1、壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費第二章第二章 人壽保險的人壽保險的躉繳純保費躉繳純保費保險金是壽險公司的主要負債，將由壽險公司在未來的時間里支付，具體支付時間視被保險人死亡時間而定。通常這些保險根據給付保險金方式的不同分為兩大類： （1）普通人壽保險： 如果被保險人在某一期限內死亡或活過某一期限，保險人將向被保險人給付一筆保險金，即一次性給付保險金。 （2）年金保險：在約定期間當被保險人活著時，保險人在相同間隔的時間上向被保險人多次給付一系列保險金。壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費人壽保險簡介人壽保險簡介什么是人壽保險 狹義的人壽保險是以被保險人在保障期是否

2、死亡作為保險標的的一種保險。 廣義的人壽保險是以被保險人的壽命作為保險標的的一種保險。它包括以保障期內被保險人死亡為標的的狹義壽險，也包括以保障期內被保險人生存為標的生存保險和兩全保險。壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費人壽保險的分類人壽保險的分類受益金額是否恒定定額受益保險 變額受益保險保單簽約日和保障期期始日是否同時進行非延期保險延期保險 保障標的的不同人壽保險（狹義）生存保險兩全保險 保障期是否有限 定期壽險 終身壽險壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費人壽保險的性質人壽保險的性質保障的長期性 這使得從投保到

3、賠付期間的投資受益（利息）成為不容忽視的因素。保險賠付金額和賠付時間的不確定性 人壽保險的賠付金額和賠付時間依賴于被保險人的生命狀況。被保險人的死亡時間是一個隨機變量。這就意味著保險公司的賠付額也是一個隨機變量，它依賴于被保險人剩余壽命分布。被保障人群的大數性 這就意味著，保險公司可以依靠概率統計的原理計算出平均賠付并可預測將來的風險。壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費躉繳純保費的厘定躉繳純保費的厘定假定條件:假定一：同性別、同年齡、同時參保的被保險人的剩余壽命是獨立同分布的。假定二：被保險人的剩余壽命分布可以用經驗生命表進行擬合。假定三：保險公司可以預測將來的投資受益（即預定

4、利率）。壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費原則保費凈均衡原則解釋所謂凈均衡原則，即保費收入的期望現時值正好等于將來的保險賠付金的期望現時值。它的實質是在統計意義上的收支平衡。是在大數場合下，收費期望現時值等于支出期望現時值 壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費基本符號基本符號 投保年齡 的人。 人的極限年齡 保險金給付函數。 貼現函數。 保險給付金在保單生效時的現時值)(xxtbtvtztttvbz壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費躉繳純保費的定義在保單生效日一次性支付將來保險賠付金的期望現時值 躉繳純保費的厘定按照凈均衡原則，躉繳純保費就等于(

5、)tE z壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費2. 1 離散型的人壽保險模型離散型的人壽保險模型(死亡年末賠付死亡年末賠付) 所謂離散型的人壽保險模型，是指以離散型未來壽命K(x)為基礎，保險金是在被保險人死亡所處的保單年度末支付而建立的各種人壽保險的數學模型。 對保險人 (x) ，其未來壽命整年數為K(x)，則其概率分布率為假設金額在K(x)+1處給付，給付金融為 元，記 為在K(x)+1處給付1個單位時的利息貼息貼現系數，Z為給付保險金額在簽單時的現值。則 Z的期望值 E(Z) 的一般表達式是E(Z) 稱為躉繳純保費|Pr( )p q= q (k=0,1,2,) kxx kk

6、xK xkkb1kv11 (K=0,1,2,)KKZbv11|0( ) q (2.1.1)kkkxkE Zvb壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費給付保險金的現值與分布給付保險金的現值與分布保險人(x)的 給付保險金的現值Z 是一隨機變量,其分布為:2b3b2v1kb3v1kv0|xq未來壽命K(x)012k給付數額B貼現系數V給付現值Z給付概率p22bv11b v11kkbv1|xq| kxq11|0() q kkkxkEZvb2211|0()() q kkkxkEZvb2|xq1b1v33b v壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費2. 1.1 死亡保險死亡保險分

7、為n 年期和終身人壽保險基本符號 歲投保的人整值剩余壽命 保險金在死亡年末給付函數 貼現函數。 保險賠付金在簽單時的現時值。 躉繳純保費。kxK)(kbkvkz()kE z壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費定期壽險死亡年末賠付場合定期壽險死亡年末賠付場合n 年定期保險假設（x）投保了保險期限為 n 年，保險金額為 1元的定期壽險，即：當且僅當被保險人（x）在保險期間內死亡時，即未活過x+n 歲，壽險公司才給付保險金1元。如果被保險人（x）活到保險期末，壽險公司將不作任何支付。為了清楚起見，我們先假定，當被保險人在保險期間內死亡時，保險金于被保險人死亡那年年末支付（以后我們將會討

8、論于死亡時立即給付保險金的情況）。壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費基本函數關系：記k為被保險人整值剩余壽命，則1111111 , 0,1,11 , 0,1,10 , , 0,1,10 , kkkkkkkvvknknbknvknzbvkn壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費定期壽險定期壽險則其有關函數為：則其躉繳純保費為：用換算函數計算111:0111:0( ) (2.1.2)nkkxx kx nknkxx kx nkAE zvpql Avd未來壽命K(x)012n-1給付數額B1111貼現系數V給付現值Z給付概率p1|xq1|nxq2|xq1vxq2v3vnv1

9、v2v3vnv壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費躉繳純保費的厘定躉繳純保費的厘定符號：厘定：111:0111:0( ) (2.1.2)nkkxx kx nknkxx kx nkAE zvpql Avd1: x nA壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費換算符號換算符號換算引進的目的：簡化計算常用換算符號：10000 N (1)xxxxxxxx kxx kkkxx kx kkkCvdDv lMCDRMkC1:xx nx nxMMAD111:0111:0( ) (2.1.2)nkkxx kx nknkxx kx nkAE zvpql Avd壽險精算數學壽險精算數學-02

10、躉繳純保費躉繳純保費換算表換算表1:xx nx nxMMADxxxDMA 1:x nxnxDAD:xx nx nx nxMMDAD1:x mx m nmx nxMMAD:x mx m nx m nmx nxMMDAD1:()xx nx nx nxRRnMIAD111:()()xxx nx nxnMRRDAD 壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費現值隨機變量的方差現值隨機變量的方差公式記等價方差為1222220( )()( )( )nkkxx kkVar zE zE zvpqE z12122:0nkkxx kx nkAvpq2112:( )()x nx nVar zAA壽險精算數學

11、壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費例2.1.1設年齡為35歲的人投保離散型的保險金額為5000元的25年定期保險。求該保單的躉繳純保費（年利率i=6%）。壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費在人壽保險中，純保費 通常稱為自然純保費，用 表示，即 在一般情況下，年齡越大，自然純保費越高。 1 : 1xAxcxxxCcD壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費終身壽險終身壽險定義 保險人對被保險人在投保后任何時刻發生的保險責任范圍內的死亡均給付保險金的險種。 對于有限期保險，令 ，就可得到終身壽險的躉繳純保費計算公式： 用換算符號計算：對式(2.1.5)兩邊乘以 ，則得

12、 式(2.1.7)表明，保單簽發時， 個年齡為x歲的被保險人所支付的躉繳純保費組成的基金總額等于按死亡預定流出資金的現值總額。 nxxxMAD1|0 (2.1.5)kxkxkAvqxl10 (2.1.7)kxxxkkl Avd壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費2.1.2 兩全保險兩全保險壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費2.1.2 兩全保險兩全保險n年期兩全保險是由

13、n 年期生存保險和n 年定期保險組成，假設(x)投保離散型的保額為1單位的兩全保險，則其有關函數為：則其躉繳純保費為：用換算函數計算未來壽命K(x)012n-1n給付數額B11111貼現系數V給付現值Z給付概率p1|xq1|nxq2|xq1vxq2v3vnvnv1v2v3vnvnvnxp11|:0( ) (2.1.10)nknkxnxx nkAE zvqvp: (2.1.11)xxnxnx nxMMDAD壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費2.1.3 延期壽險延期壽險被保險人在投保后的前m年內的死亡不獲賠償，從第m+1年開始為期n

14、年的定期壽險，則其有關函數為：則其躉繳純保費為：用換算函數計算未來壽命K(x)mm+1m+2m+n-1給付數額B01111貼現系數V給付現值Z 0給付概率p|mxq2|mxq1|mxq1mv2mv3mvm nv111|:( ) (2.1.13) m nkmkxx nk mAE zvq1|: (2.1.14)xmxmnmx nxMMAD1mv2mv3mvm nv1| m nxq壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費例子例子例2.1.4 試證：證明:1 1 1|:hx nx nxh nAAA11111|:011011|0 11: = = = nhnkkhhkxkhxx nkhknhkh

15、xkxhxhkknhkhxkxhkx hxh nAvqvqv vppqvpvqAA壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費2.1.4 變額受益保險變額受益保險1.遞增的n年定期保險如果保險金額的給付是隨著被保險人未來壽命的變化而改變的,這類人壽保險稱為變額年金保險，則其有關函數為：則其躉繳純保費為：用換算函數計算未來壽命K(x)0123n-1給付數額B1234n貼現系數V給付現值Z給付概率p1|xq3|xq2|xq1vxq2v3v4vnv1v22v33v44vnnv111|:0()( )(1) (2.1.17)nkkxx nkIAE

16、zkvq1:() (2.1.18)xxnxnx nxRRnMIAD1|nxq壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費2.1.4 變額受益保險變額受益保險2.遞減速的n年定期保險其有關函數為：則其躉繳純保費為：用換算函數計算未來壽命K(x)0123n-1給付數額Bnn-1n-2n-31貼現系數V給付現值Z給付概率p1|xq3|xq2|xq1vxq2v3v4vnv1nv2(1)nv3(2)nv4(3)nvnv111|:0()( )() (2.1.21)nkkxx nkDAE znk vq111:()() (2.1.23)xxxnx nxn

17、MRRDAD1|nxq壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費例子例子 例2.1.5 設年齡為30歲的人,購買離散型的遞增的30年定期保險,保險利益是:被保險人在第一個保單內死亡,則給付1000元;在第二個保單年度內死亡,則給付1100;在第三個保單年度內死亡,則給付1200;依次下去,直到第30個保單年度內死亡,則給付3900.試求該保單的躉繳純保費(預定年利率i=6%).解： 時間1232930給付數額B10001100120038003900900*11111100*12329301130:3030:3030603060603030900100()30 =900100PAIAM

18、MRRMDD壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費例子例子例2.1.6 設年齡為30歲的人,購買離散型的遞減的20年定期保險,保險利益是:被保險人在第一個保單內死亡,則給付5000元;在第二個保單年度內死亡,則給付4900;在第三個保單年度內死亡,則給付4800;依次下去,直到第20個保單年度內死亡,則給付3100.試求該保單的躉繳純保費(預定年利率i=6%).解： 時間1231920給付數額B500049004800320031003000*11111100*201918211130:2030:20305030315130303000100()() =3000100PADAMMM

19、RRDD壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費死亡年末給付躉繳純保費公式歸納死亡年末給付躉繳純保費公式歸納終身壽險延期m年的n年定期壽險延期m年的終身壽險n年期兩全保險延期m年的n年期兩全保險遞增終身壽險遞減n年定期壽險11:xx nx nnAAA1:xxmx mAAA111:xxmmmx nx nnmx m nAAAAA111:mx nx mnx mAAA111:10()kxkxx kjxjkjIAkvpqA1111:10()(1)nnkkxx kx nx njkjDAnkvpqA10kxkxxkkAvpq壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費2. 2 連續型的人壽保

20、險模型 連續型的人壽保險模型，就是指如果被保險人在保障期內發生保險責連續型的人壽保險模型，就是指如果被保險人在保障期內發生保險責任范圍內的死亡任范圍內的死亡 ，保險公司將在死亡事件發生之后，立刻給予保險賠付。，保險公司將在死亡事件發生之后，立刻給予保險賠付。 它是在實際應用場合，保險公司通常采用的理賠方式。它是在實際應用場合，保險公司通常采用的理賠方式。 2.2.1 死亡保險死亡保險 保險人只對被保險人在投保后的n年內發生的保險責任范圍內的死亡給付保險金的險種，又稱為n年死亡保險。假定：(x) 歲的人，保額1元n年定期壽險 基本函數關系 則其躉繳純保費1:0() (2.2.3)ntx nTtx

21、x tAE Zvpdt , 0 , 1 , 0 , 0 , tttttttvvtvtnzbvtnbtntn壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費躉繳純保費躉繳純保費在 時間區間內，因為T(x) 的密度函數為 故即(x) 在 區間內死亡率概率為 ，其支付金額 =1，貼現系數為 給付現值 為 。故 的期望值即躉繳純保費為：Pr()( ) Ttxx ttTtdtftdtpdt()()Ttxtxxtdftppd x( ,)t tdttxx tpdt( ,)t tdttvtZtvtvtbtZ1:000()( ) = nnnttx nTtTtxx ttxx tAE ZZft dtvpdtepd

22、t壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費現值隨機變量的方差現值隨機變量的方差方差公式記（相當于利息力翻倍以后求n年期壽險的躉繳保費）所以方差等價為20222)()()()()(tnTttttzEdttfezEzEzVardttfeAnTtnx)(021:221:1:2)()(nxnxtAAzVar壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費2.2.2終身壽險終身壽險定義保險人對被保險人在投保后任何時刻發生的保險責任范圍內的死亡均給付保險金的險種。假定： 歲的人，保額1元終身壽險基本函數關系)(x , 0 , 01 , 0 ttttt ttvvtzbvvtbt壽險精算數學壽險精

23、算數學-02躉繳純保費躉繳純保費躉繳純保費的厘定躉繳純保費的厘定符號：厘定：xA000( )( )xttTtttxx ttxx tAE zz f t dtv pdtepdt壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費方差公式記所以方差等價為 22220( )( )( )( )( )ttttTtVar zE zE zef t dtE z220( )txTAeft dt22)()(xxtAAzVar壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費例例2.2.1設(x)投保終身壽險，保險金額為1元保險金在死亡即刻賠付簽單時，(x)的剩余壽命的密度函數為計算1 , 060(t)600 , Tt

24、f 其它0.90.91(2)( )(3)Pr()0.9.xtAVar zz（）的壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費0606002260220120602(1)( )1160602( )() 1()6011()12060txTttxxtxAef t dteedtVar zAAedtAee（）壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費60lnln660.90.9(3)Pr()Pr() ln=Pr( lnln)()lnln60ln( )0.960ln6lnttTvzvtvP tvvf t dtvve壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉

25、繳純保費例2.2.2 設有100 個相互獨立的年齡都是x歲的被保險人投保保險金額為10元的連續型終身壽險,死力 ,保險金將從利力 計息的投資基金中支付.試計算該項基金在最初(t=0) 時,其數額至少有多大,才能保證從該項基金中足以支付每個被保險人的死亡受益金的概率近似于95%.0.04t0.06壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費例例2.2.2解:從而可得10TTjZve1001jjZZ0()1010exp() exp() =104jxE ZAttdt220()1010exp( 2) exp() =10252jxE ZAttdt222()() () =25-49jjjVar ZE

26、 ZE Z1001( )()100 4400jjE ZE Z1001( )()100 9900jjVar ZVar Z壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費例例2.2.2續續設該基金在最初時的數額至少是h,則這等價于:Pr()0.95Zh( )( )Pr()0.95( )( )ZE ZhE ZVar ZVar Z0.95( )( ) =400+1.645 30=449.35hE ZzVar Z壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費延期終身壽險延期終身壽險 保險人對被保險人在投保m年后發生的保險責任范圍內的死亡均給付保險金的險種。假定: (x)歲的人，保額1元，延期m年的

27、終身壽險基本函數關系符號： , 0 , 1 , 0 , 0 , tttttttvvtvtmzbvtmbtmtm|tmxTmAvftd ttTmeftd t壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費001:( )( )( )( )mxttTmmtTtTxx mAE zz ft dtz ft dtz ft dtAA2222( )()( )( )( )ttttTtmVar zE zE zeft dtE z22( )txTmmAeft dt22( )()txxmmVar zAA壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費例子例子例2.2.3 考察保險金額為1個單位的延期5年的終身壽險，設

28、年齡為x歲的被保險人死力為常值勤 ，利力 ，Z表示給付死亡受益金在投保時的現值隨機變量。試求： (1) 期望值 E(Z) (2) 方差 Var(Z) (3) 中位數解： ex p ()Tftt0.040.100.55|0(1) E (Z )=ex p ()ex p () =ex p 5()0 .1 4 1 9 xAtt d t20 E (Z)=ex p (2)ex p () =ex p 5(2)0 .0 5 0 22 tt d t22(2) Var(Z)()( ( )0.0301E ZE Z壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費n年期兩全保險年期兩全保險被保險人投保后如果在n年期內

29、發生保險責任范圍內的死亡，保險人即刻給付保險金；如果被保險人生存至n年期滿，保險人在第n年末支付保險金的保險。它等價于n年生存保險加上n年定期壽險的組合。假定 (x) 歲的人，保額1元，n年定期兩全保險基本函數關系符號及保費厘定 , , , , 1 , 0tttntttntvtnvvtnzbvvtnvtnbt11:xx nx nnAAA0ntntxx tnxvpdtvp壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費延期延期m年年n年定期兩全保險年定期兩全保險定義 被保險人在投保后的前m年內的死亡不獲賠償，從第m+1年開始為期n年的定期兩全保險假定： 歲的人，保額1元，延期m年的n年定期兩全

30、保險基本函數關系)(x , 0, , , m0 , , 1 , ttm nttt tm ntvtm ntmvvtm nzbvvtm ntmvtm nbtm 壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費躉繳純保費的厘定躉繳純保費的厘定符號：厘定:mxnA1:11:mx nx mx m nmx nmx nAAAAA壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費2.2.2 變額受益保險變額受益保險1.按算術數列續年遞增的終身壽險定義：遞增終身壽險是變額受益保險的一種特殊情況。假定受益金額為剩余壽命的線性遞增函數特別： 一年遞增一次 一年遞增m次 一年遞增無窮次（連續遞增）壽險精算數學壽險精

31、算數學-02躉繳純保費躉繳純保費一年遞增一次一年遞增一次現值隨機變量躉繳保費厘定011()( )1txttxx tkttxx tkkIAE ztvpdtkvpdt 1ttztv壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費一年遞增一年遞增m次次現值隨機變量躉繳保費厘定()01111()( )mtxttxx tmk smmttxx tksmk smmtIAE zvpdtmmksvpdtm 1ttmtzvm壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費一年遞增無窮次（連續遞增）一年遞增無窮次（連續遞增）現值隨機變量躉繳保費厘定ttztv0()()txttxxtIAE ztvpdt壽險精算數

32、學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費1.按算術數列續年遞減的按算術數列續年遞減的n年期定期壽險年期定期壽險定義：遞減定期壽險是變額受益保險的另一種特殊情況。假定受益金額為剩余壽命的線性遞減函數特別： 一年遞減一次 一年遞增減m次 一年遞減無窮次（連續遞減）壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費一年遞減一次一年遞減一次現值隨機變量躉繳保費厘定 ,0,ttntvtnztn 1:011()( )(1)tttxx tx nknttxx tkkDAE zntvpdtnkvpdt壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費一年遞減一年遞減m次次現值隨機變量躉繳保費厘定,0,tttmn

33、vtnzmtn()1:0111()( )1nmtttxx tx nmk smnmttxx tksmk smmtDAE znvpdtmsnvpdtm 壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費一年遞減無窮次（連續遞減）一年遞減無窮次（連續遞減）現值隨機變量躉繳保費厘定(),0,ttnt vtnztn1:0()( )()ntttxx tx nDAE znt vpdt壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費2.2.4 躉繳純保費的換算公式躉繳純保費的換算公式常用換算符號： 1 011dt , xxx tx txxxxxyy xxyxxy xCDDv lMCCCRMMM壽險精算數學壽

34、險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費公式推導公式推導由式(2.2.2),可得1:00110110011001101 =1 =1 =11 =( nnttx tx ntxx tx txnkx tx tx tkkx xnx k sx k sx k skx xnx k sx k skx xnx kxxkxxlAvpdtvdtlvldtv lvldtv lDdtv lCCCCDD1) = x nxx nxMMD壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費連續型壽險躉繳純保費換算公式連續型壽險躉繳純保費換算公式類似可得到1:xx nx nxMMADxxxMAD1:x nx nxDAD:xx nx n

35、x nxMMDAD1:x mx m nmx nxMMAD:x mx m nx m nmx nxMMDAD1:()xx nx nx nxRRnMI AD111:()() xxx nx nxnMRRDAD壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費2.3 在在死亡均勻分布下死亡均勻分布下的壽險模型的壽險模型2.3.1 與 之間的關系以終身壽險為例，有剩余壽命等于整值剩余壽命加死亡之年分數生存壽命：則有 類似地,可得到其他公式,參見式(2.3.2)xAxA( )( ) 1( ) 1( )( )( )T xK xS xT xK xS xvvv11110()()()TKSsxxxE vE vE v

36、iAAvdsA壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費例子例子 例2.3.1 設年齡為40歲的人投保連續型的遞減的10年定期保險,保險利益是:若被保險人在第一個保單年內死亡,則立即給付受益金10000元;若在第二個保單年內死亡,則立即給付受益金9900元;若在第三個保單年內死亡,則立即給付受益金9800元;依次遞減,直至到第十個保單年內死亡,則立即給付受益金9100元.試在死亡均勻分布假設條件下求其躉繳純保費(預定年利率i=6%). 解:1140:1040:101140:1040:109000100() 9000100()PADAiADA1405040:1040140505140:1

37、04010()(DA)MMADMRRD壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費2.4 遞推方程式遞推方程式2.4.1離散型終身壽險躉繳純保費的遞推方程式推導:理解(x)的單位金額終身壽險在第一年末的價值等于(x)在第一年死亡的情況下1單位的賠付額,或生存滿一年的情況下凈躉繳保費 。1 (2.4.1)xxx xAvqvp A 11|0011 111101111|1001 = = =vqvpkkxkxkxxkkkkkxkxxkxkxxkkkkkxx kxxkxxkxkkxxxAvqvp qvqvp qvqvp qvqvvppqvqvpvqA壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保

38、費其他變形其他變形在式(2.4.1)中用 替代 ,且兩邊乘以 ,可得:解釋： 個x歲的被保險人所繳的躉繳保費之和經過一年的積累，當年年末可為所有的被保險人提供次年的凈躉繳保費 ，還可以為所有在當年去世的被保險人提供額外的 。公式三：同理,在式(2.4.2)兩邊乘以 ,可得解釋:-年齡為x的被保險人在活到x+1歲時的凈躉繳保費與當初歲時的凈躉繳保費之差等于保費的一年利息減去提供一年的保險成本。 )1 ()1 (11xxxxxxAdAlAilxp(1)xq(1)xi l11xA1xAxl1xxvl1(1)xxxxxAAiAqA壽險精算數學壽險精算數學-02躉繳純保費躉繳純保費2.4.2 連續型終身壽險躉繳純保費的微分方程式連續型終身壽險躉繳純保費的微分方程式對于連續型終身壽險,其躉繳純保費的微分方程式是推導:()(1) (2.4.4)xxxxdAAAdx00000