1、第三節一、 變力沿直線所作的功二、 液體的側壓力三、 引力問題四、 轉動慣量 (補充)定積分在物理學上的應用 第六章 一、 變力沿直線所作的功設物體在連續變力 F(x) 作用下沿 x 軸從 x a 移動到力的方向與運動方向平行,求變力所做的功 .在其上所作的功元素為因此變力F(x) 在區間 上所作的功為例1.一個單求電場力所作的功 . 解:當單位正電荷距離原點 r 時,由庫侖定律電場力為則功的元素為所求功為說明:位正電荷沿直線從距離點電荷 a 處移動到 b 處 (a b) , 在一個帶 +q 電荷所產生的電場作用下, 例2.體, 求移動過程中氣體壓力所解:由于氣體的膨脹, 把容器中的一個面積為

2、S 的活塞從點 a 處移動到點 b 處 (如圖), 作的功 .建立坐標系如圖.由波義耳馬略特定律知壓強 p 與體積 V 成反比 , 即功元素為故作用在活塞上的所求功為力為在底面積為 S 的圓柱形容器中盛有一定量的氣 例3.試問要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解: 建立坐標系如圖.在任一小區間上的一薄層水的重力為這薄層水吸出桶外所作的功(功元素)為故所求功為( KJ )設水的密度為(KN)一蓄滿水的圓柱形水桶高為 5 m, 底圓半徑為3m, 面積為 A 的平板二、液體的側壓力設液體密度為 深為 h 處的壓強: 當平板與水面平行時, 當平板不與水面平行時,所受側壓力問題就需用積分解決 .平板一

3、側所受的壓力為小窄條上各點的壓強例4. 的液體 , 求桶的一個端面所受的側壓力. 解: 建立坐標系如圖.所論半圓的利用對稱性 , 側壓力元素端面所受側壓力為方程為一水平橫放的半徑為R 的圓桶,內盛半桶密度為 說明:當桶內充滿液體時,小窄條上的壓強為側壓力元素故端面所受側壓力為奇函數三、 引力問題質量分別為的質點 , 相距 r ,二者間的引力 :大小:方向:沿兩質點的連線若考慮物體對質點的引力, 則需用積分解決 .例5.設有一長度為 l, 線密度為 的均勻細直棒,其中垂線上距 a 單位處有一質量為 m 的質點 M,該棒對質點的引力.解: 建立坐標系如圖.細棒上小段對質點的引力大小為故鉛直分力元素

4、為在試計算利用對稱性棒對質點引力的水平分力故棒對質點的引力大小為棒對質點的引力的鉛直分力為 說明:2) 若考慮質點克服引力沿 y 軸從 a 處1) 當細棒很長時,可視 l 為無窮大 ,此時引力大小為方向與細棒垂直且指向細棒 .移到 b (a b) 處時克服引力作的功,則有引力大小為注意正負號3) 當質點位于棒的左端點垂線上時, 四、轉動慣量 (補充)質量為 m 的質點關于軸 l 的轉動慣量為的質點系若考慮物體的轉動慣量 , 則需用積分解決 .關于軸 l 的轉動慣量為例6. 求圓盤對通過中心與其垂直的軸的轉動慣量 ; 求圓盤對直徑所在軸的轉動慣量 .解: 建立坐標系如圖.設圓盤面密度為 .小圓環

5、質量對應于的小圓環對軸 l 的轉動慣量為故圓盤對軸 l 的轉動慣量為設有一個半徑為 R , 質量為 M 的均勻圓盤 , 平行 y 軸的細條關于 y 軸的轉動慣量元素為細條質量:故圓盤對y 軸的轉動慣量為 取旋轉軸為 y 軸, 建立坐標系如圖.內容小結(1) 先用元素法求出它的微分表達式 dQ一般元素的幾何形狀有:扇、片、殼 等.(2) 然后用定積分來表示整體量 Q , 并計算之. 1.用定積分求一個分布在某區間上的整體量 Q 的步驟:2.定積分的物理應用:變力作功 ,側壓力 ,引力,轉動慣量等.條、段、環、帶、(1999考研)思考與練習提示: 作 x 軸如圖.1.為清除井底污泥, 用纜繩將抓斗

6、放入井底, 泥后提出井口,纜繩每在提升過程中污泥以20N /s 的速度從抓斗縫隙中漏掉,現將抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N ,提升速度為3m /s , 問克服重力需作多少焦耳( J ) 功?已知井深30 m ,抓斗自重400N , 將抓起污泥的抓斗由抓起污x 提升 dx 所作的功可分為三部分: 米重50N ,提升抓斗中的污泥:井深 30 m, 抓斗自重 400 N, 纜繩每米重50N, 抓斗抓起的污泥重 2000N, 提升速度為3ms, 污泥以 20Ns 的速度從抓斗縫隙中漏掉克服纜繩重:抓斗升至 x 處所需時間 :克服抓斗自重: 2. 設星形線上每一點處線密度的大小等于該點到原點距離的立方,提示: 如圖.在點O 處有一單 位質點 ,求星形線在第一象限的弧段對這質點的引力.同理故星形線在第一象限的弧段對該質點的習題課 引力大小為作業: P291 2 , 3 , 5 , 9 , 12銳角 取多大時, 薄板所受的壓力 P 最大 .備用題斜邊為定