1、土木工程力學土木工程力學 作者作者(zuzh) 王長連王長連 軸向軸向拉壓桿應力拉壓桿應力第一頁，共36頁。大了。大了。我們可以用這個我們可以用這個(zh ge)模型解釋模型解釋觀察到的等直桿軸向拉伸變形現(xiàn)象：觀察到的等直桿軸向拉伸變形現(xiàn)象：等直桿在軸向拉力作用下，所有縱等直桿在軸向拉力作用下，所有縱向纖維都伸長了相同的量；所有橫向纖維都伸長了相同的量；所有橫截面仍保持為平面且與桿軸垂直截面仍保持為平面且與桿軸垂直（此即所謂的平截面假設），只不（此即所謂的平截面假設），只不過相對離開了一定的距離。過相對離開了一定的距離。由此可以認為：軸向受拉桿件橫截由此可以認為：軸向受拉桿件橫截面上任一點都受

2、到且只受到平行于面上任一點都受到且只受到平行于桿軸方向（即與桿橫截面正交方向，桿軸方向（即與桿橫截面正交方向，稱為橫截面法向或正向）的拉力作稱為橫截面法向或正向）的拉力作用，各點拉力大小相等。即桿橫截用，各點拉力大小相等。即桿橫截面實際上是受到連續(xù)均勻分布的正面實際上是受到連續(xù)均勻分布的正向拉力作用，這些分布拉力的合力向拉力作用，這些分布拉力的合力就是軸力。就是軸力。第1頁/共36頁第二頁，共36頁。AFNANlim0AFN第2頁/共36頁第三頁，共36頁。222186.7063044mmdA（拉）PammNAFNAB47.141/47.14186.706101002311（拉）MPammAF

3、NBC03.99N/03.9986.70610702312)M18.113/18.11386.70610802313（壓PammNAFNCD（壓）MPammNAFNDE89.88/89.8890010802324PaM47.141maxPaM18.113max全桿絕對全桿絕對(judu)(judu)最大正應力是最大正應力是ABAB段的拉應力段的拉應力全桿絕對全桿絕對(judu)(judu)最小正應力是最小正應力是DEDE段的壓應力段的壓應力PaABM47.141|maxPaDEM89.88|min第3頁/共36頁第四頁，共36頁。第4頁/共36頁第五頁，共36頁。（mm）。）。l表示了桿件縱向

4、表示了桿件縱向(zn xin)的總的總變形量，但不能反映桿件的縱向變形量，但不能反映桿件的縱向(zn xin)變形程度。通常，對變形程度。通常，對于長為于長為l的桿段，若縱向的桿段，若縱向(zn xin)變形為變形為l，則平均單位長度的縱向，則平均單位長度的縱向(zn xin)變形為變形為（10-4）稱之為桿段的平均線應變，用來描稱之為桿段的平均線應變，用來描述桿件的縱向述桿件的縱向(zn xin)變形程變形程度。度。當當l0時，桿段成為一點，所取極限時，桿段成為一點，所取極限值，稱為該點的線應變，用值，稱為該點的線應變，用表示。表示。即有即有（10-5）對于軸力為常數(shù)的等直桿段，各橫對于軸力

5、為常數(shù)的等直桿段，各橫截面處縱向截面處縱向(zn xin)變形程度變形程度相同，則平均線應變與各點的線應相同，則平均線應變與各點的線應變相同。變相同。顯然，桿件縱向顯然，桿件縱向(zn xin)線應線應變的正負與縱向變的正負與縱向(zn xin)變形變形l的正負是一致的，因此的正負是一致的，因此為正時表示為正時表示拉應變，為負時表示壓應變。線應拉應變，為負時表示壓應變。線應變變是無量綱數(shù)，因此無單位，常用是無量綱數(shù)，因此無單位，常用小數(shù)、百分數(shù)或千分數(shù)來表示。小數(shù)、百分數(shù)或千分數(shù)來表示。lllll0lim第5頁/共36頁第六頁，共36頁。即橫向(hn xin)線應變與縱向線應變恒異號。hh第6

6、頁/共36頁第七頁，共36頁。度，材料的變形(bin xng)可保持為完全彈性，稱之為材料處于彈性狀態(tài)。但若外力（或應力）超過了這個限度，材料的變形(bin xng)中就既包含彈性變形(bin xng)又包含塑性變形(bin xng)。第7頁/共36頁第八頁，共36頁。AlFlNEAlFlN第8頁/共36頁第九頁，共36頁。mmEAlFlABNAB4 . 1867061021021053511332517210101.02706.8610BCNBCFllmmEA mmEAlFlCDNCD6 . 086.70610210108053313334528010100.4290010DENDEFllm

7、mEA DECDBCABlllll第9頁/共36頁第十頁，共36頁。針對桿段，故具有更普遍的適用價值，被廣泛應用于各種條件下受力構件內(nèi)一點處的應力應變分析中。利用式（10-7），例10-2的解法可變更如下：先計算出各段應變EAFN/ll / 07 . 7 10 2 47 . 141 5 E AB AB 10 4 95 . 4 10 2 99.03 5 E BC BC 10466. 510218.1135ECDCD10444. 410289.885EDEDE再計算(j sun)全桿變形DECDBCABlllllmmllllDEDECDCDBCBCBCABAB4 . 11011044. 41011

8、066. 51021095. 41021007. 7 34343434計算結果與例10-2完全相同。第10頁/共36頁第十一頁，共36頁。解：解： 柱子橫截面為定值，故其單位長度的重力相等，都為柱子橫截面為定值，故其單位長度的重力相等，都為AA，即重力沿柱子軸線均勻分布。在距柱頂為，即重力沿柱子軸線均勻分布。在距柱頂為x x的橫截面上，軸力為的橫截面上，軸力為Ax Ax ，是，是x x的一次函數(shù)，即：的一次函數(shù)，即：FNFN（x x）AxAx說明柱子橫截面上軸力沿桿軸線是非均勻分布的，越往下軸力越大，呈線性增加。故不能用式（說明柱子橫截面上軸力沿桿軸線是非均勻分布的，越往下軸力越大，呈線性增加

9、。故不能用式（10-610-6）來計算）來計算(j sun)(j sun)全柱的變形值。全柱的變形值。在在x x的橫截面處取一微段的橫截面處取一微段dxdx分析。由于其長度很微小，可認為在此微段上軸力不變，恒為分析。由于其長度很微小，可認為在此微段上軸力不變，恒為FNFN（x x）。故可用式（）。故可用式（10-610-6）計算）計算(j sun)(j sun)該微段的縱向變形該微段的縱向變形(dx)(dx)。由于變形微小，數(shù)學上要用微分。由于變形微小，數(shù)學上要用微分d d（dxdx）代替）代替（dxdx），即），即全柱的縱向變形全柱的縱向變形HH為在全柱上的定積分，即為在全柱上的定積分，即其

10、中，負號表示變形值為縮短量。其中，負號表示變形值為縮短量。xdxEEAAxdxEAdxxNdxd)()(20()2HHHHd dxxdxEE 第11頁/共36頁第十二頁，共36頁。學性質，是無量綱數(shù)。|第12頁/共36頁第十三頁，共36頁。對試樣、試驗條件和試驗方法做出了規(guī)定。第13頁/共36頁第十四頁，共36頁。設圓截面(jimin)試樣的工作段長度為l，直徑為d，則l=10d 的試樣為長試樣，l=5d的為短試樣。設矩形截面(jimin)的工作段長度為l，橫截面(jimin)面積為A，則l=11.3A的試樣為長試樣，l=5.65 A的為短試樣。把制備好的試樣兩端裝夾在萬能材料試驗機的上下夾頭

11、里，開動機器緩慢(hunmn)而均勻地加載，使試樣產(chǎn)生軸向拉伸變形，直到拉斷為止。第14頁/共36頁第十五頁，共36頁。F-曲線所記錄的數(shù)據(jù)與試樣的尺寸大小有關。為了反映材料本身的力學性能，應消除尺寸因素。為此，將橫坐標上各點的l值除以l，得到試樣在相應時刻的縱向線應變值。同時(tngsh)，把相應的拉力值除以試樣原始橫截面積，得到相應時刻試樣橫截面上的名義正應力值。如此可繪出拉伸過程材料的-曲線，如圖10-7b，稱為試樣材料的拉伸應力應變圖。裝配了電腦的試驗機可直接自動繪出- 曲線。第15頁/共36頁第十六頁，共36頁。性(tnxng)模量：tan 點a所對應的應力(yngl)，是應力(yn

12、gl)與應變成正比例關系的最高應力(yngl)，它就是前面所說的材料比例極限P。當應力(yngl)超過比例極限P后，應力(yngl)與應變不再是直線關系。但在圖示b點以下，變形仍保持完全彈性，即解除拉力或說釋放應力(yngl)后，變形將完全消失。b點所對應的應力(yngl)，是材料保持完全彈性的最高應力(yngl)，稱為材料的彈性極限，用e表示。由于Pe，所以工程上并不嚴格區(qū)分它們，都籠統(tǒng)地稱之為彈性極限。第16頁/共36頁第十七頁，共36頁。服低限。屈服高限的數(shù)值與試件形狀、加載速度等因素有關，一般是不穩(wěn)定的。屈服低限則比較穩(wěn)定，能夠反映材料的基本(jbn)特性。因此，通常將屈服低限稱為材料

13、的屈服極限，用s表示。經(jīng)表面拋光處理的試樣，在屈服階段其表面上會出現(xiàn)一組較為明顯的與試樣軸線大致成45的斜紋，如圖10-8所示。這是由于試樣在軸向拉伸(l shn)時，在與桿軸成45傾角的斜截面方向產(chǎn)生了較大切應力，從而使鋼材內(nèi)部原子晶格沿該斜截面產(chǎn)生剪切位移，使試樣形成一組剪切滑移面。正因為此，這些斜紋又稱為滑移線。第17頁/共36頁第十八頁，共36頁。可以明顯看到試樣的橫截面尺寸在縮小。第18頁/共36頁第十九頁，共36頁。段。第19頁/共36頁第二十頁，共36頁。%1001lll%1001AAA第20頁/共36頁第二十一頁，共36頁。第21頁/共36頁第二十二頁，共36頁。如里拉到強化階

14、的某一時刻卸載至零后不立即再拉，而是放置一段時間后再拉，則其比例極限、“屈服(qf)”極限還會進一步提高（如圖中k2fgh實線所示），塑性則進一步降低。這種現(xiàn)象叫時效硬化（自然時效）。時效硬化與卸載后放置進間長短有關，也可通過加熱來加速時效縮短時間（人工時效）。第22頁/共36頁第二十三頁，共36頁。的曲線如圖1010中實線所示（圖中虛線為同種鋼材拉伸時的曲線）。變形過程可以分成三個階段：彈性階段（O-a-b，其中a點應力為比例極限p，b點應力為彈性極限e）、屈服階段（b-c，其首次下降之后的最低應力為屈服極限y）和強化階段（c-d）。進入強化階段后，試樣被壓得越來越扁，橫截面面積越來越大，抗

15、壓能力(nngl)也不斷提高。加之計算應力時仍采用原來橫截面面積，因而曲線呈向上無限延伸趨勢。這說明235鋼壓縮時不存在強度極限。235鋼壓縮時不存在頸縮現(xiàn)象，因此比拉伸時少了一個頸縮階段。235鋼壓縮時的曲線與拉伸時的曲線在彈性階段和屈服階段吻合，說明235鋼壓縮時的彈性模量E、比例極限p（或彈性極限e）及屈服極限y等都與拉伸時相同。pp， ee yy因此，對235鋼，無需做壓縮試驗，也能從拉伸試驗結果了解到它在壓縮時的力學性能。同理，235鋼的設計抗壓強度也由受壓屈服極限y確定。顯然，在相同可靠度時，235鋼的設計抗壓強度設計抗拉強度。第23頁/共36頁第二十四頁，共36頁。圖10-11從

16、圖10-11中可以看出，灰口鑄鐵拉伸、壓縮(y su)時的曲線都沒有明顯的直線部分，也不能劃分出變形階段。不過，在應力較小的情況下，可近似地用切線或某一割線來代替曲線，從而使應力-應變關系符合胡克定律。當彈性模量取切線的斜率Etan時，稱為切線彈性模量。當彈性模量取割線的斜率Etan時，稱為割線彈性模量。從圖10-11a知，鑄鐵受拉試樣直到拉斷時應力都很小，伸長率也很小（0.45）。因此，鑄鐵是脆性材料的代表。試驗還表明，鑄鐵受拉直到拉斷為止，其變形都基本上屬彈性變形，殘余變形很小。從圖10-11b知，鑄鐵受壓破壞時的應力和變形都比受拉破壞時的大得多，受壓強度極限（6401300MPa）比受拉

17、強度極限（98390MPa）高達45倍，壓縮(y su)極限變形（伸長率約5）比拉伸極限變形高達10倍以上。因此，鑄鐵適宜作受壓構件。試驗還表明，鑄鐵受壓破壞時沿與試樣軸線成4555角的斜截面發(fā)生錯斷剪切破壞，這說明鑄鐵抗剪能力比抗壓能力低。灰口鑄鐵這類脆性材料的拉伸、壓縮(y su)破壞都是突然性的，事先沒有預兆，這種破壞稱為脆性破壞。其破壞的標志就是斷裂，因此其設計抗拉、抗壓強度值由強度極限值來確定。工程上應盡量避免結構發(fā)生脆性破壞，以減少生命與財產(chǎn)損失。第24頁/共36頁第二十五頁，共36頁。圖圖10-12第25頁/共36頁第二十六頁，共36頁。圖10-13第26頁/共36頁第二十七頁，

18、共36頁。試驗(shyn)還表明，砌體的抗壓強度比抗拉強度、抗剪強度都高，最宜于作受壓構件。圖10-14第27頁/共36頁第二十八頁，共36頁。圖10-14第28頁/共36頁第二十九頁，共36頁。第29頁/共36頁第三十頁，共36頁。第30頁/共36頁第三十一頁，共36頁。對于軸向拉壓等直桿，如果全桿最大軸力對于軸向拉壓等直桿，如果全桿最大軸力為為FNmax，則全桿的最大工作應力為，則全桿的最大工作應力為max FNmaxA，故其強度條件可寫，故其強度條件可寫為為maxFNmaxA （10-12）計算時，軸力和應力都用絕對值，拉或壓計算時，軸力和應力都用絕對值，拉或壓由直觀確定。由直觀確定。

19、第31頁/共36頁第三十二頁，共36頁。minA/4minA 第32頁/共36頁第三十三頁，共36頁。圖10-15解： 由于考慮自重作用，磚柱軸力不是均勻分布，而是上小下大。FNA145kN，F(xiàn)NB（FAH）（145180.4921）149.3kN。作出柱的軸力圖如圖10-15b。顯然，柱的絕對最大壓力(yl)位于柱底：FNmax149.3kN。柱為等直桿，故絕對最大壓應力也在柱底，為maxFNmaxA149.3103（490490）0.622Nmm2該柱強度滿足要求。 第33頁/共36頁第三十四頁，共36頁。圖10-16解：解： （1 1）求）求BCBC桿的軸力桿的軸力 從圖中可知，從圖中可

20、知，BCBC桿是二力桿。因此，可拆開鉸桿是二力桿。因此，可拆開鉸A A，切斷，切斷(qi dun)(qi dun)桿桿BCBC，取，取ABAB分析，受力圖如圖分析，受力圖如圖10-16b10-16b。由由ABAB平衡得：平衡得：MAMA0 0FNBC sin30FNBC sin302+122+121 10 0解得解得FNBCFNBC12kN12kN。（2 2）若拉桿）若拉桿BCBC用圓木桿，求所需直徑用圓木桿，求所需直徑 因因FNBCFNBC12kN12kN，11MPa11MPa，故由式（，故由式（10101212）得）得AminAminFNBCFNBC121210310311111090.9

21、1mm21090.91mm2于是，最小直徑為于是，最小直徑為dmindmin37.3mm37.3mm考慮到加工實際和建筑模數(shù)要求，取設計考慮到加工實際和建筑模數(shù)要求，取設計(shj)(shj)直徑直徑d d40mm40mm。（3 3）若拉桿）若拉桿BCBC用角鋼，選擇角鋼型號用角鋼，選擇角鋼型號同理，將同理，將FNBCFNBC12kN12kN，215MPa215MPa代入式（代入式（9 91212）得）得AminAminFNBCFNBC121210310321521555.81mm255.81mm2查附錄型鋼表中查附錄型鋼表中“熱軌等邊角鋼熱軌等邊角鋼”知，可選知，可選50506 6，因，因A A選選56.88mm25