1、第五章第五章 大數定律及中心極限定理大數定律及中心極限定理習習 題題 課課二、主要內容二、主要內容三、典型例題三、典型例題一、重點與難點一、重點與難點一、重點與難點一、重點與難點1.重點重點 中心極限定理及其運用中心極限定理及其運用. 2.難點難點 證明隨機變量服從大數定律證明隨機變量服從大數定律. 大數定律大數定律 二、主要內容二、主要內容中心極限定理中心極限定理 定定理理一一定定理理二二 定定理理三三 定理一的另一種表示定理一的另一種表示 定定理理一一定定理理二二 定定理理三三 切比雪夫定理的特殊情況切比雪夫定理的特殊情況有有數數則對于任意正則對于任意正的算術平均的算術平均個隨機變量個隨機

2、變量作前作前和方差：和方差：且具有相同的數學期望且具有相同的數學期望相互獨立相互獨立設隨機變量設隨機變量 ,1), 2, 1()(,)( ,1221 nkkkknXnXnkXDXEXXX. 11lim|lim1 nkknnXnPXP定理一的另一種表示定理一的另一種表示. , 1 ), 2, 1()(,)(, , , , 1221 PnkkkknXXnXkXDXEXXX即即依概率收斂于依概率收斂于則序列則序列和方差：和方差：且具有相同的數學期望且具有相同的數學期望相互獨立相互獨立設隨機變量設隨機變量伯努利大數定理伯努利大數定理有有則對于任意正數則對于任意正數率率在每次試驗中發生的概在每次試驗中發

3、生的概是事件是事件的次數的次數發生發生次獨立重復試驗中事件次獨立重復試驗中事件是是設設 , , , ApAnnA. 0lim1lim pnnPpnnPAnAn或或辛欽定理辛欽定理), 2 , 1( )( , , , , 21 kXEXXXkn 且具有數學期望且具有數學期望服從同一分布服從同一分布相互獨立相互獨立設隨機變量設隨機變量有有則對于任意正數則對于任意正數, . 11lim1 nkknXnP獨立同分布的中心極限定理獨立同分布的中心極限定理則隨機變量之和的則隨機變量之和的和方差：和方差：且具有數學期望且具有數學期望同一分布同一分布服從服從相互獨立相互獨立設隨機變量設隨機變量), 2 , 1

4、(0)(,)(,221 kXDXEXXXkkn 的分布函數的分布函數標準化變量標準化變量 nkknkknkknXDXEXY111滿足滿足對于任意對于任意 xxFn)( xtxt).(de2122 xnnXPxFnkknnn 1lim)(lim李雅普諾夫定理李雅普諾夫定理, 0|1,), 2 , 1(0)(,)(,122122221 nkkknnkknkkkknXEBnBkXDXEXXX 時時使得當使得當若存在正數若存在正數記記和方差：和方差：們具有數學期望們具有數學期望它它相互獨立相互獨立設隨機變量設隨機變量則隨機變量之和的標準化變量則隨機變量之和的標準化變量 nkknkknkknXDXEXZ

5、111nnkknkkBX 11 滿足滿足對于任意對于任意的分布函數的分布函數xxFn)( xBXPxFnnkknkknnn11lim)(lim xtxt).(de2122 棣莫弗拉普拉斯定理棣莫弗拉普拉斯定理恒有恒有對于任意對于任意則則的二項分布的二項分布服從參數為服從參數為設隨機變量設隨機變量,)10(,), 2 , 1(xppnnn xtnntxpnpnpP.de21)1(lim22 三、典型例題三、典型例題 解解.指出其分布參數指出其分布參數 , , 21獨立同分布獨立同分布因為因為nXXX , , 22221也獨立同分布也獨立同分布所以所以nXXX例例1的簡單隨機的簡單隨機是來自總體是

6、來自總體假設假設XXXXn , 21 ,樣本樣本 4). 3, 2,1,()( kXEkk 已知已知:證明證明充分充分當當 n ,大時大時, 1 12近似服從正態分布近似服從正態分布隨機變量隨機變量 niinXnZ并并,)( 22 iXE且且,)()()(2242242 iiiEXXEXD根據根據獨立同分布的中心極限定理獨立同分布的中心極限定理知知)(224122 nnXVniin)(11224122 nXnnii)(12242 nZn的極限分布是標準正態分布的極限分布是標準正態分布. , 充分大時充分大時故當故當n,近似服從標準正態分布近似服從標準正態分布nV , 充分大時充分大時從而當從而

7、當n )(12224近似服從近似服從 nnVnZ . , 22422的正態分布的正態分布參數為參數為n ,現有一批種子現有一批種子解解 , 0, 1粒不是良種粒不是良種第第粒是良種粒是良種第第令令iiXi., 2, 1ni ,61)1( iXP則則,1 niinXY記記.6000,61, nnBYn則則例例2 ()?1000161的概率是多少的概率是多少之差的絕對值小于之差的絕對值小于所占的比例與所占的比例與試問在這些種子中良種試問在這些種子中良種,6000 粒粒選選今在其中任今在其中任,61其中良種占其中良種占根據題意根據題意, 所求概率為所求概率為 10001616000nYP),6100

8、0( nYP,61,6000 BYn因為因為由由中心極限定理中心極限定理有有:,651000,1000 NYn近似服從近似服從 10001616000nYP所以所以 6/5100066/510001000nYP15000662 1)208. 0(2 15832. 02 .1664. 0 , )10, 0( 2NX假設測量的隨機誤差假設測量的隨機誤差解解的概的概值大于值大于為每次測量誤差的絕對為每次測量誤差的絕對設設 6 .19 p6 .19 XPp 106 .1910XP例例3. )975. 0 ,(效數字效數字要求小數點后取兩位有要求小數點后取兩位有的近似值的近似值 ,19.6 的概率的概率絕對值大于絕對值大于 ,100 次獨立重復測量中次獨立重復測量中在在試求試求 并利用泊松分布求出并利用泊松分布求出 3次測量誤差的次測量誤差的至少有至少有)96. 1(,率率 96. 110XP,05. 0)96. 1(22 6 .19100 出現出現次獨立測量中事件次獨立測量中事件為為設設 Xk , 05. 0 ,100 的二項分布的二項分布服從參數為服從參數為則則 pnk3 kP 故故31 kP05. 095. 010095. 0199100