1、第第8 8章章 力矩分配法力矩分配法屬于位移法類型的漸近解法。屬于位移法類型的漸近解法。8.1 力矩分配法的基本概念力矩分配法的基本概念1. 理論基礎：位移法2. 解題方法：漸進法3. 適用范圍：連續梁、無結點線位移的剛架4. 計算對象：桿端彎矩，正負號規定與位移法相同（一）轉動剛度轉動剛度表示桿端對轉動的抵抗能力。數值上等于使桿端產生單位轉角時在轉動端需施加的力矩。用用SAB表示，表示，施力端施力端A稱為近端，稱為近端，B端稱為遠端。端稱為遠端。ABSAB)(a遠端固定遠端固定SAB = 4 iABSAB)(b遠端鉸支遠端鉸支SAB = 3 iABS遠端定向支承遠端定向支承SAB = iAB

2、)(cABSB)(dA遠端自由遠端自由SAB = 01. SAB與線剛度與線剛度i=EI/l有關，還與遠端的支承情況有關。有關，還與遠端的支承情況有關。2.SAB是指施力端是指施力端A在在沒有線位移沒有線位移的條件下的轉動剛度。的條件下的轉動剛度。（二）分配系數：（二）分配系數：如圖，設如圖，設A結點上作用有一結點上作用有一集中力偶，試求桿端彎矩集中力偶，試求桿端彎矩MAB、MAC、MAD。解：解： 設集中力偶使結點設集中力偶使結點A產生產生轉角轉角q qA A， 則由轉動剛度定義：則由轉動剛度定義： ABMAABSAABi4 ACMAACSAACi ADMAADSAADi3)(aACDBMA

3、3. A端可為固定鉸或可動鉸支座，也可為可轉動（但端可為固定鉸或可動鉸支座，也可為可轉動（但不能移動）的剛結點。不能移動）的剛結點。由由)(aACDBMA 0AMAMABMACMADMADACABMMMM AADAACAABSSS AADACABSSS)( AAS 用用 AS表示各桿表示各桿A端轉動剛度之和。端轉動剛度之和。 AASM ABMAABSAABi4 ACMAACSAACi ADMAADSAADi3將將q qA代入代入MAB、MAC、MAD的表達式中，得：的表達式中，得：)(aACDBMA AASMMSSMAABAB MSSMAACAC MSSMAADAD 分配彎矩分配彎矩令令)(D

4、C,B,jSSAAjAj Aj 稱為稱為分配系數分配系數，它表示本桿的轉動剛度除以，它表示本桿的轉動剛度除以 圍繞此結點所有桿的轉動剛度之和。圍繞此結點所有桿的轉動剛度之和。 ABMAABSAABi4 ACMAACSAACi ADMAADSAADi3則分配彎矩為：則分配彎矩為：MSSMAABAB MSSMAACAC MSSMAADAD 令令)(DC,B,jSSAAjAj MMABAB MMACAC MMADAD 分配系數的特點：分配系數的特點：匯交于同一結點的各桿的分配系數之和等于匯交于同一結點的各桿的分配系數之和等于1 1。)(aACDBMA1010圖示結構，各桿線剛度均為圖示結構，各桿線剛

5、度均為I, ,用力矩分配法計用力矩分配法計算時，分配系數算時，分配系數AB為（）為（）101A81B41C83D訓訓 練練B)(aACDBM（三）傳遞系數：（三）傳遞系數： (a)圖中圖中A結點作用集中結點作用集中力偶力偶M，使結點使結點A產生轉角產生轉角q qA A時，各桿近端產生彎矩，時，各桿近端產生彎矩，同時也使各桿遠端產生彎矩。同時也使各桿遠端產生彎矩。A BAMAABi2 CAMAACi DAM021 ABABBACMM把把CAB稱為傳遞系數。稱為傳遞系數。傳遞系數傳遞系數 當近端有當近端有轉角轉角時，遠端彎矩和近端彎時，遠端彎矩和近端彎矩的比值。用符號矩的比值。用符號C表示。表示。

6、 ABMAABSAABi4 ADMAADSAADi3 ACMAACSAACi21ABBAABMMCMAB = 3iABqA0ABBAABMMCMAB= iABqAMBA = - iAB qA1ABBAABMMCqAlAB近端近端遠端遠端ABqAqAAB傳遞系數與遠端的支承情況有關：傳遞系數與遠端的支承情況有關：（三）傳遞系數：（三）傳遞系數：MAB = 4 iAB qAMBA = 2 iAB qA基本概念總結：基本概念總結：規律：規律：分配系數要計算；分配系數要計算；計算圍繞一個點；計算圍繞一個點；傳遞系數憑觀看；傳遞系數憑觀看；觀看只看桿遠端。觀看只看桿遠端。 在結點上的外力矩（不平衡力矩）

7、按各桿分配在結點上的外力矩（不平衡力矩）按各桿分配系數分配給各桿近端截面；各桿遠端彎矩分別等于系數分配給各桿近端截面；各桿遠端彎矩分別等于各桿近端彎矩乘以傳遞系數。各桿近端彎矩乘以傳遞系數。8.2 單結點力矩分配法單結點力矩分配法基本運算基本運算用力矩分配法計算下列結構，并作用力矩分配法計算下列結構，并作M圖。圖。PEIABCEIl2l2l)(a（一）確定基本結構（在（一）確定基本結構（在B結點增加附加剛臂），再加結點增加附加剛臂），再加 上荷載。如圖上荷載。如圖b。PBAC)(bRgBAMgBCMBgBCgBAMMR 此時：此時： R 等于固端彎矩之和，以等于固端彎矩之和，以順時針順時針為正

8、為正，稱，稱R為為結點不平衡力矩結點不平衡力矩或或固端固端彎矩引起的不平衡力矩彎矩引起的不平衡力矩。（一）確定基本結構（在（一）確定基本結構（在B結點增加附加剛臂），再加結點增加附加剛臂），再加 上荷載。如圖上荷載。如圖b。PBAC)(bgBCgBAMMR 此時：此時：BAC)(bR)(cBAM BCM B)( RMBABA 此時：此時：R)( RMBCBC （二）放松結點（二）放松結點B，產生，產生反向反向力矩力矩R：同時：各桿遠端產生傳遞彎矩：同時：各桿遠端產生傳遞彎矩：BAMMAB 210 CBM（三）（三）(b)圖圖+(c)圖圖=(a)圖，即：圖，即： BAM ABM BCM gABM

9、ABM BCM 0 CBM gBAMBAM PEIABCEIl2l2l)(a 、 叫分配彎矩：叫分配彎矩：它等于分配它等于分配系數乘以系數乘以負的負的R。BAM BCM 力矩分配法的計算步驟：力矩分配法的計算步驟：1.由轉動剛度計算分配系數：由轉動剛度計算分配系數：AAjSSAj2.固端彎矩固端彎矩和和不平衡力矩不平衡力矩 R 計算：計算：AgMR3.計算分配彎矩和傳遞彎矩：計算分配彎矩和傳遞彎矩：)( RMAjAj 4.疊加求和，計算桿端彎矩：疊加求和，計算桿端彎矩： 5.校核。（結點平衡）校核。（結點平衡）分配彎矩下劃橫線表示已平衡，箭頭表示傳遞方向。分配彎矩下劃橫線表示已平衡，箭頭表示傳

10、遞方向。（通常列表計算）（通常列表計算）AjAjjAMCM 歸納： ，傳遞彎矩。放松節點，分配彎矩衡力矩。固端彎矩，有節點不平固定節點，各桿端有，傳遞彎矩。放松節點，分配彎矩衡力矩。固端彎矩，有節點不平固定節點，各桿端有例例1、用力矩分配法求解圖示結構，并作、用力矩分配法求解圖示結構，并作M圖：圖：解：解： BEIACEIm4m4kN/m10074731、計算分配系數：、計算分配系數： BBASSBA74 iii34473741 BC2、計算固端彎矩：、計算固端彎矩：3 .1331212 qlMgAB3 .133 gBAM3、計算不平衡力矩：、計算不平衡力矩：3 .133 R分配系數分配系數g

11、M固端彎矩固端彎矩3 .133 3 .13300分配傳遞分配傳遞結點一次結點一次B09.38 17.76 13.57 0 MM 或或總總4 .171 13.57013.57 4 .17113.5720081 2ql73.85圖M)(mkN 力矩分配法是直接計算力矩分配法是直接計算各桿的桿端彎矩。各桿的桿端彎矩。反號的不平衡力矩：反號的不平衡力矩：-133.3總總 結：結：回顧：基本概念總結：回顧：基本概念總結：規律：規律：分配系數要計算；計算圍繞一個點；傳遞系數憑觀看；觀看只看桿遠端。 在結點上的外力矩（不平衡力矩）乘以各桿分在結點上的外力矩（不平衡力矩）乘以各桿分配系數得各桿近端截面的分配彎

12、矩；分配彎矩分別配系數得各桿近端截面的分配彎矩；分配彎矩分別乘以傳遞系數等于各桿遠端截面的傳遞彎矩乘以傳遞系數等于各桿遠端截面的傳遞彎矩轉動剛度轉動剛度S與傳遞系數與傳遞系數C：回顧：回顧：力矩分配法的計算步驟：力矩分配法的計算步驟：1.由轉動剛度計算由轉動剛度計算分配系數分配系數：AAjSSAj2.固端彎矩固端彎矩和和不平衡力矩不平衡力矩 R 計算：計算：AgMR3.計算計算分配彎矩分配彎矩和和傳遞彎矩傳遞彎矩：)( RMAjAj 4.疊加求和，計算桿端彎矩：疊加求和，計算桿端彎矩：5.校核。（結點平衡）校核。（結點平衡）分配彎矩下劃橫線表示已平衡，箭頭表示傳遞方向。分配彎矩下劃橫線表示已平

13、衡，箭頭表示傳遞方向。（通常列表計算）（通常列表計算）AjAjjAMCM 例例2、用力矩分配法計算圖示結構，并作、用力矩分配法計算圖示結構，并作M圖。圖。解：解： 4 . 06 . 01、計算分配系數：、計算分配系數： BBASSBA4 . 0 iii23446 . 0 BC2、計算固端彎矩：、計算固端彎矩：60163 PlMgBC3、計算不平衡力矩：、計算不平衡力矩：分配系數分配系數gM固端彎矩固端彎矩060 0分配傳遞分配傳遞結點一次結點一次B1836 540 M桿端彎矩桿端彎矩1806 kN80EIBACEI2mkN 30m2m4m2圖M)(mkN 060 gBCMRB300 0BM由由

14、：得06030 R90 R90 R反號的不平衡力矩：反號的不平衡力矩：90368041 Pl7736186 用力矩分配法用力矩分配法計算圖示剛架各計算圖示剛架各桿端彎矩。桿端彎矩。15kN/m50kN4m4m3m2mACBDiAB=2iAC=1.5iAD=2解：基本結構分配系數分配系數3 . 05 . 14242323AB3 . 05 . 1424235 . 14AC4 . 03 . 03 . 01AD固端彎矩和結點不平衡力矩RmkNMgAB 30mkNMMgADgAC240mkNMgDA 36mkNMmkNMmkNMgDAgADgAB362430固端彎矩和結點不平衡力矩R mkN.M,mkN

15、.MmkN.M,mkN.MM,mkN.MCAACDAADBAAB 90818344260228桿端彎矩+300-24+36MABMACMADMDAMCA R反號分配反號分配-1.8 -1.8-2.4-1.2-0.9-0.9+28.2 -1.8 -26.4+34.8RgADMgABMmkNR 6放松結點，計算分配彎矩和傳遞彎矩PABCDPABCD(1)在B，C加約束，施加荷載；PABCDPABCD(2)放松B約束C點不動，按一結點分配彎矩；(3)重新固定B（在當前變形上）放松C按一結點分配彎矩；(4)重復(2),(3)直到接近平衡，將各步驟桿端彎矩疊加。RBRCRC RB+ RC8.3 8.3

16、多結點力矩分配法多結點力矩分配法漸進運算漸進運算例例: 試繪制連續梁的彎矩圖。試繪制連續梁的彎矩圖。Ai=2i=1i=180kN160kN30kN/MBD分配系數分配系數固端彎矩固端彎矩B點一次分、傳點一次分、傳C點一次分、傳點一次分、傳B點二次分、傳點二次分、傳C點二次分、傳點二次分、傳B點三次分、傳點三次分、傳C點第三次分配點第三次分配疊加求桿端彎矩疊加求桿端彎矩0.6 0.40.5 0.590.0 -250.0250.0 -187.5112.50096.0 64.032.0-23.7-47.3-23.7-47.3014.2 9.54.8-1.2-2.4-1.2-2.400.70.50.3

17、-0.2-0.20200.9 -200.9237.4 -237.487.63m3m10m3m5mABCD120200.9375237.430087.6CM圖圖(kN.m)回顧：基本概念總結：回顧：基本概念總結：規律：規律：分配系數要計算；計算圍繞一個點；傳遞系數憑觀看；觀看只看桿遠端。 在結點上的外力矩（不平衡力矩）乘以各桿分在結點上的外力矩（不平衡力矩）乘以各桿分配系數得各桿近端截面的分配彎矩；分配彎矩分別配系數得各桿近端截面的分配彎矩；分配彎矩分別乘以傳遞系數等于各桿遠端截面的傳遞彎矩乘以傳遞系數等于各桿遠端截面的傳遞彎矩轉動剛度轉動剛度S與傳遞系數與傳遞系數C：回顧：回顧：力矩分配法的計

18、算步驟：力矩分配法的計算步驟：1.由轉動剛度計算由轉動剛度計算分配系數分配系數：AAjSSAj2.固端彎矩固端彎矩和和不平衡力矩不平衡力矩 R 計算：計算：AgMR3.計算計算分配彎矩分配彎矩和和傳遞彎矩傳遞彎矩：)( RMAjAj 4.疊加求和，計算桿端彎矩：疊加求和，計算桿端彎矩：5.校核。（結點平衡）校核。（結點平衡）分配彎矩下劃橫線表示已平衡，箭頭表示傳遞方向。分配彎矩下劃橫線表示已平衡，箭頭表示傳遞方向。（通常列表計算）（通常列表計算）AjAjjAMCM CB例例. .用力矩分配法作圖示連續梁的彎矩圖，并用力矩分配法作圖示連續梁的彎矩圖，并求求B支座反力支座反力。ABCD6m6m4m

19、4mEI=1EI=2EI=120kN/m100kN61ABi4182BCi61CDi141432614BCBASS6 .04 .032132BCBA216131414CDCBSS333. 0667. 02111CDCB0.4 0.60.667 0.333M-6060 -100100分配與傳遞分配與傳遞-33.3-66.7-33.429.4 442214.7-14.7 -7.3-7.34.42.92.2-1.5 -0.7-0.70.30.41.50.2-43.692.6 -92.641.3 -41.3Mij043.692.6133.141.3ABCD21.9M圖（圖（kNm）ABCD6m6m4m

20、4mEI=1EI=2EI=120kN/m100kN43.6133.141.321.9M圖（kNm）92.6ABCDABCD51.868.256.443.66.9Q圖（kN）計算支座反力:68.2=QBAQBC=56.4BYB=124.6lMMQQBAABABAB0 畫圖示連續梁的彎矩圖。20kN/m40kN40kN4m4m4m4m1.2mABCDEFEI=常數（1）計算分配系數 （各桿線剛度相同， 令i =1） 571. 0429. 01 ,429. 0343 :BCBAB 500. 0444 :CDCBC429. 0571. 01 ,571. 0344 :DFDCD20kN/m40kN40k

21、N4m4m4m4m1.2mABCDEF基本結構解：40kNDEF48kNm（2）固端彎矩mkNMgBA40420812（3）列表計算20kN/m40kN40kN4m4m4m4m1.2mABCDEFEI=常數常數基本結構基本結構mkNMgEF482 . 140mkNMMgCDgDC2044081mkNMgDE24482120kN/m40kN40kNABCDEFEI=常數常數40-2020 24480 -11.4 -12.6-17.2 -22.8-25.1 -18.911 11-4.7 -6.3-4.7-6.3 -3.2 -3.2 3.2 3.21.6 1.622 22-0.7 -0.9 -0.5

22、 -0.5 -0.7-0.90.3 0.30.5 0.5-0.1 -0.2-0.2 -0.148017.3 -17.310.6 -10.60.4 -0.4480.434.510.617.331.3M(kNm)彎矩很小彎矩很小停止分配停止分配B,D一次分,傳C一次分,傳B,D二次分,傳C二次分,傳B,D三次分,傳C三次分,傳B，D四次分配力矩分配法小結：力矩分配法小結： 1 1）單結點力矩分配法得到精確解；多結點力矩分）單結點力矩分配法得到精確解；多結點力矩分配法得到漸近解。配法得到漸近解。 2 2）首先從結點不平衡力矩絕對值較大的結點開始。）首先從結點不平衡力矩絕對值較大的結點開始。 3 3）

23、結點不平衡力矩要變號分配。）結點不平衡力矩要變號分配。 4 4）結點不平衡力矩的計算：）結點不平衡力矩的計算：結點不平結點不平衡力矩衡力矩（第一輪第一結點）（第一輪第一結點）固端彎矩之和固端彎矩之和（第一輪第二、三（第一輪第二、三結點）結點）固端彎矩之和加傳遞彎矩固端彎矩之和加傳遞彎矩傳遞彎矩傳遞彎矩 （其它輪次各結點）（其它輪次各結點）總和等于附加剛臂上的約束力矩總和等于附加剛臂上的約束力矩5 5）不能同時放松相鄰結點（因定不出其轉動剛度和）不能同時放松相鄰結點（因定不出其轉動剛度和傳遞系數），但可以同時放松所有不相鄰的結點，傳遞系數），但可以同時放松所有不相鄰的結點，以加快收斂速度。以加快

24、收斂速度。力矩分配法小結：力矩分配法小結：例例 如下圖所示剛架，試作如下圖所示剛架，試作M圖。圖。(1)簡化簡化解：解：(3)計算分配系數計算分配系數(2)計算固端彎距計算固端彎距查表查表（4）分配、傳遞）分配、傳遞 （A-C-A-C-A次序）次序）（5）繪彎距圖）繪彎距圖時間： 周一原上課時間地點：3實410室填空題計算題作圖題時間：6月18日(星期三) 下午: 14:0015:35地點：3教102,103,104自帶：自帶：計算器、直尺、鉛筆和橡皮。計算器、直尺、鉛筆和橡皮。例 畫出圖示結構彎矩圖。CABD2.5m2.5m5mi=1i=1i=3i=3P=80kNi=6i=6EABFi=140kN簡化結構簡化結構解法一：利用對稱性簡化結構CABD81.218.818.86.36.36.36.3M(kNm)解法二：利用兩個對稱軸簡化結構CABD40kN40kN20kN20kN20kN20kN反對稱反對稱CABD40kN40kN20kN20kN20kN20kN對稱對稱+CABD80kN40kN40kNAGFi=220kNi=61/4結構結構CABD40kN40kN20kN20kN20kN20kN反對稱反對稱1. 反對稱荷載解：AB12.5M1 (k