1、2022-6-22第四章 時間序列模型的性質1第五章 平穩時間序列模型的性質第一節 自回歸過程的性質第二節 移動平均過程的性質第三節 自回歸移動平均過程的性質第四章 時間序列模型的性質22022-6-22第一節 自回歸過程的性質n一、一階自回歸過程AR(1)的性質n二、二階自回歸過程AR(2)的性質n三、p階自回歸過程AR(p)的性質第四章 時間序列模型的性質32022-6-22一、一階自回歸過程AR(1)的性質n一階自回歸模型的形式為：tttxx11或ttxB11第四章 時間序列模型的性質42022-6-221、平穩性和可逆性a.可逆性：一個有限階的自回歸模型總是可逆的，所以，ar(1)模型

2、總是可逆的。B.平穩性：為滿足平穩性， 的根必須在單位圓外，即應有：011B11第四章 時間序列模型的性質52022-6-222.ar(1)過程的自相關函數kkkktkttkttktkaatttttkxExxExxExxExEAR10111121202021211212120:) 1()()()(1)2()(:) 1 (解此差分方程有所以所以下過程的自協方差函數如第四章 時間序列模型的性質62022-6-221,0)1(:010有時當因此它的自相關函數為kkkkk第四章 時間序列模型的性質72022-6-222121261412111224121212221111221112122614121

3、224121212222111201)1 ()()()(1)1 ()()()(:akakkktktktktktktktktttkttkaatttttttEExxEEExE方法證明上述結論還可通過如下第四章 時間序列模型的性質82022-6-221010且于是有kkk第四章 時間序列模型的性質92022-6-22通過上述推導可看出，當過程平穩即通過上述推導可看出，當過程平穩即 時，時，AR(1)過程的自相關函數（過程的自相關函數（ACF）呈）呈指數衰減。指數衰減。如果如果 ，那么所有的自相關系數都為正，那么所有的自相關系數都為正，并逐漸衰減。并逐漸衰減。如果如果 ， 自相關系數的符號以負號開始，

4、自相關系數的符號以負號開始，并呈正、負交替逐漸衰減。并呈正、負交替逐漸衰減。01111101第四章 時間序列模型的性質102022-6-22例例1，下面兩圖表分別是模擬生成的，下面兩圖表分別是模擬生成的249個數據個數據如下如下AR(1)過程趨勢圖和自相關圖過程趨勢圖和自相關圖白噪聲為正態其中或) 1 , 0(,85. 085. 0)85. 01 (11NaxxxBtttttt第四章 時間序列模型的性質112022-6-22-6-4-202482848688909294969800例例1，模擬生成的，模擬生成的AR(1)過程趨勢圖過程趨勢圖第四章 時間序列模型的性質122022-6-22例1：

5、模擬生成的AR(1)過程自相關圖:85. 085. 0)85. 01 (11其中或tttttxxxB呈指數衰減第四章 時間序列模型的性質132022-6-22例例2，下面兩圖表分別是模擬生成的，下面兩圖表分別是模擬生成的249個數據個數據如下如下AR(1)過程趨勢圖和自相關圖過程趨勢圖和自相關圖白噪聲為正態其中或) 1 , 0(,85. 0)85. 0()85. 01 (11NxxxBtttttt第四章 時間序列模型的性質142022-6-22-6-4-2024682848688909294969800Y例例2，模擬生成的，模擬生成的AR(1)過程趨勢圖過程趨勢圖第四章 時間序列模型的性質15

6、2022-6-22例2：模擬生成的AR(1)過程自相關圖:85. 0)85. 0()85. 01 (11其中或tttttxxxB呈正負交替指數衰減第四章 時間序列模型的性質162022-6-223.AR(1)過程的偏自相關函數（PACF）A.偏自相關函數的一般公式.) 1(0),cov(,:, 0)(.,112211121121間的偏自相關系數和也就是上式中的且為正態誤差項個回歸系數為第上式中則有間存在線性關系與且假設來表示它一般用的相關性之間和的影響之后之間的隨機變量和偏自相關函數指剔除掉在第二章我們已經知道kttkkjtttkitktkkktkktktktktktttttkkkttkttt

7、kttxxjxeeiexxxxxxxxxxxExxxxxxx第四章 時間序列模型的性質172022-6-22kjkkjkjkjkjkkjkjkjjtktkkjttkjttkjttjtxxExxExxExxEjx221122112211:)()()()(,) 1(:所以于是有并求期望得乘上式兩端將式可推導如下偏自相關函數的一般公第四章 時間序列模型的性質182022-6-22即為偏自相關函數方程此方程稱為我們有如下方程組對于kkkkkkkkkkkkkkkkkkkWolYulekj,ker, 2 ,四章 時間序列模型的性質192022-6-220121012

8、1031220111033112110110211022111111, 2 , 1法則可得由對于Gramerkk第四章 時間序列模型的性質202022-6-22的一般公式上式即為偏自相關函數類推下去可得11111,132123111221132123111221kkkkkkkkkkkkkkk第四章 時間序列模型的性質212022-6-22B.AR(1)過程的偏自相關函數0011,0121012102112110101100121012103122011103311111010011021102211111公式得及偏自相關函數的一般由kk第四章 時間序列模型的性質222022-6-22)2(0:

9、1111kkk于是有如下結論上述結論說明：上述結論說明：AR (1)過程的偏自相關函數過程的偏自相關函數(PACF)在滯后一階有一峰值，其符號取在滯后一階有一峰值，其符號取決于決于 。滯后一階以后。滯后一階以后PACF截尾。截尾。1第四章 時間序列模型的性質232022-6-22另一種思路：n根據定義：偏自相關函數是指扣除Xt和Xt-k之間的隨機變量Xt-1,Xt-2, Xt-k-1等影響之后的Xt和Xt-k之間的相關性。n對于p階自回歸過程，當sp時，xt與xt-s有直接的相關性；而sp時，兩者沒有直接的相關性。n因此，對于AR(p)過程，在模型的滯后階數以內，通常有非零的偏自相關系數；但在

10、滯后階數以外，偏自相關系數則為零。第四章 時間序列模型的性質242022-6-22例1：模擬生成的AR(1)過程自相關圖:85. 085. 0)85. 01 (11其中或tttttxxxB滯后一階以后截尾第四章 時間序列模型的性質252022-6-2285. 0)85. 0()85. 01 (11其中或tttttxxxB例2：模擬生成的AR(1)過程自相關圖:滯后一階以后截尾第四章 時間序列模型的性質262022-6-224.AR(1)過程的傳遞形式和格林函數第四章 時間序列模型的性質272022-6-22二、二階自回歸AR(2)過程的性質二階自回歸模型的形式為：ttttxxx2111或ttx

11、BB2211第四章 時間序列模型的性質282022-6-22B.平穩性：為滿足平穩性， 的根必須在單位圓外.1、平穩性和可逆性A.可逆性：ar(2)模型總是可逆的。01221BB第四章 時間序列模型的性質292022-6-222.AR(2)過程的自相關函數) 1(,) 1()()()()()2(221122112211kkxExxExxExxEARkkkkkktkttkttkttktk自相關函數為因而所以下過程的自協方差求得如第四章 時間序列模型的性質302022-6-22呈混合指數衰減的顯然此時可由如下初始條件求出其中常數于是解之得特征根為異實根即上述特征方程有兩相如果程為上述差分方程的特征

12、方ACFARbbbbkkk)2(,)24()24(24, 04) 1 (02112121121221122211122112, 1221212第四章 時間序列模型的性質312022-6-22呈指數衰減的顯然此時可由如下初始條件求出其中常數于是解之得特征征根為實根即上述特征方程有兩重如果ACFARbbkbbkk)2(,)2)(2, 04)2(211212112112112, 1221第四章 時間序列模型的性質322022-6-22呈阻尼正弦波衰減的顯然此時可由如下初始條件求出常數為復角為復根的模其中于是解之得特征根為共軛復根即上述特征方程有一對如果ACFARbbrtrbtrbiidckkk)2(

13、,coscos2)4(, 04) 3(211212112122122112, 1221第四章 時間序列模型的性質332022-6-22通過上述推導可以如下結論，通過上述推導可以如下結論，在AR(2)過程的平穩性條件滿足時，如果特征方程的根為實根，即 時，AR(2)的自相關函數呈指數衰減。如果特征方程的根為復根，即 時，AR(2)的自相關函數呈阻尼正弦波衰減。0422104221第四章 時間序列模型的性質342022-6-223.AR(2)過程的偏自相關函數21212011021102221111221111,)2(公式得由偏自相關函數的一般因為過程對于kkkAR第四章 時間序列模型的性質352

14、022-6-22001210121012211202110112011001210121031220111033第四章 時間序列模型的性質362022-6-22另一種思路：直接根據定義第四章 時間序列模型的性質372022-6-22通過上述證明可以得出如下結論：通過上述證明可以得出如下結論：.)2(,0,3,)2(過程是滯后二階截尾的因此時當過程對于ARkARkk第四章 時間序列模型的性質382022-6-22例例1，下面兩圖表分別是模擬生成的，下面兩圖表分別是模擬生成的250個數據個數據如下如下AR(2)過程趨勢圖和自相關圖過程趨勢圖和自相關圖白噪聲為正態其中或) 1 , 0(, 5 . 0

15、, 3 . 05 . 03 . 0)5 . 03 . 01 (21212NaxxxxBBttttttt第四章 時間序列模型的性質392022-6-22-4-202482848688909294969800例例1.模擬生成的模擬生成的AR(2)過程趨勢圖過程趨勢圖第四章 時間序列模型的性質402022-6-22例例1.模擬生成的模擬生成的AR(2)過程自相關圖過程自相關圖05 . 003 . 021呈混合指數衰滯后二階以后截尾第四章 時間序列模型的性質412022-6-22例例2，下面兩圖表分別是模擬生成的，下面兩圖表分別是模擬生成的250個數據個數據如下如下AR(2)過程趨勢圖和自相關圖過程趨

16、勢圖和自相關圖白噪聲為正態其中或) 1 , 0(, 3 . 0, 5 . 03 . 05 . 0)3 . 05 . 01 (21212NxxxxBBttttttt第四章 時間序列模型的性質422022-6-22-6-4-2024682848688909294969800例例2.模擬生成的模擬生成的AR(2)過程趨勢圖過程趨勢圖第四章 時間序列模型的性質432022-6-22例例2.模擬生成的模擬生成的AR(2)過程自相關圖過程自相關圖03 . 005 . 021呈混合指數衰減滯后二階以后截尾第四章 時間序列模型的性質442022-6-22例例3，下面兩圖表分別是模擬生成的，下面兩圖表分別是模擬

17、生成的250個數據個數據如下如下AR(2)過程趨勢圖和自相關圖過程趨勢圖和自相關圖白噪聲為正態其中或) 1 , 0(5 . 0, 15 . 0)5 . 01 (21212NxxxxBBttttttt第四章 時間序列模型的性質452022-6-22-4-202482848688909294969800模擬生成的模擬生成的AR(2)過程趨勢圖過程趨勢圖第四章 時間序列模型的性質462022-6-22模擬生成的模擬生成的AR(2)過程自相關圖過程自相關圖05 . 00121呈阻尼正弦波衰減滯后二階以后截尾第四章 時間序列模型的性質472022-6-224.AR(2)過程的傳遞形式和格林函數n（1）傳

18、遞形式n（2）格林函數第四章 時間序列模型的性質482022-6-22三、p階自回歸過程AR(p)的性質二階自回歸模型的形式為：tptptttxxxx2111或ttppxBBB2211第四章 時間序列模型的性質492022-6-22B.平穩性：為滿足平穩性， 的根必須在單位圓外.1、平穩性和可逆性A.可逆性：ar(p)模型總是可逆的。01)(221ppBBBB第四章 時間序列模型的性質502022-6-22對于高階的自回歸過程，其平穩性條件用其模型參數表示雖比較復雜，但都有最基本的一點：121q這是自回歸過程平穩的必要條件之一。第四章 時間序列模型的性質512022-6-222.AR(p)的自

19、相關函數ACF方程上式即為關系自相關函數有如下遞推因而時當其中所以下過程的自協方差求得如ker) 1(,0)(,0,) 1()()()()()()(221122112211WolYulekxEkkxxExxExxExxExxEpARpkpkkkkttpkpkkktktptktptkttkttktk第四章 時間序列模型的性質522022-6-22.0),(:,.,2211212211的解是其中特征根它的解的形式為況下在具有相異根的情階差分方程一個其實也就是的遞推公式上式關于pppppjppjjjkgggp第四章 時間序列模型的性質532022-6-22通過上述推導有如下結論：通過上述推導有如下結

20、論：對于平穩過程，有對于平穩過程，有 |i|p時，上式分母行列式最后列是同一矩陣前面各列的線性組合。于是當kp時,有kk=0。第四章 時間序列模型的性質562022-6-224.AR(p)模型的傳遞形式和格林函數n(1)傳遞形式n(2)格林函數第四章 時間序列模型的性質572022-6-22例:考察如下AR模型的自相關和偏自相關ttttttttttttttxxxxxxxxxx2121115 . 0)4(5 . 0)3(8 . 0)2(8 . 0) 1 (第四章 時間序列模型的性質582022-6-221(1)0.8tttxxACFPACF第四章 時間序列模型的性質592022-6-221(2)

21、0.8tttxx ACFPACF第四章 時間序列模型的性質602022-6-2212(3)0.5ttttxxxACFPACF第四章 時間序列模型的性質612022-6-2212(4)0.5ttttxxx ACFPACF第四章 時間序列模型的性質622022-6-22第二節 移動平均過程的性質一、一階移動平均過程MA(1)的性質二、二階移動平均過程MA(2)的性質三、q階移動平均過程MA(q)的性質第四章 時間序列模型的性質632022-6-22一、一階移動平均過程MA(1)的性質n一階移動平均模型MA(1)的形式為：ttttBx)1 (111其中：xt為零均值平穩序列，t為零均值的白噪聲。 第

22、四章 時間序列模型的性質642022-6-221.MA(1)過程的平穩性和可逆性nA.平穩性：AR(1)過程總是平穩的。nB.可逆性：n為滿足可逆性，(B)=11B=0 的根必的根必須在單位圓外，即有：須在單位圓外，即有：11第四章 時間序列模型的性質652022-6-22注：以后對注：以后對MA(1)過程性質的討論中，過程性質的討論中，都假定可逆性條件滿足，即有：都假定可逆性條件滿足，即有：|1|0,那么PACF都為負，且呈指數衰減；如果10t為白噪聲滯后一階截尾呈負指數衰減第四章 時間序列模型的性質762022-6-22例2：模擬產生的250個數據的如下MA(1)過程的趨勢圖和自相關圖：白

23、噪聲為正態其中) 1 , 0(85. 0)85. 0(1 ()85. 0(11NBxttttt第四章 時間序列模型的性質772022-6-22-4-20248082848688909294969800Y第四章 時間序列模型的性質782022-6-22Xt=t (0.85)t-1 =(1(0.85)B) t其中1=0.850呈正負交替指數衰減滯后一階截尾第四章 時間序列模型的性質792022-6-224.MA(1)過程的逆轉形式第四章 時間序列模型的性質802022-6-22二、二階移動平均過程MA(2)的性質二階移動平均模型MA(2)的形式為：tttttBBx)1 (2212211其中：xt為

24、零均值平穩序列，t為零均值的白噪聲。 第四章 時間序列模型的性質812022-6-221.MA(2)過程的平穩性和可逆性A.平穩性：MA(2)過程總是平穩的。B.可逆性：為滿足可逆性, 的根必須在單位圓外。01)(221BBB第四章 時間序列模型的性質822022-6-222.MA(2)過程的自相關函數ACF22221222221222221122221120)1 ()()()()()()2(aaaatttttttEEEExEMA下過程的自協方差函數如第四章 時間序列模型的性質832022-6-2220)()()()()1 ()()()()(22112211224231222112222122

25、121222121132211221111kExxEExxEEEExxEktktkttttkttkattttttttaaatttttttttt第四章 時間序列模型的性質842022-6-22.)2(,202111)1 ()()2(222122221210滯后二階截尾過程的自相關函數于是可得結論為過程的自相關函數所以MAkkkACFMAkk第四章 時間序列模型的性質852022-6-222.MA(2)過程的偏自相關函數(PACF)1 (21)2(1, 03,)2(22122221313321212222111有推公式利用偏自相關函數的遞時當過程對于kkMA第四章 時間序列模型的性質862022-

26、6-22對于MA(2)過程，我們有如下結論：如果其特征方程:11B2B2=0 的根是實數，則kk是兩個衰減指數的和；如果其根是復數，則kk 是一衰減的正弦波。第四章 時間序列模型的性質872022-6-22如下頁所示相圖和樣本偏自關的樣本自相關圖它們的個值的序列態白噪聲產生的為正和由例)()(,250)24.065.01 (12SPACFSACFBBxttt第四章 時間序列模型的性質882022-6-22)()()24. 065. 01 ()2(2SPACFSACFBBxMAtt和樣本偏自關相圖的樣本自相關圖序列模擬滯后二階截尾指數衰減(拖尾)第四章 時間序列模型的性質892022-6-22如

27、下頁所示相圖和樣本偏自關的樣本自相關圖它們的個值的序列態白噪聲產生的為正和由例)()(,250)3 .085.01 (22SPACFSACFBBxttt第四章 時間序列模型的性質902022-6-22滯后二階截尾阻尼正弦波衰減(拖尾)()()3 . 085. 01 ()2(2SPACFSACFBBxMAtt和樣本偏自關相圖的樣本自相關圖序列模擬第四章 時間序列模型的性質912022-6-224.MA(2)過程的逆轉形式第四章 時間序列模型的性質922022-6-22三、q階移動平均過程MA(q)性質為白噪聲序列其中模型的一般形式為ttqqqtqttttBBBxqMA)1 ()(2212211第

28、四章 時間序列模型的性質932022-6-221.平穩性和可逆性nA.平穩性：有限階移動平均過程MA(q)總是平穩的。 nB.可逆性：為滿足可逆性，01)(221qqBBBB的根必須在單位圓外。第四章 時間序列模型的性質942022-6-22對于高階的移動平均過程，其可逆性條件用其模型參數表示雖比較復雜，但都有最基本的一點：121q這是移動平均過程可逆的必要條件之一。第四章 時間序列模型的性質952022-6-222.MA(q)過程的自相關函數(ACF)qkqkxEqMAqkqkkakaqt0,2 , 1)()1 ()(,)(11222222120有過程可以證明對于第四章 時間序列模型的性質9

29、62022-6-22qkqkqMAqqkqkkk0,2 , 11)(2222111的自相關函數為因而因而：MA(q)過程的自相關函數是滯后q階截尾的。第四章 時間序列模型的性質972022-6-22證明：22222122211202211)1 ()()(qqtqttttqtqttttExEx第四章 時間序列模型的性質982022-6-220)(：qk)()(：qk2211221121111)(2211112211kttkkqtqktktktktqtqttttqkqkkkttkkqtqqtkqkqktkqktktktktqtqktkktkttttxxExxxxExx時當時當第四章 時間序列模型的

30、性質992022-6-223.MA(q)過程的偏自相關函數（PACF）n要用明確的公式表示出MA(q)過程的自相關函數是很困難的，但是從前面我們對MA(1)、MA(2)的討論中，可以看出：MA(q)過程的偏自相關函數是由01)(221qqBBBB的根確定的，呈混合指數衰減或阻尼正弦波衰減。的根確定的，呈混合指數衰減或阻尼正弦波衰減。第四章 時間序列模型的性質1002022-6-22例:考察如下MA模型的相關性質212111162545)4(251654)3(5 . 0)2(2) 1 (ttttttttttttttxxxx第四章 時間序列模型的性質1012022-6-22MA模型的自相關系數截尾

31、n n 112tttx（）120.5tttx（ ）第四章 時間序列模型的性質1022022-6-22MA模型的自相關系數截尾n n 124163525ttttx（ ）125254416ttttx（ ）第四章 時間序列模型的性質1032022-6-22MA模型的偏自相關系數拖尾n n 112tttx（）120.5tttx（ ）第四章 時間序列模型的性質1042022-6-22MA模型的偏自相關系數拖尾n n 124163525ttttx（ ）125254416ttttx（ ）第四章 時間序列模型的性質1052022-6-22MA模型可逆性nMA模型自相關系數的不唯一性例中不同的MA模型具有完全相

32、同的自相關系數和偏自相關系數212111162545)4(251654)3(5 . 0)2(2) 1 (ttttttttttttttxxxx第四章 時間序列模型的性質1062022-6-22可逆概念的重要性一個自相關系數列唯一對應一個可逆MA模型。n 1tttx11tttx21ttBx1ttBx11可逆, 1可逆, 1第四章 時間序列模型的性質1072022-6-22第三節 自回歸移動平均ARMA(p,q)過程n一、 ARMA(1,1)的性質n二、ARMA(p,q)過程的性質第四章 時間序列模型的性質1082022-6-22一、ARMA(1,1)的性質tqtpttttxBxBxxARMA)()

33、() 1 , 1 (1111或模型的一般形式為無公共因子和為白噪聲序列其中假定)()() 3 (0)() 2() 1 (:BBstaxEaqpstt第四章 時間序列模型的性質1092022-6-221.ARMA(1,1)過程的平穩性和可逆性模型該模型就是如果模型該模型就是如果即的根必須在單位圓外為滿足平穩性即的根必須在單位圓外為滿足可逆性) 1 (, 0) 1 (, 01,01)(,1,01)(,111111MAARBBBBpq第四章 時間序列模型的性質1102022-6-222.ARMA(1,1)過程的ACF)()() 1 , 1 (111111111111tkttktkktkttkttkt

34、tktktttttxExExxxxxxxxxARMA對兩邊求期望得乘兩端得用模型的一般形式得由第四章 時間序列模型的性質1112022-6-22210112111211021121111111211211111101)()()()()()()()(0aaaatttttttatttttttttttkxExExExExExEk時有當于是其中時有當第四章 時間序列模型的性質1122022-6-221221)1)(01,21111211111011kkkkkkkkk到通過整理計算最后可得得時當第四章 時間序列模型的性質1132022-6-22n通過上式可以看出，ARMA(1,1)過程的自相關函數具有A

35、R(1)過程和MA(1)過程的組合特性。n當k=1時，自相關系數有一峰值自相關系數有一峰值，并且是由1和1共同決定，。n當k2時，自相關系數僅取決于1即自回歸部分對應的差分方程的根，呈指數衰減。第四章 時間序列模型的性質1142022-6-223.ARMA(1,1)過程的PACFnARMA(1,1)過程的PACF和它的ACF一樣，也是滯后一階有一峰值滯后一階有一峰值，一階以后呈指數階以后呈指數衰減衰減，不過指數衰減的形態由1和1共同決定，因此指數衰減的形態比MA(1)過程PACF指數衰減形式更多第四章 時間序列模型的性質1152022-6-22例1：模擬產生的250個數據的如下ARMA(1,1

36、)過程的樣本ACF和樣本PACF：白噪聲為正態其中即) 1 , 0(5 . 09 . 0)5 . 01 ()9 . 01 (5 . 09 . 01111NBxBxxttttttt第四章 時間序列模型的性質1162022-6-22例例1.模擬生成的模擬生成的ARMA(1,1)過程的樣本過程的樣本ACF和樣本和樣本PACF05 . 009 . 011滯后一階有一峰值之后呈指數衰減滯后一階有一峰值之后呈指數衰減第四章 時間序列模型的性質1172022-6-22例2：模擬產生的250個數據的如下ARMA(1,1)過程的樣本ACF和樣本PACF：白噪聲為正態其中即) 1 , 0(5 . 09 . 0)5

37、 . 0(1 ()9 . 0(1 ()5 . 0()9 . 0(1111NaBxBxxttttttt第四章 時間序列模型的性質1182022-6-22例例2.模擬生成的模擬生成的ARMA(1,1)過程的樣本過程的樣本ACF和樣本和樣本PACF05 . 009 . 011指數拖尾指數拖尾滯后一階有峰值第四章 時間序列模型的性質1192022-6-224.ARMA(1,1)過程的傳遞形式和逆轉形式n（1）傳遞形式和格林函數：nxt=-1(B)(B)atn（2）逆轉形式和逆函數n-1(B) (B) xt =at第四章 時間序列模型的性質1202022-6-22二、ARMA(p,q)過程的性質tqtpqtqttptpttxBxBxxxqpARMA)()(),(1111或模型的一般形式為無公共因子和為白噪聲序列其中假定)()() 3 (0),() 2() 1 (:BBstaxEaqpstt第四章 時間序列模型的性質1212022-6-221.ARMA(p,q)的平穩性和可逆性的根必須在單位圓外為滿