1、高二數學隨機變量的數字特征；正態分布高二數學隨機變量的數字特征；正態分布人教實驗版（人教實驗版（B B）【本講教育信息本講教育信息】一. 教學內容：2.3 隨機變量的數字特征2.4 正態分布二. 教學目的1、能夠求出隨機變量的分布列，并利用分布列求出隨機變量的均值和方差，能解決簡單實際問題。2、掌握正態分布的性質，能夠計算有關概率值；了解假設檢驗的思想。三. 教學重點、難點利用分布列求出隨機變量的均值和方差；正態分布的性質。四. 知識分析1、離散型隨機變量的均值一般地，若離散型隨機變量 X 的分布列為Xx1x2xixnPp1p2pipn則稱為隨機變量 X 的均值或數學期望它反映了離1122nn

2、E(X)x px px p散型隨機變量取值的平均水平。若 X 為隨機變量，Y = aX + b（其中 a , b 為常數） ，則 Y 也是隨機變量，且有E（aX + b）= aE（X） + b若 X B （ n , p ） ，則 E（X） = np期望是算術平均值概念的推廣，是概率意義下的平均。E（X）是一個實數，由 X 的分布列惟一確定即作為隨機變量 X 是可變的，可取不同值，而 E（X）是不變的，它描述 X 取值的平均狀態 直接給出了 E（X）的求法，即隨機變量取1122nnE(X)x px px p值與相應概率值分別相乘后相加2、離散型隨機變量的方差設離散型隨機變量 X 的分布列為Xx1

3、x2xixnPp1p2pipn則xiE（X）2描述了 xi （i = 1,2,n）相對于均值 E（X）的偏離程度而n2iii 1D(X)xE(X)p為這些偏離程度的加權平均，刻畫了隨機變量 X 與其均值 E（X）的偏離程度，我們稱 D（X）為隨機變量 X 的方差，其算術平均根為隨機變量 X 的標準差。記作()D X()X隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離于均值的平均程度，方差或標準差越小，則隨機變量偏離均值的平均程度越小。設 X 為離散型隨機變量，則 （1）D（aX + b）a2D（X）（2）若 X 服從二點分布，則 D（X） = p （1p）（3）若 X B（n，p） ，則 D（

4、X） = np（1p） 3、正態分布我們稱，xR（其中是參數，且）為222)x(e21)x(f, 0, 正態變量 X 的概率密度函數，其圖象叫做正態分布密度曲線，簡稱正態曲線。期望為、標準差為的正態分布常記為。若 X，則 X 的均值與方差分別為：2( ,)N 2( ,)N 。參數是反映隨機變量取值的平均水平的特征數。是衡量隨機2(),()E XD X 變量總體波動大小的特征數可以用樣本標準差去估計正態曲線的性質：（1）曲線在 x 軸上方，與 x 軸不相交；（2）曲線是單峰的，它關于直線對稱；x （3）曲線在處達到峰值；x 12（4）當一定時，曲線隨著的變化沿 x 軸平移；（5）當一定時，曲線形

5、狀由確定，越小，曲線越瘦高。 當時的正態分布叫做標準正態分布。0,1 一般來說，正態變量的取值在內的概率是 68.3%，在內(,) (2 ,2 ) 的概率是 95.4%，在內的概率是 99.7%。(3 ,3 ) 【典型例題典型例題】例 1、某運動員投籃命中率 p = 0.6（1）求投籃一次時命中次數 X 的均值和方差；（2）求重復 5 次投籃時，命中次數 Y 的均值與方差。分析：分析：（1）為兩點分布的均值和方差（2）為二項分布的均值和方差。可利用公式求解。解析：解析：（1）投籃一次時命中次數 X 的分布列為：X01P0.40.6 則E(X)0 0.4 1 0.60.6 22D(X)(00.6

6、)0.4(1 0.6)0.60.24 （2）由題意，重復 5 次投籃時，命中次數 Y 服從二項分布，即 YB（5，0.6） 于是，有E(Y)5 0.63,D(Y)5 0.6 0.41.2 點評：點評：（1）投籃一次有兩個結果：命中與未命中，因此 X 服從兩點分布，用兩點分布的均值及方差公式；（2）投籃、射擊、抽樣（大量）等問題，都是 n 次獨立重復試驗，其隨機變量 YB（n , p） ，利用二項分布的均值、方差公式即可。例 2、甲、乙兩個野生動物保護區有相同的自然環境，且野生動物的種類和數量也大致相等而兩個保護區每個季度發現違反保護條例的事件次數的分布列分別為：甲保護區：X0123P0.30.

7、30.20.2乙保護區：Y012P0.10.50.4試評定兩個保護區的管理水平。解析：解析：甲保護區的違規次數 X 的數學期望和方差為E(X)0 0.3 1 0.32 0.23 0.21.3 2222D(X)(0 1.3)0.3(1 1.3)0.3(2 1.3)0.3(3 1.3)0.31.21乙保護區的違規次數 Y 的數學期望和方差為E(Y)0 0.1 1 0.52 0.41.3 222D(X)(0 1.3)0.1 (1 1.3)0.5(2 1.3)0.40.41因為，所以兩個保護區內每季度發生的違規事件的平均E(X)E(Y)D(X)D(Y)次數是相同的，但乙保護區內的違規事件次數更集中和穩

8、定，而甲保護區的違規事件次數相對分散點評：點評：解決實際問題，要充分理解隨機變量在實際問題中表示的意義，然后利用均值和方差的實際意義解決例 3、若隨機事件 A 在 1 次試驗中發生的概率為 P（0p1） ，用隨機變量 X 表示 A 在 1次試驗中發生的次數（l）求方差 D（X）的最大值；（2）求的最大值。2D(X) 1E(X)分析：分析：本題是最值問題，需要先將 D（X） ，及表示出來，利用函數知識解2D(X) 1E(X)決解析：解析：隨機變量 X 的所有可能取值為 0 ，1 ，并且有 P（X= l）= p , P（X = 0）= lp從而pp1)p1 (0)X(E)p1 (pp)p1 ()p

9、1 ()p0()X(D22（i）41)21p(41)41pp(pp)p1 (p)X(D222當時，D（X）取得最大值，最大值為。，1p021p 41（2）)p1p2(2p1)pp(2)X(E1)X(D22，1p022p1p2當且僅當，即時，取“=” 。p1p2 22p 因此，當時，取得最大值。22p )X(E1)X(D2222 點評：點評：本題將方差知識與函數聯系起來，因此在求解過程中可以利用函數的性質及使用研究函數的方法例 4、 （2003 年遼寧 20，天津理 20） A 、B 兩個代表隊進行乒乓球對抗賽，每隊三名隊員， A 隊隊員是 A 1、A2、A3 ，B 隊隊員是 B1、B2、B3，

10、按以往多次比賽的統計，對陣隊員之間勝負概率如下：對陣隊員A 隊隊員勝的概率A 隊隊員負的概率A1對 B12313A2對 B22535A3對 B32535現按表中對陣方式出場，每場勝隊得 1 分，負隊得 0 分設 A 隊、B 隊最后所得總分分別為、（I）求的概率分布列。、（II）求。EE ，分析：分析：此題中的、不服從特殊分布，用定義求均值。解析：（I）、的可能取值分別為 3，2，1，0P（=3）758525232P（=2），7528525332525231535332P（=1）52525331535231535232P（=0）253535331根據題意知，所以3253)0(P)3(P52) 1

11、(P)2(P7528)2(P) 1(P758)3(P)0(P，（II）15222530521752827583E因為，所以31523E3E點評：點評：本題中第（I）問是第（）問的基礎，在利用定義求均值時，必先求分布列。例 5、已知某車間正常生產的某種零件的尺寸滿足正態分布 N（27.45，0.05 2） ，質量檢驗員隨機抽查了 10 個零件，測量得到它們的尺寸如下： 27.34，27.49，27.55，27.23，27.40，27.46，27.38，27.58，27.54，27.68請你根據正態分布的小概率事件，幫助質量檢驗員確定哪些應該判定為非正常狀態下生產的。分析：分析：利用正態變量在區間

12、內的取值的概率為 99.7%來判斷。(3 ,3 ) 解析：解析：根據小概率事件在一次試驗中幾乎不可能發生的思想，我們對落在區間（27.4530.05，27.45 +30.05）之外的零件尺寸做出拒絕接受零件是正常狀態下生產的假設，有兩個尺寸為 27.23 和 27.68 的零件，不符合落在區間（27.4530.05，27.45+30.05）內這一條件，判斷它們就是非正常狀態下生產的。點評：點評：本題是正態分布應用中假設檢驗的一個實例，依據的準則是正態總體在區間外的取值的概率僅有 0.3%來判斷個別零件是在非正常狀態下生產的。(3 ,3 ) 【模擬試題模擬試題】一、選擇題（每小題 5 分，共 6

13、0 分） 1、甲、乙兩人獨立地解決同一問題，甲解決這個問題的概率是，乙解決這個問題的1P概率是，那么其中至少有 1 人解決這個問題的概率是（ ）2PA、B、21PP 21PP C、D、21PP1)P1)(P1 (121 2、如圖所示，1、2、3 表示 3 種開關，若在某段時間內它們正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.7，那么此系統的可靠性是（ ）A、0.504B、0.994C、0.496D、0.06 3、甲、乙兩人同時獨立解答一道數學題，甲解出的概率為 0.4，乙解出的概率為 0.5，則該題能被解出的概率為（ ）A、0.9B、0.2C、0.7D、0.1 4、兩射手彼此獨立地向同一目標射擊，

14、設甲射中的概率 P（A）=0.8，乙射中的概率P（B）=0.9，則目標被擊中的概率為（ ）A、1.7B、1C、0.72D、0.98 5、一整數等可能在 1，2，10 中取值，以 X 記除得盡這一整數的正整數的個數，那么 E（X）等于（ ）A、2.6B、2.5C、2.7D、2.8 6、從 5 個數 1，2，3，4，5 中任取 3 個數，X 表示中最大的一321xxx、321xxx、個，則 X 的分布列為（ ）A、X12345P5151515151B、X345P101103106C、X12345P00101103106D、X345P101104105 7、設隨機變量 XB（n，P） ，且 E（X）

15、=1.6，D（X）=1.28，則（ ）A、n=8，P=0.2B、n=4，P=0.4C、n=5，P=0.32D、n=7，P=0.45 8、口袋中有 5 只球，編號為 1，2，3，4，5，從中任取 3 球，以 X 表示取出的球的最大號碼，則 E（X）的值是（ ）A、4B、4.5C、4.75D、5 9、設兩個獨立事件 A 和 B 都不發生的概率為，A 發生 B 不發生的概率與 B 發生 A 不91發生的概率相同，則事件 A 發生的概率 P（A）是（ ）A、B、C、D、921813132 10、一次測驗中共有 4 個選擇題，每個選擇題均有 4 個備選答案，其中只有一個答案是正確的，某生隨機地就每小題各

16、選一個答案，則其恰好選中 3 個正確答案的概率為（ ）A、B、C、D、411616432561 11、先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子（它們的六個面分別標有點數 1、2、3、4、5、6） ，骰子朝上的面的點數分別為 X、Y，則的概率為（ ）1XYlog2A、B、C、D、6136512121 12、設有一正態總體，它的概率密度曲線是函數的圖象，且，)x(f8)10 x(2e81)x(f則這個正態總體的平均數與標準差分別是（ ）A、10 與 8B、10 與 2C、8 與 10D、2 與 10二、填空題（每小題 4 分，共 16 分） 13、若 10 把鑰匙中只有 2 把能打開某鎖，則從中任取 2 把能

17、將該鎖打開的概率為_。 14、一個袋子里裝有大小相同的 3 個紅球和 2 個黃球，從中同時取出 2 個，則其中含紅球個數的數學期望是_（用數字作答） 15、拋擲兩枚骰子，當至少有一個 1 點或一個 2 點出現時，就說這次試驗成功，否則稱試驗失敗，則在 20 次試驗中成功次數 X 的期望是_。 16、四個人打橋牌，則你手中有 5 張黑桃，而另 8 張黑桃全在你的同伴手中的概率_。三、解答題（共 74 分） 17、 （12 分）一副撲克牌有紅桃、黑桃、梅花、方塊 4 種花色，每種 13 張，共 52 張，從這一副洗好的牌中任取 4 張，求 4 張中至少有 3 張黑桃的概率。 18、 （12 分）從

18、 1，2，n 這 n 個數中任取兩個，求其中一個小于 k，另一個大于 k 的概率（） 。nk1 19、 （12 分）對某種藥物的療效進行研究，假定藥物對某種疾病的治愈率，現在8 . 0P010 個患此病的病人中同時服用此藥，求其中至少有 6 個病人治愈的概率。0P 20、 （12 分）某射手在一次射擊訓練中，射中 10 環、9 環、8 環、7 環的概率分別為0.21，0.23，0.25，0.28，計算這個射手在一次射擊中：（1）射中 10 環或 7 環的概率；（2）不夠 7 環的概率。 21、 （13 分）甲、乙兩人在罰球線投球命中的概率分別為與，投中得 1 分，投不中2152得 0 分。（1

19、）甲、乙兩人在罰球線各投球一次，求兩人得分之和 X 的數學期望；（2）甲、乙兩人在罰球線各投球兩次，求這四次投球中至少一次命中的概率。 22、 （13 分）9 粒種子分種在甲、乙、丙 3 個坑內，每坑 3 粒，每粒種子發芽的概率為0.5。若一個坑內至少有 1 粒種子發芽，則這個坑不需要補種；若一個坑內的種子都沒發芽，則這個坑需要補種。（1）求甲坑不需要補種的概率；（2）求 3 個坑中恰有 1 個坑不需要補種的概率；（3）求有坑需要補種的概率。 （精確到 0.001）【試題答案試題答案】一、選擇題 1、D2、B3、C4、D5、C6、B 7、A8、B9、D10、C11、C12、B二、填空題 13、

20、14、1.215、16、4517910071026三、解答題 17、解析：至少有 3 張黑桃包括兩種情況：“恰好有 3 張黑桃”與“4 張全是黑桃” ，用這兩種情況的取法總數除以 52 張牌中任取 4 張牌的取法總數即可。從 52 張牌中任取 4 張，有種取法，即，4 張牌中至少有 3 張黑桃的取法有452C452Cn 。因此，取 4 張牌中至少有 3 張黑桃的概率是。413139313CCC452413139313CCCCP 18、解：2nC)kn)(1k(P 19、解：假定病人服用該藥或者治愈（事件 A）或者沒有治愈（事件） ，A由題意，2 . 08 . 01)A(P8 . 0)A(P，至

21、少有 6 人治愈可分為 10 人中 6 人愈，10 人中 7 人愈，10 人中 8 人愈，10 人中 9 人愈，10 人全愈五種情況：)10(P)9(P)8(P)7(P)6(PP10101010100.9101010199102881037710466108 . 0C2 . 08 . 0C2 . 08 . 0C2 . 08 . 0C2 . 08 . 0C7答：至少有 6 人治愈的概率為 0.97。 20、解析：（1）設“射中 10 環”為事件 A， “射中 7 環”為事件 B，由于在一次射擊中，A 與 B 不可能同時發生，故 A 與 B 是互斥事件。 “射中 10 環或 7 環”的事件為 A+B，故P（A+B）=P（A）+P（B）=0.21+0.28=0.49。射中 10 環或 7 環的概率為 0.49。（2）不夠 7 環從正面考慮有以下幾種情況：射中 6 環、5 環、4 環、3 環、2 環、1 環、0 環，但由于這些概率都未知，故不能直接入手，可考慮從反面入手，不夠 7 環的反面是大于等于 7 環，即 7 環、8 環、9 環、10 環，由于此兩事件必有一個發生，另一個不發生，故是對立事件，可用對立事件的方法處理。設“不夠 7