1、2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)推理與證明測(cè)試題(文科)廣州市玉巖中學(xué) 吳華東一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的1. 古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來(lái)研究數(shù)。比方：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 他們研究過(guò)圖1中的1，3，6，10，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱(chēng)為三角形數(shù)；類(lèi)似的，稱(chēng)圖2中的1，4，9，16，這樣的數(shù)為正方形數(shù)。以下數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是 A289 B1024 C1225 D13782在R上定義運(yùn)算假設(shè)不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)成立， 那么 A B C D3. 數(shù)列滿足，那么= A0 B C D4觀察式子：，

2、那么可歸納出式子為 A、 B、 HYPERLINK :/ zxxk C、 D、 HYPERLINK :/ zxxk 5. 設(shè)為正整數(shù),經(jīng)計(jì)算得觀察上述結(jié)果,可推測(cè)出一般結(jié)論( ) A. B. C. 6設(shè)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且滿足：“當(dāng) 成立時(shí)，總可推出成立 那么，以下命題總成立的是 假設(shè)成立，那么成立 假設(shè)成立，那么成立 假設(shè)成立，那么當(dāng)時(shí)，均有成立 假設(shè)成立，那么當(dāng)時(shí)，均有成立7設(shè)是至少含有兩個(gè)元素的集合，在上定義了一個(gè)二元運(yùn)算“*即對(duì)任意的，對(duì)于有序元素對(duì)，在中有唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng)假設(shè)對(duì)任意的，有，那么對(duì)任意的，以下等式中不恒成立的是 A BCD8 是定義在上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿

3、足對(duì)任意正數(shù)，假設(shè)，那么必有 AB CD9對(duì)于非零實(shí)數(shù)，以下四個(gè)命題都成立： ； ； 假設(shè)，那么； 假設(shè)，那么那么，對(duì)于非零復(fù)數(shù)，仍然成立的命題的所有序號(hào)是 A. B.C. D.10.二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，有，那么的最小值為 二、填空題：本大題共4小題， 每題5分，總分值20分11在平面上，假設(shè)兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比為1：2，那么它們的面積比為1：4，類(lèi)似地，在空間內(nèi)，假設(shè)兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為1：2，那么它們的體積比為 _ . 12.函數(shù)，那么_13在中，射影定理可以表示為，其中分別為角、的對(duì)邊，類(lèi)似以上定理，在四面體中，、分別表示、的面積，分別表示面、面、面與底面所成角的大小，

4、請(qǐng)給出一個(gè)空間四面體性質(zhì)的猜測(cè)：_14觀察以下等式：, 由以上等式推測(cè)到一個(gè)一般的結(jié)論：對(duì)于n,_.三、解答題：本大題共6小題，共80分解容許寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或推證過(guò)程15本小題總分值12分用分析法證明：16本小題總分值12分 用三段論證明函數(shù)在，1上是增函數(shù)17本小題總分值14分：； 通過(guò)觀察上述兩等式的規(guī)律，請(qǐng)你寫(xiě)出對(duì)任意角度都成立的一般性的命題，并給予證明.18本小題總分值14分在平面直角坐標(biāo)系O中，直線與拋物線相交于、 兩點(diǎn)。求證：“如果直線過(guò)點(diǎn)，那么是真命題；寫(xiě)出中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說(shuō)明理由。19本小題總分值14分如圖，兩個(gè)正方形ABCD 和DCEF不在

5、同一平面內(nèi)，M，N分別為AB，DF的中點(diǎn)。I假設(shè)CD=2，平面ABCD 平面DCEF，求直線MN的長(zhǎng)；II用反證法證明：直線ME 與 BN 是兩條異面直線。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 20本小題總分值14分橢圓具有性質(zhì):假設(shè)是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn),點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn),且直線的斜率都存在(記為),那么是與點(diǎn)的類(lèi)似性質(zhì),并加以證明.2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)推理與證明(文科) 測(cè)試題參考答案一、選擇題：本大題主要考查根本知識(shí)和根本運(yùn)算 共10小題，每題5分，總分值50分題 號(hào)12345678910答 案CCBDCDABDC1.答案：C解析：由圖形可得三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項(xiàng)，同理可得正方

6、形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項(xiàng)，那么由可排除A、D，又由知必為奇數(shù)，應(yīng)選C2.答案：C解析：由，得3.答案：B解析：4.答案：C解析：特殊值法，用帶入易選C5.答案：C.解析：由此推知6.答案： D解析：當(dāng)時(shí)，從而成立7.答案： A解析：由題設(shè)，假設(shè)，那么，與 是中唯一確定的元素相矛盾，應(yīng)選A.8.答案： B解析：構(gòu)造函數(shù)，那么由題設(shè)條件知在 上單調(diào)遞減，假設(shè)，那么，即又是定義在上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，所以應(yīng)選B9答案：D解析：令，那么不成立；由復(fù)數(shù)的乘法法那么知成立；令，可知不成立；由 得，故或，而，所以，即 成立10答案：C解析：由得；由恒成立，得且，那么， ，得故選C二、填空題:本大題主要考查根本知識(shí)和根

7、本運(yùn)算.本大題共4小題,每題5分,總分值20分11答案：1：8 w12答案：提示：13答案：提示：由面積射影法以及二面角的平面的定義14答案：解析：這是一種需類(lèi)比推理方法破解的問(wèn)題，結(jié)論由二項(xiàng)構(gòu)成，第二項(xiàng)前有，二項(xiàng)指數(shù)分別為，因此對(duì)于，三、解答題：本大題共6小題，共80分15由于均大于0要證：，只需證：只需證：只需證：只需證：168160，此式明顯成立16證明：定義：如果滿足在其定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上任取任取、且，如果有，那么稱(chēng)在該區(qū)間上是增函數(shù)任取、，且，因?yàn)椋裕挥忠驗(yàn)椤ⅲ砸虼耍从谑歉鶕?jù)三段論，得函數(shù)在，1上是增函數(shù)17一般形式: 事實(shí)上，證明：左邊 = = = = = 將一般形式寫(xiě)

8、成 等均正確.18 解：如果直線軸，那么; 如果直線與軸不垂直，設(shè)直線的方程為， 綜上，“如果直線過(guò)點(diǎn)，那么是真命題。中命題的逆命題：在平面直角坐標(biāo)系O中，直線與拋物線2相交于、兩點(diǎn)。如果 ，那么直線必過(guò)點(diǎn)。 設(shè)直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，那么直線方程為，把它代入得 . 由，即直線必過(guò)點(diǎn)。 中命題的逆命題是假命題。19解：取CD的中點(diǎn)G連結(jié)MG，NG. 因?yàn)锳BCD，DCEF為正方形，且邊長(zhǎng)為2， 所以MGCD，MG=2，. 因?yàn)槠矫鍭BCD平面DCEF， 所以MG平面DCEF，可得MGNG. 所以 假設(shè)直線ME與BN共面， 那么平面MBEN，且平面MBEN與平面DCEF交于EN，由，兩正方形不共面，故平面DCEF.又ABCD，所以AB平面DCEF.而EN為平面MBEN與平面DCEF的交線，所以ABEN.又ABCDEF,所以ENEF，這與矛盾，故假設(shè)不成立。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 所以ME與BN