1、參謀解法探究2021年3月解法探究2021年3月一題多解，突破高考導數壓軸題?山東省臨清市第一中學姚繼新解法探究2021年3月解法探究2021年3月2榛0,因此存數，又犵1）=1-ev0犵值，且犵狓0）=-狓0-狓;又狓0高考試題中的導數壓軸題歷來是考生最感到頭疼的地方，可以說，絕大多數的高考考生對此都深有體會，以致于經常在考試中采用明哲保身，主動放棄”的應試策略.也有部分同學盡管課下勤奮”刷題，以期獲得某種頓悟，但最后發現，做題的時候照樣沒有思路.筆者認為，沒有解決導數應用的底層邏輯關系問題，僅僅憑借刷題”，是很難突破這個難點的.下面結合兩例，來展示導數壓軸題解決的基本思路和基本方法.邏輯關

2、系：要研究函數狗狓）的性質往往需知曉函數狗狓）單調性自然要借助狗狓）的導函數狗狓）這就需要知曉導函數狗狓）的正負往往要利用導函數狗狓）的零點一一有零點可直接用，隱零點”時則需借助變形+構造”或變形+放縮+構造”的方法來實現解題目的.題目1：已知函數狗狓）=犿點狓狓e狓狓0）,其中犿犚,e為自然對數的底數.1）討論狗狓）的單調性，并求極值；2）當狓0時,狗狓）+狓jeli狓e獗，求犿的最小整數值.分析：1）略.2）本題實質上是一種恒成立的問題，屬于常規問題，但恰恰是在這種常見問題上，卻體現了方法的靈活性.多數學生會考慮到首先將狗狓）代入，得到犿e狓e狓1!狓-e2狓，整理得犿破-e狓，從而將原問

3、題等價轉化成犿1-e在0，+）上恒成立.然后再設犵狓）=1破-e狓，則問題進一步轉化為當狓0時，只要犿犵狓）max即可.思路非常清晰，但接下來如何求犵狓）max時，岀現了以下不同的思考.思考一：借助變形+構造”的思路，借助構造函數的導函數來判斷原函數的單調性，進而找到其最大值，這是一種最常見的解法.因為犵狓）=+e狓在區間0，+）上為減函狓70中卞戦呼高中在唯一實數狓0丸1），使犵狓。）=狓1-e狓0=0,由此得=e%，狓o=-li狓o.狓。此時犵狓）在區間0狓0）上為增函數，在區間狓0，+）上為減函數，所以犵狓0）為犵狓）的最大即犵狓0）-1，-2）.因此犿犵狓）max=犵狓0），犿-2，即

4、犿的最小整數值為-2.思考二：考慮到不等式1!狓W狓-1成立，可借助變形+放縮+構造”的方法進行.因為ii狓w狓-1犵狓）=ii狓-J-1-J，再令犺狓）=-1-e狓，貝賄犺狓）=1-e狓，當狓0時恒有犺狓）v0，即犺狓）在狓0時單調遞減，此時有犺狓）v犺6）=-2，所以有犿-2，即犿的最小整數值為2.思路二的主要考慮是盡量避免讓1!狓與e狓共存，所以采取了消元”的思想.類似地，也可以消去e狓，留下1狓.思考三：注意到1破與e狓也可以同時消去，故有下面的方法.因為e狓狓+1,所以一fW-狓-1，又1i狓w狓-1，所以有11狓-Jw狓-1）+-狓-1）=-2,經檢驗等號取不到.故犿-2,即犿的最

5、小整數值為2.有了上面的鋪墊以后，我們再來看題目2.2021年3月解法探究教學參謀題目2:已知函數狗狓）=犪派1一1破+lif夔.1）當犪=點時，求曲線狔=狗狓）在點1狗1）處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；2）若狗1）1,求犪的取值范圍.分析：1）略.2）本題仍是一道恒成立的問題，最直接的想法就是：若狗狓）1恒成立，只需要找到狗狓）mm,則其必滿足狗狓）mm1.為尋找狗狓）mm,做如下求解.思考一：直接找導函數狗狓）的零點，然后通過原函數的增減性去找狗狓）mm.易知狗狓）我廠-1，不難發現狗狓）在0,+X）上為增函數.又當狓乍0十時，狗狓）TX;當狓T+X時狗狓）T+X.所以必然存在點狓

6、。滿足狗狓0）=0,使當0v狓V狓。時犳狓）單調遞減，當狓狓0時，狗狓）單調遞增，且狗狓0）=夔e%丄狓。由犪e狓01兩邊取對數得冷夔=1一狓oiio.狓0注：以上確定了導函數狗狓）存在唯一零點，進而找到函數的最小值點）所以狗狓）mm=狗狓0）一一嵌+1腰=狓-血0+1踱上-2破-獗+1，由狗狓）mme1莎一2血0一狓0注意到函數犺狓）說一2血0一狓0為上的減函數且犺1）=0,所以可得0V狓。1.注：進一步得岀狓。的具體范圍，為下面求m夔的取值范圍做好鋪墊）對于m夔=i一狓。1破。，當0v狓ow1時，易知1一狓。一11狓00,故1腰0,即犪1.思考二：從特殊點出發，借助特殊點實施突破.注意到狗

7、狓）=慶狓一11，從特殊值1此時指數為0）開始入手.因為狗1）=W1,所以就犪的取值范圍作以下討論：1）當0v犪v1時，因為狗狓）=e1?為狓0,+X）上的增函數，且狗1）=犪1V0,又當狓T+X時，狗狓）x,所以存在狓o滿足狗狓o）=0,且當1V狓V狓。時，狗狓）0,狗狓）單調遞減；當狓狓。時犳狓）0,狗狓）單調遞增.所以狗狓o）V狗1）=犪+m夔，顯然犪+im夔1與恒有狗狓）1矛盾.2）當犪1時，狗狓）=4iea1一li狓+If夔e狓T11狓.由犺狓）=e111狓易知其航狓）=7一+為彼0,+x）上的增函數，且犺1）=0,由函數犺狓）=e11i狓的單調性知，亢狓）犺1）=1,即恒有狗狓）1,滿足題意.綜上所述，有摟1.思考三：利用函數特殊結構進行形式”上的轉化,然后構造函數可得.狗狓）=犪狓一1一1破+m夔1,即e1M-1+m夔一1!狓1,也即踱+派1+m夔+狓一11狓+狓,也即e的狓一1+m夔+狓一1e*+1破.注:利用上式兩邊結構的對稱性，可以構造函數進行研究）令犵狓）=/+狓，則原式等價于犵m夔+狓一1）犵m狓）.又因為犵狓）=e狓+狓為定義域上的增函數，所以可得m夔+狓一11i狓，即m夔1破狓+1恒成立.易知狔=1破一狓+1,當且僅當狓=0時，取到最大值o,所以由m夔o得到w1.思考四：利用恰當變形+放縮”獲解.由狗狓）1代入得we狓一