義進行判斷.知識點一知識點二知識點二根據實際問題列二次函數解析式根據實際問題建立函數解析式的步驟:(1)仔細審題,設出適當的自變量;(2)找出等量關系,列出函數解析式;(3)根據問題的要求,作適當的變形;(4)根據實際要求,寫出自變量的取值范圍(在較為復雜且沒有要求的情況下,也可不必寫出).名師解讀:列二次函數解析式可以類比列方程或列不等

3、式進行,關鍵是抓住問題中的數量關系或利用常用的公式等.知識點一知識點二例2長方形的周長為24 cm,其中一邊長為x cm(其中x0),面積為y cm2,則這樣的長方形中y與x的關系可以寫為()A.y=x2B.y=12-x2C.y=(12-x)xD.y=2(12-x)解析:先表示出長方形的另一邊長,再利用長方形的面積公式表示出函數解析式.長方形的周長為24 cm,其中一邊長為x cm(其中x0),長方形的另一邊長為12-x(cm).y=(12-x)x.答案:C知識點一知識點二解答這類問題,根據問題的實際,先把其中包含的數量表示出來,再結合題目所給的基本數量關系(如:路程=速度時間、總價=單價數量

4、、面積公式、體積公式等),把相等關系表示出來,最后整理即可.拓展點一拓展點二拓展點三拓展點一根據二次函數的定義求字母的值例1若y=(m2+m) -x+3是關于x的二次函數,則()A.m=-1或m=3B.m-1且m0C.m=-1D.m=3解析:利用二次函數的定義得出(m2+m) 是二次項,可得該項系數不為0,次數為2,進而可求m的值.y=(m2+m) -x+3是關于x的二次函數,m2+m0,且m2-2m-1=2,由m2-2m-1=2解得m=-1或m=3,又由m2+m0解得m0且m-1,故m=3.答案:D拓展點一拓展點二拓展點三解答這類問題,主要是根據二次函數的定義,二次函數的解析式中,自變量的最

5、高次數是2,同時二次項系數不能為零列方程(方程組或不等式)求解.拓展點一拓展點二拓展點三拓展點二根據實際問題列函數解析式例2某賓館客房部有60個房間供游客居住,當每個房間的定價為每天200元時,房間可以住滿.當每個房間每天的定價每增加10元時,就會有一個房間空閑.設每個房間每天的定價增加x元.求:(1)賓館每天的入住量y(間)關于x(元)的函數解析式;(2)該賓館每天的房間收費z(元)關于x(元)的函數解析式.分析:(1)根據題意可知,該賓館共有60個房間,x表示每個房間每天的定價增加量,定價每增加10元時,就會有一個房間空閑,空閑房間個數為 ,用入住量=60-空閑房間個數,列出函數解析式;(

6、2)根據賓館每天的房間收費=每間房實際定價入住量y,每間房實際定價=200+x,列出函數解析式.拓展點一拓展點二拓展點三拓展點一拓展點二拓展點三 解答這類問題,關鍵是找出符合題意的數量關系,如本題影響每天的房間收費的兩個因素為每間房實際定價和入住量y與定價增加x的關系. 拓展點一拓展點二拓展點三拓展點三與二次函數的定義有關的綜合題例3已知函數y=(m2-m-2) +(m+1)x+m.(1)當m取何值時為一次函數?并求出其關系式;(2)當m取何值時為二次函數?并求出其關系式.分析:(1)該函數是一次函數的條件是m2-m-2=0且m+10,或m2-5m-4=1且m2-m-2+m+10,或m2-5m

7、-4=0且m+10;拓展點一拓展點二拓展點三拓展點一拓展點二拓展點三 解答這類問題時注意:是二次函數時,必須有二次項,即自變量的最高次數是2,同時二次項系數不能為零;是一次函數時,要分三種情況討論,不論哪種情況,解析式中不能有二次項,且一次項系數不能為零.知識點一知識點二知識點三知識點一二次函數y=x2的圖象和性質二次函數y=ax2+bx+c的圖象是拋物線,對稱軸與拋物線的交點叫做頂點,頂點是拋物線的最低點或最高點.對于特殊的二次函數y=x2,對稱軸是y軸,頂點是(0,0),頂點是它的最低點,在對稱軸的左側,拋物線從左到右下降;在對稱軸的右側,拋物線從左到右上升.也就是說,當x0時,y隨x的增

8、大而增大.名師解讀:理解和記憶二次函數的性質時,可以從y=x2得到啟發,其他二次函數的圖象及性質可類比y=x2的圖象和性質,主要從開口方向、對稱軸、頂點、增減性等幾個方面去進行.22.1.2二次函數y=ax2的圖象和性質知識點一知識點二知識點三例1通過列表、描點、連線的方法畫函數y=-x2的圖象.分析:首先列表求出函數圖象上點的坐標,進而描點連線畫出圖象即可.解:列表,得:描點,連線如圖所示.知識點一知識點二知識點三畫二次函數的圖象,列表時取的點越多,圖象往往越準確,但是一般采用“五點法”或“七點法”畫圖,畫圖時應注意:(1)描點法所畫的圖象只是整個函數圖象的一部分,是近似的,由于x可取一切實

9、數,所以圖象是向兩方無限延伸的;(2)點取得越多,圖象畫得越精確,在限定條件下(即限定自變量的取值范圍)或在實際問題中,函數的圖象必須要根據自變量的取值范圍取其中的一部分;(3)所畫圖象必須平滑(符合點的發展變化的趨勢),尤其是頂點不能畫成“尖”形的.知識點一知識點二知識點三知識點二y=ax2的圖象一般地,拋物線y=ax2的對稱軸是y軸,頂點是原點.當a0時,拋物線的開口向上,頂點是拋物線的最低點;當a0,當x0時,y隨x的增大而增大;如果a0,當x0時,y隨x的增大而減小.名師解讀:當a0時,理解二次函數的性質可以利用y=x2的圖象進行描述,當a0,拋物線開口向上,a0,有最高點,ax20,

10、比較y1,y2的大小.分析:(1)把點 代入函數y=ax2的解析式求得a的值,即可判定函數的性質.(2)二次函數y=ax2的對稱軸為y軸,由(1)知ax20,故y10時,在A,B中判斷一次函數的圖象是否相符,a0時,二次函數y=ax2的圖象開口向上,一次函數y=ax+a的圖象經過第一、二、三象限,排除A;當a0時,將拋物線y=ax2向上平移k個單位;k0,其圖象的開口向上,對稱軸為y軸,當x0時,y隨x的增大而增大,當x=0時,y取最小值1.答案:C知識點一知識點二知識點三由于y=x2+1是由y=x2向上平移1個單位得到的,所以可以利用y=x2的性質來進行判斷,只要明確其中的“變”與“不變”即

11、可.知識點一知識點二知識點三知識點二二次函數y=a(x-h)2的圖象和性質二次函數y=a(x-h)2的圖象是一條拋物線,它的對稱軸是直線x=h,頂點坐標是(h,0).y=a(x-h)2和y=ax2的圖象,形狀相同,只是位置不同.二次函數y=a(x-h)2的圖象可由y=ax2的圖象左右平移得到.平移的規律是左加右減,即當h0時,向右平移h個單位.知識點一知識點二知識點三名師解讀:理解二次函數y=a(x-h)2的圖象及性質時可結合下面的表格.知識點一知識點二知識點三知識點一知識點二知識點三例2已知拋物線y=5(x-1)2,下列說法中,你認為不正確的是()A.頂點坐標為(1,0)B.對稱軸為直線x=

12、0C.當x1時,y隨x的增大而增大D.當x1時,y隨x的增大而增大,正確,不符合題意;對于D,當x0時,開口向上;當a1時,y隨x的增大而減小,其中正確結論的個數為()A.1B.2C.3D.4解析:根據二次函數的性質對各結論分析判斷:a=-1-1時,y隨x的增大而減小,故正確.綜上所述,正確的結論是,共3個.答案:C知識點一知識點二知識點三解答這類問題,可在理解二次函數y=a(x-h)2+k的性質的基礎上,對每一條逐一分析直至得出答案.拓展點一拓展點二拓展點一二次函數圖象的平移例1拋物線y=-(x-2)2+1經過平移后與拋物線y=-(x+1)2-2重合,那么平移的方法可以是 ()A.向左平移3

13、個單位再向下平移3個單位B.向左平移3個單位再向上平移3個單位C.向右平移3個單位再向下平移3個單位D.向右平移3個單位再向上平移3個單位解析:根據平移前后的拋物線的頂點坐標確定平移方法即可.拋物線y=-(x-2)2+1的頂點坐標為(2,1),拋物線y=-(x+1)2-2的頂點坐標為(-1,-2),頂點由(2,1)到(-1,-2)需要向左平移3個單位再向下平移3個單位.答案:A拓展點一拓展點二解答這類問題的關鍵是掌握“左加右減”和“上加下減”的平移規律,在具體運用時注意靈活使用,一般是根據頂點坐標的變化一步到位,如果所給的解析式不是頂點式,可以先通過配方化成頂點式,再進行判斷.拓展點一拓展點二

14、拓展點二二次函數頂點式的綜合運用例2把二次函數y=a(x-h)2+k的圖象先向左平移2個單位,再向上平移4個單位,得到二次函數y= (x+1)2-1的圖象.(1)試確定a,h,k的值;(2)指出二次函數y=a(x-h)2+k的開口方向、對稱軸和頂點坐標.分析:(1)利用逆向思維的方法求解.把二次函數y= (x+1)2-1的圖象先向右平移2個單位,再向下平移4個單位得到二次函數y=a(x-h)2+k的圖象,然后利用頂點的平移變化情況確定原二次函數解析式,最后寫出a,h,k的值;(2)根據二次函數的性質求解.拓展點一拓展點二拓展點一拓展點二由于拋物線平移前后的形狀不變,故a不變,所以求平移后的拋物

15、線解析式通常可利用兩種方法:一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標,利用待定系數法求出解析式;二是只考慮平移前后的頂點坐標,即可求出解析式.知識點一知識點二知識點三知識點一二次函數一般式與頂點式的互化一般地,y=ax2+bx+c可以通過配方化成y=a(x-h)2+k的形式,即因此,拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是22.1.4二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質知識點一知識點二知識點三知識點一知識點二知識點三例1求下列拋物線的對稱軸和頂點坐標,并指出它們的開口方向.(1)y=x2-2x+8;(2)y=-5x2+3x-2.分析:(1)由于一次項系數的絕對值是二次項系數的偶數倍,所以可以考慮

16、利用配方法確定拋物線的頂點坐標、對稱軸;根據a0,拋物線開口向上,a0,拋物線開口向上,a0,拋物線開口向下,可得答案.知識點一知識點二知識點三知識點一知識點二知識點三確定拋物線的頂點坐標和對稱軸時,既可以利用配方法把二次函數y=ax2+bx+c配成頂點式y=a(x-h)2+k,利用頂點式直接寫出,也可以利用頂點的坐標公式直接求解.當所給的二次函數的一次項系數的絕對值是二次項系數的絕對值的偶數倍時,多利用頂點式;當二者之間不是偶數倍時,通常利用頂點的坐標公式求解.知識點一知識點二知識點三知識點一知識點二知識點三名師解讀:理解二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質可借助下面的表格.知識點一知識

17、點二知識點三知識點一知識點二知識點三例2已知函數y=- x2+2x+1,解答下列問題:(1)寫出拋物線的開口方向、頂點坐標及對稱軸;(2)作出函數的圖象,并觀察圖象,寫出x為何值時,y隨x的增大而增大,x為何值時,y隨x的增大而減小;(3)函數的最值是多少?分析:(1)利用配方法配方成二次函數的頂點式后即可確定其開口方向、頂點坐標及對稱軸;(2)根據其頂點坐標、與坐標軸的交點情況確定二次函數的草圖,然后確定其增減性即可;(3)直接根據二次函數的圖象說出其最值即可.知識點一知識點二知識點三知識點一知識點二知識點三解答這類問題時,通常先把一般式化成頂點式,根據頂點式回答,尤其是當一次項系數的絕對值

18、是二次項系數的絕對值的偶數倍時,配方成頂點式往往是最為簡便的方法.知識點一知識點二知識點三知識點三二次函數y=ax2+bx+c解析式的確定求二次函數的解析式y=ax2+bx+c的基本方法是待定系數法,根據已知條件的不同,常將二次函數的解析式設為如下兩種形式:(1)一般式:y=ax2+bx+c;(2)頂點式:y=a(x-h)2+k.名師解讀:求二次函數解析式的實質是確定三個系數的值,因此需要三個獨立的已知條件.當已知拋物線上任意三點的坐標(或函數的三對對應值)時,可選用一般式;當已知拋物線的頂點坐標和另外一個條件時,常用頂點式.知識點一知識點二知識點三例3已知二次函數圖象頂點坐標為(-2,3),

19、且過點(1,-6),求此二次函數的解析式.分析:根據已知條件中的頂點坐標,可以把二次函數的解析式設為頂點式,再進一步把(1,-6)代入求解即可.解:設二次函數的解析式為y=a(x-h)2+k.函數圖象的頂點坐標為(-2,3),且過點(1,-6),h=-2,k=3,-6=a(1+2)2+3,解得a=-1.二次函數的解析式為y=-(x+2)2+3.知識點一知識點二知識點三如果已知拋物線的頂點坐標(或可以根據條件容易得出頂點坐標)時,可以選擇設為頂點式的方法進行計算.知識點一知識點二知識點三例4已知一個二次函數的圖象過點(2,0),(0,-2)和(-2,3),求這個二次函數的解析式.分析:設二次函數

20、的解析式為y=ax2+bx+c,將(2,0),(0,-2),(-2,3)三點坐標代入求得a,b,c的值即可.解:設二次函數的解析式為y=ax2+bx+c,將(2,0),(0,-2),(-2,3)三點坐標代入,知識點一知識點二知識點三當已知條件是拋物線上三個點的坐標或函數的三對對應值時,可設出一般式,通過列方程組求二次函數的解析式.拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四拓展點一根據二次函數y=ax2+bx+c的圖象確定a,b,c的符號例1如圖為二次函數y=ax2+bx+c的圖象,則下列結論正確的是()A.a0,b0,c0B.a0,c0,b0,c0D.a0,b0,c0解析:拋物線開口向下,a0,b0.拋

21、物線與y軸的交點在x軸下方,c0一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有兩個不相等的根x1,x2二次函數y=ax2+bx+c與x軸有兩個不同的交點(x1,0)和(x2,0);(2)b2-4ac=0一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有兩個相等的根x1=x2二次函數y=ax2+bx+c與x軸只有唯一的一個交點(x1,0);(3)b2-4ac0,理由是:拋物線開口向上,a0,拋物線交y軸于y軸負半軸,c0,而a0,得b0;(2)b2-4ac0,理由是:拋物線與x軸有兩個交點,b2-4ac0;(3)2a+b0,理由是:0- 0,-b0;(4)a+b+c0,理由是:由圖象可知,當x=1時,y=a

22、+b+c0,則x的取值范圍是()A.-1x3B.-1x4C.x3D.x4解析:求y0時x的取值范圍,就是求二次函數的圖象在x軸上方時對應的x的范圍,根據圖象可得x的范圍是x3.答案:C拓展點一拓展點二拓展點三拓展點四拓展點五解決這類問題,要注意數形結合思想的應用,理解求y0時x的取值范圍,就是求二次函數的圖象在x軸上方時對應的x的范圍是關鍵.解不等式ax2+bx+c0和ax2+bx+c0的解集,圖象在x軸下方對應的自變量的取值即為ax2+bx+c0的解集.知識點知識點利用二次函數解決實際問題 由于拋物線的頂點總是拋物線的最高點或最低點,故在頂點處函數取最大值或最小值,因此對于某些與二次函數有關

23、的牽涉到最大(小)值的實際問題,我們可將實際問題抽象為二次函數的數學模型,求出二次函數的解析式,借助最值求法解決實際問題.求解此類問題的一般步驟如下:(1)列出二次函數解析式;(2)結合實際意義,確定自變量的取值范圍;(3)求二次函數的最大值或最小值;(4)解決實際問題.22.3實際問題與二次函數知識點名師解讀:對于實際問題中的最大(小)值,要注意有時并不是拋物線頂點的縱坐標.原因是頂點的橫坐標可能不在自變量的取值范圍之內,此時應根據二次函數圖象(拋物線的一段或一部分有意義的點)的增減性進行解答.知識點例題為了落實國務院的指示精神,某地方政府出臺了一系列“三農”優惠政策,使農民收入大幅度增加.

24、某農戶生產經銷一種農產品,已知這種產品的成本價為每千克20元,市場調查發現,該產品每天的銷售量y(千克)與銷售價x(元/千克)有如下關系:y=-2x+80.設這種產品每天的銷售利潤為w元.(1)求w與x之間的函數解析式.(2)該產品銷售價定為每千克多少元時,每天的銷售利潤最大?最大利潤是多少元?知識點分析:(1)根據銷量乘以每千克利潤等于總利潤進而得出答案;(2)利用二次函數最值求法得出x=- 時,w取到最值,進而得出答案.解:(1)由題意得w=(x-20)y=(x-20)(-2x+80)=-2x2+120 x-1 600,故w與x的函數解析式為w=-2x2+120 x-1 600.(2)w=

25、-2x2+120 x-1 600=-2(x-30)2+200,-20,則有最小值,若a0,則有最大值;如果不在,則根據二次函數的增減性進行解答,但是對于自變量是像mxn(m0,所以函數y有最大值;該函數的圖象關于直線x=-1對稱;當x=-2時,函數y的值等于0;當x=-3或x=1時,函數y的值都等于0.其中正確結論的個數是()A.4B.3C.2D.1專題一專題二專題三專題四專題五解析:由圖象知:函數有最小值,錯誤;該函數的圖象關于直線x=-1對稱,正確;當x=-2時,函數y的值小于0,錯誤;當x=-3或x=1時,函數y的值都等于0,正確.故正確的有兩個,選C.答案:C專題一專題二專題三專題四專

26、題五解答這類問題,要注意數形結合,其中正確解讀圖象中“特殊點”(與坐標軸的交點、頂點等)的意義是解答的關鍵.專題一專題二專題三專題四專題五專題二確定二次函數的解析式例2已知拋物線經過點(3,14),(1,4),(2,7),求拋物線解析式.分析:設拋物線解析式為y=ax2+bx+c,把三個點的坐標分別代入得到關于a,b,c的方程組,然后解方程組求出a,b,c的值即可得到拋物線解析式.解:設拋物線解析式為y=ax2+bx+c,專題一專題二專題三專題四專題五在利用待定系數法求二次函數解析式時,要根據題目給定的條件,選擇恰當的方法設出關系式,從而代入數值求解.一般地,當已知拋物線上三點時,常選擇一般式

27、,用待定系數法列三元一次方程組來求解;當已知拋物線的頂點或對稱軸時,常設其解析式為頂點式來求解;當已知拋物線與x軸有兩個交點時,可選擇設其解析式為交點式來求解.專題一專題二專題三專題四專題五專題三二次函數與一元二次方程例3 關于x的二次函數y=x2-(2m-1)x+m2-1的圖象與x軸的兩交點為A(x1,0),B(x2,0),且(1)求這個二次函數的解析式;(2)求拋物線與直線y=-3x-4的交點坐標,并指出拋物線在該直線下方時x的取值范圍.專題一專題二專題三專題四專題五分析:(1)利用拋物線與x軸的交點得到x1,x2為方程x2-(2m-1)x+m2-1=0的兩根,先利用根的判別式大于0可得到

28、m ,再根據根與系數的關系得到x1+x2=2m-1,x1x2=m2-1,由于 ,則(x1+x2)2-2x1x2=3,所以(2m-1)2-2(m2-1)=3,然后解方程,再利用m的范圍可確定m的值,從而得到拋物線解析式;(2)先通過解方程x2+x-1=-3x-4可得到拋物線與直線的交點的橫坐標,再求出拋物線與直線y=-3x-4的交點坐標為(-1,-1),(-3,5),然后利用圖象可判斷拋物線在該直線下方時x的取值范圍.專題一專題二專題三專題四專題五解:(1)關于x的二次函數y=x2-(2m-1)x+m2-1的圖象與x軸的兩交點為A(x1,0),B(x2,0),x1,x2為方程x2-(2m-1)x

29、+m2-1=0的兩根,(x1+x2)2-2x1x2=3,(2m-1)2-2(m2-1)=3,整理得m2-2m=0,解得m1=0,m2=2,m ,m=0,拋物線解析式為y=x2+x-1.(2)解方程x2+x-1=-3x-4得x1=-1,x2=-3,拋物線與直線y=-3x-4的交點坐標為(-1,-1),(-3,5),拋物線在該直線下方時x的取值范圍為-3x-1.專題一專題二專題三專題四專題五解答這類問題的本質是:已知y=ax2+bx+c(a0)的函數值t求自變量的值,就是求一元二次方程ax2+bx+c=t的解,而已知自變量的值求函數值,就是求代數式的值.而拋物線在直線的下方時,取相同的自變量的值,

30、所對應的二次函數的函數值小于一次函數的函數值.專題一專題二專題三專題四專題五專題四二次函數y=ax2+bx+c的圖象與系數a,b,c的關系例4如圖,二次函數y=ax2+bx+c(a0)的圖象與x軸交于A,B兩點,與y軸交于C點,且對稱軸為直線x=1,點B坐標為(-1,0).則下面的四個結論:2a+b=0;8a+c0;當y0時,x2;對任意實數m,m(am+b)a+b.其中正確的結論有()個.A.2B.3 C.4D.5專題一專題二專題三專題四專題五解析:根據拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點確定a,b,c的符號,根據函數圖象確定y0和y0時,對應x的取值范圍即可.對稱軸x= =1,2a+b=0,正確;x=-2時,y0,4a-2b+c0,又b=-2a,8a+c0,正確;拋物線開口向下,a0,與y軸交于正半軸,c0,abc0,錯誤;當x3時,y0,錯誤;當x=1時,函數有最大值,am2+bm+ca+b+c,m(am+b)a+b,正確.答案:B專題一專題二專題三專題四專題五解答這類問題,注意在理解和掌握二次函數的圖象和性質的基礎上,數形結合,深入分析,逐一判斷每個說法的真假. 專題一專題二專題三專題四