1、第2課時直角三角形直角三角形考試內容考試要求概念有一個角是的三角形叫做直角三角形A性質如圖，在ABC中，C90.1邊與邊的關系(勾股定理)：a2b2；2角與角的關系：AB；3邊與角的關系：若A30，則aeq f(1,2)c，beq f(r(3),2)c；若aeq f(1,2)c，則A30；若A45，則abeq f(r(2),2)c；若aeq f(r(2),2)c，則A45；4斜邊上的中線meq f(1,2)cR(其中R為三角形外接圓的半徑)C判定1.有一個角是或兩個銳角的三角形是直角三角形2如果三角形一邊上的中線等于這條邊的，那么這個三角形為直角三角形3勾股定理的逆定理：如果三角形的兩邊的等于

2、第三邊的，那么這個三角形是直角三角形拓展1.SRtABCeq f(1,2)cheq f(1,2)ab，其中a、b為兩直角邊，c為斜邊，h為斜邊上的高；2RtABC內切圓半徑req f(abc,2)；外接圓半徑Req f(c,2)，即等于斜邊的一半考試內容考試要求基本方法面積法：用面積法證題是常用的方法之一，使用這種方法時一般是利用某個圖形的多種面積求法或面積之間的和差關系列出等式，從而得到要證明的結論如chab，其中a、b為兩直角邊，c為斜邊，h為斜邊上的高；C(2017紹興)如圖，小巷左右兩側是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米，如果保持梯

3、子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面2米，則小巷的寬度為()A0.7米 B1.5米 C2.2米 D2.4米2(2017溫州)四個全等的直角三角形按圖示方式圍成正方形ABCD，過各較長直角邊的中點作垂線，圍成面積為S的小正方形EFGH.已知AM為RtABM較長直角邊，AM2eq r(2)EF，則正方形ABCD的面積為()A12S B10S C9S D8S第1題圖第2題圖(2016柳州模擬)如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹相距8米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行()A8米 B10米 C12米 D14米(2016大連模擬)如圖，ABC中，ABAC

4、8，BC6，AD平分BAC交BC于點D，點E為AC的中點，連結DE，則CDE的周長為()A10 B11 C12 D135(2016安順模擬)如圖，在RtABC中，C90，AB13，AC7，則sinB.第3題圖第4題圖第5題圖【問題】如圖，點D是RtABC斜邊的中點 (1)你能從圖中得到哪些信息？(2)若A40，則DBC；(3)若BD5，AB8，則BC.【歸納】通過開放式問題，歸納、疏理直角三角形有關知識類型一直角三角形的性質與判定eq avs4al(例1)(1)如圖，在RtABC中，ACB90，若A46，則B的度數(shù)為_；若A3B，則B_；若B30，D為線段AB的中點，CD6，則ACD_；AB_

5、；BC_如圖，已知AOD30，點C是射線OD上的一個動點在點C的運動過程中，AOC恰好是直角三角形，則此時A所有可能的度數(shù)為_第（1）題圖第（2）題圖【解后感悟】根據(jù)直角三角形的性質、以及斜邊上中線性質、含30角的直角三角形性質是解此題的關鍵，解題時注意分類討論的運用1(1)(2016黑龍江模擬)已知三組數(shù)據(jù)：2，3，4；3，4，5；1，eq r(3)，2.分別以每組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)為三角形的三邊長，構成直角三角形的有()A B C D(2)(2016牡丹江模擬)如圖，CD是RtABC斜邊AB上的高，將BCD沿CD折疊，B點恰好落在AB的中點E處，則A等于()A25 B30 C45 D602(1

6、)(2017麗水模擬)如圖，在RtABC中，A30，DE垂直平分斜邊AC，交AB于D，E為垂足，連結CD，若BD1，則AC的長是_ 第(1)題圖 第(2)題圖 第(3)題圖(2)(2017衢州模擬)如圖，ABC中，CDAB于D，E是AC的中點若AD6，DE5，則CD的長等于.(3)(2015福州)如圖，在RtABC中，ABC90，ABBCeq r(2)，將ABC繞點C逆時針旋轉60，得到MNC，連結BM，則BM的長是.類型二直角三角形的分類討論eq avs4al(例2)(2016大連模擬)如圖，在ABC中，ABBC4，AOBO，P是射線CO上的一個動點，AOC60，則當PAB為直角三角形時，A

7、P的長為.【解后感悟】本題主要考查了勾股定理，含30直角三角形的性質和直角三角形斜邊的中線，分類討論，數(shù)形結合是解答此題的關鍵(2016山西模擬)如圖，在直角坐標系中，拋物線yx2x2過A、B、C三點，在對稱軸上存在點P，以P、A、C為頂點的三角形為直角三角形則點P的坐標是.4(2016安定模擬)如圖，在ABC中，ABAC10厘米，BC12厘米，點P從點A出發(fā)，沿AB邊以1厘米/秒的速度向點B勻速移動；點Q從點B出發(fā)，沿BC邊以2厘米/秒的速度向點C勻速移動如果P、Q同時出發(fā)，當Q點到達C點時，P點隨之停止運動用t(秒)表示移動的時間(0t6)(1)當PQAC時，求t的值；(2)當t為何值時，

8、P、B、Q三點構成直角三角形類型三勾股定理的應用eq avs4al(例3)(2016孝感)如圖是我國漢代數(shù)學家趙爽在注解周脾算經(jīng)時給出的“趙爽弦圖”，圖中的四個直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面積是小正方形EFGH面積的13倍，那么tanADE的值為_【解后感悟】此題中沒有具體的數(shù)，故先設未知數(shù)，根據(jù)正方形以及直角三角形的面積公式求得直角三角形的三邊，進一步運用銳角三角函數(shù)的定義求解5(1)下列長度的三條線段不能組成直角三角形的是()A7，24，25 B4，5，6 C5，12，13 D2，1.5，2.5(2016株洲)如圖，以直角三角形a、b、c為邊，向外作等邊三角形，半圓，等腰直角

9、三角形和正方形，上述四種情況的面積關系滿足S1S2S3圖形個數(shù)有()A1 B2 C3 D4(3)如圖，西安路與南京路平行，并且與八一街垂直，曙光路與環(huán)城路垂直如果小明站在南京路與八一街的交叉口，準備去書店，按圖中的街道行走，最近的路程約為()A600m B500m C400m D300m(4)如圖，四個全等的直角三角形紙片既可以拼成(內角不是直角)的菱形ABCD，也可以拼成正方形EFGH，則菱形ABCD面積和正方形EFGH面積之比為_ 第（3）題圖 第（4）題圖類型四直角三角形的探究問題eq avs4al(例4)(2016桂林模擬)如圖1，在ABC中，ACB90，ACBCeq r(2)，點D在

10、AC上，點E在BC上，且CDCE，連結DE.(1)線段BE與AD的數(shù)量關系是_，位置關系是_(2)如圖2，當CDE繞點C順時針旋轉一定角度后，(1)中的結論是否仍然成立？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由(3)繞點C繼續(xù)順時針旋轉CDE，當90180時，延長DC交AB于點F，請在圖3中補全圖形，并求出當AF1eq f(r(3),3)時，旋轉角的度數(shù)【解后感悟】本題主要考查了運用已有的知識和經(jīng)驗解決問題的能力，通過添加適當?shù)妮o助線，從而能用(1)(2)中積累的經(jīng)驗去解決第(3)題它是中考的熱點題型6(1)(2016錦州模擬)如圖，兩塊完全相同的含30角的直角三角板ABC和ABC重合在一

11、起，將三角板ABC繞其頂點C按逆時針方向旋轉角(090)，有以下四個結論：當30時，AC與AB的交點恰好為AB的中點；當60時，AB恰好經(jīng)過點B；在旋轉過程中，存在某一時刻，使得AABB；在旋轉過程中，始終存在AABB.其中結論正確的序號是.(2015宿遷)如圖，在平面直角坐標系中，點P的坐標為(0，4)，直線yeq f(3,4)x3與x軸、y軸分別交于點A，B，點M是直線AB上的一個動點，則PM長的最小值為.類型五直角三角形的綜合運用eq avs4al(例5)(2016吉林)如圖，在等腰直角三角形ABC中，BAC90，AC8eq r(2)cm，ADBC于點D，點P從點A出發(fā)，沿AC方向以eq

12、 r(2)cm/s的速度運動到點C停止，在運動過程中，過點P作PQAB交BC于點Q，以線段PQ為邊作等腰直角三角形PQM，且PQM90(點M，C位于PQ異側)設點P的運動時間為x(s)，PQM與ADC重疊部分的面積為y(cm2)(1)當點M落在AB上時，x_；(2)當點M落在AD上時，x_；(3)求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍【解后感悟】本題考查等腰直角三角形的性質、分段函數(shù)、三角形面積等知識，解題的關鍵是正確畫出圖象，學會分類討論(1)(2016陜西)如圖，在ABC中，ABC90，AB8，BC6.若DE是ABC的中位線，延長DE交ABC的外角ACM的平分線于點F，則線段DF

13、的長為()A7 B8 C9 D10(2016淄博)如圖，正方形ABCD的邊長為10，AGCH8，BGDH6，連結GH，則線段GH的長為()A.eq f(8r(3),5) B2eq r(2) C.eq f(14,5) D105eq r(2)(3)(2016邵陽模擬)如圖，在等腰RtOAA1中，OAA190，OA1，以OA1為直角邊作等腰RtOA1A2，以OA2為直角邊作等腰RtOA2A3，則OA2016的長度為.第（1）題 第（2）題第（3）題【課本改變題】教材母題浙教版八上第87頁，目標與評定第28題小明和同桌小聰在課后復習時，對課本“目標與評定”中的一道思考題進行了認真的探索【思考題】如圖，

14、一架2.5米長的梯子AB斜靠在豎直的墻AC上，這時B到墻C的距離為0.7米，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4米，那么點B將向外移動多少米？(1)請你將小明對“思考題”的解答補充完整：解：設點B將向外移動x米，即BB1x，則B1Cx0.7，A1CACAA1eq r(2.520.72)0.42.而A1B12.5，在RtA1B1C中，由B1C2A1C2A1Beq oal(2,1)得方程，解方程得x1，x2，點B將向外移動米(2)解完“思考題”后，小聰提出了如下兩個問題：【問題一】在“思考題”中，將“下滑0.4米”改為“下滑0.9米”，那么該題的答案會是0.9米嗎？為什么？【問題二】在“思考題”中，梯子的

15、頂端從A處沿墻AC下滑的距離與點B向外移動的距離有可能相等嗎？為什么？請你解答小聰提出的這兩個問題【方法與對策】這題是探究性問題，通過課本中作業(yè)完成后，進行引申，用方程的思想繼續(xù)分析、探究，解決提出的猜想導向性：一方面要求同學們作業(yè)之后要反思，另一方面要求老師進行變式教學，這是中考熱點題型【忽視直角三角形中直角邊不明確】(2016包頭模擬)已知直角三角形的兩邊的長分別是3和4，則第三邊長為_中考真題演練1（2016蘇州）如圖，長4m的樓梯AB的傾斜角ABD為60，為了改善樓梯的安全性能，準備重新建造樓梯，使其傾斜角ACD為45，則調整后的樓梯AC的長為（）A2m B2m C（22）m D（22

16、）m（第1題）（第2題）（第3題）2（2016蘇州）矩形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，點B的坐標為（3，4），D是OA的中點，點E在AB上，當CDE的周長最小時，點E的坐標為（）A（3，1）； B（3，）； C（3，）； D（3，2）3（2016蘇州）如圖，在四邊形ABCD中，ABC=90，AB=BC=2，E、F分別是AD、CD的中點，連接BE、BF、EF若四邊形ABCD的面積為6，則BEF的面積為（）A2 B C D34（2016蘇州）如圖，在ABC中，AB=10，B=60，點D、E分別在AB、BC上，且BD=BE=4，將BDE沿DE所在直線折疊得到BDE（點B在四邊形ADEC內

17、），連接AB，則AB的長為 （第4題）（第5題）5（2018天津）如圖，在邊長為4的等邊ABC中，D，E分別為AB，BC的中點，EFAC于點F，G為EF的中點，連接DG，則DG的長為 6（2018鹽城）如圖，在直角ABC中，C90，AC6，BC8，P、Q分別為邊BC、AB上的兩個動點，若要使APQ是等腰三角形且BPQ是直角三角形，則AQ （寫出完整解題過程）參考答案第2課時直角三角形【考點概要】直角c290直角互余一半平方和平方【考題體驗】1C2.C3.B4.B5.eq f(7,13)【知識引擎】【解析】(1)如：AB2BC2AC2，BDeq f(1,2)AC，AABD等；(2)50；(3)6

18、.【例題精析】例1(1)4422.560126eq r(3)(2)60或90例2當ABP90時(如圖1)，AOCBOP60，BPO30，BPeq f(OB,tan30)eq f(2,f(r(3),3)2eq r(3)，在直角三角形ABP中，APeq r(（2r(3)）242)2eq r(7).當APB90時，分兩種情況討論：情況一，如圖2，AOBO，POBO，AOC60，BOP60，BOP為等邊三角形，ABBC4，APABsin604eq f(r(3),2)2eq r(3)；情況二：如圖3，AOBO，APB90，POAO，AOC60，AOP為等邊三角形，APAO2，故答案為：2eq r(3)或

19、2eq r(7)或2. 例3設小正方形EFGH面積是a2，則大正方形ABCD的面積是13a2，小正方形EFGH邊長是a，則大正方形ABCD的面積是eq r(13)a，圖中的四個直角三角形是全等的，AEDH，設AEDHx，在RtAED中，AD2AE2DE2，即13a2x2(xa)2，解得：x12a，x23a(舍去)，AE2a，DE3a，tanADEeq f(AE,DE)eq f(2a,3a)eq f(2,3)，故答案為：eq f(2,3).例4(1)ACBCeq r(2)，CDCE，BEAD，ACB90，ACBC，BEAD.(2)仍然成立如圖2，延長BE交AD于點M.在BCE和ACD中，BCAC

20、，BCEACD，CECD，BCEACD.BEAD.12，CADCBE，AMBACB90.即BEAD. (3)如圖3，過點C作CNAB于點N，ACBCeq r(2)，ACB90，CNANeq f(1,2)AB1，BCN45.AF1eq f(r(3),3)，F(xiàn)NAFANeq f(r(3),3).在RtCNF中，tanFCNeq f(FN,CN)eq f(r(3),3)，F(xiàn)CN30.BCFBCNFCN15.FCE90，BCEBCFFCE105.當AF1eq f(r(3),3)時，旋轉角為105. 圖2 圖3例5(1)當點M落在AB上時，四邊形AMQP是正方形，此時點D與點Q重合，APCP4eq r(

21、2)，所以xeq f(4r(2),r(2)4.故答案為4. (2)如圖1中，當點M落在AD上時，作PEQC于E.MQP，PQE，PEC都是等腰直角三角形，MQPQPC，DQQEEC，PEAD，eq f(PA,AC)eq f(DE,DC)eq f(2,3)，AC8eq r(2)，PAeq f(16r(2),3)，xeq f(16r(2),3)eq r(2)eq f(16,3).故答案為eq f(16,3).(3)當0 x4時，如圖2中，設PM、PQ分別交AD于點E、F，則重疊部分為PEF，APeq r(2)x，EFPEx，ySPEFeq f(1,2)PEEFeq f(1,2)x2.當4xeq f

22、(16,3)時，如圖3中，設PM、MQ分別交AD于E、G，則重疊部分為四邊形PEGQ.PQPC8eq r(2)eq r(2)x，PM162x，MEPMPE163x，ySPMQSMEGeq f(1,2)(8eq r(2)eq r(2)x)2eq f(1,2)(163x)2eq f(7,2)x232x64.當eq f(16,3)x8時，如圖4中，則重合部分為PMQ，ySPMQeq f(1,2)PQ2eq f(1,2)(8eq r(2)eq r(2)x)2x216x64.綜上所述，yeq blc(avs4alco1(f(1,2)x2，（0 x4）,f(7,2)x232x64，blc(rc)(avs4

23、alco1(4xf(16,3),x216x64.blc(rc)(avs4alco1(f(16,3)x8) 圖1 圖2 圖3 圖4【變式拓展】1(1)D(2)B2.(1)2eq r(3)(2)8(3)eq r(3)13.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(3,4)或eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(7,4)或eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)或eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(3,2)4.PQAC，PBQABC，eq f(BP,BA)eq f(BQ,BC)，即eq f(10t,10)eq

24、 f(2t,12)，解得teq f(15,4)(秒)；(2)過點A作ADBC于D，如圖ABAC，ADBC，BDDCeq f(1,2)BC6.B90，P、B、Q三點構成直角三角形情況有兩種：PQB90，即PQAD.eq f(BP,BA)eq f(BQ,BD)，即eq f(10t,10)eq f(2t,6)，解得teq f(30,13)(秒)；QPB90，而ADB90，BB，BPQBDA，eq f(BP,BD)eq f(BQ,BA)，即eq f(10t,6)eq f(2t,10)，解得teq f(50,11)(秒)由、知，當t為eq f(30,13)秒或eq f(50,11)秒時，P、B、Q三點構

25、成直角三角形5.(1)B(2)D(3)B(4)eq f(r(3),2)6(1)(2)eq f(28,5)7.(1)B(2)B(3)21008【熱點題型】【分析與解】(1)(x0.7)2222.52，0.8，2.2(舍去)，0.8. (2)不會是0.9米，若AA1BB10.9，則A1C2.40.91.5，B1C0.70.91.6，1.521.624.81，2.526.25.B1C2A1C2A1Beq oal(2,1)，該題的答案不會是0.9米有可能設梯子頂端從A處下滑x米，點B向外也移動x米，則有(x0.7)2(2.4x)22.52，解得：x1.7或x0(舍)當梯子頂端從A處下滑1.7米時，點B向