1、會計學1微積分正項級數及其審斂法絕對微積分正項級數及其審斂法絕對(judu)收收斂與條件收斂斂與條件收斂第一頁，共45頁。nns )(,)2(1 nsunnn則則發散發散設正項級數設正項級數,nnvu .1發散發散 nnv定理(dngl)證畢.比較(bjio)審斂法的不便:須有參考(cnko)級數. )(n第2頁/共45頁第二頁，共45頁。解,1時時當當 p,11nnp .級數發散級數發散 P,1時時當當 p,1111 nnpnnppxdxdxnnpppnns131211 nnppxdxxdx1211第3頁/共45頁第三頁，共45頁。 npxdx11)11(1111 pnp111 p,有界有界

2、即即ns.級數收斂級數收斂則則 P 發散發散時時當當收斂收斂時時當當級數級數,1,1ppP重要參考級數(j sh): 幾何級數(j sh), P-級數(j sh), 調和級數(j sh).第4頁/共45頁第四頁，共45頁。例例 2 2 證明級數證明級數 1)1(1nnn是發散的是發散的.證明(zhngmng),11)1(1 nnn,111 nn發散發散而級數而級數.)1(11 nnn發散發散級數級數 比較審斂法是一基本方法，但應用起來卻有許多不便，因為它需要建立定理所要求的不等式，而這種不等式常常不易建立，為此介紹在應用上更為(n wi)方便的極限形式的比較審斂法。第5頁/共45頁第五頁，共4

3、5頁。4.比較(bjio)審斂法的極限形式:設1nnu與1nnv都是正項級數, 如果則(1) 當時, 二級數有相同的斂散性; (2) 當時，若收斂, 則收斂; (3) 當時, 若1nnv發散, 則1nnu發散;,limlvunnn l00 l l 1nnv 1nnu第6頁/共45頁第六頁，共45頁。證明(zhngmng),lim)1(lvunnn 由由,N ,時時當當Nn 232lvulnn )(232Nnvluvlnnn 即即由比較(bjio)審斂法即可得證.,232lll 推論推論： 設正項級數1nnu和1nnv的一般項均為時的無窮小, 且則二級數有相同的斂散性.nnvu 和和 n,nnv

4、u第7頁/共45頁第七頁，共45頁。解)1(nnnn3131, 時時故原級數(j sh)發散.)2(,11sin,nnn時時 ,311收斂收斂又又 nn故原級數(j sh)收斂.,11發散發散又又 nn第8頁/共45頁第八頁，共45頁。202)1ln(lim11ln1limxxxnnnnxn 故原級數(j sh)收斂.,112收斂收斂又又 nn,21)1(2lim2111lim00 xxxxxxx第9頁/共45頁第九頁，共45頁。5 5. .比值審斂法比值審斂法( (達朗貝爾達朗貝爾 D DAlembertAlembert 判別法判別法) )： 設設 1nnu是是正正項項級級數數, ,如如果果

5、)(lim1 數數或或nnnuu則則1 時時級級數數收收斂斂; ;1 時時級級數數發發散散; ; 1 時時失失效效. .證明(zhngmng),1)1(時時當當 )1 ,( r取取一一數數,N 則則,時時當當Nn ,1ruunn 有有第10頁/共45頁第十頁，共45頁。,1)2(時時當當 ,NmmNuru ,1NNruu ,212NNNurruu ,1 mNmur收斂收斂而級數而級數,11收斂收斂 NnnmmNuu原級數(j sh)收斂,時時當當Nn , 111nnnnuuuu 即即.0lim nnu原級數(j sh)發散,N 則則第11頁/共45頁第十一頁，共45頁。比值(bzh)審斂法的優

6、點:不必找參考(cnko)級數. 兩點注意(zh y):1 1. .當當1 時時比比值值審審斂斂法法失失效效; ;,11發散發散級數級數例例 nn,112收斂收斂級數級數 nn)1( 第12頁/共45頁第十二頁，共45頁。,232)1(2nnnnnvu 例例,2)1(211收斂收斂級數級數 nnnnnu,)1(2(2)1(211nnnnnauu 但但,61lim2 nna,23lim12 nna.limlim1不存在不存在nnnnnauu 2 2. .條條件件是是充充分分的的, ,而而非非必必要要. .第13頁/共45頁第十三頁，共45頁。例例 4 4 判判別別下下列列級級數數的的收收斂斂性性

7、:(1) 1!1nn; (2) 110!nnn; (3) 12)12(1nnn.解)1(!1)!1(11nnuunn 11 n),(0 n.!11收斂收斂故級數故級數 nn第14頁/共45頁第十四頁，共45頁。),( n)2(!1010)!1(11nnuunnnn 101 n.10!1發散發散故級數故級數 nnn)3()22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn, 1 比值審斂法失效(sh xio), 改用比較審斂法,12)12(12nnn ,112收斂收斂級數級數 nn.)12(211收斂收斂故級數故級數 nnn第15頁/共45頁第十五頁，共45頁。例5 126sin3nn

8、nn 解由于nnnuu1lim 不存在，比值審斂法失效， 而nnnnn36sin32 對 13nnn由比值(bzh)審斂法得 13nnn收斂故由比較(bjio)審斂法知 126sin3nnnn 收斂(shulin)第16頁/共45頁第十六頁，共45頁。例6 1!nnnnna)0( a解!)1()!1(limlim111nannnauunnnnnnnn ,)11(limeanann 故 ,1,)1(時時即即時時當當 ea級數(j sh)收斂級數(j sh)發散,1,)2(時時即即時時當當 ea,1,)3(時時即即時時當當 ea比值(bzh)審斂法失效第17頁/共45頁第十七頁，共45頁。enn

9、)11(1)11(1 nnnneuu故級數(j sh)發散6 6. .根值審斂法根值審斂法 ( (柯西判別法柯西判別法) )： 設設 1nnu是是正正項項級級數數, ,如如果果 nnnulim )( 為為數數或或 , , 則則1 時級數收斂時級數收斂; ; 1 時時級級數數發發散散; ; 1 時時失失效效. . 由nnuu 10lim nnu第18頁/共45頁第十八頁，共45頁。證明(zhngmng)1)1( 取)1 ,( r由 nnnulim知,時時，使當，使當NnN runn )(Nnrunn 由 1Nnnr收斂及比較審斂法得 1Nnnu收斂 1nnu收斂第19頁/共45頁第十九頁，共45

10、頁。1)2( 由 nnnulim知時時，使當，使當NnN 1 nnu1 nu故nu不趨于 0 1nnu發散1)3( 不能判定(pndng)如 12111nnnn與與都有1lim nnnu但 121nn收斂 11nn發散第20頁/共45頁第二十頁，共45頁。)0( 71 ananpn例例解ananaupnnnpnnnnn )(limlimlim 故 ,1,1)1(時時即即時時當當 a級數(j sh)收斂,1,1)2(時時即即時時當當 a級數(j sh)發散,1,1)3(時時即即時時當當 a根值審斂法失效(sh xio)但此時級數為 發散發散時時當當收斂收斂時時當當級數級數,1,111ppnPnp

11、第21頁/共45頁第二十一頁，共45頁。1.定義: 正、負項交錯的級數(j sh)稱為交錯級數(j sh). nnnnnnuu 111)1()1(或或2 2. .萊布尼茨定理萊布尼茨定理 如果交錯級數滿足條件如果交錯級數滿足條件: : ( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn;(;() )0lim nnu, , 則級數收斂則級數收斂, ,且其和且其和1us , ,其余項其余項 nr的絕對值的絕對值 1 nnur. . )0( nu其中其中第22頁/共45頁第二十二頁，共45頁。證明(zhngmng)nnnnuuuuuus212223212)()( 又又)()()(21243212nn

12、nuuuuuus 1u , 01 nnuu.lim12ussnn , 0lim12 nnu,2是單調增加的是單調增加的數列數列ns,2是有界的是有界的數列數列ns第23頁/共45頁第二十三頁，共45頁。)(limlim12212 nnnnnuss, s .,1uss 且且級數收斂于和級數收斂于和),(21 nnnuur余項余項,21 nnnuur滿足收斂的兩個(lin )條件,.1 nnur定理(dngl)證畢.第24頁/共45頁第二十四頁，共45頁。解2)1(2)1()1( xxxxx)2(0 x,1單單調調遞遞減減故故函函數數 xx,1 nnuu1limlim nnunnn又又. 0 原級

13、數(j sh)收斂.證明(zhngmng) un 單調減的方法:01 nnuu11 nnuu？0)()( xfnfun考察考察？第25頁/共45頁第二十五頁，共45頁。定義: 正項和負項任意出現的級數(j sh)稱為任意項級數(j sh).定理定理 若若 1nnu收斂收斂, ,則則 1nnu收斂收斂. .證明(zhngmng), 2 , 1()(21 nuuvnnn令令, 0 nv顯然顯然,nnuv 且且,1收斂收斂 nnv),2(11 nnnnnuvu又又 1nnu收斂收斂.第26頁/共45頁第二十六頁，共45頁。上定理(dngl)的作用：任意(rny)項級數正項級數(j sh)定義定義:

14、:若若 1nnu收斂收斂, , 則稱則稱 1nnu為絕對收斂為絕對收斂; ;若若 1nnu發發散散, ,而而 1nnu收收斂斂, , 則則稱稱 1nnu為為條條件件收收斂斂. .第27頁/共45頁第二十七頁，共45頁。解,1sin22nnn ,112收斂收斂而而 nn,sin12 nnn收斂收斂故由定義知原級數絕對(judu)收斂. 將正項級數的比值審斂法和根值審斂法應用于判定任意項級數的斂散性可得到如下(rxi)定理：第28頁/共45頁第二十八頁，共45頁。定理(dngl)設有級數(j sh) 1nnu nnnuu1lim)|lim( nnnu或或 則1 1nnu絕對(judu)收斂1 1n

15、nu發散1 可能絕對收斂，可能條件收斂，也可能發散如,1)1(12 nnn,1)1(1 nnn 11)1(nn第29頁/共45頁第二十九頁，共45頁。注意(zh y)一般而言，由 發散，并不能推出 1|inu 1inu發散如 11)1(nnn 11in發散但 收斂 11)1(nnn若 發散是由比值審斂法或根值審斂法而審定 1|inu則 必定發散 1inu這是因為比值(bzh)法和根值法審定(shndng)級數發散的原因是通項不趨向于0由00|nnuu第30頁/共45頁第三十頁，共45頁。斂？斂？是條件收斂還是絕對收是條件收斂還是絕對收斂？如果收斂，斂？如果收斂，是否收是否收判斷級數判斷級數 1

16、ln)1(nnnn例9解,1ln1nnn ,11發散發散而而 nn,ln1ln)1(11發發散散 nnnnnnn),0(ln)( xxxxf設設),1(011)( xxxf則則,), 1()(上單增上單增在在xf,ln1單單減減即即xx 第31頁/共45頁第三十一頁，共45頁。,1ln1時時單單減減當當故故 nnnun所以此交錯(jiocu)級數收斂，故原級數(j sh)是條件收斂, 0ln11limln1limlim nnnnnunnnnxxnnxnlnlimlnlim , 01lim xx.1 nnuu即即第32頁/共45頁第三十二頁，共45頁。正 項 級 數任意項級數審斂法1.2.4.充

17、要條件5.比較法6.比值法7.根值法4.絕對收斂5.交錯級數(萊布尼茨定理)3.按基本性質;,則級數收斂則級數收斂若若SSn;, 0,則級數發散則級數發散當當 nun第33頁/共45頁第三十三頁，共45頁。解由由正正項項級級數數 1nnu收收斂斂，可可以以推推得得 12nnu收收斂斂,nnnuu2lim nnu lim, 0 由比較審斂法知 收斂. 12nnu反之(fnzh)不成立.例如(lr)： 121nn收斂, 11nn發散.思考題第34頁/共45頁第三十四頁，共45頁。1.求極限(jxin)nnnn 2!3lim 解考察(koch)正項級數 112 !3nnnnnnunnnnnnnnnn

18、uu32!2)!1(3limlim111 10)1(23lim nn由比值(bzh)法得 12 !3nnnn收斂由級數收斂的必要條件得02!3lim nnnn補充題第35頁/共45頁第三十五頁，共45頁。 11nnnnca 與與設設都收斂， 且,nnncba 2. 試證 1nnb收斂.證由 ,nnncba 知nnnnacab 0因 11nnnnca與與都收斂, 故正項級數 1)(nnnac收斂,再由比較(bjio)審斂法知正項級數 1)(nnnab收斂,而,)(nnnnaabb 即 1nnb可表為兩個收斂級數之和, 11)(nnnnnaab與與故 1nnb收斂.第36頁/共45頁第三十六頁，共

19、45頁。3. 設 , 0, 0 nnba且,11nnnnbbaa 若 1nnb收斂(shulin),則 1nna也收斂(shulin).證由題設知1111bababannnn nnbbaa11 而 1nnb收斂(shulin),由比較法得 1nna收斂.Cauchy積分審斂法:設 0)( xfy且單調減少,)(nfun ,則 1nnu與 1)(dxxf同斂散.4. 第37頁/共45頁第三十七頁，共45頁。證由 f(x) 單調(dndio)減少知 11)()()1(nnnnunfdxxfnfu 111)()(nnndxxfdxxf故 1nnu與 1)(dxxf同斂散.5. 設 nu是單調增加且有

20、界的正數數列試證明 )1(11 nnnuu收斂.第38頁/共45頁第三十八頁，共45頁。證記,11 nnnuuv則011 nnnnuuuv且11uuuvnnn 而正項(zhn xin)級數 11)(nnnuu的部分(b fen)和 nknkknuuuuS1111)(又 nu單調(dndio)增加且有界,故由單調有界原理知 Aunn lim存在1limuASnn 即 11)(nnnuu收斂,進而 111)(1nnnuuu收斂,由比較法得 1nnv收斂.第39頁/共45頁第三十九頁，共45頁。設正數數列 na單調減少，級數 11)1(nnna發散考察nnna)11(1 的斂散性證 記,)11(nn

21、nau 由 na單調(dndio)減少,且0 na故由單調(dndio)有界原理知 Aann lim存在(cnzi),且0 A若, 0 A由Leibniz審斂法, 得交錯級數 11)1(nnna收斂, 與題設矛盾0 Annnnnau 11limlim111 A由根值法知 nnna)11(1 收斂. 6. 第40頁/共45頁第四十頁，共45頁。一、一、 填空題填空題: :1 1、 p級數當級數當_時收斂時收斂, ,當當_時發散；時發散；2 2、若正項級數、若正項級數 1nnu的后項與前項之比值的根的后項與前項之比值的根 等于等于, , 則當則當_時級數收斂；時級數收斂；_時級數發散；時級數發散； _時級數可能收斂也可能發散時級數可能收斂也可能發散 . .二、二、 用比較審斂法或極限審斂法判別下列級數的收斂用比較審斂法或極限審斂法判別下列級數的收斂性性: : 1 1、 22211313121211nn； 2 2、)0(111 aann . .練 習 題第41頁/共45頁第四十一頁，共45頁。三、三、 用比值審斂法判別下列級數的收斂性用比值審斂法判別下列級數的收斂性: : 1 1、 nnn 23233223213