1、學號：GSA0803004密級：碩士學位論文不確定語言判斷矩陣的相對炳的群決策方法Relative entropy approach to uncertain linguisticjudgement matrice in group decision making姓 名郝江鋒學科專業基礎數學研究方向運籌與管理指導教師陳華友教授完成時間2010年11月獨創性聲明本人聲明所呈交的學位論文是本人在導師指導下進行的研究工作及取得的研究成果。據我所知，除了文中特別加以標注和致謝的地方外，論文中不包 含其他人已經發表或撰寫過的研究成果，也不包含為獲得安徽大學或其他教 育機構的學位或證書而使用過的材料。與我

2、一同工作的同志對本研究所做的任何貢獻均已在論文中作了明確的說明并表示謝意。學位論文作者簽名:簽字日期：洞。年月3日學位論文版權使用授權書本學位論文作者完全了解安微大學有關保留、使用學位論文的規定，有 權保留并向國家有關部門或機構送交論文的復印件和磁盤，允許論文被查閱和 借閱。本人授權安徽大學可以將學位論文的全部或部分內容編入有關數據庫 進行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復制手段保存、匯編學位論文。（保密的學位論文在解密后適用本授權書）學位論文作者簽名;導師簽名:簽字日期:小卜年n月日簽字日期:左國47xo（o年4月/日電話:郵編:學位論文作者畢業去向: 工作單位:通訊地址:摘要判斷矩陣是一種

3、常用的決策信息形式。由于決策問題本身的復雜性、決策 環境的模糊性和不確定性，專家就同一決策問題不能給出方案兩兩比較的精確 的數字信息，而是給出不確定性語言變量的偏好信息。因此，不確定環境下基 于語言信息的群決策方法研究具有重要的理論和應用價值，這方面的研究已成 為熱點研究課題之一。本文主要針對不確定性語言判斷矩陣的二致性以及和區間型數字判斷矩陣 的轉換、排序等問題進行了分析和研究，主要工作概括如下：首先在語言判斷矩陣的概念基礎上，提出不確定性語言判斷矩陣的概念， 重點研究了語言判斷矩陣和互反判斷矩陣、模糊判斷矩陣的相互轉化關系，探 討了不確定性語言術語的運算法則，不確定性語言判斷矩陣和區間型互

4、反判斷 矩陣以及區間型模糊判斷矩陣的相互轉化關系。其次在信息集結的OWA算子和COWA算子的基礎上，利用不確定語言判 斷矩陣和區間型模糊判斷矩陣的轉化公式，將其轉化為區間型模糊判斷矩陣， 探討了區間型模糊判斷矩陣滿足一致性的條件。同時文中利用一致性指標給出 了群決策中專家的賦權的方法。在相對嫡準則下，通過極小化群排序向量和各專家給出的排序向量之間的 差異程度，建立了不確定語言判斷矩陣的相對嫡群決策最優化模型，探討了模 型的求解。并進行了實證分析，分析結果表明該方法具有一定的有效性。最后總結了全文的工作，并對不確定語言判斷矩陣的研究前景作了展望。關鍵詞：不確定性，語言判斷矩陣；相對嫡；COWA算

5、子AbstractJudgment matrix, which is called preference relation, is a kind of common decision-making information form. Due to the complexity of decision-making problem, fuzziness and uncertainty of decision environment, experts can provide linguistic variable information, not the accurate number infor

6、mation when they have pair-wise comparison to the many alternatives. Thus, in terms of theoretical and practical value,there is a great significance as to the study of group decision-making method which base on linguistic information under uncertain environment; And it has become one of the hot subj

7、ects for researching.This thesis mainly deals with uncertain linguistic preference relation consistence, transformation with interval number judgment matrix and its ranking problems, its summary goes as followsFirstly, the conception of uncertain linguistic judgment matrix is proposed, based on the

8、concept of linguistic judgment matrix. Mutual transformation formulas are given among the linguistic preference relation, reciprocal judgment matrix and fuzzy preference relation. The operational laws are discussed to the uncertain linguistic variables, and mutual transformation formulas are develop

9、ed between uncertain linguistic judgment matrix and numerical judgment matrix.Secondly, based on OWA operator and COWA operator fbr aggregating the information, the interval fuzzy preference relation can be obtained by using the transformation formula between them. The condition of satisfying consis

10、tency of the interval fuzzy preference relation is also investigated. In the meantime, the experts， weighting method is constructed by using consistency index in the group decision-making.Under the criterion of relative entropy, the optimal model is established by the minimizing the difference betwe

11、en group priority vector and the individual priority vector with uncertain linguistic preference relation. The solution of the model is discussed. The numerical example is illustrated to show that this method has certain effectiveness.Finally, the dissertation is summarized, and uncertain linguistic

12、 preference relation research prospects in the future are also given.Keywords: Uncertainty; Linguistic judgment matrix; Relative entropy; COWA operator目錄 TOC o 1-5 h z 第一章緒論:.1 HYPERLINK l bookmark22 o Current Document 1.1若干判斷矩陣的決策理論研究現狀1 HYPERLINK l bookmark30 o Current Document 1.2現有語言判斷矩陣尚需進一步研究的

13、問題3 HYPERLINK l bookmark33 o Current Document 1.3本文研究的意義及主要內容4 HYPERLINK l bookmark37 o Current Document 第二章預備知識6 HYPERLINK l bookmark40 o Current Document 2.1互反判斷矩陣的概念6 HYPERLINK l bookmark52 o Current Document 2.2模糊判斷矩陣的概念10 HYPERLINK l bookmark57 o Current Document 2.3互反判斷矩陣和模糊判斷矩陣的轉化10 HYPERLINK

14、 l bookmark60 o Current Document 第三章不確定語言判斷矩陣的概念及其性質14 HYPERLINK l bookmark64 o Current Document 3.1語言判斷矩陣的若干概念:14 HYPERLINK l bookmark77 o Current Document 3.2語言判斷矩陣的幾個性質17 HYPERLINK l bookmark80 o Current Document 3.3不確定語言判斷矩陣的若干概念及性質19 HYPERLINK l bookmark102 o Current Document 第四章不確定語言判斷矩陣的相對炳群決

15、策最優化模型27 HYPERLINK l bookmark106 o Current Document 4.1 OWA 算子 COWA 算子27 HYPERLINK l bookmark115 o Current Document 4.2區間型模糊判斷矩陣排序方法和專家權向量的確定方法304.2.1基于COWA算子獲得區間型模糊判斷矩陣排序方法304.2.2通過一致性指標獲得專家的權重31 HYPERLINK l bookmark118 o Current Document 4.3不確定語言判斷矩陣的相對炳群決策最優化模型334.3.1相對炳的概念及性質334.3.2基于相對燔的不確定語言判斷

16、矩陣的群決策集成方法計算步驟.364.3.3實例分析36 HYPERLINK l bookmark126 o Current Document 第五章總結與展望41參考文獻42 HYPERLINK l bookmark182 o Current Document 致謝.46 HYPERLINK l bookmark185 o Current Document 攻讀碩士學位期間發表的學術論文47第一章緒論1.1若干判斷矩陣的決策理論研究現狀決策分析的概念于1966是由Howard首先提出的，但是到了上個世紀七十 年代末，決策理論走向誤區，有些人片面地認為決策僅僅依靠建立最優化數學 模型來解決社會

17、、經濟和工程問題，從而導致數學模型的變量數量也越來越大, 同時最優化理論和算法發展越來越抽象、復雜。所以一些復雜的數學模型和求 解方法在某種程度上降低了決策的實際應用價值。在這種背景下，一些運籌學 家開始冷靜地看待如何正確地評價復雜的數學模型對決策的作用。美國的運籌學家Saaty教授在20世紀70年代初提出了 Analytic Hierarchy Process的分析法囚(簡稱AHP)。層次分析法提出以后，在經濟、管理和軍事等 多個領域得到廣泛應用，同時越來越多的運籌學的研究學者也開始致力于這方 面的理論與應用的研究。其中最重要的研究是有關決策者或專家給出的判斷矩 陣，因判斷矩陣的研究是層次分

18、析法研究的理論基礎。目前判斷矩陣可分為數字型判斷矩陣和語言性判斷矩陣兩大類。數字型判 斷矩陣包括互反判斷矩陣和模糊判斷矩陣囚】。由于人們研究的決策問題的復雜 性、模糊性以及人們思維的局限性，人們還將模糊理論和不確定性理論的研究 引入到判斷矩陣中，從而提出了區間型互反判斷矩陣、區間型模糊判斷矩陣和 不確定型語言性判斷矩陣。關于判斷矩陣的研究主要涉及到概念、排序方法、 一致性問題、若干類型的判斷矩陣的信息的一致性轉化方法、靈敏度分析等等 問題【45】。下面分別針對這些問題分別作出綜述。若干概念徐澤水在綜述論文囹中給出了互反判斷矩陣、區間型互反判斷矩陣、模糊 判斷矩陣、區間型模糊判斷矩陣、語言性判斷

19、矩陣和不確定型語言性判斷矩陣 的概念，同時他還提出了一些新的判斷矩陣的概念，例如直覺模糊信息的判斷 矩陣、區間型直覺模糊信息的判斷矩陣、三角模糊信息的互反判斷矩陣、三角 模糊信息的模糊判斷矩陣、不完全信息的互反判斷矩陣、不完全信息的模糊判 斷矩陣以及不完全信息的區間型互反判斷矩陣和不完全信息的語言性判斷矩陣 等等。排序方法關于判斷矩陣的排序方法，從計算的角度看，大致可以分為近似計算和最 優化方法兩大類。關于數字型判斷矩陣的排序方法，已有大量的文獻取得了豐 碩的研究成果。已由單一的特征向量法【璀發展成為最小二乘法、對數最小二乘 法和最小偏差法等多種方法。對于互反判斷矩陣，Satty提出了特征向量

20、法，Jensen提出了最小二乘法 和%2法P罰，Cogger等提出了梯度特征向量法叫Crawford等提出了對數最小二 乘法王應明等提出若干最優化模型法6】等。對于模糊判斷矩陣，徐澤水等提出了加權最小二乘法、最小偏差法團， Chiclana等提出了多種偏好信息一致化為模糊判斷矩陣，給出了群決策的選擇 過程。樊治平，姜艷萍在綜述文章中概括和評述了模糊判斷矩陣的十余種的排 序方法IU,例如線性目標規劃法氣基于0財集結算子的方案優選方法和多種 最優化模型法等。關于區間型互反判斷矩陣的排序問題的研究也取得了很大進展。文獻14 采用的梯度特征向量法來確定權重；文獻15則是采用特征向量法來確定權重, 文獻

21、16給出的方法是將區間型判斷矩陣采用中點值的方法將其轉化為數值矩 陣，再利用誤差傳遞理論來確定權重；文獻17是將區間數判斷矩陣的排序轉化 為線性規劃問題。關于區間型模糊判斷矩陣的排序方法，徐澤水使用Yager提出的C0W4 算子功集成方法將其轉化為數值型模糊判斷矩陣，從而獲得了區間型模糊判斷 矩陣的排序方法。同時他建立了線性規劃模型獲得了區間權系數。一致性問題關于判斷矩陣的一致性問題的研究主要包含三個方面：判斷矩陣的一致性的 定義、一致性的判定和判斷矩陣的不一致性調整問題的研究等。互反判斷矩陣的一致性概念包含完全一致性、滿意一致性等。目前，關于互 反判斷矩陣的一致性研究大多集中在完全一致性和滿

22、意一致性上，其研究成果 較為豐富U2】。文獻20,21給出了模糊判斷矩陣的完全一致性和滿意一致性的概 念。文獻22給出了區間數互反判斷矩陣的一致性定義。關于互反判斷矩陣一致性的判定，Saaty提出了利用C.R值對互反判斷矩陣 進行一致性檢驗田，這一指標使用起來比較簡便，然而以0.1作為臨界值存在理 論依據不足的缺陷。之后，有一些學者采用統計檢驗方法閔尋求一致性指標。 樊治平、肖四漢等在模糊判斷矩陣的一致性判定方面的研究取得了重要的進展 20（4）判斷矩陣的信息的一致性轉化Chiclana等提出了將互反判斷矩陣轉化為模糊判斷矩陣的公式，并證明了 這種轉換可以保持一致性。即完全一致性互反判斷矩陣所

23、對應的模糊模糊判斷 矩陣也是完全一致性。同時他們還提出了將模糊判斷矩陣轉化為互反判斷矩陣 的公式，這種轉換也可以保持一致性。徐澤水等【可提出了將互反判斷矩陣轉化 為模糊判斷矩陣的另一個公式。判斷矩陣的信息的一致性轉化的意義就在于在 群決策中可以將不同形式的偏好信息進行集結處理。（5）靈敏度分析所謂靈敏度分析就是指在決策分析中，當決策者給出的判斷矩陣受擾動的時 候，判斷矩陣的某一個或某些元素發生變化時，探討最終方案的排序結果產生 的影響。也就是說，當判斷矩陣有一個小擾動后，判斷矩陣的排序向量與原判 斷矩陣的排序向量之間會發生怎樣的變化。因此，靈敏度分析在決策分析中很 重要。文獻24對判斷矩陣的排

24、序向量進行了靈敏度分析。1.2現有語言判斷矩陣尚需進一步研究的問題由于決策問題本身的復雜性，不同的專家和決策者可能依據相同語言短語表 示的語言評估集給出語言判斷矩陣的偏好信息。近年來，對語言判斷矩陣偏好 信息的研究引起了國內外眾多專家的重視。對于語言判斷矩陣相容性問題，文 獻24把語言判斷矩陣轉化成相應的導出矩陣，研究了群體判斷一致性，但沒有 考慮到不同粒度語言判斷矩陣的相容性。文獻25定義了一種語言判斷矩陣的互 反判斷導出矩陣，給出了一種語言判斷矩陣的群決策方法；文獻26給出基于自 然語言符號表示的比較矩陣的一致性及其方案的排序方法；文獻27利用語言下 標和距離偏差公式給出了單個語言判斷矩陣

25、與群語言判斷矩陣的相容性或一致 性關系；文獻28、29利用二元語義的T-OWA算子將各決策者給出的偏好信 息集結為群的偏好，研究了多種粒度的語言判斷矩陣決策方法，進行方案的選 擇。然而，由于問題的復雜性和不確定性，專家可能給出不確定的語言判斷 矩陣，目前這方面的研究還處在探索階段。如何建立不確定的語言判斷矩陣和 區間型互反判斷矩陣以及區間型模糊判斷矩陣之間的轉換關系？如何利用已有 的信息集結算子進行群決策環境下的不確定的語言判斷矩陣的信息集成方法等 問題，還是一個值得研究的問題。同時注意到，相對炳原本用來體現兩個概率分布的差異程度。群決策問題 本質上是一個集結問題，要想獲得群決策目標的一致性，

26、就是要試圖使群決策 結果與個人偏好信息的不一致的盡可能達到最小化。因此相對炳的概念為群決 策的優化建模提供了一種較好的分析手段。因此本文試圖建立不確定語言判斷 矩陣的相對嫡群決策最優化模型，從而獲得不確定語言判斷矩陣的一種新的群 決策方法。 ，1.3本文研究的意義及主要內容本文在現有文獻的基礎上，提出了新的不確定語言判斷矩陣的導出矩陣的 概念，給出了他們和區間型互反判斷矩陣以及區間型模糊判斷矩陣之間的轉換 公式，得到了一致性的相互關系。同時基于相對炳的概念以及COWA算子，建 立了不確定語言判斷矩陣的相對嫡群決策最優化模型，從而為不確定語言判斷 矩陣的偏好信息下的群組決策方法的應用提供理論依據

27、。本文的主要內容是第一章對判斷矩陣的決策理論研究相關問題的現狀做了綜述,特別指出語言 判斷矩陣的研究尚需進一步深化研究的問題，闡述了本文研究的思路和框架。第二章介紹了預備知識。重點給出了數字型判斷矩陣，包括互反判斷矩陣、 模糊判斷矩陣、區間型互反判斷矩陣以及區間型模糊判斷矩陣的概念、一致性 的概念以及他們的相互轉化關系。第三章在語言判斷矩陣的概念基礎上，提出不確定性語言判斷矩陣的概念, 重點研究了語言判斷矩陣和互反判斷矩陣、模糊判斷矩陣的相互轉化關系，探 討了不確定性語言術語的運算法則，不確定性語言判斷矩陣和區間型互反判斷 矩陣以及區間型模糊判斷矩陣的相互轉化關系。第四章在信息集結的算子OWA

28、和COWA算子的基礎上，利用不確定語言 判斷矩陣和區間型模糊判斷矩陣的轉化公式,將其轉化為區間型模糊判斷矩陣, 同時給出了群決策中專家賦權的方法。在相對炳準則下，建立了不確定語言判 斷矩陣的相對炳群決策最優化模型，探討了模型的求解，并進行了實證分析， 分析結果表明該方法具有一定的有效性。第五章總結了全文的工作，并對不確定語言判斷矩陣的其他相關研究前景 作了展望。第二章預備知識2.1互反判斷矩陣的概念層次分析法(analytic hierarchy process,簡稱AHP)是由美國著名運籌學 家SaatyU】在20世紀70年代末期提出的一種新的系統分析方法。層次分析決策 方法最大的優點是可以

29、處理定性和定量相結合的問題，可以將決策者的判斷與 經驗引入到模型中，并加以量化處理。層次分析法的出現給決策者解決那些難 以定量描述的決策問題帶來了極大的方便，因而它是一種將定性和定量分析相 結合的多目標決策分析方法。它的基本思想是在分析復雜系統所包含的因素及相關關系的基礎上，把一 個復雜的系統按支配關系分組，從而分解成各個組成因素，形成含有若干層次 的有序的遞階層次結構。層次分析法通常按照1-9的標度理論，對每一層次的各 要素進行兩兩比較，獲得了對應的判斷矩陣。通過計算判斷矩陣的最大特征值 以及屬于該特征值相應的特征向量。再對特征向量進行歸一化處理，獲得了權 重向量，依據此權重向量，可得到各層

30、次中若干要素的重要性次序。同時需要 確定層次中若干準則的相對重要性，然后綜合人的判斷來確定決策中因素相對 重要的總排序。在決策分析中，常常需要決策者給出一些主觀偏好信息，例如，決策者針 對方案集可以給出效用值、序關系、數字型判斷矩陣等形式的偏好信息。然而， 由于問題的復雜性，決策者直接給出所有方案的排序結果往往具有一定的難度， 甚至無法給出。但是決策者對兩個決策方案的優劣關系的比較可能易于實現， 即很容易做出判斷的結果的度量。決策者針對方案集給出兩兩比較的偏好信息 表達形式通常由一個判斷矩陣來刻畫。對于一個有限的決策方案集，設其為乂 = 知也,與,決策者針對某個準 則，把X中的任意兩個方案玉和

31、的優劣關系進行判斷，給出確定的數值來比 較偏好信息。從數字型判斷矩陣中元素的表示形式來看，可以分為兩大類型：一類是互反判斷矩陣，另一類是模糊判斷矩陣。記以犬,為所有的n階正互反判斷矩陣所構成的集合。記N=1,2,沖。定義2.1.1珂若矩陣4 = (%*滿足非負性：氣O,Vi,jeN；(2.1.1)互反性：a-Majt,ati = 1,Vz,j e(2.1.2)則稱4 = (%)f是n階互反判斷矩陣。通常鈞的取值按照1-9的標度進行，具體參見下表。表2.1.1標度取值參考表為定義普義1同等重要因素4和4.同等重要3-略微重要因素4比4略微重要5相當重要因素耳比4相當重要7明顯重要因素W比4明顯重

32、要9絕對重要因素4比4絕對重要2, 4, 6, 8介于兩個相鄰重要程度之間定義若Vi、j,EN,有%勾=為成立，則稱4 = (%.)*,為完全一致 性正互反判斷矩陣。決策者給出的互反判斷矩陣可能出現不一致現象，因此需要利用一致性指標進 行檢驗。定義2.13(, 一致性指標可以定義為(2.13) 其中;I響為互反判斷矩陣/=(勾)時，的最大特征值。定義2.1.4口令C IC.R(2.1.4)則稱C.R為一致性比率。其中為隨機一致性指標，Saaty教授給出隨機一致性指標R.I的數值列表見 表 2.1.2。表2.1.2不同階的平均隨機一致性指標階數12345678RJ000. 580.891.121

33、.241.321.41階數9101112131415R.I1.451.491.511.541.561.581.59通過計算一致性比率C.R可以獲得正互反判斷矩陣一致性的程度。即當 CR = O時，正互反判斷矩陣A具有完全一致性；當C.R0.1時，A具有非滿意一致性，則應予以調整 或舍棄不用。因為求解正互反判斷矩陣的最大特征根和和標準化的特征向量比較麻煩， 從實際應用來看，可采用如下兩種方法來近似求出最大特征根和和標準化的特 征向量方根法計算可，其中將可進行規范化獲得標準化的特征向量珥(2.1.6)吧=聲-/-I（3）計算最大特征根&0和積法(2.1.7)(1)按列將正互反判斷矩陣A規范化，即(

34、2.1.8)(2)計算碼訐產帛，捉1，2,前J=1(2.1.9)(3)將可進行規范化獲得標準化的特征向量叫%=-，沱1,2,./1=1(2.1.10)(4)計算最大特征根；(2.1.12)(2.1.13)定義2.1.5囹若決策者給出兩兩方案比較的偏好信息形式由判斷矩陣%=,為+】，1/9Vo,明 =1 oi=l2.2模糊判斷矩陣的概念模糊性是人類思維和客觀事物普遍存在的屬性之一。因此，有關模糊層次 分析法(FAHP)的研究，近年來受到了國內外學者的重視。目前，在有關判斷 矩陣的排序方法的研究中，已經有十多種方法被提出。FAHP與傳統的AHP有 許多相似之處，也是將復雜的系統簡化為有序的遞階層次

35、結構。但是FAHP進行 兩兩評價方案比較的時候，決策者采用的是0, 1上的標度。設有某個決策問題，其方案集表示為論域S=S” &,，S,記N=1, 2,n),二元對比矩陣R = (%L為方案直集SxS上的一個模糊子集，萬表示方案S優于的程度。定義221印】若矩陣& = (%)滿足如下兩個條件：O=0.5,ViwN(2.2.1)% + rjt = l,rtj 0, Pi,jwN,2j(2.2.2)則稱R = (%)為模糊判斷矩陣。根據定義2.2.1的式(2.2.2)易知:R + RT =E(2.2.3)其中E表示元素全為1的n階矩陣，即：E =1 1 - 11 1 - 11 11定義2.2.1表

36、明模糊判斷矩陣的元素含義是:若5=0.5,則方案品和同樣重要，若g（0.5, 1,則方案S比重要，此時。越大表示方案吊和對比就越 重要。若彼0, 0.5）,則方案品比母次重要，此時烏越小表示方案品和5對比就 越不重要。定義2.2.2皿】若矩陣r = （%）為模糊判斷矩陣，若有：rikrjgrji =磯.疝沖,并 N,i Agk（2.2.4）則稱& =（。）為乘積型完全一致性模糊判斷矩陣。定義2.2.3囚2若矩陣R = （）為模糊判斷矩陣，若有： J /nxn氣=3 一 誑+ 5, Vz, j, keN,（2.2.5）則稱R = （。）為加型完全一致性模糊判斷矩陣。 /IXW定義2.2.4【33

37、若決策者給出兩兩方案比較的偏好信息形式由判斷矩陣 夫= （%.）滿足： /nxn=品一，礦】，且（226） + rji =1，ji + % = 1,=匕；=上=0.5, i = j（2.2.7） 則稱R=（勺L z為區間型模糊判斷矩陣。其中-, %+分別為烏的上下界定義2.2.5若Rdr為區間型模糊判斷矩陣，如果存在一個權向量W = (wpw2,-,wn),滿足:烏0.5(叫-叫 +l)+,Vi,JeN(2.2.8)則稱R =(司為加型完全一致性區間型模糊判斷矩陣. J /nxn定義2.1.6囹若夫=傷)為區間型模糊判斷矩陣，如果存在一個權向量 J /nxn甲=(叫，叫，叫)，滿足：烏- j,

38、則異” ”s,或Sj,它表示s,劣于異，或s優于Sj,此性質 稱為有序性；算子neg(Si)= Sj、i + j = T；稱為語言術語的逆運算；若則有maxs”sJ = Sj, max稱為極大化運算；若s“Sj,則有mins“Sj = Sj, min稱為極小化運算；在決策信息的集結過程中，可以定義一個語言信息的拓展標度評價集 = Sa|ac0,q，這里q是一個充分大的自然數，目的是防止信息丟失，為此 引入如下概念。定義3.1.1在5 = (sojae(0,g)中， 咨渣,令I(s,)= i,(3.1.1)則稱函數IiSR是語言信息評價集對應的下標函數。令sQ i七勿，則方案毛優于易，越大表示不

39、優于X,的程度越大；如果則方案號劣于號，I越小表示毛劣于弓的程度越大。定義3.1.3【35】設=(方)呻為基于粒度為7 + 1的語言判斷矩陣，令(3.1.4)crr(4) = 0.5 + 2也？-? x0.4, V/,je 1,2,則稱b,為語言判斷矩陣P的可加性導出函數，定義3.1.3表明導出函數把方案之間的偏好信息進行了合理的量化，將偏好 信息從語言形式合理的轉化成了數值形式。定義3.1.4令% =，（&），Vi,je1,2,（3.1.5）稱矩陣Q = （%扁為語言判斷矩陣P的可加性導出矩陣。容易推出語言判斷矩陣的導出函數有下面的性質：1）（有界性）對V5,.eSr,都有0.1 （aT（s

40、fi）可加性導出函數的反函數是存在的，由定義3.1.3和定義3.L4得它的反函數 為。尸（） = ?1 竺專1些，電聶（3.1.6）定義3.1.5 設P=（丹L為語言判斷矩陣，若對于W,j,lwN,其元 素滿足下列關系：1（兩+1（孔）=】（鳥）+2，（3-1.7）則稱語言判斷矩陣P是滿足可加性完全一致的。若,對于語言判斷矩陣P當 p/w sr/2, 2”s2 時，有或當 p*” sm，py” 知2 時，有pjy 機，則稱矩陣P具有滿意一致性。定義3.1.6設P =（丹為基于粒度為r + 1的語言判斷矩陣，令：心 m)T(Py) =9 T ，v械(3.1.8)則稱為決策者給出的語言偏好信息為的

41、乘積型導出函數，令% =W，Pij),Vi,j色1,2,(3.1.9)則稱矩陣 = (%*,為語言判斷矩陣P的乘積型導出矩陣。事實上導出函數的反函數也是存在的，其反函數為，7(logg+l)Wt (%) =【；-(3.1.10)I )定義3.1.7如果Wt(品)Vt(Pts) *丁(D)，Vr,s,住1,2,/,(3.1.11)則稱P為乘積型完全一致性語言判斷矩陣。3.2語言判斷矩陣的幾個性質定理3.2.1語言判斷矩陣P = (p的可加性導出矩陣為模糊判斷矩陣。證明設任意的語言判斷矩陣P = n，pK。它對應的導出矩陣為 。=也扁，1,2,/,則有久+%7 = 0.5 + 2共%二 x 0.4

42、 + 0.5 + 2V 三 x 0.4=1+地亞旦司.4T由(3.1.3)式得i(%)+S=r從而得：%+0少=1，特別地，當時，有 =5, 由定義得語言判斷矩陣F的導出矩陣。為模糊判斷矩陣。證畢。定理3.2.2語言判斷矩陣P = (p)g的乘積型導出矩陣U =，為互反 判斷矩陣。證明：設語言判斷矩陣P =(巧)風，Pj*,它對應的乘積型導出矩陣為u = u，由定義知:uy 二WtS)，2,?，則有UijXUji=WT(PijWT(Pj)2It (Plj)-T 21t2(& (灼)+& (p/,)-27=9 下_x9 = 92因為Wj)+Ig = T,所以It。X jj = 1 o特別地，當i

43、 = J.時，有,=1,所以乘積型導出矩陣=(與扇為互反判斷矩陣。 證畢。定理3.2.3設語言判斷矩陣為P=(p,則其滿足一致性語言判斷矩陣 y /wxn的充分必要條件是其導出矩陣。=(%.)“也為一致性的。證明先證必要性：若P是完全一致的，所以有1(曲+1(物)=1何)+2, Pi,j，WN,由式(3.1.8)可得:2如 m)-T / 2方 g-T 2(4(Ph)-Jt (Pg)qjqq T /9 T =9 r2( (pQ-Et(PQ)2陽(為)+772)一丁=9亍 =9 F2X(PT=9=%即 為=% 成立，。因此由定義知語言判斷矩陣的導出矩陣。具有完全一致性。充分性：如果語言判斷矩陣P的

44、導出矩陣。為一致性互反判斷矩陣，由定義2.1.2和式（3.1.8）,對于Pi,j,leN,有即2町（Ph）-T2, （pg-7 2.（四）9 T =9 T -9 T由此可以得到：匕（丹）+2叫（外）+1（為）因此，由定義3.1.5知矩陣P為一致性語言判斷矩陣。證畢。3.3不確定語言判斷矩陣的若干概念及性質因為所研究的決策問題的復雜性和不確定性以及信息的有限性等因素的限 制，決策者可能以區間語言變量3刊的形式給出決策信息。為此引入相關的運 算法則。定義3.3.1令：s = sa,spxsa xs2)稱為睥2的可能度。其中 4 =崗 一。1 4 = Pl a2 .由定義3.3.3可推得如下結論38

45、】0s2)lt 05!)R+滿足：偵=刀(此舟)=(Z(5a)J() = a,P(3.3.3)則稱以為不確定性語言信息函數。定義3.3.4表明不確定性語言信息函數是把一個不確定性語言變量轉化為 一個區間數。對于不確定性語言信息函數的運算，我們可得如下運算規則：定理3.3.1若3 =成,，E%心,=禺,、亨，且,(0, 1),則有：UI(SYv2)=Wi)+V(2)；W(g)2(g；UI) = UI(sY；UI(s 勇勺=UIs UI(s ;成(log(矽 ) = A, logUI(sx) + logUI(s2);證明，(1)由定義3.3.4得，則有：叫()=以MJ,卬(弓)=屈，屬:!.所以由

46、定義3.3.2u海 e2)=(%i中異町羽 叫)=成($&% S褊。$淑2，S標2 D=應(%+標2，標】+雄2 ) = &% +2。2，& 1 + 乃月2】=&%,崗+彼釣,聞=&頃富)+危成(可由定義3.3.2和3.3.4得UI(s2) = UI(sai ,鈕扁心)=頃瞄2，物D=12，即2】=0，印也2=,由定義3.3.2和定義3.3.4得頃尸)=因(成,叫)=勿(如，財D = a = a,時=0(砂由定義332和定義3.3.4得5寸=頃區尸J禺，母S(爵，洌京，源)=況(%十，以)=%=妒，妒H%氣財2 =%,&% %,&* =/()切偶處由定義3.3.2和定義3.3.4得W(log(

47、* 既2勻)=成(log(&,s J 成2此勺)=UI (log(5a?, sa/2, sp/2 )=成(1迎($*2&，$廣財2 D)=弱(臨心22)標0陶2)= 10g(f% 勺,10gW&)】=& log %, log J3 +% log a2, log 02 = & log $($) + % log UI(s2), 證畢。定義33.5若語言判斷矩陣P =滿足： /nxn用=p,p;】盒;(2 ) Pii = s2 ST/2 :(3)P；=s”；P技P；=Sr，則稱P = (p.)nn為可加性不確定性語言判斷矩陣。定義3.3.6設P = n為基于粒度為T + 1的不確定性語言判斷矩陣，令

48、 % 四=0.5 + 之寫)M 0.4,=0.5+2/-x0A o.5+2)NxO.4,，既*1,2廣挪(3.3.4)_ 則稱“巴為不確定性語言判斷矩陣=(孔)響的可加性導出函數。定義3.3.7令 備=皿%以1,2,/(3.35) 稱矩陣。=(%)噸為不確定性語言判斷矩陣的，=(孔扁可加性導出矩陣。定理33.2不確定性語言判斷矩陣=(瓦)響的可加性導出矩陣Q = （%）口為區間型模糊判斷矩陣。證明設任意的語言判斷矩陣聲=（耳）時,，其中凡=可齒,它對應的導出 矩陣為Q = （%）g，其中=西，由可加性導出函數的定義可知% = y （耳）=0.5 + 2綁）-，x0.4，即有：.5+竺鏟；0.4

49、, *0.5+竺戶、0.4,由不確定性語言判斷矩陣的定義可知所以WE + O.5+竺x0.4I+業地地.4類似的，我們有qj + q； = 0.5 + 2 捋）二三 X 0.4+ 0.5 + 殳學。x0.4=3（處心m 5普*.4 =顯然Kw擋Q&所以。=（%）為區間型模糊判斷矩陣。 定義33.8設=（耳底為基于粒度為T + 1的不確定性語言判斷矩陣，令2UItT阿 7（R）= 9T21 面）-21t（P）-T9, 9 廠（3.3.6）（3.3.7）則稱岬7為乘積型不確定性語言判斷矩陣聲=（孔）睥的導出函數。徐=研（萬V）, V/J61,2,-,，則稱矩陣行=（耳）響為乘積型不確定性語言判斷矩

50、陣戶=啊）響的導出矩陣。定理3.3.3不確定性語言判斷矩陣方=”的乘積型導出矩陣U =（號）響為區間型互反判斷矩陣。證明設任意的語言判斷矩陣p=（m，其中用 部航】，它對應的乘積 型導出矩陣為。=（禮）“其中海二阮，婦由乘積型導出函數的定義可知2（用）-叩r （丹）=9 t2心（應）-7,97即有:2& （而）-丁K=9 T2 如）-T9?_,由不確定性語言判斷矩陣的定義可知耳p；=s” pp=sTf所以2gT 2It（p；）-T2（方（p&）+-（p；）-2T9 亍. 9 1 = 9_2（用。以）7）2（臨）-7）97=9 T 1類似的，我們有2&（P；T 2沖 T 2（/心；）+如3）-2

51、7 iQ = 9 T -9 T =9 T（用 P；）T）2（1）-7）=9 亍=9 廠=1顯然“5=1,所以為區間型互反判斷矩陣。證畢。定義3.3.9 不確定性語言判斷矩陣D =（m的乘積型導出矩陣為 行=（弓）噸，其中若因=（叫,叫，一，叫）為導出矩陣右= （%*”對應的權重向 量，滿足yj 1 - - -_ %；-二ujNi,jeN,Wi則稱不確定性語言判斷矩陣聲=滿足一致性。定理3.3.4若不確定性語言判斷矩陣,=（萬扁滿足一致性，則乘積型導出 矩陣為。=（禮扁有下式成立：m窘 &巧）nun （妃與+）Ni,jN證明：因為不確定性語言判斷矩陣, =滿足一致性，所以由定義3.3.9知：其導

52、出矩陣1=（ 對應的權重向量w=32，m）滿足uik iijNi, kwN,叫類似的有uJ u,Vk,j e N現把上面兩式相乘得：-0 ，/=1 i=l,2,.,n,例如，設坦=0.3 , %=。4，嗎=。2，4=0.1，則由定義4.1.1得4(2,5,1,6) = 6x03 + 5x0.4 + 2x0.2 + 1x0.1 = 43 .定義4.1.1表明0WA算子是對h個數據%,%,%的值按從大到小的順序排序后進行有序加權平均的，權向量系數嗎與數據4無關，而是與的值按從大小順序排序的第i個位置有關.OWA算子具有如下性質：性質4.1.1 （單調性）設（%,%）和（4，以“0）是任意兩個數據向

53、量, 且有,；, Vie（1,2,則fw （】，,，”）2 fw （%，2，%（4.1.2）性質4.1.2 （置換不變性）設是（，%”）的任一置換，則=70，,，）,（4.1.3）性質4.13 （幕等性） 設（巧,/,）是任一數據向量，若對任意 iwl,2,./, q=a,則有，（用，/,，咀二。.（4.1.4）性質4.1.4 設甲, = （1,0,（）,則4.（q,q,.,%） = mq.（4.1.5）性質4.1.5 設吼=（）,0,1）,則原（用,。2，.,%）=啪 0（4.1.6）性質 4.1.6 設 WAVE1,則n n n）扁*2,-2X （4L7） Z=1性質4L7 （介值性）設（

54、,；%）是任一數據向量，貝IJ（巧,。2，%） fw（巧，。2，”）2 fw.（角，角，%）.（4.1.8）權系數歸=（叫，的，叫可由模糊語義量化算子。4。】來確定的，即： .一。-1、(4.1.9)其中函數Q：0,1t0,1滿足00) = 0, 01) = 1，當xy時Q(x)Q(y)fQ(x)稱為基本的單位區間單調(BUM)函數。例如，一種形式的基本的單位區間單調(BUM)函數0)可由下面的分段函數 給出:fo0 x) =x-ab-a1axb(4.1.10)0 xa式中參數a,B,xe0, 1,對應于模糊語義量化準則的“大多數”、“至少半數”、“盡可能多的算子。的參數對S，B)分別為(0.

55、3,0.8), (0, 0.5), (0.5, 1)。定義4.L2四設0,可為區間數，0a)必(4.1.12)為 Q(x)的態度參數(attitudinal character)o對于基本單位區間單調(BUM)函數0 x),在引入Q(x)的態度參數后， Yager1191證明了 FQ(a,bJ)另一表達式可以表示成如下定理。定理4.1.1如果人二。3)力，則有與(以)=(1-九)白 + 而(4.1.13)其中人為Q(x)的態度參數。特別的，當a = b的時候，區間口,可退化為一個實數。此時FQ(a,a) = ao特別地，如果基本單位區間單調(BUM)函數Q(y) = y (心+)。此 時= t

56、yn(y =將其代入得：土72 + 1FQ(a,b) = (1-X)a + 人方=就參數r的取值范圍分為四種討論：當f 0時，(口,可) = 8,此時連續區間數據用進行集結的結果取 到最大值；當=?時，與(。,可)=竺|/;當” =1 時，(么可)=%;當T+oo時，FQ(a,b) = a,此時連續區間數據o,b進行集結的結果 取到最小值。4.2區間型模糊判斷矩陣排序方法和專家權向量的確定方法4.2.1基于COWk算子獲得區間型模糊判斷矩陣排序方法設X =(私可，”)是有限方案集，E = (e2,e”)是專家有限集。徐澤水囹提出了模糊判斷矩陣的概念來描述專家在方案比較時的偏好關系， 然而由于在

57、方案比較時存在一些模糊因素，使得決策者不能用精確的數值表達 這種偏好關系，為此徐澤水引進了區間型模糊判斷矩陣的概念。定義4.2.1網設腫=(獸扇表示第k個專家給出的區間型模糊判斷矩陣，令 TOC o 1-5 h z Fq （號“）=（1 - 2片 +, ij421則稱與儂）=（%（胃）”“，為區間型模糊判斷矩陣必）的對應的期望值模糊判斷 矩陣。定義421給出了區間型模糊判斷矩陣轉化為數字型模糊判斷矩陣的一種 方法，即利用COWA算子來集成區間型模糊判斷矩陣，從而獲得其期望值。 由其定義知，因為#c0, 1, e0, 1,且態度參數A s0, 1,所以馳勺20, g（#） = （l-；l片+日0

58、, 1且時）+ %（）= 】，顯然，%（酣）=（1 一 A）rf + 人職=（1 一人）x 0.5 + 人 x 0.5 = 0.5從而（砂）=（以營成”是模糊判斷矩陣。Xu利用COWA算子獲得區間型模糊判斷矩陣排序方法，且證明了如下結 論：定理4.2.1網知腫） = （%（糖）噸為區間型模糊判斷矩陣腫的對應的期望 值模糊判斷矩陣，則有 力與（職）=（4.2.2）1=1 ;=1乙根據上述結論，可得區間型模糊判斷矩陣黃的排序方法：時）2 ”靖= =彳扁（枝）/ = 1,2,.弘,i =（4.2.3）孚研） gM J=I其中甘）,埠）,.,“?）表示第k個專家給出的區間型模糊判斷矩陣砂）=（粉對應的

59、排序向量。4.2.2通過一致性指標獲得專家的權重Herrera-Viedma等32】提出基于可加性模糊判斷矩陣的一致性指標，由此來構 建一致性模糊判斷矩陣，他們獲得了如下定理：定理4.2.2模糊判斷矩陣R =是一致的充要條件是3%+。光+上=5, Pijk（4.2.4）且上式等價于下式/ _ j +1 J.（，+】）+ %+1）（，+2） + + D-DJ +七=-Y，Wj,（425）基于上述定理，Chiclana等45】給出了如何從非一致性模糊判斷矩陣來構建一致性 模糊判斷矩陣的方法。假設給定非一致性模糊判斷矩陣T個元素山，必,為一欣，令：rtj, i.j i +1（4.2.6）E，ji則根

60、據定理知4（ 為一致性模糊判斷矩陣。設職腫）=（席（芽成“是區間型模糊判斷矩陣超的對應的期望值模糊判斷 矩陣，可以利用上式建立與%（薩）對應的一致性模糊判斷矩陣，記為 伊） = （樹）扁,其中與（職）if /J/ + 1如狀）=（%（湍）+勺喝爐2）+ + 習（出訂 / + 1（427）J-如旁）if為此引進區間型模糊判斷矩陣的一致性指標來反映群決策中每個專家的提供信 息的可靠性。定義4.2.2 令(4.2.8)況=1-也(破世-用鏟)2 ,Sl,2,.gy f=i則稱a為區間型模糊判斷矩陣秒）的一致性指標。顯然a越接近于1,則第k個專家提供信息的可靠性和一致性更高。既然帶）反映了第k個專家的