1、第24頁 共24頁電動力學導論自學指導書:電動力學導論答案電動力學導論自學指導書（函授生用）童國平編 浙江師范大學數理學院物理學系 第一章 電磁現象的普遍規律 通過靜電場和靜磁場的實驗定律的分析p ，再研究變動情況下新的實驗定律，由此總結出Maxwell方程組和洛侖茲力公式。電磁場是物質存在的一種形態，它有特定的運動規律和物質屬性。 一、 內容提要 1 庫侖定律 2 電場強度 電場強度的定義： 點電荷： 點電荷組： 電荷連續分布： 3 電荷在電場中的受力 4 高斯定理和電場的散度 高斯定理： 或者 （在內）電場的散度：，表明靜電場是有場。 靜電場的環路定理： 電場的旋度：，表明靜電場是無旋場。

2、 5 電荷守恒定律 或者 其中 或者 穩恒電流： 6 畢奧-薩伐爾定律 或者 它是一個實驗定律。 電流元在磁場中的受力： 7 磁場的環量和旋度（是在內）或者 磁場的旋度：，有旋場。 8 磁場的散度 磁場的高斯定理： 散度：， 靜磁場是無場。 9 電磁感應定律 或者 若回路是固定的，則有 也可表示為：，這是磁場對電場的作用的基本規律。 10 位移電流密度（真空）11 介質的極化 極化強度矢量：，是點函數。 對各向同性的線性介質： 12 介質的磁化 磁化強度的定義：，是點函數。 對各向同性的非鐵磁物質： 13 麥克斯韋方程組 真空情形： 有介質的情形： ， 洛侖茲力公式 + 麥克斯韋方程組 = 電

3、動力學理論基礎 14 誘導電流 磁化電流和極化電流： 總誘導電流： 15 電磁場邊值關系 16 電磁場能量密度和能流密度 能量密度：（介質）（真空）能流密度或坡印亭矢量： 17 能量守恒定律 積分式： 微分式： 洛侖茲力公式：（力密度）二、 基本概念 1 靜電場的散度： 電荷是電場的，電場線從正電荷發出而終止于負電荷。沒有電荷分布的地點，故在該點上電場的散度為零，既沒有電力線發出，也沒有電力線終止，但可以有電力線連續通過。 局域性質：空間某點鄰域上場的散度只和該點上的電荷密度有關，而與其他地點的電荷分布無關；電荷只激發其鄰近的場，而遠處的場則是通過場本身的內部作用傳遞出去的。對運動電荷實驗證明

4、，其局域關系仍然成立，但場不能用庫侖定律形式表示出來。 對點電荷而言， 2 靜電場的旋度：，表明靜電情況下，電場沒有旋渦狀結構。 3 一個半徑為，電荷密度為，均勻帶電球體，球表面的面電荷密度。同樣，對一個半徑為，單位長度電荷為的均勻帶電圓柱體，其表面的電荷面密度也為零。根據電荷面密度的定義：，這里是表面電荷區域的厚度。 4 磁場的散度和旋度： ，表明磁荷不存在，磁場是無場。這一關系在一般變化磁場的情況下也是成立的。 對靜磁場的旋度，因為電流密度是點函數，具有局域性，表明有電流分布的地方才有靜磁場的旋度。 對于變化的場，磁場的旋度要修改為，是位移電流密度，如果在真空中，這里的即為傳導電流密度；若

5、在介質中，可理解為。 5 均勻介質中有自由電荷的地方才有極化電荷 電介質內部：極化電荷體密度與自由電荷體密度的關系為 電介質的表面：極化電荷面密度與自由電荷面密度的關系為 6 磁化電流與自由電流的關系 ，即有自由電流的地方才有磁化電流。對于面磁化電流而言，是介質1指向介質2的法線。 7 電磁場的物質性 電磁場具有能量也具有動量，它是一種物質，具有內部運動。電磁場運動和其他物質運動形式之間能夠互相轉化。 電磁場的能量密度是：，它是空間位置和時間的函數。電磁場的能流密度，它描述能量在場內的傳播。數值上等于單位時間垂直流過單位橫截面的能量，其方向代表能量傳輸方向。 8 能量守恒定律 電磁場能量守恒定

6、律的積分形式是： 物理意義是：單位時間內流入閉合面內的電磁場能量=場對電荷系統所作的功率+與面相對應的體積V內場能量的增加率。 9 電磁能量的傳輸問題 電磁能量的傳輸不管是有電路情形還是無電路情形，都是通過場來傳輸的。在電路中，物理系統的能量包括導線內部電子運動的動能和導線周圍空間中的電磁場能量。在傳輸過程中，一部分能量進入導線內部變為焦耳熱；在負載電阻上，電磁能量從場中流入電阻內，供給負載所消耗的能量。（參見郭碩鴻書（第二版）P43例題）三、 例題 1有一內外半徑分別為 和的空心介質球，介質的電容率為。 使介質內均勻帶靜止自由電荷，求 （1）空間各點的電場； （2）極化體電荷和極化面電荷分布

7、。 解：（1）根據介質中的高斯定理： 可得： 由真空中的高斯定理： （2）極化面電荷密度： 考慮外球殼時，從介質1指向介質2（即從介質指向真空），所以 對于內球殼， 2內外半徑分別為和的無窮長中空導體圓柱，沿軸向流有恒定均勻自由電流，導體的磁導率為，求磁感應強度和磁化電流。 解：對于穩恒電流，安培環路定理為 當時，故。 當時， 當時， 磁化面電流，從介質1指向介質2。在內表面上， 故 在外表面上，當時， 3試用邊值關系證明：在絕緣介質與導體的分界面上，在靜電情況下，導體外的電場線 總是垂直于導體表面；在恒定電流的情況下，導體內電場線總是平行于導體表面。 證明：（1）導體在靜電條件下達到靜電平衡

8、 導體內。 而且，所有，故垂直于導體表面。 （2）導體中通過恒定電流時，導體表面，所有導體外，即。而且， ，即：，所以 。 導體內電場方向和法線垂直，即平行于導體表面。 第二章 靜電場 這章把電磁場的基本理論應用于最簡單的情況：電荷是靜止的，相應的電場不隨時間變化。當給定的自由電荷分布以及周圍空間介質和導體分布的情況下，怎樣求解靜電場。通常將靜電場引入標勢，使得問題變得稍微容易些。 一、 內容提要 1 靜電場的標勢 而。稱為標勢，只有差值才有物理意義。標勢與參考點的選擇有關，當電荷分布于有限區域時，選擇無限遠作為電勢零參考點；當電荷分布于無限區域時，常選空間某一點的電勢為零，則整個空間的電勢就

9、單值地確定了。 點電荷： 電荷連續分布情況： 2 靜電標勢的微分方程 或者 為自由電荷密度。這個方程稱為泊松方程。只要給定勢的邊界條件就可以求出的分布。 3 標勢的邊值關系 從介質1指向介質2。是分界面上的自由電荷面密度。對于導體有： 常數（可以是給定的，也可以是待定的）當界面無自由電荷分布時，兩種介質的分界面電勢的邊值關系為 4 靜電場的能量 5 靜電問題的唯一性定理 情況1：設區域內給定自由電荷分布，在的邊界上給定電勢或電勢的法向導數，則內的電場唯一地確定。 情況2：設區域內有一些導體，給定導體之外的電荷分布，給定各導體上的總電荷以及的邊界上的或值，則內的電場唯一地確定。 6 拉普拉斯方程

10、的解 球坐標下軸對稱情況下電勢的通解為： 為勒讓德函數，和是任意常數，由邊界條件確定。 7 鏡象法 研究對象：導體球和點電荷系統；導體平面和點電荷系統 方法：用一個或若干個假想電荷來代替導體面上的感應電荷分布。 條件：（1）假想電荷的引入要不改變空間原來的電荷分布，即要滿足邊界條件； （2）假想電荷要放在求解區域之外。 常用公式：（1）導體球的象電荷及位置：，是球的半徑，為點電荷到球心的距離。（2）導體平面的象電荷：，位置距離平面為。 8 電多極展開 （相當于原點的點電荷）（電偶極矩）（電四極矩）9 電荷體系在外電場中的能量 電偶極子在外電場中所受的力和力矩是 二、 基本概念 1 兩種各向同性

11、的均勻介質分界面兩側電勢相等，即電勢在界面處是連續的，與界面有沒有凈電荷無關。 2 導體的靜電條件可歸納為：（1）導體內部沒有凈電荷，電荷只能分布于其表面上；（2）導體內部電場為零；（3）導體表面上電場必沿法線方向，因此導體表面為等勢面。整個導體的電勢相等。 3 均勻電場電勢的零點問題，可以在電場中選取坐標原點，并將原點作為電勢的參考點，電勢可表示為：。 4 唯一性定理告訴我們：只要給定區域V內的電荷分布，并給定區域邊界上的電勢或電勢的法向導數，則該區域內的電場分布是唯一的。這樣，在給定邊界條件下泊松方程的解，就是實際問題唯一的場分布形式。 5 用這個公式可以表示靜電場的總能量，積分只對有電荷

12、分布的地方才有貢獻，這里并不表示場的能量密度，場的能量密度應為。 6 邊值關系與邊界條件這兩個概念是有區別的，邊值關系指兩種介質的分界面所形成的兩邊的場量之間的聯系與銜接，如：兩絕緣介質界面上，電勢滿足 這就是邊值關系。邊界條件一般指系統的“邊緣”場所滿足的條件，如：位于均勻電場中的中性導體球，（有限），（均勻場的勢）。有些問題，邊值關系與邊界條件區分并不明顯，比如：一個半徑為的帶電為導體球，由于靜電平衡，整個球是個等勢體，而邊界條件是：（有限），。邊值關系是： （待定常數），待定常數可由公式來確定。由無窮遠處是電勢的零參考點，球心與球面具有相同的電勢，可省去邊界條件部分的陳述，故對導體球邊值

13、關系就可稱為邊界條件。 7 為何要討論電勢的多極展開？這是因為：（1）在許多物理問題中電荷分布于一個小區域內，而求解的場點又很遠；（2）通過積分法直接計算場的分布有一定的困難。多極展開能給出場分布的各級近似值。 三、 例題 1 半徑為的導體球殼，放入均勻電場中。設想這個球殼被垂直于的平面分割成兩個（相等的）半球殼，為了使這兩個半球殼不至于分開，需要加多大的外力？ 解：已知球殼內部電場強度為0，球外電勢滿足的定解問題為： 由于問題有軸對稱性，設球殼外的電勢為 當時，由邊界條件有 比較上式兩邊可得： 因此，球殼外的電勢可表示為 當時，由邊界條件可得： 比較等式兩邊，可得 由此可解得： 球外的電勢為

14、 式中的常數可由下式來確定： （因為球是中性的）最后電勢可表示為 球殼上的電荷面密度為 球外的電場強度為 在球面上，電場強度是： 由于球殼內部電場強度為0，作用在球殼上電荷的電場為 那么，電場作用在一個半球殼上的力 考慮到對稱性，我們有 2 有一個半徑為的薄導體球殼，帶電量為。殼內距中心為處有一點電荷。求同上的電荷分布。 解：定解問題是 由高斯定理 可得： 或 球外的場相當于位于球心的點電荷所激發，因此，球外的電勢就是點電荷所激發，則 對于球內的電勢，可用電像法求得。考慮到導體球面上電勢處處相等，由電像法可假定球外距離球心為處有一電量的點電荷。 球殼本身帶電，其上電勢并不為0，球內電勢由三部分

15、組成：球殼外表面的電荷貢獻+球殼內表面感應電荷的貢獻+球內點電荷的貢獻。 球殼外表面電荷對球內電勢的貢獻為： 球殼內表面感應電荷的貢獻+球內點電荷的貢獻： 所以球內的電勢為： 當時，滿足邊界條件。球殼上的電荷分布為： 第三章 靜磁場 在恒定情況下，電場和磁場不發生直接的聯系，故可分開處理。磁場的矢勢和標勢是重要的概念。在量子物理中，矢勢是一個可觀測的物理效應。 一、 內容提要 1 矢勢 稱為矢勢。矢勢沿某一回路的環量等于磁通量： 2 用矢勢來描述磁感應強度是不唯一的 這兩個矢勢都對應于一個磁感強度。對可選擇合適的規范條件：。這樣矢量場就被確定下來。 3 矢勢微分方程 或 式中是點，是場點，是點

16、到場點的距離。 4 矢勢的邊值關系 5 靜磁場的能量 相互作用能 6 磁標勢 引入條件：某一區域內的任何回路都不被電流所鏈環，即該區域內是沒有自由電流分布的單連通區域。用數學式子表示為 為假想的磁荷密度。 7 磁偶極矩 相應的標勢為 8 在外場中的能量 勢能： 相互作用能： 這里是外場。力矩：，力 9A-B效應 矢勢在量子物理中所處的地位要比經典電動力學重要得多。A-B效應表明：盡用描述磁場是不夠的。 二、 基本概念 1 矢勢的物理意義 矢勢的物理意義是：它沿著任一閉合回路的環量代表通過以該回路為界的任一曲面的磁通量。只有的環量才有物理意義，而每點上的值沒有直接的物理意義。這一點在量子物理中得

17、到直接的體現。 2 矢勢的不唯一性 由矢勢可以確定，但由并不能唯一地確定。 3 引入磁標勢的條件 在要研究的磁場分布區域內，我們所作的任何回路都不被電流所鏈環，即從數學上來說，回路是單連通的，。 例如，要研究自由電流I的電流圈的磁場分布，要同時除去電流所占空間和電流所圍的曲面，這樣才能用磁標勢計算剩余空間的磁場，保證該區域是單連通的。 4 沒有磁單極 矢勢的多極展開式的第一項為磁單極項，第二項為磁偶極項，第三項為磁四極子項，。第一項可表示為： （一個閉合的電流管）表明磁場展開式不含磁單極項。 5 超導體的兩個主要電磁性質 （1）超導電性（或零電阻效應）：當樣品的溫度下降到某一臨界溫度時，電阻突

18、然變為零的性質，稱為超導電性。 （2）邁斯納效應（或完全抗磁性）：超導體內部的磁感應強度為零，與超導體所經過的歷史無關。 三、 例題 1設半空間充滿磁導率為的均勻介質，空間為真空，今有線電流沿軸流動，求磁感應強度和磁化電流分布。 解:假設本題中的磁場分布仍呈軸對稱，則可寫作 其滿足邊界條件：，。在介質中， 而 在的介質中， 則，取積分路徑為的半圓。 段積分為零。 由，可得 （沿軸）2有一個均勻帶電的薄導體殼，其半徑為，總電荷為，今使球殼繞自身某一直徑以 角速度轉動，求球內外的磁場。 解：利用磁標勢法，取球體自轉軸為軸，建立坐標系，定解問題為： 其中 是球殼表面自由面電流密度。 解得滿足自然邊界

19、條件的解為： 代入銜接條件： 解得： 其中。 第四章 電磁波的傳播 在迅變情況下，電磁場以波動形式存在。變化著的電場和磁場互相激發，形成在空間中傳播的電磁波。本章主要研究電磁波在無界空間的傳播特性，在介質界面上的反射和折射以及在導體中的傳播問題。 一、 內容提要 1 真空中的波動方程 無電荷電流的自由空間： 2 完備性方程 3 平面電磁波 特性：（1）橫波，；（2）三者互相垂直，；（3）和同相，振幅比為；（4）對每一個，和有兩個獨立的偏振方向。 4 能量和能流 能量密度： 平均值： 能流密度： 平均值： 5 折射和反射定律 6 布儒斯特角 7 良導體的條件： 8 導體中的電磁波： 二、 基本概

20、念 1 介質的色散 介質的電容率和磁導率隨電磁波正弦振動頻率的變化關系，稱介質的色散。對不同的頻率，或是不同的。對單一頻率的正弦波來說，在線性介質中有關系 對非正弦波，。 2 平面電磁波 若電磁波沿軸方向傳播，其場強在與軸正交的平面上各點具有相同的值，即和僅與有關，而與無關。這種電磁波稱為平面電磁波，其波陣面為與軸正交的平面。 3或有兩個獨立的偏振波 由可知，電場可在垂直于的任意方向上振動。電場的取向稱為偏振方向。可以選取與垂直的任意兩個互相正交的方向作為的兩個獨立偏振方向。 4 電磁波的相速 一個沿軸方向傳播的平面波，其相速度為 在真空的無界空間中，電磁波的相速與能量傳播速度是相同的，但在一

21、般情況下，相速與能量傳播速度是兩個不同的概念。在某種情況下，相速可以超過光速，而能量傳播的速度不能大于光速。 5 全反射 當時，光從光密到光疏介質，而折射角隨著入射角的增大，變為，折射波沿界面掠過。若入射角再增大，則不能定義實數的折射角。這種情況下，反射波平均能流密度數值上和入射波平均能流密度相等，電磁波能量被全部反射出去，這現象稱全反射。 三、 例題 1一平面電磁波以 從真空入射到的介質，電場強度垂直于入射面，求反射系數和折射系數。 解：設為界面法向單位矢量，分別為入射波，反射波和折射波的玻印亭矢量的周期平均值，則反射系數和折射系數定義為： 又根據電場強度垂直于入射面的菲涅耳公式，可得： 又

22、根據反射定律和折射定律 由題意，。 2平面電磁波垂直入射到金屬表面上，試證明透入金屬內部的電磁波能量全部變為焦耳熱。 證明：設在z0 的空間中是金屬導體，電磁波由z0 的空間中垂直于導體表面入射。 已知導體中電磁波的電場部分表達式是： 于是由z =0 的表面，單位面積進入導體的能量為： 其中 平均值為： 在導體內部， 所以金屬導體單位面積內消耗的焦耳熱的平均值為： 作積分： 此為單位面積對應的導體中消耗的平均焦耳熱。又因為，所以 ，原題得證。 3有兩個頻率和振幅都相等的單色平面波沿z 軸傳播，一個波沿x 方向偏振，另一個沿y 方向偏振，但相位比前者超前，求合成波的偏振。反之一個圓偏振可以分解為

23、怎樣的兩個線偏振？ 解：偏振方向在x 軸上的波可記為 在y軸上的波可記為： 合成得軌跡方程為： 所以合成的振動是一個圓頻率為的沿z軸方向傳播的右旋圓偏振。反之，一個圓偏振可以分解為兩個偏振方向垂直，同振幅，同頻率，相位差為的線偏振的合成。 第五章 電磁波的輻射 電磁波是由運動電荷輻射出來的，例如原子內部電子躍遷運動產生電磁輻射，構成原子發射光譜。通常有電偶極輻射，電四極輻射和磁偶極輻射（這兩者具有相同的數量級）等。 一、 內容提要 1 用勢描述電磁場 2 庫侖規范和洛侖茲規范 3 達朗貝爾方程 4 推遲勢 達朗貝爾方程在無界空間的解 5 電偶極輻射的電磁場計算公式 6 平均能流與輻射功率 7

24、電磁場的動量 動量密度： 平均動量密度： 與能流密度的關系： 對平面電磁波：； 二、 基本概念 1 規范、規范變換和規范不變性 用矢勢和標勢描述電磁場，每一組稱為一種規范；從一組規范變換到另一組規范稱為規范變換；當勢作規范變換時，所有物理量和物理規律都應該保持不變，這種不變性稱為規范不變性。對電磁場來說，不同的規范可以對應著同一的和。 2 推遲勢的意義 物理意義：反映了電磁相互作用具有一定的傳播速度。空間某點在某時刻的場值不是依賴于同一時刻的電荷電流分布，而是決定于較早時刻的電荷電流分布。場點的狀態要比點的狀態推遲的時間。 3 電偶極輻射的方向性 在的平面上輻射最強，而沿電偶極矩軸線方向（）沒

25、有輻射。 4 動量守恒定律 在全空間中，電荷的動量變化率與電磁場動量的變化率之和為零，即 這個式子稱為電磁場動量守恒定律。 三、 例題 1 證明沿z軸方向傳播的平面電磁波可用矢勢表示，其中，垂直于z軸方向。 證：對于沿z軸傳播的任意一平面電磁波，可寫作： 滿足：1）均垂直于傳播方向；2）相互垂直，沿方向；3）同相，振幅比為（真空中為）。故不妨取： （1）（2）可見，如果令，表達式（1）（2）可表示的波正是符合條件的平面波，所以命題得證。 2 設和是滿足洛侖茲規范的矢勢和標勢。 （1）引入一個矢量函數（赫茲矢量），若令，證明。 （2）若令證明滿足方程，寫出在真空中的推遲解。 （3）證明可通過用下列公式表出，。 1）證：和滿足洛侖茲規范，故有 代入洛侖茲規范，有： ，即 2）證：因為標勢在滿足洛侖茲規范的條件下有方程： 而，故： 代入原方程得： 令，則上式化為： 即： 比較矢勢在洛侖茲規范下的波動方程，可得推遲勢解為： 3），代入，有： 同理可得： 第六章 狹義相對論 一、 內容提要 1 相對論的基本原理 1）相對性原理