1、數值分析數值分析數值分析數值分析第七章第七章 數值積分與數值微分數值積分與數值微分第一節第一節等距節點的等距節點的Newton-Cotes求積公式求積公式第二節第二節復化求積公式復化求積公式第三節第三節外推算法外推算法第四節第四節Gauss型求積公式型求積公式第五節第五節數值微分數值微分數值分析數值分析數值分析數值分析 引引 言言( )( )( )( )( )baNF xf xf x dxF bFewtonLeibn tzai 其其中中為為的的原原函函數數公公式式2020,)txedxt 例例如如，對對概概率率積積分分 由于被積函數的原函數由于被積函數的原函數F(x)不可能找到，牛頓不可能找到

2、，牛頓-萊布尼茲公式也就無能為力了。萊布尼茲公式也就無能為力了。數值分析數值分析數值分析數值分析 0 , ()( )()iinbiiaia bxf xf x dxA f x 所所謂謂，從從近近似似計計算算的的角角度度看看，就就是是在在區區間間上上適適當當地地選選取取若若干干個個點點 ，然然后后用用這這些些節節點點上上的的函函數數值值的的加加權權平平均均方方法法獲獲得得定定積積分分的的近近似似值值，即即數數值值積積分分( )( )( )( )bbaaxf xf x dxx dx 從從數數值值逼逼近近的的觀觀點點看看, ,所所謂謂數數值值積積分分，就就是是用用一一個個具具有有一一定定精精度度的的簡

3、簡單單函函數數代代替替被被積積函函數數，而而求求出出定定積積分分的的近近似似值值，即即( )( )( ),( )( )nnbbnaaxpxpxf xf x dxpx dx 插插值值型型求求積積公公式式，取取（ ）= =得得即即：用用插插值值多多項項式式數值分析數值分析數值分析數值分析下面推導插值型求積公式下面推導插值型求積公式設設x0 ,x1 ,xna,b,pn(x)是是f(x)的的n次次Lagrange插值多項式插值多項式0( )() ( )nniiipxf x l x 則有則有(1)1101( ( )( )( )( )(1)!( )()()(),( )nnnnnfxf xpxwxnwxxx

4、xxxxaxb (1)1( ( )( )( )( )(1)!nbbbnnaaafxf x dxpx dxwx dxn (1)101() ( )( ( )( )(1)!nbbniinaaif x lx dxfxwx dxn (1)101()( ()()(1)!nbniinaiA f xfxwx dxn 數值分析數值分析數值分析數值分析插值型求積公式插值型求積公式00( )()( )()(1)nnbiiiiaiif x dxA f xR fA f x 其中其中( )0,1,(2)biiaAl x dxin 截斷誤差或余項為截斷誤差或余項為(1)11( )( ( )( )(3)(1)!bnnaR f

5、fx wx dxn li(x)為為Lagrange插值基函數。插值基函數。(1)101()()( ()()(1)!nbbniinaaif x dxA f xfxwx dxn 數值分析數值分析數值分析數值分析Ai (i=0,1,n)稱為稱為求積系數求積系數，xi (i=0,1,n)稱為稱為求積節點求積節點。0( )()nbiiaif x dxA f x 數數值值求求積積公公式式的的一一般般形形式式數值分析數值分析數值分析數值分析一、一、 牛頓牛頓柯特斯求積公式的導出柯特斯求積公式的導出將積分區間將積分區間a,b n等分，節點等分，節點xi為為xi=a+ih, i=0,1,2,n其中其中h=(b

6、a)/n。有。有第一節第一節 等距節點的牛頓等距節點的牛頓柯特斯求積公式柯特斯求積公式當求積節點等距分布時，插值型求積公式稱為當求積節點等距分布時，插值型求積公式稱為牛頓牛頓柯特斯柯特斯(Newton-Cotes)求積公式。求積公式。0( )()(4)nbiiaif x dxA f x 其中其中( )biiaAl x dx 數值分析數值分析數值分析數值分析0n()00()(),0,1,bbnjiijijaajinnijjixxAlx dxdxxxtjhdtba Cinij 000011(5)0,1,ninnnn(n)ijjjijitj()Cdt(tj)dtniji!(ni)!nin Ci(n)

7、 稱為柯特斯系數稱為柯特斯系數。( )00( )()()()(6)innbniiiaiif x dxA f xbaCf x 于是于是牛頓牛頓柯特斯求積公式為柯特斯求積公式為引進變換引進變換x=a+th , 0tnxj=a+jh, j=0,1,2,n數值分析數值分析數值分析數值分析二、兩種特殊的數值求積公式二、兩種特殊的數值求積公式: :（1）梯形公式）梯形公式(n=1)x0 =a, x1=b, h= b- a, c0(1)=c1(1) =1/2I=( )( )2babaf(x)dxf af bT 梯形公式的幾何意義梯形公式的幾何意義是用四邊梯形是用四邊梯形x0 ABx1的的面積代替曲邊梯形的面

8、積。面積代替曲邊梯形的面積。xy0ABy=P1(x)y=f(x)f0f1x0=ax1=b圖圖1數值分析數值分析數值分析數值分析（2）辛卜生公式）辛卜生公式(n=2)辛卜生公式又稱為拋物線公式辛卜生公式又稱為拋物線公式。I=( )4 ()( )62( )4 ()( )32bababaabf(x)dx(f aff b )ShabIf(x)dx(f aff b )S 或或 x0 =a, x1=a+h, x2=b, h= (b-a)/2 C0(2)=1/6,C1(2)=4/6,C2(2)=1/6數值分析數值分析數值分析數值分析 辛卜生公式的幾何意義是用拋物線辛卜生公式的幾何意義是用拋物線y=P2(x)

9、圍成的圍成的曲邊梯形面積代替由曲邊梯形面積代替由y=f(x)圍成的曲邊梯形面積圖圍成的曲邊梯形面積圖2。)()2(4)(6)(bfbafafabdxxfbaxyx0 x2x1y=P2(x)y=f(x)0圖圖2數值分析數值分析數值分析數值分析例例：用梯形公式與用梯形公式與辛卜生公式辛卜生公式求求321xIedx 的近似值。的近似值。解：解：辛卜生公式辛卜生公式3123222212(4)0.7665755056xIedxeee I=0.766801031322212()0.8296608192xIedxee 梯形公式梯形公式數值分析數值分析數值分析數值分析nc0c1c2c3c4c5c6c7c812

10、345678三、牛頓三、牛頓柯特斯系數柯特斯系數數值分析數值分析數值分析數值分析例例n=3為為3/8辛卜生公式辛卜生公式300123( )(33)8xxbaf x dxffff x0 =a, x1=a+h, x2=a+2h, x3=b , h= (b-a)/3n=4為為Cotes公式公式x0 =a, x1=a+h, x2=a+2h, x3=a+3h, x4=b , h= (b-a)/4 430012473212327)90 xxbaf(x)dx(fffff 數值分析數值分析數值分析數值分析例：例：用用Newton-CotesNewton-Cotes公式計算公式計算 解：解：當當n n取不同值時

11、，計算結果如下所示。取不同值時，計算結果如下所示。 I I準準=0.9460831=0.946083110sinxIdxx n 近似結果近似結果1 0.92703542 0.94613593 0.94611094 0.94608305 0.9460830數值分析數值分析數值分析數值分析四、代數精度四、代數精度0()()nbiiaifx dxA fx 定義定義1：若求積公式若求積公式 對一對一切不高于切不高于m次的多項式次的多項式p(x)都等號成立，即都等號成立，即R(p (x)=0; ;而對于某個而對于某個m+1次多項式等號不成立，則稱此公式的次多項式等號不成立，則稱此公式的代數精度為代數精度

12、為m.代數精度代數精度求法求法 從從(x)=1,x,x2,x3依次驗證求積公依次驗證求積公式是否成立，若第一個不成立的等式是式是否成立，若第一個不成立的等式是xm, ,則其代數則其代數精度是精度是m-1. .代數精度越高，數值求積公式越精確代數精度越高，數值求積公式越精確定義定義2：若求積公式若求積公式 對對(x)=1,x,x2,x3xm, 都等號成立，即都等號成立，即R(xi)=0; ;而對于而對于xm+1 等號不成立，則稱此公式等號不成立，則稱此公式 的代數精度為的代數精度為m. .0()()nbiiaifx dxA fx 數值分析數值分析數值分析數值分析定義定義1定義定義221證證義義明

13、明：定定定定義義01110( ),0,1,( ),nbkkkiiainbmmmiiaif xxx dxA xkmf xxxdxA x 已已知知：對對有有對對有有000( )( )mkkkmmbbbkkkkaaakkf xxf x dxx dxx dx 對對，有有00000()mnnmnkkkiiikiiikiikiA xAxA f x 1110( ),nbmmmiiaif xxxdxA x 對對有有數值分析數值分析數值分析數值分析例例1：證明下面數值求積公式證明下面數值求積公式具有具有1 1次代數精度次代數精度. .101( )( (0)(1)2f x dxff 所以求積公式具有所以求積公式具

14、有1次次代數精度。代數精度。10( )11=1( )( (0)(1)12f xf x dxff 取取，左左解解：右右10( )111=( )( (0)(1)222f xxf x dxff 取取，左左右右210( )111=( )( (0)(1)322f xxf x dxff 取取，左左右右數值分析數值分析數值分析數值分析例例2：設有設有成立，確定成立，確定 A0、 A1 、 A2，使上述數值求積公式的代數使上述數值求積公式的代數精度盡可能高，精度盡可能高，并求代數精度并求代數精度。解：解：分別取分別取 (x)=1，x，x2，則有，則有 A0 +A1 + A2=2 -A0 + A2=0 A0 +

15、 A2=2/3解得解得A0 =1/3，A1 =4/3， A2=1/3；111( )( ( 1)4 (0)(1)3f x dxfff 則則取取 (x)=x3，左，左= =右右=0=0； (x)=x4，左左= =-11x4dx=2/5 =2/5 右右=2/3=2/3所以具有所以具有3 3次代數精度。次代數精度。10121()( 1)(0)(1)f x dxA fA fA f 數值分析數值分析數值分析數值分析Newton-Cotes公式的代數精度公式的代數精度(1)11(1)!()( )( )bnnnaR ffx dx 其其中中0()()nbjjajf(x)dxA f xR f 因因 為為證證明明：

16、nj 0( )()bijaf x dxA f x 其中其中 n+1(x)= (x-x0)(x-x1).(x-xn-1)(x-xn)即求積公式即求積公式至少具有至少具有n次代次代數精度。數精度。定理定理1：由由n+1個個互異節點互異節點x0 、x1 、x n構造的插值構造的插值型求積公式的代數精度至少為型求積公式的代數精度至少為n。這里系數這里系數Aj只依賴于求積節點與積分區間只依賴于求積節點與積分區間,與與f(x)無關。無關。顯然當顯然當f(x)是任何一個不超過是任何一個不超過n次的多項式時次的多項式時,余項余項(1)11(1)!( )( )( )0bnnnaR ffx dx 數值分析數值分析

17、數值分析數值分析 由于由于Newton-Cotes公式是其特殊情形公式是其特殊情形( (等距節點等距節點),),它的代數精度至少是它的代數精度至少是n,n,還可以證明還可以證明當當n n 為偶數時為偶數時Newton-CotesNewton-Cotes公式的代數精度至少是公式的代數精度至少是n+1.n+1. 定理定理2：當當n為偶數時為偶數時，由由n+1個等距節點個等距節點x0 、x1 、x n構造的牛頓構造的牛頓-柯特斯求積公式的代數精度至少為柯特斯求積公式的代數精度至少為n+1。數值分析數值分析數值分析數值分析五、五、( ) , ( ) , ( , )( ) ( )( )( )bbaaf

18、xa bg xa ba bf x g x dxfg x dx （第第二二積積分分中中值值定定理理）如如果果函函數數在在上上連連續續，函函數數在在上上可可積積且且不不變變號號，則則存存在在使使引引理理：3( ), ()( )( ( )( )2()( )12bTaf xa bbaRff x dxf af bbaf 設設在在 上上有有二二階階連連續續導導數數，則則梯梯形形求求積積公公式式的的截截斷斷誤誤差差定定為為理理3 3：數值分析數值分析數值分析數值分析帶誤差項的梯形公式是帶誤差項的梯形公式是3( )( )( )212bababaf(x)dxf af bf （）1,(3)( )()()(), ,

19、 2bTanfRfxaxb dxa b 證證明明: :由由截截斷斷誤誤差差公公式式有有3( )()()()()( )212bTafbaRfxaxb dxf 證證畢畢( ) , ()()0 , , fxa bxaxbxa ba b 由由于于是是依依賴賴于于 的的函函數數且且在在上上連連續續，又又，由由引引理理知知，在在區區間間上上存存在在一一點點 使使得得數值分析數值分析數值分析數值分析證：證：已知辛卜生求積公式的代數精度為已知辛卜生求積公式的代數精度為3，因此考，因此考慮構造一個三次插值多項式慮構造一個三次插值多項式p3(x)滿足下列條件滿足下列條件根據插值余項定理得：根據插值余項定理得：3(

20、 )( )p af a 3( )( )p bf b 322()()ababpf 322()()ababpf (4)3( )24!2( )( )()() ()fa bf xp xx a xx bab 5(4)( ), ()( )( ( )4 ()( )62()2880bSaf xa bbaabRff x dxf aff bbaf 設設在在 上上有有4 4階階連連續續導導數數，則則辛辛卜卜生生求求積積公公式式的的截截斷斷誤誤差差為為定定理理4 4：數值分析數值分析數值分析數值分析得到截斷誤差得到截斷誤差3333( )( ) 4()( )( ) 4 ()( )6262bab aabb aabp x

21、dxp app bf aff b (4)21( )( )()() ()4!2baabR ffxa xxb dx 3( )px因因為為是是是是三三次次多多項項式式，所所以以(4)2321( )( )( )()() ()4!bbba baaaf x dxp x dxfxaxxb dx 兩邊求定積分得兩邊求定積分得 (4)( ),fa b 假設在區間上連續，假設在區間上連續，數值分析數值分析數值分析數值分析 2(4)2(4)5(4)1()( )()4!21()4!22880babaabR ffxaxxb dxabfxaxxb dxbafab 因此辛卜生求積公式的截斷誤差為因此辛卜生求積公式的截斷誤差

22、為 5(4)S(),2880baRffab 2,0,a bxa bxaxxba b 而且當時而且當時由引理知，在上總存在一點 使得由引理知，在上總存在一點 使得數值分析數值分析數值分析數值分析帶誤差項的辛卜生公式是帶誤差項的辛卜生公式是5(4)()( )4 ()( )( )622880babaabbaf(x)dx(f aff b )fab 023(2)2( )0012(1)( )001,(). , ,( )( )()()(1)()(2)! , ,( )( )()()(1)()12(1)!nnnnnnbnjjajnnnnnbnjjajxa xb hbanfCa bnhff x dxbaftttn

23、 dtCxnfCa bnhff x dxbaft ttn dtCxn 設設若若是是偶偶數數, ,則則若若（ ）（ ）是是奇奇數數, ,則則數值分析數值分析數值分析數值分析( )001nnnjjjjAbaC ，例例證證明明：1,( )1,nf x 證證取取：( )00( )()()()innbniiiaiif x dxA f xbaCf x 由由(1)11( )( ( )( )(1)!bnnaR ffx wx dxn 及及( )0R f 知知00( )( )00( )()()()()iinnbiiiaiinnnniiibaf x dxA f xAbaCf xbaC 所所以以( )001nnnjjjjAbaC ，數值分析數值分析數值分析數值分析 六、六、 初步看來初步看來似乎似乎n n值越大，代數精度越高。是不是值越大，代數精度越高。是不是 n n 越大越好呢？答案是否定的。考察越大越好呢？答案是否定的。考察Newton-Cotes公式的數值穩定性，即討論舍入誤差對計算結果的公式的數值穩定性，即討論舍入誤差對計算結果的影響。影響。( )00( )()()()innbniiinaiiIf x dxA f xbaCf xI ()kf x n nk