1、 Department of Mathematics第七章第七章 共形映射共形映射第第7.1節節 單葉解析函數的映射性質單葉解析函數的映射性質單葉解析函數的映射性質 -一般概念： 解析函數所確定的映射是保形映射。它是復變函數論中最重要的概念之一，與物理中的概念有密切的聯系，而且對物理學中許多領域有重要的應用。 如應用保形映射成功地解決了流體力學與空氣動力學、彈性力學、磁場、電場與熱場理論以及其他方面的許多實際問題。不但如此，20世紀中亞音速及超音速飛機的研制促成了從保形映射理論到擬保形映射理論的發展。單葉解析函數的映射性質 我們主要研究單葉解析函數的映射性質。設函數w=f(z)在區域內解析，并

2、且在任意不同點，函數所取的值不同。那么我們就稱它為區域的單葉解析函數，簡稱即為單葉函數。注解1、單葉函數是確定一個單射的解析函數。例子：例1、函數w=z+a及w=az是z平面上的單葉解析函數它們把z平面映射成w平面，其中a是復常數，并且對于第二個映射 。0例2、 在每個帶形zew ,2Imaza內單葉解析，并且把這個帶形映射成z平面上除去從原點出發的一條射線而得的區域，其中a是任意實常數。引理1.1:注解2、上面的例子把z平面上的區域映射成w平面上的區域。引理1.1 設函數f(z)在z=z0解析，并且w0 =f(z0),設.)3 , 2 , 1(0)(, 0)(.)( )( 0)(0)1(00

3、pzfzfzfzfpp那么f(z)-w0在z0有p階零點，并且對充分小的正數|00ww 在 0)(wzf|00zz，存在著一個正數，使得 在 內有p個一階零點。引理1.1:證明： f(z)-w0在z0有p階零點是顯然的。由于f(z)不恒等于零，可以作出以z0為心的開圓盤，|:|0zzD其邊界為C，使得f(z)在CDD并且使得f(z)-w0及f(z)除去在z0外在上無其它零點。那么, 0|)(|min0wzfCz其邊界為C，使得f(z)在 上解析，引理1.1的證明：取w，使|00ww現在應用儒歇定理，比較f(z)-w及f(z)-w0在內D的零點的個數。由于),()()(00wwwzfwzf而當C

4、z, 0|)(|00wwwzf可見f(z)-w及f(z)-w0在D內的零點個數同為p（每個n階零點作n個零點）。這是因為0ww 0zz 0)(0zzwzf而當 時這是因為 ，所以這是因為 ，所以 ，而定理1.1:定理1.1、設函數f(z)在區域D內單葉解析，那么在D內任一點，. 0)( zf證明：反證之。假定, 0)( ,00zfDz那么由引理1.1，可得出與單葉相矛盾得結論。注解1、如果一個函數在區域D內單葉解析，那么它的導數在D內任意一點不等于零；注解2、反之，這個定理的逆定理不成立，例如 w=ez的導數在z平面上任意一點不為零，而這個函數在整個z平面上不是單葉的。定理1.2、3:定理1.

5、2、設函數w=f(z)在z=z0解析，并且0)( 0zf定理1.3、設函數w=f(z)在區域D內解析，并且不恒等于常數，那么D1 =f(z)是一個區域，即f確定從D到D1的一個滿射。證明：先證明D1是開集，即證明任一點10Dw 是它的內點。設Dz 000)(wzf由引理1.1，可以找到一個正數|01ww那么f(z)在z0的一個鄰域內單葉解析。是它的內點。設 ，并且 。 ，使得對于任何滿足定理1.3的證明:的復數w1，我們有 ，使得 。Dz 111)(wzf因此開圓盤|0ww包含在D1內，即w0是D1的內點。其次我們證明的連通性，即證明在D1內任意不同兩點w1及w2可以用在D1的一條折線連接起來

6、我們有 ，使得 。)()(btatzz2211)(,)(wzfwzfDzz21,由于D是一個區域，在D內有折線定理1.3的證明:連接z1及z2，在這里 。)(),(21bzzazz函數w=f(z)把這條折線上每一條線段映射成D1 內一條光滑曲線，從而把這折線映射成D1內連接w1及w2的一條光滑曲線：)()(:btatzfw另一方面，由于 是D1內的一個緊集，根據有限覆蓋定理，它可以被D1內有限個開圓盤所覆蓋，從而在D1內可以作出w1及w2連接的折線 。1定理1.4:注解：如果w=f(z)在區域D內單葉解析，那么根據定理1.3，它把區域D雙射成區域)(1DfD 于是f(z)有一個在D1內確定的反

7、函數。定理1.4設函數f(z)在區域D內單葉解析，并且D1=f(D)那么w=f(z)有一個在D1內單葉解析的反函數，)(wz并且如果 ，那么)(,0010wzDw.)( 1)( 00zfw定理1.4的證明:證明：先證明 在D1內任一點連續。)(wz由引理1.1，任給 ，選取這一引理結論中的正數 及 ，使得0,那么當 時|0ww,| )()(|0ww因此 在D1內任一點連續。)(wz下面證明導數公式成立。當 ，并且 時，我們有1Dw)(wz0,zzDz定理1.4的證明:于是,1)()(000000zzwwwwzzwwww因為當 時，0ww)()(00zzwz所以000000lim1)()(lim

8、zzwwwwwwzzww,)( 1)()(lim10000zfzzzfzfzz即定理的結論成立。導數幅角的幾何意義: 設函數w=f(z)是區域D內的單葉解析函數。設)(,000zfwDz則我們有，0)( 0zf考慮在過z0的一條簡單光滑曲線C：),()()()(btatiytxtzz其中x(t)及y(t)是z(t)的實部和虛部。設),()(000batztz由于),( )( )( tiytxtzdtdz曲線C在z=z0的切線與實軸的夾角是z(t0)的幅角)( 0tzArg導數幅角的幾何意義: 作通過曲線C上之點z0=z(t0)及z1=z(t1)的割線，由于割線的方向與向量0101ttzz的方向

9、一致，可以看出：只要當z1趨近于z0時向量 與實軸的夾角 連續變動趨近于極限，0101ttzz0101argttzz那么當t1趨近于t0時，割線確有極限位置，即為曲線C在z=z0的切線的位置。導數幅角的幾何意義:但由光滑曲線的條件，極限, 0)( lim0010101tzttzztt存在。因此下列極限也存在：),( argarglim0010101tzttzztt它就是曲線C在z0=z(t0)處切線與實軸的夾角，在這里幅角是連續變動的，并且極限式兩邊幅角的數值是相應地適當選取的。)(00tzz 導數幅角的幾何意義:函數w=f(z)把簡單光滑曲線C映射成過 的一條簡單曲線：)(00zfw ),(

10、)(:btatzfw由于 ，可見 也是一條光滑曲線；它在w0的切線與實軸的夾角是)( )( 00tztzfdtdw),( arg)( arg)( )( arg0000tztzftztzf因此， 在w0處切線與實軸的夾角及C在z0處切線與實軸的夾角相差。這一數值與曲線C的形狀及在z0處切線的方向無關。0zyx0zzz00vu0www00C導數幅角的幾何意義: 設在D內過z0還有一條簡單光滑曲線)(:11tzzC函數w=f(z)把它映射成一條簡單光滑曲線)(:11tzfw 和上面一樣， 與 在z0及w0處切線與實軸的夾角分別是 及1C1)( arg01tz),( arg)( arg)( )( ar

11、g01010101tztzftztzf所以，在w0處曲線 到曲線 的夾角恰好等于在z0處曲線C到曲線C1的夾角：1),( arg)( arg)( )( arg)( )( arg001000101tztztztzftztzf導數幅角的幾何意義: 因此，用單葉解析函數作映射時，曲線間的夾角的大小及方向保持不變，我們成這個性質為單葉解析函數所作映射的保角性。yx0z0Cvu0w0C1011011z-z0及w平面上向量 導數模的幾何意義: 上面是對單葉解析函數的導數的幅角所作的幾何解釋，下面再說明它的模的幾何意義。根據假設，我們有,| )()(|lim| )( |0000zzzfzfzfzz由于 是比

12、值 的極限，| )( |0zf| )()(|00zzzfzf它可以近似地表示這種比值。在w=f(z)所作映射下，|z-z0|及|f(z) -f(z0)|分別表示z平面上向量)()(0zfzf導數模的幾何意義:的長度，這里向量z-z0及f(z) -f(z0)的起點分別取在z0及f(z0) 。當|z-z0|較小時，|f(z) -f(z0)|近似地表示通過映射后， |f(z) -f(z0)|對|z-z0|的伸縮倍數，而且這一倍數與向量z-z0的方向無關。因此，我們把|f(z0)| 稱為在點z0的伸縮率。導數的幾何意義: 現在用幾何直觀來說明單葉解析函數所作映射的意義。設w=f(z)是在區域D內解析的函數，0)( ,),(,00000zfDzzfwDz那么w=f(z)把z0的一個鄰域內任一小三角形映射成w平面上含z0的一個區域內的曲邊三角形。這兩個三角形的對應角相等，對應邊近似成比例。導數的幾何意義:所以，我們把