1、11 1、組合定義、組合定義: : 一般地，從一般地，從n個不同元素中取出個不同元素中取出m（mn）個元素）個元素并成一并成一組組，叫做從，叫做從n個不同元素中取出個不同元素中取出m個元素的一個個元素的一個組合組合從從n個不同元素中取出個不同元素中取出m（mn）個元素的所有組合的個數個元素的所有組合的個數，叫做從，叫做從n個不同元素中取出個不同元素中取出m個元素的個元素的組合數組合數，用符號，用符號 表示表示. .mnC2 2、組合數、組合數: :3、組合數公式、組合數公式:(1)(2)(1)!mmnnmmAn nnnmCAm!()!mnnCm nm01.nC我們規定： 1: mn mnnCC

2、定理引例引例一個口袋內裝有大小相同的一個口袋內裝有大小相同的7個白球和個白球和1個黑球個黑球從口袋里取出從口袋里取出3個球，共有多少種取法？個球，共有多少種取法？從口袋里取出從口袋里取出3個球，使其中含有一個黑球，個球，使其中含有一個黑球，有多少種取法？有多少種取法？從口袋里取出從口袋里取出3個球，使其中不含黑球，有個球，使其中不含黑球，有多少種取法？多少種取法？372738CCC從引例中可以發現一個結論：從引例中可以發現一個結論：對上面的發現對上面的發現(等式等式)作怎樣解釋？作怎樣解釋？5638C2127C3537C 我們可以這樣解釋：我們可以這樣解釋：從口袋內的從口袋內的8個球中所取出的

3、個球中所取出的3個球，可以分為個球，可以分為兩類：一類兩類：一類含有含有1個個黑球，一類不含黑球，一類不含有黑球因此根據分類計數原理，有黑球因此根據分類計數原理，上述等式成立上述等式成立38C27C37C1211,1nmna aanmC 一一般般地地，從從這這個個不不同同的的元元素素中中取取出出個個元元素素的的組組合合數數是是， 11aa這這些些組組合合可可分分成成兩兩類類：一一類類含含有有 ，一一類類不不含含有有 ，1231,nmnaaaanmC 不不含含的的組組合合是是從從這這 個個元元素素中中取取出出個個元元素素組組成成的的，共共有有個個 123111,1nmnaaaanmaC 含含有有

4、的的組組合合是是從從這這 個個元元素素中中取取出出個個元元素素與與組組成成的的，共共有有個個； 由由分分類類計計數數原原理理，得得 11mnmnmnCCC組合數性質組合數性質2CCmnmn1 :證明)!1()!1(!)!( !mnmnmnmn)!1( !) 1( !mnmmnmnn)!1( !)1(mnmnmmn!) 1(!)!1(mnmn.1Cmncccmnmnmn11性質性質2組合數性質組合數性質2：說明：說明：1、公式特征：公式特征：下標相同而上標差下標相同而上標差1的兩個組合的兩個組合數之和，等于下標比原下標多數之和，等于下標比原下標多1而上標與原組合而上標與原組合數上標較大的相同的一

5、個組合數數上標較大的相同的一個組合數 2、此性質的作用：此性質的作用：恒等變形，簡化運算在今恒等變形，簡化運算在今后學習后學習“二項式定理二項式定理”時，我們會看到它的主時，我們會看到它的主要應用要應用 11mnmnmnCCC例(1)有多少種不同的抽法?100個不同元素中取3個元素的組合數種1617002398991003100C(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種?從2件次品中抽出1件次品的抽法有12C從98件合格品中抽出2件的抽法有298C950629812CC例(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種?法1含1件次品或含2件次品例種96041982229812CCCC

6、法2100件中抽3件減98件合格品中抽3件種96043983100CC例例 計算計算198200( 1 ) ;C329999( 2 ) ;CC 332898( 3 ) .2CCC22002001991990021 C 31001009998161700321 C 3322388888562()CCCCC例例計算：計算： 69584737CCCC解：解：原式原式 34567789()CCCC568489CCC568489()CCC6959CC610C410C10 9 8 72104! D 190 鞏固練習3有3張參觀券，要在5人中確定3人去參觀，不同方法的種數是 10 46人同時被邀請參加一項活

7、動，必須有人去，去幾人自行決定，共有多少種不同的去法？32555 4102!CC123456666666CCCCCC解：有6類辦法，第1類去1人，第2類去2人，第3類去3人，第4類去4人，第5類去5人，第6類去6人，所以共有不同的去法63鞏固練習2、求 的值 例、例、（1）求證：）求證：Cn+1 = Cn + Cn-1+Cn-1mm-1mm-14、求C2+C3+C4+C5+C6+C100的值 2 2 2222(2)求求C2+C3+C4+C5+C6+C7的值的值 222222練習：1、 C100C99 90 893、已知 , 求x的值C12 = C11 + C11 7 7 x9598969897

8、982CCC=（ ）A、 C10011B、 C 99 9D、 C10012C、 C9910小結2.組合數性質: mn mnnCC11 mmmnnnCCC1.組合數公式:(1)(2)(1)!mmnnmmAn nnnmCAm!()!mnnCm nm例例 證明證明111111mmmmnnnnCCCC、1112nnnnnnn mn mCCCC 、0129456131CCCC（）計算 ；1121.nnnnnnnnn mn mCCCCC （3）求證：補充例題：補充例題：2222234102CCCC（）計算 ；例計算：例計算：329999( 1 ) ;CC332898( 2) .2CCC1617001239

9、8991003100 C563828283838)(2CCCCC;11111)1( CCCCmnmnmnmn.21211)2( CCCCmnmnmnmn例例2 求證求證:.111111)1(CCCCCCmnmnmnmnmnmn .)()(2121111111)2( CCCCCCCCCCmnmnmnmnmnmnmnmnmnmn 有6本不同的書(1)甲、乙、丙3人每人2本，有多少種不同的分法？(2)分成3堆，每堆2本，有多少種不同的分堆方法？(3)分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？(4)分給甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少種不同的分配方法？(5)分

10、成3堆，有2堆各1本，另一堆4本，有多少種不同的分堆方法？(6)擺在3層書架上，每層2本，有多少種不同的擺法？一、分組與分配問題跟蹤練習2有4個不同的球，4個不同的盒子，把球全部放入盒子內(1)共有幾種放法？(2)恰有1個空盒，有幾種放法？例例4、某城新建的一條道路上有、某城新建的一條道路上有12只路燈，為了節只路燈，為了節省用電而不影響正常的照明，可以熄滅其中三盞省用電而不影響正常的照明，可以熄滅其中三盞燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的兩燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的兩盞燈，可以熄滅的方法共有（盞燈，可以熄滅的方法共有（ ）（A） 種（種（B） 種種 （C） 種種 （D）

11、種種38C38A39C311C本題使用插空法，先將亮的9盞燈排成一排，由題意，兩端的燈不能熄滅，則有8個符合條件的空位，進而在8個空位中，任取3個插入熄滅的3盞燈，有C83種方法，故選A 1、某學習小組有、某學習小組有5個男生個男生3個女生，從中選個女生，從中選3名男生和名男生和1名女生參加三項競賽活動，每項活動至少有名女生參加三項競賽活動，每項活動至少有1人參加，人參加，則有不同參賽方法則有不同參賽方法_種種.解：采用先組后排方法解：采用先組后排方法:312353431080CCCA2、3 名醫生和名醫生和 6 名護士被分配到名護士被分配到 3 所學校為學生所學校為學生體檢體檢,每校分配每校

12、分配 1 名醫生和名醫生和 2 名護士名護士,不同的分配方不同的分配方法共有多少種法共有多少種?解法一：先組隊后分校（先分堆后分配）解法一：先組隊后分校（先分堆后分配）223364540C C A解法二：依次確定到第一、第二、第三所學校去的醫解法二：依次確定到第一、第二、第三所學校去的醫生和護士生和護士.5401)()(24122613CCCC三、混合問題，先三、混合問題，先“組組”后后“排排四、分類組合四、分類組合,隔板處理隔板處理例例6、 從從6個學校中選出個學校中選出30名學生參加數學競賽名學生參加數學競賽,每每校至少有校至少有1人人,這樣有幾種選法這樣有幾種選法?分析分析:問題相當于把

13、個問題相當于把個30相同球放入相同球放入6個不同盒子個不同盒子(盒盒子不能空的子不能空的)有幾種放法有幾種放法?這類問可用這類問可用“隔板法隔板法”處理處理.解解:采用采用“隔板法隔板法” 得得:5294095C練習：練習： 1、將、將8個學生干部的培訓指標分配給個學生干部的培訓指標分配給5個不同的班級，個不同的班級，每班至少分到每班至少分到1個名額，共有多少種不同的分配方法？個名額，共有多少種不同的分配方法？2、從一樓到二樓的樓梯有、從一樓到二樓的樓梯有17級，上樓時可以一步走級，上樓時可以一步走一級，也可以一步走兩級，若要求一級，也可以一步走兩級，若要求11步走完，則有步走完，則有多少種不同的走法？多少種不同的走法？4735C17-11=6有有6個個2步的，步的，17次中挑次中挑6次走次走2步步C（6，17）=12376種種 3、在如圖、在如圖7x4的方格紙上（每小方格均為正方形）的方格紙上（每小方格均為正方形） （1）其中有多少個矩形？）其中有多少個矩形？ （2）其中有多少個正方形？）其中有多少個正方形？（1 1）矩形的話用）矩形的話用C C（7,27,2）* *C C（4,24,2）在兩邊任意取兩點）在兩邊任意取兩點