1、第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法第第5章章 時域離散系統的基本網絡結構與時域離散系統的基本網絡結構與狀態變量分析法狀態變量分析法 5.1 引言引言 5.2 用信號流圖表示網絡結構用信號流圖表示網絡結構5.3 無奶長脈沖響應基本網絡結構無奶長脈沖響應基本網絡結構5.4 有限長脈沖響應基本網絡結構有限長脈沖響應基本網絡結構5.5 狀態變量分析法狀態變量分析法第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法5.1 引言引言 一般時域離散系統或網絡可以用差分方程、單位脈沖響應以及系統函數

2、進行描述。如果系統輸入輸出服從N階差分方程 0101( )()()( )( )( )1MNiiiiMiiiNiiiy nb x nia y nibzY zH zX za z其系統函數H(z)為 第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 給定一個差分方程，不同的算法有很多種，例如： 1122113111( )10.80.151.52.5( )10.310.511( )10.310.5H zzzHzzzHzzz第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法5.2 用信號流圖表示網絡結構用信

3、號流圖表示網絡結構 觀察(5.1.1)式，數字信號處理中有三種基本算法，即乘法、加法和單位延遲，三種基本運算用流圖表示如圖5.2.1所示。 第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法圖5.2.1 三種基本運算的流圖表示z1x(n)x(n 1)x(n)ax(n)ax1(n)x2(n)x1(n) x2(n)x(n)x(n 1)z1x(n)ax(n)ax1(n)x2(n)x1(n) x2(n)第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 和每個節點連接的有輸入支路和輸出支路，節點變量等于所有

4、輸入支路的輸出之和。在圖5.2.2中， 122221221211202( )(1)( )(1)( )( )( )( )( )( )( )nnnnnx nanany nbnbnbn(5.2.1) 第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 圖5.2.2 信號流圖(a)基本信號流圖；(b)非基本信號流圖第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 不同的信號流圖代表不同的運算方法，而對于同一個系統函數可以有很多種信號流圖相對應。從基本運算考慮，滿足以下條件，稱為基本信號流圖(Primiti

5、ve Signal Flow Graghs)。 (1) 信號流圖中所有支路都是基本的，即支路增益是常數或者是z-1； (2) 流圖環路中必須存在延時支路； (3) 節點和支路的數目是有限的。 第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 例5.2.1 求圖5.2.2(a)信號流圖決定的系統函數H(z)。 解 將5.2.1式進行z變換，得到 11212221221211202( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )W zW z zW zW z zW zX zaW za W zY zbW zbW zbW z經過聯

6、立求解得到：120121212( )( )( )1Y zbb zb zH zX za za z第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 FIR網絡中一般不存在輸出對輸入的反饋支路，因此差分方程用下式描述：0( )()Miiy nb x ni 其單位脈沖響應h(n)是有限長的，按照(5.2.2)式，h(n)表示為 ,0( )0,nbnMh n其它n 第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 另一類IIR網絡結構存在輸出對輸入的反饋支路，也就是說，信號流圖中存在環路。這類網絡的單位脈

7、沖響應是無限長的。例如一個簡單的一階IIR網絡差分方程為 y(n)=ay(n-1)+x(n) 其單位脈沖響應h(n)=anu(n)。這兩類不同的網絡結構各有不同的特點，下面分類敘述。第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法5.3 無奶長脈沖響應基本網絡結構無奶長脈沖響應基本網絡結構 1.直接型 對N階差分方程重寫如下： 01( )()()MNiiiiy nb x nia y ni第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 圖5.3.1 IIR網絡直接型結構 b0b1b2z1z1z1

8、z1a1a2x(n)x(n 1)x(n 2)y(n)y(n 1)y(n 2)x(n)y(n)b0b1b2z1z1z1z1a1a2w2w1H1(z)H2(z)H2(z)H1(z)x(n)y(n)a1a2b0b1b2z1z1（ a ）（ b ）（ c ）第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 例5.3.1 IIR數字濾波器的系統函數H(z)為12312384112( )5311448zzzH zzzz畫出該濾波器的直接型結構。 解 由H(z)寫出差分方程如下：531( )(1)(2)(3)8 ( )4 (1)44811 (2)2 (3)y

9、 ny ny ny nx nx nx nx n第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法圖5.3.2 例5.3.1圖x(n)y(n)z1z1z1 4811 2454381第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 2. 級聯型 在(5.1.2)式表示的系統函數H(z)中，公子分母均為多項式，且多項式的系數一般為實數，現將分子分母多項式分別進行因式分解，得到1111(1)( )(1)MrrNrrC zH zAd z(5.3.1) 形成一個二階網絡Hj(z)；Hj(z)如下式：12012

10、1212( )1jjjjjjzzHza za z(5.3.2) 第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 式中，0j、1j、2j、1j和2j均為實數。這H(z)就分解成一些一階或二階數字網絡的級聯形式，如下式： H(z)=H1(z)H2(z)Hk(z) (5.3.3) 式中Hi(z)表示一個一階或二階的數字網絡的系統函數，每個Hi(z)的網絡結構均采用前面介紹的直接型網絡結構，如圖5.3.3所示。 第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 圖5.3.3 一階和二階直接型網絡結構(

11、a)直接型一階網絡結構；(b)直接型二階網絡結構 x(n)y(n)z1x(n)y(n)z1z1( a )( b )j0j1j2j0j1j2j1j1j0第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 例5.3.2 設系統函數H(z)如下式： 12312384112( )1 1.250.750.125zzzH zzzz試畫出其級聯型網絡結構。 解 將H(z)分子分母進行因式分解，得到 112112(20.379)(41.245.264)( )(10.25)(10.5)zzzH zzzz第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構

12、與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 3.并聯型 如果將級聯形式的H(z)，展開部分分式形式，得到IIR并聯型結構。 圖5.3.4 例5.3.2圖 x(n)z12y(n)z14z10.3790.251.245.2640.5第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 式中，Hi(z)通常為一階網絡和二階網絡，網絡系統均為實數。二階網絡的系統函數一般為12( )( )( )( )kH zH zHzHz(5.3.4) 1011212( )1iiiiizH za za z 式中，0i、1i、1i和2i都是實數。如果a2i=0則構成一階網絡。由(5

13、.3.4)式，其輸出Y(z)表示為 Y(z)=H1(z)X(z)+H2(z)X(z)+Hk(z)X(z)第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 例5.3.3 畫出例題5.3.2中的H(z)的并聯型結構。 解 將例5.3.2中H(z)展成部分分式形式：111281620( )1610.510.5zH zzzz 將每一部分用直接型結構實現，其并聯型網絡結構如圖5.3.5所示。 第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 圖5.3.5 例5.3.3圖 x(n)y(n)z1z11680.

14、520160.520z1第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法5.4 有限長脈沖響應基本網絡結構有限長脈沖響應基本網絡結構 FIR網絡結構特點是沒有反饋支路，即沒有環路，其單位脈沖響應是有限長的。設單位脈沖響應h(n)長度為N，其系統函數H(z)和差分方程為1010( )( )( )( ) ()NnnNmH zh n zy nh m x nm第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 1.直接型 按照H(z)或者差分方程直接畫出結構圖如圖5.4.1所示。這種結構稱為直接型網絡結構

15、或者稱為卷積型結構。 圖5.4.1 FIR直接型網絡結構 x(n)y(n)z 1z 1z 1h(0)h(1)h(2)h(N 2)h(N 1)第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 2. 級聯型 將H(z)進行因式分解，并將共軛成對的零點放在一起，形成一個系數為實數的二階形式，這樣級聯型網絡結構就是由一階或二階因子構成的級聯結構，其中每一個因式都用直接型實現。 例5.4.1 設FIR網絡系統函數H(z)如下式： H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3 畫出H(z)的直接型結構和級聯型結構。 第第5章章 時域離散系統

16、的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 解 將H(z)進行因式分解，得到： H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2) 其直接型結構和級聯型結構如圖5.4.2所示。 圖5.4.2 例5.4.1圖z1z1z1x(n)0.60.51.623y(n)y(n)x(n)z1z1z10.9622.81.5( a )( b )第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 3. 頻率采樣結構 頻率域等間隔采樣，相應的時域信號會以采樣點數為周期進行周期性延拓，如果在頻率域采樣點數N大于等于原序列的長度

17、M，則不會引起信號失真，此時原序列的z變換H(z)與頻域采樣值H(k)滿足下面關系式： 設FIR濾皮器單位脈沖響應h(n)長度為M，系統函數H(z)=ZTh(n)，(5.4.1)式中H(k)用下式表示： 1101( )( )(1)1NNkkNH kH zzNWz(5.4.1) 2( )( ), 0,1,2,1jkNz eH kH zkN第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 要求頻率域采樣點數NM。(5.4.1)式提供了一種稱為頻率采樣的FIR網絡結構。請讀者分析IIR濾波網絡，為什么不采用頻率采樣結構。將(5.4.1)式寫成下式：

18、1011( )( )( )( )1( )( )1NckkNckkNH zHzHzNHzzH kHzWz (5.4.2) 式中 Hc(z)是一個梳狀濾皮網絡(參考第八章)，其零點為2,0,1,2,1jkkNkNzeWkN第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法圖5.4.3 FIR濾波器頻率采樣結構 x(n)y(n)z1z1 z NH(0)H(1)H(N 1)0NW1NW1NNWz1N1第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 (1)在頻率采樣點k，H(ejk)=H(k)，只要調整H

19、(k)(即一階網絡Hk(z)中乘法器的系數H(k)，就可以有效地調整頻響特性，使實際調整方便。 (2)只要h(n)長度N相同，對于任何頻響形狀，其梳狀濾波器部分和N一階網絡部分結構完全相同，只是各支路增益H(k)不同。這樣，相同部分便于標準化、模塊化。 第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 然而，上述頻率采樣結構亦有兩個缺點： (1)系統穩定是靠位于單位圓上的N個零極點對消來保證的。 (2)結構中，H(k)和W-kN一般為復數，要求乘法器完成復數乘法運算，這對硬件實現是不方便的。 為了克服上述缺點，對頻率采樣結構作以下修正。 首稱將

20、單位圓上的零極點向單位圓內收縮一點，收縮到半徑為r的圓上，取r1且r1。此時H(z)為1101( )( )(1)1NNNrkkNHkH zr zNrWz(5.4.3) 第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 另外，由DFT的共軛對稱性知道，如果h(n)是實數序列，則其離散傅里葉變換H(k)關于N/2點共軛對稱，即H(k)=H*(N-k)。而且W-kN=W-(N-k)N，我們將hk(z)和 H N-k(z)合并為一個二階網絡，并記為Hk(z)，則1()111101122( )()( )11( )( )11()212 cos()kkN k

21、NNkkNNkkH kH NkHzrWzrWzH kHkrWzr Wzaa zrk zr zN第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 顯然，二階網絡Hk(z)的系數都為實數，其結構如圖5.4.4(a)所示。當N為偶數時，h(z)可表示為式中 012Re( )2Re( )kkkNaH karH k W 1,2,3,12Nk 11201111221()1(0)2( )(1)21112cos()NNNkkkNHHaa zH zr zNrzrzk zr zN (5.4.4) 第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態

22、變量分析法結構與狀態變量分析法 式中，H(0)和H(N/2)為實數。(5.4.4)式對應的頻率采樣修正結構由N/2-1個二階網絡和兩個一階網絡并聯構成，如圖5.4.4(b)所示。圖5.4.4 頻率采樣修正結構 1k0kz 1z 1 r 2)2cos(2kNrx(n)y(n)z 1H(0)z N r r1/NH1(z)H2(z)z 1 rH(N/2)( b )( a )(12zHN第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 當N=奇數時，只有一個采樣值H(0)為實數，H(z)可表示為1(1)/201112211(0)( )(1)2112co

23、s()NNNkkkHaa zH zr zNrzk zr zN(5.4.5) 第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法5.5 狀態變量分析法狀態變量分析法 1. 狀態方程和輸出方程 狀態變量分析法有兩個基本方程，即狀態方程和輸出方程。狀態方程把系統內部一些稱為狀態變量的節點變量和輸入聯系起來；而輸出方程則把輸出信號和那些狀態變量聯系起來。 第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 圖5.5.1是二階網絡基本信號流圖，有兩個延時支路，因此建立兩個狀態變量w1(n)和w2(n)。下面建

24、立流圖中其它節點w2和輸出y(n)與狀態變量之間的關系。 22221121221120222 0111 020(1)(1)( )( )( )(1)( )( )( )( )()( )()( )( )nnananx nnny nbnbnbba bnba bnb x n (5.5.1) (5.5.2) (5.5.3) 將以上w1(n+1)、w2(n+1)和y(n)寫成矩陣形式：11222101(1)( )0( )(1)( )1nnx nnnaa (5.5.4) 第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法圖5.5.1 二階網絡基本信號流圖 x(n

25、)y(n)z 1z 1b0b1b2w1w2w2 a1 a2第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 圖5.5.2示出更為一般的二階網絡基本信號流圖，兩個延時支路輸出節點定為狀態變量w1(n)和w2(n)。按照信號流圖寫出以下方程： 111111122122221122221122( )(1)(1)( )( )( )( )(1)(1)( )( )( )( )( )( )( )nnnananb x nnnnananb x ny ncncndx n第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析

26、法圖5.5.2 一般二階網絡基本信號流圖 x(n)y(n)z1z1b1b2c1c2da22a12a21w1(n)w2(n)w1w2第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 將以上w1(n+1)、w2(n+1)和y(n)寫成矩陣形式：11121112222122(1)( )( )(1)( )aannbx nnnbaa(5.5.6)1 212( )( )( )( )Ty nc cnndx n(5.5.7)再用矩陣符號表示： (1)( )( )( )( )( )W nAW nBx nY nCW nDx n(5.5.8)(5.5.9) 1112

27、12212212,TaaAB bbaaCccDd第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 式(5.5.8)和式(5.5.9)分別稱為圖5.5.2二階網絡的狀態方程和輸出方程。 如果系統中有N個單位延時支路，M個輸入信號：x1(n),x2(n),xM(n)，L個輸出信號y1(n),y2(n),，yL(n)，則狀態方程和輸出方程分別為 (1)( )( )( )( )( )W nAW nBX nY nCW nDX n(5.5.10)(5.5.11) 式中121212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )TNT

28、MTLW nnnnX nx n x nxnY ny n y nyn第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法11 12111 1212122221 222121211 1211112121 222212221212,NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNa aab bbAa aaBb bba aab bbc ccd ddCc ccDd ddc ccddd圖5.5.3 狀態變量分析法y(n)x(n)z1W(n1)W(n)dABC第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 例5

29、.5.1 建立圖5.5.4流圖的狀態方程和輸出方程。 圖5.5.4 例5.5.1圖x(n)y(n)z1a1b0z1b1b2a2w1(n1)w1(n)w2(n)第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 信號流圖中有兩個延時支路，分別建立兩個狀態變量w1(n)和w2(n)(如圖5.5.4所示)，然后列出延時支路輸入端節點方程如下： 1112221(1)( )( )( )(1)( )nananx nnn將上式寫成矩陣方程： 121122(1)( )1( )(1)( )010aannx nnn (5.5.12) 第第5章章 時域離散系統的基本網

30、絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 輸出信號y(n)的方程推導如下： y(n)=b0w1(n+1)+b1w1(n)+b2w2(n) 將上面w1(n+1)的方程代入上式： y(n) =a1b0w1(n)+b0a2w2(n)+b0 x(n)+b1w1(n)+b2w2(n) =(a1b0+b1)w1(n)+(a2b0+b2)w2(n)+b0 x(n)11 012 0202( )( ),( )( )ny na bb a bbb x nn第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 例 5.5.2直接寫出圖5.5.4信

31、號流圖的 A、B、C和D參數矩陣。 解 111121221222, , ,baaABCc cDdaab 要注意：從wi(n)到輸出節點可能不止一條通路，要把所有通路增益加起來，即111 0220 0,cba b cba b d表示從輸入節點到輸出節點的通路增益，這里d=d0，最后得到四個參數矩陣為121,100aaAB 第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 例5.5.3 已知系統函數H(z)為 1121122(1)(1 1.440.7)( )(10.5)(10.90.81)zzzH zzzz(1)畫出H(z)的級聯型網絡結構；(2)

32、根據已畫出的流圖寫出其狀態方程和輸出方程。 112112(1) 1 1.440.7( )210.510.90.81zzzH zzzz第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 圖5.5.5 例5.5.3圖 x(n)z12y(n)z1z11.4140.70.9w1(n)w2(n)w3(n)0.51第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 在延時支路輸出端建立狀態變量w1(n)、w2(n)和w3(n)(如圖5.5.5所示)。寫出狀態變量 w1(n+1) =-0.5w1(n)+2x(n)

33、 w2(n+1)=w1(n+1)-w1(n)+0.9w2(n)-0.81w3(n) =-1.5w1(n)+0.9w2(n)-0.81w3(n)+2x(n) w3(n+1)=w2(n) 將以上三個方程寫成矩陣方程：112233(1)( )0.5002(1)1.50.90.81( )2( )0100(1)( )nnnnx nnn 第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法輸出方程為y(n)=w2(n+1)-1.414w2(n)+0.7w3(n)將上面得到的w2(n+1)方程代入上式，得到：y(n)=-1.5w1(n)-0.514w2(n)-0

34、.11w3(n)+2x(n)將y(n)寫成矩陣方程，即是要求的輸出方程。y(n)=-1.5-0.514-0.11w1(n)w2(n)w3(n)T+2x(n) 第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 例5.5.4 已知FIR濾波網絡系統函數H(z)為 解畫出直接型結構如圖5.5.6所示，在延時支路輸出端建立狀態變量w1(n)、w2(n)和w3(n)。根據參數矩陣中各元素的意義，直接寫出狀態方程和輸出方程如下：30( )iiiH za z112233(1)( )0001(1)100( )1( )0100(1)( )nnnnx nnn y(

35、n)=a1 a2 a3w1(n) w2(n) w3(n)T+a0 x(n)第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 圖5.5.6 例5.5.4圖 y(n)x(n)z1z1z1w1(n)w2(n)a1a2a3a0w3(n)第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 2. 由狀態變量分析法轉換到輸入輸出分析法 把單輸入單輸出的狀態方程和輸出方程重寫如下： W(n+1)=AW(n)+Bx(n) (5.5.14) y(n)=CW(n)+dx(n) (5.5.15) 將上面兩式進行Z變換 z

36、W(z)=AW(z)+BX(z) (5.5.16) Y(z)=CW(z)+dX(z) (5.5.17) 第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 式中 W(z)=W1(z)W2(z)WN(z)T Wi(z)=ZTwi(n) X(z)=ZTx(n) Y(z)=ZTy(n) 由(5.5.16)式得到： W(z)=zI-A-1 BX(z) (5.5.18) 將上式代入(5.5.17)式，得到：11( )( )( )( )( )( )Y zC zIABX zdX zY zH zC zIABdX z(5.5.19) 第第5章章 時域離散系統的基本

37、網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 例5.5.5 已知二階網絡的四個參數矩陣如下：2122 011 00010,1,ABaaCba bba bdb 求該網絡的系統函數。解 2111212212111011()11( )zzIAazazazIABazz zaazza zaH zC zIABd 第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 系 統 頻 響 決 定 于 H ( z ) 的 零 、 極 點 分 布 。 設H(z)=B(z)/A(z)，其極點為A(z)=0的解。由(5.5.19)式得到： A(z)多項

38、式稱為A 矩陣的特征多項式，其根為A矩陣的特征值，因此A矩陣的特征值就是H(z)的極點。如果A矩陣全部特征值的模均小于1，系統因果穩定，否則系統因果不穩定。21201201221212121b zb zbbb zb zza zaa za z( )det()A zzIA(5.5.20) 第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 z2-3z+2=0 特征值 1=1, 2=2 極點 z1=，z2=2 將狀態方程重寫如下： W(n+1)=AW(n)+Bx(n)321032det01AzzIAz第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本

39、網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 方程式左端是n+1時刻的狀態變量矢量，右端是n時刻的狀態變量矢量和輸入x(n)的線性組合。由起始值 W(n0)，用遞推法求出W(n)的時域解： n=n0時，W(n0+1) =AW(n0)+Bx(n0) n=n0+1時，W(n0+2)=AW(n0 +1)+Bx(n0 +1) =AAW(n0)+Bx(n0)+Bx(n0 +1) =A2W(n0)+ABx(n0)+B x(n0 +1) n= n0 +k時W(n0+k+1)=A k+1 W(n0)+AkBx(n0)+ A k-1 Bx(n0+1)+ABx(n0+k-1)+Bx(n0+k)第第5章章 時域離

40、散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 令n=n0+k+1，則 0000101101( )()()( )()()nnnnlin nn nliW nAW nABx nlW nAW nABx nl將n換成n，則(5.5.21) 為求單位脈沖響應，將(5.5.15)式中的x(n)用(n)代替，W(n)用(5.5.21)式中的零狀態響應代替，且令n0=0，此時y(n)=h(n)，得到：第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法111( )()( )00( )00nllnh nCABnldnnh ndnCABn(5.5.22) (5.5.23)第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法 例5.5.6 求圖5.5.7所示的N階FIR格形網絡的系統函數以及單位脈沖響應。圖5.5.7 例5.5.6圖 z1z1w1w2k1k1k2k2z1z1wN1kN1kN1wNkNx(n)y(n)第第5章章 時域離散系統的基本網絡時域離散系統的基本網絡 結構與狀態變量分析法結構與狀態變量分析法