1、第9章 平面模型的應(yīng)力計(jì)算 光彈性實(shí)驗(yàn)可以獲得兩類實(shí)驗(yàn)資料，即表示主應(yīng)力方向的等傾線，和表示主應(yīng)力差的等差線，即通過(guò)實(shí)驗(yàn)可得兩個(gè)條件。而一般的平面應(yīng)力問(wèn)題有三個(gè)未知應(yīng)力分量，要完全確定一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，還必須增加一個(gè)獨(dú)立的相關(guān)條件補(bǔ)充方程或?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)。本章內(nèi)容將介紹在普通光彈性實(shí)驗(yàn)中常用的平面模型內(nèi)部應(yīng)力分離計(jì)算方法。第2部 光彈性測(cè)量方法1本章內(nèi)容：學(xué)習(xí)要求： 學(xué)習(xí)平面光彈模型的應(yīng)力計(jì)算方法，掌握邊界應(yīng)力、應(yīng)力集中系數(shù)的測(cè)定方法，和模型內(nèi)部應(yīng)力分離的剪應(yīng)力差法、數(shù)值法和科克爾菲倫計(jì)算法。9-1 邊界應(yīng)力的確定；9-2 應(yīng)力集中系數(shù)的確定；9-3 內(nèi)部應(yīng)力分離的剪應(yīng)力差法；9-4 內(nèi)部應(yīng)力分離的數(shù)

2、值法；9-5 對(duì)稱截面應(yīng)力的科克爾菲倫計(jì)算法（完成本章教學(xué)，計(jì)劃使用2學(xué)時(shí)）第2部 光彈性測(cè)量方法 第9章 平面模型的應(yīng)力計(jì)算29-1 邊界應(yīng)力的確定邊界應(yīng)力的大小可直接根據(jù)模型邊界出現(xiàn)的條紋級(jí)次來(lái)確定。對(duì)于自由邊界，只有平行于邊界的切向應(yīng)力，而法向應(yīng)力為0，根據(jù)公式（8-21），可得到邊界應(yīng)力大小（9-1） ns邊界點(diǎn)的等差線條紋級(jí)次。如果邊界作用有載荷，它應(yīng)當(dāng)是已知值，略加推理便可求得邊界應(yīng)力。邊界應(yīng)力的符號(hào)可用下述方法判別。 1.釘壓法 用釘狀物垂直于模型邊界加壓，觀察施壓點(diǎn)處等差線條紋級(jí)次的變化來(lái)確定邊界應(yīng)力符號(hào)。如果頂壓時(shí)該點(diǎn)條紋級(jí)次變高（即該點(diǎn)附近條紋向低級(jí)條紋移動(dòng)），邊界應(yīng)力為正

3、（拉應(yīng)力）；反之，則為負(fù)（壓應(yīng)力）。第2部 光彈性測(cè)量方法 第9章 平面模型的應(yīng)力計(jì)算3 例9-1 圖9-1為純彎梁模型上、下緣受釘壓時(shí)的條紋變化情況。 梁的上緣為壓應(yīng)力，頂壓時(shí)低級(jí)條紋向高級(jí)處移動(dòng)，頂壓點(diǎn)條紋級(jí)次變低； 下緣為拉應(yīng)力，頂壓時(shí)高級(jí)條紋向低級(jí)處移動(dòng)，頂壓點(diǎn)條紋級(jí)次變高。 使用條狀受拉（壓）小模型，順著邊界切向疊放在邊界點(diǎn)處。當(dāng)用受拉小模型時(shí)，如果看到邊界點(diǎn)條紋級(jí)次增高，則邊界應(yīng)力為正，反之為負(fù)。 因拉伸小模型使沿邊界的偏振分量得到加速，邊界為拉應(yīng)力時(shí)，兩方向分量的光程差增大；而邊界為壓應(yīng)力時(shí)，兩方向分量光程差縮小。 若用壓縮小模型，情況與上述相反。 2.補(bǔ)償法 第2部 光彈性測(cè)量

4、方法 第9章 平面模型的應(yīng)力計(jì)算49-2 應(yīng)力集中系數(shù)的確定 應(yīng)力集中系數(shù)定義為最大邊界應(yīng)力max與局部消弱截面上名義應(yīng)力0之比，即（9-2） 例9-2 圖9-3a所示為一受拉眼桿，所受拉力P=700N,其等差線如圖9-3b所示，材料條紋值f=12.5MPa-mm，模型厚度t=5mm，孔邊的寬度b=13.7mm，測(cè)得孔邊A點(diǎn)的條紋級(jí)次為nA=9.56級(jí)，圓孔的直徑D=26mm。現(xiàn)在求A點(diǎn)應(yīng)力及應(yīng)力集中系數(shù)。由式（9-1），A點(diǎn)應(yīng)力為故A點(diǎn)處的應(yīng)力集中系數(shù)為由釘壓法測(cè)知應(yīng)力符號(hào)為正。 圖中AB線上的名義應(yīng)力為第2部 光彈性測(cè)量方法 第9章 平面模型的應(yīng)力計(jì)算59-3 內(nèi)部應(yīng)力分離的剪應(yīng)力差法 剪

5、應(yīng)力差法是由等差線和等傾線數(shù)據(jù)計(jì)算剪應(yīng)力分量， 再根據(jù)有限單元體的平衡條件來(lái)計(jì)算正應(yīng)力分量。1.xy的確定由應(yīng)力圓由式（8-21）（9-3） f材料的應(yīng)力條紋值，n測(cè)點(diǎn)的等差線條紋級(jí)次，h模型厚度，x自x軸到1的轉(zhuǎn)角，逆時(shí)針為正。第2部 光彈性測(cè)量方法 第9章 平面模型的應(yīng)力計(jì)算由等傾線參數(shù)代替x，可直接按式（9-3）計(jì)算模型上一點(diǎn)的剪應(yīng)力大小。剪應(yīng)力的指向由第一主應(yīng)力相遇原則確定: 自剪應(yīng)力作用面的外法向N轉(zhuǎn)向較大主應(yīng)力1，切應(yīng)力的指向與此轉(zhuǎn)向一致。一般點(diǎn)的1方向未知，而對(duì)邊界點(diǎn)則容易判別，故還應(yīng)從邊界點(diǎn)開(kāi)始，注意剪應(yīng)力變化的連續(xù)性依次進(jìn)行判別。剪應(yīng)力的符號(hào)沿用彈性力學(xué)的約定。62計(jì)算x的剪

6、應(yīng)力差法 假想從平面受力模型中取出一有限單元體i，設(shè)模型厚度為h，不計(jì)單元體自重。由平衡條件X=0,得 同理，在該單元體左側(cè)再取相鄰的單元體i-1，i-2，直到模型邊界單元體1為止，可得將上述結(jié)果依次代入，得單元體i右側(cè)的正應(yīng)力分量為第2部 光彈性測(cè)量方法 第9章 平面模型的應(yīng)力計(jì)算17（9-4） x,0邊界應(yīng)力在x方向的分量，可由實(shí)驗(yàn)得到的邊界應(yīng)力s求出；（yx）k第k個(gè)單元體上下表面的切應(yīng)力差，可由單元體上下表面中點(diǎn)處的光彈性實(shí)驗(yàn)資料求得。3y的確定 求得xy和x后，由應(yīng)力圓知（9-5） 或（9-6） xx軸與1方向的夾角。由應(yīng)力圓，當(dāng)xy，上式中應(yīng)取“-”號(hào)，若x45, 有 yx，上式中

7、應(yīng)取“+”號(hào)。當(dāng)然，由光彈性實(shí)驗(yàn)得到的等傾線的參數(shù)并不一定是1的方向，但對(duì)邊界點(diǎn)則容易判別等傾線的參數(shù)是代表那個(gè)主應(yīng)力方向的，因此，最好從模型邊界開(kāi)始，根據(jù)連續(xù)性依次進(jìn)行判別。(x,xy)(y,xy)2x0211-2x-y2xy第2部 光彈性測(cè)量方法 第9章 平面模型的應(yīng)力計(jì)算84主應(yīng)力1和2的計(jì)算 由應(yīng)力圓知，主應(yīng)力1、2分別為（9-7） 例9-3 方板對(duì)角受壓時(shí)描繪得到的1/4部分等差線和等傾線如圖9-6所示。P=1150N，h=27.8mm，d=5.46mm，模型材料為環(huán)氧樹(shù)脂，室溫下測(cè)得的應(yīng)力條紋值f=13.0MPamm。求OG截面處各點(diǎn)的xy、x、y。第2部 光彈性測(cè)量方法 第9章

8、平面模型的應(yīng)力計(jì)算圖9-6 方板對(duì)角受壓時(shí)的等差線和等傾線COABGD51015202530354045(a) 等傾線xOyPPPPyxO(a) 等差線BD0.52.533.544.555.56.576211.5ACOG0.4hh9OG截面上x(chóng)y的計(jì)算如圖9-6所示，將OG分成6等分，每等分長(zhǎng)x=2.78mm，根據(jù)等差線和等傾線圖，畫(huà)出沿OG線的等差線條紋級(jí)次n及等傾線參數(shù)分布曲線如圖9-7所示。再由此曲線量出OG線上各點(diǎn)處的等差線級(jí)次n和等傾線參數(shù)，由9-3式即可計(jì)算各點(diǎn)的剪應(yīng)力大小。 由釘壓法可以判別O點(diǎn)應(yīng)力為壓應(yīng)力，因此可知等傾線參數(shù)即為該點(diǎn)的1方向與水平軸之間的夾角x，由第一主應(yīng)力相遇

9、原則判定該點(diǎn)剪應(yīng)力符號(hào)為正。由應(yīng)力變化的連續(xù)性，不難斷定其他各點(diǎn)剪應(yīng)力符號(hào)均為正。計(jì)算結(jié)果如表9-1所示。第2部 光彈性測(cè)量方法 第9章 平面模型的應(yīng)力計(jì)算（a）（b）1234560246nx040302010123456x圖9-7 OG線上等差線級(jí)次n與等傾線參數(shù)的分布O2,ON10表9-1 OG線上剪應(yīng)力xy的計(jì)算點(diǎn)號(hào)等差線級(jí)次n1-2=nf/d=2.38n(MPa)等傾線參數(shù) ()Sin2xy=(1-2)/2sin2(MPa)01234560.51.52.53.54.55.35.71.193.575.958.3310.712.613.645302317115.0501.000.8660.

10、7190.5590.3750.1750+0.595+1.55+2.14+2.33+2.01+1.100(2)OG線上x(chóng)的計(jì)算 O點(diǎn)的應(yīng)力x,o可由單元體的平衡條件求出，即在OG線上下，距離OG線為x/2處畫(huà)兩條輔助線，輔助線間距y=x。用與上面類似的方法，不難計(jì)算AB、CD截面上各點(diǎn)的yx,然后應(yīng)用剪應(yīng)力差法計(jì)算OG線上各點(diǎn)的x，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表9-2。O2,Ox,O第2部 光彈性測(cè)量方法 第9章 平面模型的應(yīng)力計(jì)算11表9-2 用剪應(yīng)力差法計(jì)算OG截面上x(chóng)(3)OG截面上y的計(jì)算 計(jì)算OG截面上各點(diǎn)的y可利用9-5式。由于本例中的等傾線參數(shù)實(shí)際上為水平軸與1的夾角，且均不超過(guò)45，因此，在9-5

11、式中應(yīng)取“-”號(hào)，即y的計(jì)算如表9-3所示。第2部 光彈性測(cè)量方法 第9章 平面模型的應(yīng)力計(jì)算12表9-3 OG截面上y的計(jì)算點(diǎn)號(hào)xy(MPa)x(MPa)1-2(MPa)(1-2)24xy2()y(MPa)0123456+0.595+1.55+2.14+2.33+2.01+1.100-0.595-0.535-0.235+0.495+1.34+1.97+2.211.193.575.958.3310.712.613.61.4212.735.469.41151591851.429.6118.321.716.24.84045.030.023.017.011.05.050-0.595-2.30-4.3

12、8-6.42-8.60-10.4-11.4(4)OG截面上的1、2值由式9-7計(jì)算主應(yīng)力1、2，如表9-4所示。 表界面上的主應(yīng)力1、2計(jì)算點(diǎn)號(hào)x(MPa)y(MPa)(MPa)1-2(MPa)1(MPa)2(MPa)0123456-0.595-0.535-0.235+0.495+1.34+1.97+2.21-0.595-2.30-4.38-6.42-8.60-10.4-11.4-1.19-2.84-4.62-5.93-7.26-8.43-9.191.193.575.958.3310.712.613.600.3650.6651.201.722.092.21-1.19-3.21-5.29-7.1

13、3-8.98-10.5-11.4第2部 光彈性測(cè)量方法 第9章 平面模型的應(yīng)力計(jì)算13(5)靜力校核 繪出沿OG線的應(yīng)力分布如圖。用求積儀求得OG線與y分布曲線之間的面積為26.8cm，圖中OG=8.34cm，故平均應(yīng)力對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值為故OG截面上y的合力為方板所受實(shí)際載荷P=1150N，相對(duì)誤差第2部 光彈性測(cè)量方法 第9章 平面模型的應(yīng)力計(jì)算Gxy21xyO6543122-10-4-6-2-82MPa縱坐標(biāo)1.39cm橫坐標(biāo)圖9-8 OG截面上的應(yīng)力分布149-4 內(nèi)部應(yīng)力分離的數(shù)值法 由彈性力學(xué)知，彈性體的平面問(wèn)題在體積力為常數(shù)時(shí)，任一點(diǎn)的主應(yīng)力之和滿足拉普拉斯方程（9-8） 上式又稱為調(diào)

14、和方程， 平面問(wèn)題的拉普拉斯算子。 令=l+2，在oxy直角坐標(biāo)系里，是x、y的函數(shù)，它在給定的封閉邊界條件下，在邊界區(qū)域內(nèi)各個(gè)點(diǎn)是唯一的。設(shè)S（x,y）、X（x+x,y+y）是區(qū)域內(nèi)相鄰兩點(diǎn)，將函數(shù)在X點(diǎn)展為泰勒級(jí)數(shù)： (9-9)略去高于二次的各項(xiàng)，可得函數(shù)在S相鄰點(diǎn)X的近似值。第2部 光彈性測(cè)量方法 第9章 平面模型的應(yīng)力計(jì)算15 取與S點(diǎn)相鄰的點(diǎn)A、B、C、D組成不等距的四節(jié)點(diǎn)網(wǎng)格（圖99）。現(xiàn)以S為原點(diǎn)，SB為x軸，SC為y軸，對(duì)各點(diǎn)應(yīng)用上面公式，則有由上面四式，得由式（9-8）知，上式左邊為零，這樣就得到不等距網(wǎng)格的四點(diǎn)影響方程為（9-10） 第2部 光彈性測(cè)量方法 第9章 平面模型

15、的應(yīng)力計(jì)算16若a=b=c=d，則（9-11） 這是等距網(wǎng)格的四點(diǎn)影響方程。 在邊界附近區(qū)域常要用到不等距網(wǎng)格，而內(nèi)部區(qū)域盡可能安排為等距網(wǎng)格。通常邊界節(jié)點(diǎn)的值視為已知，可以通過(guò)等差線求得邊界應(yīng)力來(lái)確定。對(duì)于每一個(gè)內(nèi)點(diǎn)，都可以由式（9-10）或（9-11）建立一個(gè)方程，得到一個(gè)未知量個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)相等的線性方程組，求解方程組便可確定各內(nèi)點(diǎn)的主應(yīng)力和。 在求得補(bǔ)充數(shù)據(jù)主應(yīng)力和（l+2）后，與實(shí)驗(yàn)得到的主應(yīng)力差（l-2）聯(lián)立求解，即可將模型內(nèi)部的主應(yīng)力分離。 例9-4 一對(duì)徑受壓圓盤，直徑D=50mm，厚度d=6.2mm，載荷P=883N，材料條紋值f=12.32MPa-mm，求圓盤水平直徑上的主

16、應(yīng)力1和2分布。第2部 光彈性測(cè)量方法 第9章 平面模型的應(yīng)力計(jì)算17 由對(duì)稱性，取圓盤的1/4進(jìn)行考察。以5mm為間隔對(duì)圓盤劃分網(wǎng)格，并對(duì)各節(jié)點(diǎn)編號(hào)。由圓盤的等差線,在邊界為0級(jí)條紋，除載荷作用點(diǎn)有應(yīng)力外，可以斷定其他自由邊界點(diǎn)的應(yīng)力均為零。對(duì)于O1處的邊界值，可隨意取一個(gè)較大的值（100），計(jì)算結(jié)果將與實(shí)際結(jié)果成正比。利用平衡條件就可確定比例常數(shù)，最終確定真實(shí)的主應(yīng)力和。 對(duì)于節(jié)點(diǎn)1、2、3、4、5、6、7、8、9、12、13、14、15、16、19、20、21、23應(yīng)用式（9-11）可建立18個(gè)等距四點(diǎn)影響方程，其中1至9節(jié)點(diǎn)影響方程的建立要利用對(duì)稱性。例如對(duì)節(jié)點(diǎn)5，影響方程應(yīng)為 對(duì)于節(jié)

17、點(diǎn)11、17、18、22，應(yīng)用式（9-10）可建立四個(gè)不等距四點(diǎn)影響方程，例如對(duì)于節(jié)點(diǎn)17，代如a=c=d=5mm，b= ，整理得到第2部 光彈性測(cè)量方法 第9章 平面模型的應(yīng)力計(jì)算18如此可建立22個(gè)方程，求解22個(gè)未知數(shù)。計(jì)算結(jié)果如表9-5所示。表9-5圓盤值的求解結(jié)果123456789111234.9616.4810.177.797.146.494.973.181.47011.6710.4213141516171819202122238.216.905.103.121.353.385.305.372.860.9152.04 上面結(jié)果是假定載荷作用點(diǎn)的值為100計(jì)算的，設(shè)實(shí)際主應(yīng)力和與上面

18、求得的值成比例，即并由圓盤的對(duì)稱性或等傾線特點(diǎn)（圖8-12）知，在圓盤水平直徑上，主應(yīng)力方向與x、y方向重合，于是，由等差線得由（a）、(b)解得（a） （b） （c） 第2部 光彈性測(cè)量方法 第9章 平面模型的應(yīng)力計(jì)算19由半圓的平衡條件Y=0，得（d） 通過(guò)光彈性實(shí)驗(yàn)可以獲得圓盤水平直徑上各點(diǎn)處的等差線條紋級(jí)次，結(jié)果如表9-6所示。將已知數(shù)據(jù)、等差線級(jí)次n及表9-5的有關(guān)值代入（c）式，并計(jì)算(d)式的數(shù)值積分（梯形法），有于是，得到比例常數(shù)k=-0.531。用k乘各點(diǎn)的值即得實(shí)際的主應(yīng)力和。 水平直徑上各點(diǎn)應(yīng)力的分離計(jì)算如表9-6所示，由與理論應(yīng)力比較的相對(duì)誤差可見(jiàn)結(jié)果是令人滿意的。第2

19、部 光彈性測(cè)量方法 第9章 平面模型的應(yīng)力計(jì)算20表9-6 圓盤水平直徑上的實(shí)驗(yàn)應(yīng)力計(jì)算及與理論比較（k=-0.531）點(diǎn)號(hào)原始數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)應(yīng)力(MPa)理論應(yīng)力（MPa）相對(duì)誤差（%）knx+yx-yxyxyxy56789107.14k6.49k4.97k3.18k1.47k03.653.242.291.260.480-3.79-3.45-2.64-1.69-0.78107.256.444.552.500.95401.731.500.9550.4050.0870-5.52-4.95-3.60-2.10-0.86801.8131.5450.9480.4100.0840-5.44-4.89-3.60

20、-2.09-0.8890-4.6-2.90.7-1.23.601.31.200.5-2.40第2部 光彈性測(cè)量方法 第9章 平面模型的應(yīng)力計(jì)算219-5 對(duì)稱截面應(yīng)力的科克爾菲倫計(jì)算法 沿主應(yīng)力跡線積分法稱為科克爾菲倫計(jì)算法。這種方法首先要畫(huà)出主應(yīng)力跡線、等傾線和等差線圖，然后通過(guò)計(jì)算或圖解的方法獲得單個(gè)主應(yīng)力值。計(jì)算必須選擇已知主應(yīng)力的點(diǎn)（如邊界點(diǎn)）作為起始點(diǎn)逐步進(jìn)行。1.Lam-Maxwell平衡方程 設(shè)s1、s2為兩條在P點(diǎn)正交的、對(duì)應(yīng)于1、2的主應(yīng)力跡線，x為P點(diǎn)的第一主應(yīng)力1與x軸的夾角（可由等傾線參數(shù)及邊界應(yīng)力決定），如圖9-11所示。 為了簡(jiǎn)單，這里從直角坐標(biāo)下的平衡微分方程入手

21、，導(dǎo)出沿主應(yīng)力跡線的平衡方程拉密-麥克斯韋平衡方程 。第2部 光彈性測(cè)量方法 第9章 平面模型的應(yīng)力計(jì)算22(a)由平面應(yīng)力圓（b） 將(b)代入式（a），可將平衡方程用主應(yīng)力和主方向表示為(9-12) 無(wú)體力情況下的平面應(yīng)力平衡方程為第2部 光彈性測(cè)量方法 第9章 平面模型的應(yīng)力計(jì)算23若選擇x方向與1方向重合，則x=0， ， ，于是，有（9-13） 拉密-麥克斯韋平衡方程。 (9-13)形式上簡(jiǎn)潔，但在后面的應(yīng)用中，使用（9-13）更方便。由圖9-11， ，令1=P， 2=q，可把上方程更簡(jiǎn)潔地表示為（9-13） 第2部 光彈性測(cè)量方法 第9章 平面模型的應(yīng)力計(jì)算242.科克爾菲倫計(jì)算法 如果問(wèn)題具有對(duì)稱性，對(duì)稱軸本身就是一條主應(yīng)力跡線（ s1或s2 ）和等傾線（參數(shù)x=0），在對(duì)稱軸上的各點(diǎn)處，均滿足拉密-麥克斯韋平衡方程，據(jù)此，科克爾-菲倫提出了對(duì)稱截面的應(yīng)力計(jì)算法。下面分兩種情況進(jìn)行討論：(1)設(shè)x軸為對(duì)稱軸，S1與x軸重合 這時(shí) 。設(shè)x軸上O點(diǎn)的應(yīng)力已知，由拉密-麥克斯韋平衡方程（9-13）的第一式，x軸上任一點(diǎn)A