1、實際問題與一元二次方程（一）教學目標：1、會列一元二次方程解應用題;2、進一步掌握解應用題的步驟和關鍵;3、通過一題多解使學生體會列方程的實質， 培養靈活處理問題的能力.重點：列方程解應用題.難點：會用含未知數的代數式表示題目里的中 間量（簡稱關系式）；會根據所設的不 同意義的未知數，列出相應的方程。一、復習 列方程解應用題的一般步驟？第一步：弄清題意和題目中的已知數、未知數，用字母表示題目中的一個未知數；第二步：找出能夠表示應用題全部含義的相等關系；第三步：根據這些相等關系列出需要的代數式（簡稱關系式）從而列出方程；第四步：解這個方程，求出未知數的值；第五步：在檢查求得的答數是否符合應用題的

2、實際意義后，寫出答案（及單位名稱）。 課前熱身1：二中小明學習非常認真，學習成績直線上升，第一次月考數學成績是a分，第二次月考增長了10%，第三次月考又增長了10%，問他第三次數學成績是多少？分析：第三次第二次第一次aaX10%a+aX10%=a（1+10%）X10%a(1+10%)+ a(1+10%) X10% =a（1+10%）2a（1+10%）課前熱身2：某經濟開發區今年一月份工業產值達50億元，三月份產值為72億元，問二月、三月平均每月的增長率是多少？ 解：設平均每月增長的百分率為 x，根據題意得方程為50(1+x)2=72 可化為：解得：答：二月、三月平均每月的增長率是20%例1：平

3、陽按“九五”國民經濟發展規劃要求，2003年的社會總產值要比2001年增長21%，求平均每年增長的百分率（提示：基數為2001年的社會總產值，可視為a）設每年增長率為x，2001年的總產值為a，則2001年a2002年a（1+x)2003年a(1+x) 2增長21%aa+21%aa(1+x) 2 =a+21%a分析：a (1+x) 2 =1.21 a (1+x) 2 =1.21 1+x =1.1 x =0.1解:設每年增長率為x，2001年的總產值為a，則a(1+x) 2 =a+21%a答:平均每年增長的百分率為10% 練習1：某藥品經兩次降價，零售價降為原來的一半.已知兩次降價的百分率一樣，

4、求每次降價的百分率.（精確到0.1%） 解：設原價為1個單位，每次降價的百分率為 x.根據題意，得 解這個方程，得 答：每次降價的百分率為29.3%. 練習2:某藥品兩次升價，零售價升為原來的 1.2倍，已知兩次升價的百分率一樣，求每次升價的百分率（精確到0.1%）解，設原價為 元，每次升價的百分率為 ，根據題意，得 解這個方程，得 由于升價的百分率不可能是負數，所以 不合題意，舍去答：每次升價的百分率為9.5%. 練習3.小紅的媽媽前年存了5000元一年期的定期儲蓄，到期后自動轉存.今年到期扣除利息稅（利息稅為利息的20%），共取得5145元.求這種儲蓄的年利率.（精確到0.1%）練習4.市

5、第四中學初三年級初一開學時就參加課程改革試驗，重視學生能力培養.初一階段就有48人在市級以上各項活動中得獎，之后逐年增加，到三年級結束共有183人次在市級以上得獎.求這兩年中得獎人次的平均年增長率.一元二次方程及應用題1、直角三角形問題：（勾股定理）2、體積不變性問題：3、數字問題：4、互贈禮物問題：5、增長率問題：典型練習題1、一個兩位數個位數字比十位數字大1，個位數字與十位數字對調后所得的兩位數比原數大9，求：這個兩位數2、一件商品原價200元經過兩次降價后162元，求：平均降價的百分比3、某班同學在圣誕節期間互贈禮物182件，求：這個班級的人數4、某校進行乒乓球單循環比賽，共比賽55場，

6、問：共有多少名同學參加5、 一名同學進行登山訓練，上山速度為2千米/小時，下山速度為6千米/小時，求：往返一次的平均速度實際問題與一元二次方程（二）面積問題有關面積問題：常見的圖形有下列幾種：例1、用22cm長的鐵絲，折成一個面積為30cm2的矩形。求這個矩形的長與寬.整理后，得x2-11x+30=0解這個方程，得x1=5,x2=6(與題設不符，舍去)答：這個矩形的長是6cm，寬是5cm。由x1=5得由x2=6，得解：設這個矩形的長為xcm，則寬為 （cm）.根據題意，得例2、在寬為20米、長為32米的矩形地面上，修筑同樣寬的兩條互相垂直的道路，余下部分作為耕地，要使耕地面積為540米2，道路

7、的寬應為多少？32m20m則橫向的路面面積為 ，32m20mx米分析：此題的相等關系是矩形面積減去道路面積等于540米2。解法一、如圖，設道路的寬為x米，32x 米2縱向的路面面積為 。20 x 米2注意：這兩個面積的重疊部分是 x2 米2所列的方程是不是？圖中的道路面積不是米2，而是從其中減去重疊部分，即應是米2所以正確的方程是：化簡得，其中的 x=50超出了原矩形的長和寬，應舍去.取x=2時，道路總面積為： =100 (米2)耕地面積= 540（米2）答：所求道路的寬為2米。解法二： 我們利用“圖形經過移動，它的面積大小不會改變”的道理，把縱、橫兩條路移動一下，使列方程容易些（目的是求出路

8、面的寬，至于實際施工，仍可按原圖的位置修路）橫向路面為 ，32m20mxmxm如圖，設路寬為x米，32x 米2縱向路面面積為 。20 x 米2耕地矩形的長（橫向）為 ，耕地矩形的寬（縱向）為 。相等關系是：耕地長耕地寬=540米2(20-x) 米（32-x) 米即化簡得：再往下的計算、格式書寫與解法1相同。練習1：用一根長22厘米的鐵絲，能否折成一個面積是30厘米的矩形？能否折成一個面積為32厘米的矩形？說明理由。2：在一塊長80米，寬60米的運動場外圍修筑了一條寬度相等的跑道，這條跑道的面積是1500平方米，求這條跑道的寬度。 3. 如圖，在長為40米，寬為22米的矩形地面上，修筑兩條同樣寬

9、的互相垂直的道路，余下的鋪上草坪，要使草坪的面積為760平方米，道路的寬應為多少？40米22米4、如圖，在寬為20m，長為32m的矩形耕地上，修筑同樣寬的三條道路，（兩條縱向，一條橫向，橫向與縱向相互垂直），把耕地分成大小相等的六塊試驗地，要使試驗地面積為570m，問道路的寬為多少？例3、求截去的正方形的邊長用一塊長28cm、寬 20cm的長方形紙片，要在它的四角截去四個相等的小正方形，折成一個無蓋的長方體盒子，使它的底面積為180cm，為了有效地利用材料，求截去的小正方形的邊長是多少cm？求截去的正方形的邊長分析設截去的正方形的邊長為xcm之后，關鍵在于列出底面（圖中陰影部分）長和寬的代數式

10、結合圖示和原有長方形的長和寬，不難得出這一代數式20-2x28-2xcm20cm 求截去的正方形邊長解：設截去的正方形的邊長為xcm，根據題意，得(28-2x)(20-2x)=180 x2-24x+95=0解這個方程，得：x1=5,x2=19經檢驗：x219不合題意，舍去所以截去的正方形邊長為cm.例4:建造一個池底為正方形,深度為2.5m的長方體無蓋蓄水池,建造池壁的單價是120元/m2,建造池底的單價是240元/m2,總造價是8640元,求池底的邊長.分析:池底的造價+池壁的造價=總造價解:設池底的邊長是xm.根據題意得:解方程得:池底的邊長不能為負數,取x=4答:池底的邊長是4m.練習、

11、建造成一個長方體形的水池，原計劃水池深3米，水池周圍為1400米，經過研討，修改原方案，要把長與寬兩邊都增加原方案中的寬的2倍，于是新方案的水池容積為270萬米3，求原來方案的水池的長與寬各是多少米？700-xx3700-x+2xx+2xx原方案新方案課堂練習:列方程解下列應用題1、學生會準備舉辦一次攝影展覽，在每張長和寬分別為18厘米和12厘米的長方形相片周圍鑲嵌上一圈等寬的彩紙。經試驗，彩紙面積為相片面積的2/3時較美觀，求鑲上彩紙條的寬。（精確到0.1厘米）2、在寬20米，長32米的矩形地面上修筑同樣寬的四條互相垂直的“井”字形道路（如圖），余下的部分做綠地，要使綠地面積為448平方 米

12、，路寬為多少？ 32203、小明把一張邊長為10厘米的正方形硬紙板的四周各剪去一個同樣大小的正方形，再折合成一個無蓋的長方體盒子。如果要求長方體的底面面積為81平方厘米，那么剪去的正方形邊長為多少? 4、學校課外生物（小組的試驗園地是一塊長35米、寬20米的矩形，為便于管理，現要在中間開辟一橫兩縱三條等寬的小路（如圖），要使種植面積為600平方米，求小道的寬。（精確到0.1米）5、 在長方形鋼片上沖去一個長方形，制成一個四周寬相等的長方形框。已知長方形鋼片的長為30cm，寬為20cm,要使制成的長方形框的面積為400cm2，求這個長方形框的框邊寬。 XX30cm20cm解:設長方形框的邊寬為x

13、cm,依題意,得3020(302x)(202x)=400整理得 x2 25+100=0得 x1=20, x2=5當=20時,20-2x= -20(舍去);當x=5時,20-2x=10答:這個長方形框的框邊寬為5cm列一元二次方程解應題6、放鉛筆的V形槽如圖，每往上一層可以多放一支鉛筆現有190支鉛筆，則要放幾層 ?解:要放x層,則每一層放(1+x) 支鉛筆.得x (1+x) =1902 X X 3800解得X119， X2 20(不合題意)答:要放19層.2列一元二次方程解應題補充練習：（98年北京市崇文區中考題）如圖，有一面積是150平方米的長方形雞場，雞場的一邊靠墻（墻長18米），墻對面有

14、一個2米寬的門，另三邊（門除外）用竹籬笆圍成，籬笆總長33米求雞場的長和寬各多少米？通過這節課的學習:我學會了使我感觸最深的是我發現生活中我還感到疑惑的是實際問題與一元二次方程（三）質點運動問題有關“動點”的運動問題”1)關鍵 以靜代動 把動的點進行轉換,變為線段的長度, 2)方法 時間變路程 求“動點的運動時間”可以轉化為求“動點的運動路程”，也是求線段的長度;由此,學會把動點的問題轉化為靜點的問題,是解這類問題的關鍵.3）常找的數量關系 面積，勾股定理等；例1 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,點P從點A開始以1cm/s的速度沿AB邊向點B移動,點Q從點B開始以2cm/s的速

15、度沿BC邊向點C移動,如果P、Q分別從A、B同時出發，幾秒后 PBQ的面積等于8cm2？解：設x秒后 PBQ的面積等于8cm2根據題意，得整理，得解這個方程，得所以2秒或4秒后 PBQ的面積等于8cm2例2：等腰直角 ABC中,AB=BC=8cm,動點P從A點出發,沿AB向B移動,通過點P引平行于BC,AC的直線與AC,BC分別交于R、Q.當AP等于多少厘米時,平行四邊形PQCR的面積等于16cm2?例3：ABC中,AB=3, BAC=45,CD AB,垂足為D,CD=2,P是AB上的一動點(不與A,B重合),且AP=x,過點P作直線l與AB垂直.i)設 ABC位于直線l左側部分的面積為S,寫出S與x之間的函數關系式;ii)當x為何值時,直線l平分 ABC的面積? 例4：客輪沿折線A-B-C從A出發經B再到C勻速航行,貨輪從AC的中點D出發沿某一方向勻速直線航行,將一批物品送達客輪,兩船若同時起航,并同時到達折線A-B-C上的某點E處,已知AB=BC=200海里, ABC=90,客輪速度是貨輪速度的2倍. (1)選擇:兩船相遇之處E點( )A.在線段AB上;B.在線段BC上;C.可以在線段AB上,也可以在線段BC上;ii)求貨輪從出發到兩船相遇共航行了多少海里?(結果保留根號)解：設貨輪從出發到兩船相遇共航行了x海里，過D作DF CB，交BD于F，則DE=x，AB+BE=2x，