1、3.2.1 幾類不同增長的函數模型高一數學備課組集體備課主備人:唐強2013.11.5(共2課時)有人說，一張普通的報紙對折30次后，厚度會超過10座珠穆朗瑪峰的高度，會是真的嗎？“陛下，請您在這張棋盤的第一個小格內，賞給我一粒麥子，在第二個小格內給兩粒，第三格內給四粒，用這樣下去，每一小格內都比前一小格加一倍。陛下，把這樣擺滿棋盤上所有格的麥粒，都賞給您的仆人吧！ ”“愛卿，你所求的并不多啊！” 例1 假設你有一筆資金用于投資，現有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下： 方案一：每天回報40元； 方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元； 方案三：第一天回報0.4元，以后

2、每天的回報比前一天翻一番。 請問，你會選擇哪種投資方案呢？投資方案選擇原則：投入資金相同，回報量多者為優.(1)比較三種方案每天回報量；(2)比較三種方案一段時間內的累計回報量.我們來看兩個具體問題： 我們可以先建立三種投資方案所對應的函數模型，再通過比較它們的增長情況，為選擇投資方案提供依據。解：設第x天所得回報為y元，則方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報 10元。函數關系為y=10 x (xN*)；方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天 翻一番。函數關系為y=0.42x-1 (xN*)。分析：方案一：每天回報40元。函數關系為y=40 (xN*) ；x/天方案一方

3、案二方案三y/元增長量/元y/元增長量/元y/元增長量/元140100.4240200.8340301.6440403.2540506.46406012.87407025.68408051.294090102.43040300214748364.8我們來計算三種方案所得回報的增長情況：1010101010101010100000000000.40.81.63.26.412.825.651.2107374182.4我們看到，底數為2的指數函數模型比線性函數模型增長速度要快得多.從中你對“指數爆炸”的含義有什么新的理解？三個函數的圖象投資16天，應選擇方案一；投資7天，應選擇方案一或方案二；投資8

4、10天，應選擇方案二；投資11天(含11天)以上，應選擇方案三。累計回報表 天數方案1234567891011一4080120160200240280320360400440二103060100150210280360450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2816.8除了要考慮每天的回報量之外，還得考慮回報的累積值.你能把前11天回報的累積值算出來嗎?根據以上分析,你認為該作出何種選擇?結論由例1得到 解決實際問題的步驟：實際問題讀懂問題抽象概括數學問題演算推理數學問題的解還原說明實際問題的解解決 某公司為了實現1000萬元利潤的目標，準備制定

5、一個激勵銷售部門的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨著銷售利潤x (單位：萬元)的增加而增加，但資金數不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%。現有三個獎勵模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪個模型能符合公司的要求呢？ 本題中涉及了哪幾類函數模型?實質是什么? 本例涉及了一次函數、對數函數、指數函數三類函數模型,實質是比較三個函數的增長情況。思考例2思考 怎樣才能判斷所給的獎勵模型是否符合公司的要求呢? 要對每一個獎勵模型的獎金總額是否超出5萬元,以及獎勵比例是否超過25%進行分析,才能做出正確選擇。 由于公司總的利潤

6、目標為1000萬元，所以人員銷售利潤一般不會超過公司總的利潤。于是只需在區間10,1000上，檢驗三個模型是否符合公司的要求即可。借助計算機作出三個函數的圖象三個函數的圖象如下可以看到：在區間10,1000上只有模型y=log7x+1的圖象始終在y=5的下方 對于模型y=0.25x，它在區間10,1000上遞增，當x=20時， y=5 ，因此x(20,1000)時，y5，因此該模型不符合要求。 對于模型y=1.002x，由函數圖象，并利用計算器，可知在區間(805,806)內有一個點x0滿足1.002x0 =5，由于它在10,1000上遞增，因此當xx0時，y5，因此該模型也不符合要求。通過計

7、算確認上述判斷(1) 由函數圖象可以看出，它在區間10,1000上遞增，而且當x=1000時，y=log71000+14.555,所以它符合獎金不超過5萬元的要求。對于模型y=log7x+1(2) 再計算按模型y=log7x+1獎勵時，獎金是否不超過利潤的25%，即當x 10,1000時，是否有成立。 令 f(x)= log7x+1-0.25x，x10,1000.利用計算機作出函數f(x)的圖象，由圖象可知它是遞減的，因此f(x) f(10) -0.31670,即 log7x+11)和冪函數y=xn (n0)，通過探索可以發現： 在區間(0,+)上，無論n比a大多少，盡管在x的一定范圍內，ax

8、會小xn，但由于ax的增長快于xn的增長，因此總存在一個x0，當xx0時，就會有axxn.結論2： 一般地，對于指數函數y=logax (a1)和冪函數y=xn (n0)，通過探索可以發現： 在區間(0,+)上，隨著x的增大，logax增大得越來越慢，圖象就像是漸漸地與x軸平行一樣。盡管在x的一定范圍內， logax可能會大于xn，但由于logax的增長慢于xn的增長，因此總存在一個x0，當xx0時，就會有logax1)，y=logax (a1)和y=xn (n0)都是增函數。(2) 隨著x的增大， y=ax (a1)的增長速度越來越快，會遠遠大于y=xn (n0)的增長速度。(3) 隨著x的

9、增大，y=logax (a1)的增長速度越來越慢，會遠遠小于y=xn (n0)的增長速度。總存在一個x0，當xx0時，就有: logaxkxxnax函數性質y=ax (a1)y=logax(a1)y=xn(n1)在（0，+）上的增減性 增函數增函數增函數增長的速度越來越快越來越慢相對平衡圖象的變化隨x的增大與y軸靠近隨x的增大與x軸平行隨n值而不同種函數模型的性質：1、指數函數是爆炸式增長2、冪函數的增長速度是隨底數的增大而向y軸靠近3、對數函數增長速度相對慢一些你能用同樣的方法討論函數：在區間 上的衰減情況嗎？實際問題讀懂問題將問題抽象化數學模型解決問題基礎過程關鍵目的幾種常見函數的增長情況：常數函數一次函數指數函數沒有增長直線上升指數爆炸小結1.當x越來越大時，增長速度最快的是( )D 2.一次實驗中，x,y函數關系與下列哪類函數最接近( )x123456y0.250.490.7611.261.51A 3.一次實驗中，x,y函數關系與下列哪類函數最接近( )t1.993.04.05.16.12u1.54.047