1、第二章第二章 波函數及薛定諤方程波函數及薛定諤方程1 1 波函數及其統計解釋波函數及其統計解釋 2 2 態疊加原理態疊加原理3 3 薛定諤方程薛定諤方程4 4 定態定態5 5 一維定態問題一維定態問題 1. 1.理解微觀粒子運動狀態的描述理解微觀粒子運動狀態的描述 波函數波函數及其統計解釋。及其統計解釋。 2. 2.通過對實驗的分析通過對實驗的分析, ,理解態疊加原理。理解態疊加原理。 3. 3.掌握微觀粒子運動的動力學方程掌握微觀粒子運動的動力學方程 波函波函數隨時間演化的規律數隨時間演化的規律 薛定諤薛定諤方程。方程。 4. 4.掌握定態及其性質。掌握定態及其性質。 5. 5.通過對三個實

2、例的討論通過對三個實例的討論, ,掌握定態薛定諤方程掌握定態薛定諤方程的求解。的求解。學習要求學習要求一、微觀粒子狀態的描述一、微觀粒子狀態的描述波函數波函數二、波函數的統計解釋二、波函數的統計解釋三、波函數的歸一化條件三、波函數的歸一化條件四、粒子動量取值的概率分布四、粒子動量取值的概率分布五、坐標和動量的期望值五、坐標和動量的期望值六、量子態六、量子態量子力學的基本假設量子力學的基本假設2.1 2.1 波函數的統計解釋波函數的統計解釋 微觀粒子因具有波粒二象性，其運動狀態的描微觀粒子因具有波粒二象性，其運動狀態的描述必有別于經典力學對粒子運動狀態的描述。這述必有別于經典力學對粒子運動狀態的

3、描述。這就要求創新的概念和思想來統一波和粒子這樣兩就要求創新的概念和思想來統一波和粒子這樣兩個在經典物理中截然不同的物理圖像個在經典物理中截然不同的物理圖像。一、微觀粒子狀態的描述一、微觀粒子狀態的描述波函數波函數 德布羅意指出：微觀粒子的運動狀態可用一個復指出：微觀粒子的運動狀態可用一個復函數函數 來描述，來描述，函數函數 稱為稱為波函數。波函數。( , )r t( , )r t 描述自由粒子的波是具有確定能量和動量的平面波描述自由粒子的波是具有確定能量和動量的平面波粒子三個位置：粒子三個位置：1、現實主義的、現實主義的(realist) 2、不可知論的、不可知論的(agnostic) 3、

4、正統的、正統的(orthodox)()( , )iP rEtPr tAe 如果粒子處于隨時間和位置變化的力場如果粒子處于隨時間和位置變化的力場 中中 運動，他的動量和能量不再是常量（或不同時為常運動，他的動量和能量不再是常量（或不同時為常量）粒子的狀態就不能用平面波描寫，而必須用較量）粒子的狀態就不能用平面波描寫，而必須用較復雜的波描寫，一般記為：復雜的波描寫，一般記為：( ,t)r( ( ) )U U, ,r r t tr r描寫粒子狀態的描寫粒子狀態的波函數，它通常波函數，它通常是一個是一個復變函數復變函數。 三個問題？三個問題？ (1) (1) 是怎樣描述粒子的狀態呢？是怎樣描述粒子的狀

5、態呢？(2) (2) 如何體現波粒二象性的？如何體現波粒二象性的？(3) (3) 描寫的是什么樣的波呢？描寫的是什么樣的波呢？德布羅意波德布羅意波avI I0 0 1 1XP P電子單縫衍射實驗電子單縫衍射實驗二、波函數的統計解釋二、波函數的統計解釋電子源電子源感感光光屏屏PPQQO電子小孔衍射實驗電子小孔衍射實驗 兩種錯誤的兩種錯誤的看法看法（1 1） 波由粒子組成波由粒子組成 如水波，聲波，由物質的分子密度疏密變化而形如水波，聲波，由物質的分子密度疏密變化而形成的一種分布。成的一種分布。 這種看法是與實驗矛盾的，它不能解釋長時間單這種看法是與實驗矛盾的，它不能解釋長時間單個電子衍射實驗個電

6、子衍射實驗。 電子一個一個的通過小孔，但只要時間足夠長，電子一個一個的通過小孔，但只要時間足夠長，底片上仍可呈現出衍射花紋。這說明電子的波動性底片上仍可呈現出衍射花紋。這說明電子的波動性并不是許多電子在空間聚集在一起時才有的現象，并不是許多電子在空間聚集在一起時才有的現象，單個電子就具有波動性。單個電子就具有波動性。 事實上，正是由于事實上，正是由于單個電子具有波動性單個電子具有波動性，才能，才能理解氫原子（只含一個電子！）中電子運動的穩定理解氫原子（只含一個電子！）中電子運動的穩定性以及能量量子化這樣一些量子現象。性以及能量量子化這樣一些量子現象。 波由粒子組成的看法僅注意到了粒子性的一面，

7、而波由粒子組成的看法僅注意到了粒子性的一面，而抹殺了粒子的波動性的一面，具有片面性。抹殺了粒子的波動性的一面，具有片面性。（2 2） 粒子由波組成粒子由波組成l電子是波包電子是波包。把電子波看成是電子的某種實際結構，。把電子波看成是電子的某種實際結構，是三維空間中連續分布的某種物質波包。因此呈現是三維空間中連續分布的某種物質波包。因此呈現出干涉和衍射等波動現象。波包的大小即電子的大出干涉和衍射等波動現象。波包的大小即電子的大小，波包的群速度即電子的運動速度。小，波包的群速度即電子的運動速度。 l什么是波包什么是波包？波包是各種波數（長）平面波的迭加。？波包是各種波數（長）平面波的迭加。 平面波

8、描寫自由粒子，其特點是充滿整個空間，平面波描寫自由粒子，其特點是充滿整個空間，這是因為平面波振幅與位置無關。如果粒子由波組這是因為平面波振幅與位置無關。如果粒子由波組成，那么自由粒子將充滿整個空間，這是沒有意義成，那么自由粒子將充滿整個空間，這是沒有意義的，與實驗事實相矛盾。的，與實驗事實相矛盾。 由不同頻率的波合成一個波包440 Hz + 439 Hz440 Hz + 439 Hz + 438 Hz440 Hz + 439 Hz + 438 Hz + 437 Hz + 436 Hz為什么波包會擴散？為什么波包會擴散？d d/dk/dkl 實驗上觀測到的電子，總是處于一個小區域內。實驗上觀測到

9、的電子，總是處于一個小區域內。例如一個原子內的電子，其廣延不會超過原子大小例如一個原子內的電子，其廣延不會超過原子大小1 1 。 0Al電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？ “ 電子既不是粒子也不是波電子既不是粒子也不是波 ”，既不是經典的粒，既不是經典的粒子也不是經典的波，但是我們也可以說，子也不是經典的波，但是我們也可以說，“ 電子既電子既是粒子也是波，它是粒子和波動二重性矛盾的統一。是粒子也是波，它是粒子和波動二重性矛盾的統一。” 這個波不再是經典概念的波，粒子也不是經典概念這個波不再是經典概念的波，粒子也不是經典概念中的粒子。中的粒子。1.1.有

10、一定質量、電荷等有一定質量、電荷等“顆粒性顆粒性”的屬性的屬性; ;2 2有確定的運動軌道，每一時刻有一定有確定的運動軌道，每一時刻有一定 位置和速度。位置和速度。經典概念經典概念中粒子意中粒子意味著味著 1.1.實在的物理量的空間分布作周期性的實在的物理量的空間分布作周期性的 變化變化; ; 2 2干涉、衍射現象，即相干疊加性。干涉、衍射現象，即相干疊加性。經典概經典概念中波念中波意味著意味著 （1 1）入射電子流強度小，開始顯示電子的微粒入射電子流強度小，開始顯示電子的微粒性，長時間亦顯示衍射圖樣性，長時間亦顯示衍射圖樣; ;我們再看一下電子的衍射實驗我們再看一下電子的衍射實驗 玻恩的解釋

11、：玻恩的解釋：OPP電子源電子源感感光光屏屏QQ衍射實驗事實：衍射實驗事實：電子仿照楊氏雙縫實驗電子仿照楊氏雙縫實驗思考：思考：電子雙縫干涉電子雙縫干涉實驗難實驗難在哪里？在哪里？19261926年年, ,玻恩玻恩(M.Born)(M.Born)首先提出了波函數的統計解釋：首先提出了波函數的統計解釋： 波函數在空間中某一點的強度（波函數模的平波函數在空間中某一點的強度（波函數模的平方）與粒子在該點出現的概率成比例。方）與粒子在該點出現的概率成比例。（2 2） 入射電子流強度大，很快顯示衍射圖樣入射電子流強度大，很快顯示衍射圖樣. . 可見，波函數模的平方可見，波函數模的平方 與粒子與粒子 時刻

12、在時刻在 處附近出現的概率成正比。處附近出現的概率成正比。rt2, r t 波波 動動 觀觀 點點 粒粒 子子 觀觀 點點明紋處明紋處: : 電子波強電子波強 (x,y,z,t)(x,y,z,t) 2 2大大 電子出現的概率大電子出現的概率大暗紋處暗紋處: : 電子波強電子波強 (x,y,z,t)(x,y,z,t) 2 2小小 電子出現的概率小電子出現的概率小 2*( , )( , ) ( , )r tr tr t設粒子狀態由波函數設粒子狀態由波函數 描述，波的強度是描述，波的強度是( , )r t2( , )( , )dW r tCr td則微觀粒子在則微觀粒子在t t 時刻出現在時刻出現在

13、 處體積元處體積元d d內的內的幾率幾率r 這表明描寫粒子的波是幾率波這表明描寫粒子的波是幾率波( (概率波概率波) ), ,反映微反映微觀客體運動的一種統計規律性，波函數觀客體運動的一種統計規律性，波函數 有時有時也稱為幾率幅。也稱為幾率幅。, r t 按按BornBorn提出的波函數的統計解釋提出的波函數的統計解釋, ,粒子在空間中粒子在空間中某一點某一點 處出現的概率與粒子的波函數在該點模的處出現的概率與粒子的波函數在該點模的平方成比例平方成比例r2( , )( , )( , )dW r tr tCr td （1 1）“微觀粒子的運動狀態用波函數描述，微觀粒子的運動狀態用波函數描述，描寫

14、粒描寫粒子的波是幾率波子的波是幾率波”，這是量子力學的一個基本假設，這是量子力學的一個基本假設（基本原理）基本原理）。 知道了描述微觀粒子狀態的波函數，就可知道粒知道了描述微觀粒子狀態的波函數，就可知道粒子在空間各點處出現的幾率，以后的討論進一步知道，子在空間各點處出現的幾率，以后的討論進一步知道，波函數給出體系的一切性質，因此說波函數描寫體系波函數給出體系的一切性質，因此說波函數描寫體系的量子狀態（簡稱狀態或態）的量子狀態（簡稱狀態或態）（2 2）波函數一般用復函數表示。）波函數一般用復函數表示。（3 3）波函數一般滿足連續性、有限性、單值性。）波函數一般滿足連續性、有限性、單值性。必 須

15、注 意必 須 注 意 稱為幾率密度稱為幾率密度( (概率密度概率密度) )( , )( , )r tCr t令令三、波函數的歸一化條件三、波函數的歸一化條件 和和 所描寫狀態的相對幾率是相所描寫狀態的相對幾率是相同的，這里的同的，這里的 是常數。是常數。, r t,Cr tC 時刻，時刻，在在空間任意兩點空間任意兩點 和和 處找到粒子的處找到粒子的相對幾率是：相對幾率是：t1r2r221122( , )( , )(, )(, )Cr tr tCr tr t可見，可見， 和和 描述的是同一幾率波，所描述的是同一幾率波，所以波函數有一常數因子不定性。以波函數有一常數因子不定性。, r t, r t

16、 非相對論量子力學僅研究低能粒子，實物粒子非相對論量子力學僅研究低能粒子，實物粒子不會產生與湮滅。這樣，對一個粒子而言，它在全不會產生與湮滅。這樣，對一個粒子而言，它在全空間出現的幾率等于一，所以粒子在空間各點出現空間出現的幾率等于一，所以粒子在空間各點出現的幾率只取決于波函數在空間各點強度的相對比例，的幾率只取決于波函數在空間各點強度的相對比例，而不取決于強度的絕對大小，因而，將波函數乘上而不取決于強度的絕對大小，因而，將波函數乘上一個常數后，所描寫的粒子狀態不變，即一個常數后，所描寫的粒子狀態不變，即 和和 描述同一狀態描述同一狀態, r t,Cr t 這與經典波截然不同。對于經典波，當波

17、幅增大這與經典波截然不同。對于經典波，當波幅增大一倍（原來的一倍（原來的 2 2 倍）時，則相應的波動能量將為原倍）時，則相應的波動能量將為原來的來的 4 4 倍，因而代表完全不同的波動狀態。經典波倍，因而代表完全不同的波動狀態。經典波無歸一化問題。無歸一化問題。 為消除波函數有任一常數因子的這種不確定性，利為消除波函數有任一常數因子的這種不確定性，利用粒子在用粒子在全空間出現的幾率等于一全空間出現的幾率等于一的特性，提出波函的特性，提出波函數的歸一化條件：數的歸一化條件：又因又因222( , )( , )1r tdCr td21( , )Cr td其中其中稱為稱為歸一化常數歸一化常數于是于是

18、dtrtrtrtr222),(),(),(),(歸一化消除了波函數歸一化消除了波函數常數因子常數因子的一種不確定性的一種不確定性。12d)t , r(d )t , r(滿足此條件的波函數滿足此條件的波函數 稱為稱為歸一化波函數歸一化波函數。, r t例例.1.1 已知一維粒子狀態波函數為已知一維粒子狀態波函數為221( , )exp22ir tAa xt求歸一化的波函數，粒子的幾率分布，粒子在何處求歸一化的波函數，粒子的幾率分布，粒子在何處出現的幾率最大。出現的幾率最大。 dxeAdxtrxa2222),(22Aa2/ 1/aA歸一化常數歸一化常數解解: 12 211/222( , )/ia

19、xtr tae 歸一化的波函數歸一化的波函數(1).求求歸一化的波函數歸一化的波函數（2 2）幾率分布）幾率分布： 222),(),(xaeatxtx（3 3）由幾率密度的極值條件）由幾率密度的極值條件 2 22( , )20a xdx taa xedx 由于由于 220( , )0 xdx tdx0 x 故故 處，粒子出現幾率最大。處，粒子出現幾率最大。0 x注注 意意（1 1）歸一化后的波函數歸一化后的波函數 仍有一個模為一的因仍有一個模為一的因子子 不定性（不定性（ 為實函數）。為實函數）。 若若 是歸一化波函數，那末，是歸一化波函數，那末， 也是也是歸一化波函數，與前者描述同一幾率波。

20、歸一化波函數，與前者描述同一幾率波。ie),( tr, r t,ir t e若若 對空間非絕對可積時，需用所對空間非絕對可積時，需用所謂謂函數歸一化方法進行歸一化。函數歸一化方法進行歸一化。2( , )( , )r tr t（2 2）只有當幾率密度）只有當幾率密度 對空間絕對可積時，才對空間絕對可積時，才能按歸一化條件能按歸一化條件 進行歸一化。進行歸一化。1),(2dtr( , )r t()2xxiPP xAedx)(122xxPPA22()xxAPP 解解： 1/ 2A歸一化常數歸一化常數()xxPP 例如例如 平面波的歸一化問題平面波的歸一化問題 例例.2.2 已知已知平面波平面波 ,

21、, 求歸一化求歸一化 常數常數xxipx etpAe A歸一化的平面波歸一化的平面波： )EtxP(i/Pxxe/2121001212ix xx xed利用利用dxtxtxdxtxxxxPPP),(),(),(*2同理，三維平面波：同理，三維平面波： ()3/21( , )(2)iP r EtPr te )(),(2xxPPPdxtxx歸一化：歸一化：23( , )()Pr tdPP歸一化：歸一化：歸一化條件：歸一化條件：波函數在無窮遠處趨于波函數在無窮遠處趨于0 0！四、粒子動量取值的幾率分布四、粒子動量取值的幾率分布完全自由的粒子波函數是平面波，而任意粒子的運完全自由的粒子波函數是平面波，

22、而任意粒子的運動狀態波函數則應該是各平面波的疊加：動狀態波函數則應該是各平面波的疊加：rdetrtpCpdetpCtrrp irp i/2/3/2/321,21,傅里葉變換傅里葉變換1 1、電子晶體衍射圖樣就是動量分布的表現、電子晶體衍射圖樣就是動量分布的表現2 2、波函數歸一化，則動量分布函數也一定是歸一化的、波函數歸一化，則動量分布函數也一定是歸一化的3 3、C(C(P P,t),t) 的模平方代表動量分布幾率的模平方代表動量分布幾率五、坐標和動量的期望值五、坐標和動量的期望值dxtxxtxx,*, *, *21, *2121,21, *),(/ / /2/1/ 2/12dxdxtxxit

23、xxxdxetxxiedxetxdpdxexitxdxetxdpdxetxpdxetxdpdptpCppipxipxipxipxipxipxipxdxtxxitxp,*其它力學量？其它力學量？六、量子態六、量子態量子力學的基本假設量子力學的基本假設運動狀態：一個體系在運動狀態：一個體系在相互獨立的相互獨立的、互不矛盾的互不矛盾的、完完全的全的條件限制下，所具有的每一種運動方式，稱為條件限制下，所具有的每一種運動方式，稱為量量子態子態，簡稱為，簡稱為態態。微觀體系的運動狀態由相應的波函。微觀體系的運動狀態由相應的波函數完全地描述。包括數完全地描述。包括t t時刻，坐標、動量等所有力學時刻，坐標、

24、動量等所有力學量的幾率分布！量的幾率分布！完全確定性與非完全確定性完全確定性與非完全確定性完全決定論與非完全決定論完全決定論與非完全決定論連續性與量子化連續性與量子化精確描述與統計描述（上帝擲骰子嗎？）精確描述與統計描述（上帝擲骰子嗎？）12sin()| |( )1,2,3,20| |sin()| |( )1,2,3,20| |nAx axaxnaxanAx axaxnaxa2.2.已知下列兩個波函數已知下列兩個波函數試判斷試判斷: (1)(1)波函數波函數 和和 是否描述同一狀態是否描述同一狀態? ? (2) (2)對對 取取 兩種情況兩種情況, ,得到的兩個波函得到的兩個波函 數是否等價數

25、是否等價? ?1( ) x2( ) x1( ) x2n1. 1. 下列一組波函數共描寫粒子的幾個不同狀態下列一組波函數共描寫粒子的幾個不同狀態? ? 并指出每并指出每個狀態由哪幾個波函數描寫個狀態由哪幾個波函數描寫。2/2/(2)/1233/2/2/456,3,(42 ).ixixixi xixixeeeeei e 課后作業：課后作業：一、電子雙縫衍射實驗一、電子雙縫衍射實驗二、態疊加原理二、態疊加原理三、動量空間的疊加原理三、動量空間的疊加原理四、薛定諤的貓四、薛定諤的貓2.2 2.2 態疊加原理態疊加原理開開1 1閉閉2 2，衍射花樣（蘭曲線），衍射花樣（蘭曲線）211開開2 2閉閉1 1

26、，衍射花樣（紫紅曲線），衍射花樣（紫紅曲線）222同時開同時開1 1，2 2，衍射花樣（黑曲線），衍射花樣（黑曲線）實實 驗驗 事事 實實2212顯然顯然122212一、電子雙縫衍射實驗一、電子雙縫衍射實驗S D1 12 22P1PP12 表明表明幾率不遵守迭加原則，而波函數（幾率幅）遵守幾率不遵守迭加原則，而波函數（幾率幅）遵守迭加原則：迭加原則：21物 理 意 義物 理 意 義 當兩個縫都開著時，電子既可能處在當兩個縫都開著時，電子既可能處在1 1態，也態，也可能處在可能處在2 2態，也可處在態，也可處在1 1和和2 2的線性迭加態。的線性迭加態。可見，若可見，若1 1和和2 2是電子的可

27、能狀態，則是電子的可能狀態，則1 1+ +2 2也是也是電子的可能狀態電子的可能狀態。反言之，電子經雙縫衍射后處于反言之，電子經雙縫衍射后處于1 1+ +2 2態，也就是態，也就是電子既可部分地處于電子既可部分地處于1 1態，也可部分地處在態，也可部分地處在2 2態。態。迭加態的概率迭加態的概率: : 221222*121212 干 涉 項干 涉 項電子穿過狹縫出現電子穿過狹縫出現在點的幾率密度在點的幾率密度電子穿過狹縫出現電子穿過狹縫出現在點的幾率密度在點的幾率密度態的迭加原理是量子力學的一個基本原理，它的正態的迭加原理是量子力學的一個基本原理，它的正確性也依賴于實驗的證實。理論上包含在波函

28、數假確性也依賴于實驗的證實。理論上包含在波函數假設里面。設里面。nccc32211112nkkc1. 1. 若若 是粒子的可能狀態，則粒子也是粒子的可能狀態，則粒子也可處在它們的線性迭加態可處在它們的線性迭加態12,n二、態迭加原理二、態迭加原理 當兩個縫的幾何參數或電子束相對位置不完全對當兩個縫的幾何參數或電子束相對位置不完全對稱時，迭加態稱時，迭加態 , ,其概率為其概率為2211cc22222112212121212ccc cc c 干 涉 項干 涉 項2kc2.2.當體系處于當體系處于 態時，發現體系處于態時，發現體系處于 態的幾率是態的幾率是 并且并且k(1,2, ,)kn()3/2

29、1( , )(2)iP rEtPr te 三、動量空間的疊加原理三、動量空間的疊加原理 dP 電子從晶體表面出射后，既可能處在電子從晶體表面出射后，既可能處在 態，也態，也可能處在可能處在 、 等狀態，按態迭加原等狀態，按態迭加原理，在晶體表面反射后，電子的狀態理，在晶體表面反射后，電子的狀態 可表示成可表示成 取各種可能值的平面波的線性疊加，即取各種可能值的平面波的線性疊加，即),( trP),(trP ),(trP P 電子沿垂直方向射到電子沿垂直方向射到單晶表面，出射后將以各單晶表面，出射后將以各種不同的動量運動，出射種不同的動量運動，出射后的電子為自由電子，其后的電子為自由電子，其狀態

30、波函數為平面波。狀態波函數為平面波。PP) t , r()P(C) t , r(PdtrPCtrP3),()(),( ,)33/21( )(2)iP r EtC P ed P33/21( , )(2)iP rC P t ed P考慮到電子的動量可以連續變化考慮到電子的動量可以連續變化,33/21( , )( , )(2)iP rC P tr t ed r而而 （2 2）（1 1） 33/21( , )( , )(2)iPrr tC P t ed P即即衍射圖樣正是這些平衍射圖樣正是這些平面波疊加干涉的結果面波疊加干涉的結果顯然顯然, ,二式互為二式互為FourerFourer變換式變換式, ,

31、所以所以 與與 一一一對應一對應, ,是同一量子態的兩種不同描述方式。是同一量子態的兩種不同描述方式。),( tr),(tPC四、薛定諤的貓四、薛定諤的貓薛定諤提出的關于量子理論的一薛定諤提出的關于量子理論的一個理想實驗，試圖通過否定宏觀個理想實驗，試圖通過否定宏觀世界存在量子疊加態，來證明量世界存在量子疊加態，來證明量子力學的不完備性。子力學的不完備性。SchrSchrdinger, 1935dinger, 1935deadalive21基本問題基本問題：要么這個世界是不完全確定性的：要么這個世界是不完全確定性的( (即上即上帝也擲骰子帝也擲骰子) )；要么量子論是不完備的；要么量子論是不完

32、備的( (即存在我們即存在我們暫時未知的、或者沒有觀察到的隱變量暫時未知的、或者沒有觀察到的隱變量) )。1 1、測量消相干、測量消相干2 2、相干非定域、相干非定域3 3、實在論、實在論一、方程的引入一、方程的引入二、幾率守恒與幾率流密度二、幾率守恒與幾率流密度三、波函數的標準條件三、波函數的標準條件2.3 2.3 薛定諤方程薛定諤方程一、方程的引入一、方程的引入1 1微觀粒子運動方程應具有的特點微觀粒子運動方程應具有的特點（1 1）含有波函數對時間的一階導數）含有波函數對時間的一階導數（2 2）方程必為線性的）方程必為線性的（3 3）質量為）質量為 的非相對性粒子的非相對性粒子( (即低速

33、運動的即低速運動的粒子粒子), ), 其總能為其總能為ttr),(),(22trUPE研究量子力學的動力學問題，建立量子力學的動力研究量子力學的動力學問題，建立量子力學的動力學方程學方程 薛定諤薛定諤SchrSchrdingerdinger方程方程 )Etr ,P(i/Pe)()t ,r(2321PPiEt2221PPP22PE又又（2） 222PPP （3）22PPPE（1） PPEit2 2自由粒子的運動方程自由粒子的運動方程將（將（1 1）和（）和（2 2）式代入（）式代入（3 3）式，得）式，得),(2),(22trttriPP（4） 滿足滿足運動方程應具有的運動方程應具有的三個三個特

34、點，此特點，此即為為自由粒子的基本運動方程自由粒子的SchrSchrdingerdinger方程。討論討論 通過引出自由粒子波動方程的過程可以看出，如通過引出自由粒子波動方程的過程可以看出，如果將能量關系式果將能量關系式E = pE = p2 2/2/2寫成如下方程形式寫成如下方程形式：即得自由粒子的SchrSchrdingerdinger方程（4）。2()02pEEitpi 再做算符替換：再做算符替換：（5）稱為為能量算符稱為為動量算符3 3勢場中運動粒子的勢場中運動粒子的SchrSchrdingerdinger方程方程設勢場設勢場 中運動粒子的狀態波函數為中運動粒子的狀態波函數為),(tr

35、( , )U r t),(),(),(2),(2trtrUtrPtrE),(),(2),(22trtrUttri（6） 用能量關系式用能量關系式 乘以波函數乘以波函數) t , r(UPE22, r t 按（按（5 5）式，將能量）式，將能量 和動量和動量 分別用分別用能量算符能量算符和和動量算符動量算符 替代，即得替代，即得SchrSchrdingerdinger方程方程EPiti 粒子的哈密頓函數粒子的哈密頓函數2( , )2PHU r t哈密頓函數哈密頓函數2121( , )2NiNiiPHU r rrt 4 4多粒子體系的多粒子體系的SchrSchrdingerdinger方程方程iP

36、P作動量算符替代作動量算符替代222( , )( , )22PHHU r tU r t 則則利用哈密頓算符，可將利用哈密頓算符，可將SchrSchrdingerdinger方程（方程（6 6）寫成另）寫成另一形式一形式( , )( , )r tiHr tt（7）稱為哈密頓算符稱為哈密頓算符iiiPPi （1 1）SchrSchrdingerdinger作為一個作為一個基本假設基本假設提出來，它提出來，它的正確性已為非相對論量子力學在各方面的應用而的正確性已為非相對論量子力學在各方面的應用而得到證實得到證實。注 意注 意 （2 2）SchrSchrdingerdinger方程在非相對論量子力學中

37、的方程在非相對論量子力學中的地位與牛頓方程在經典力學中的地位相仿地位與牛頓方程在經典力學中的地位相仿, ,只要給只要給出粒子在初始時刻的波函數，由方程即可求得粒出粒子在初始時刻的波函數，由方程即可求得粒子在以后任一時刻的波函數。子在以后任一時刻的波函數。SchrSchrdingerdinger方程方程1212( , , )( , , )NNr rr tiHr rr tt （9） 哈密頓算符哈密頓算符22121( , , )2NiNiiHU r rr t （8）二、幾率守恒與幾率流密度二、幾率守恒與幾率流密度1 1幾率守恒定律幾率守恒定律由由Schrdinger方程方程 222iUt （1） t

38、tt*2*( , )( , )( , ) ( , )r tr tr tr t則則設設 是粒子狀態的歸一化波函數是粒子狀態的歸一化波函數 ( , )r t22iiUt *2*2iiUt 取復共取復共軛軛討論粒子在一定空間區域內出現的幾率將怎樣隨時討論粒子在一定空間區域內出現的幾率將怎樣隨時間變化間變化代入（代入（1 1）式后，有）式后，有 *22*2it *2i （2）*2iJ令令稱為幾率流密度稱為幾率流密度幾率連續性方程幾率連續性方程 （3）0Jt（2 2） 幾率連續性方程與經典電動力學中的電荷守恒方幾率連續性方程與經典電動力學中的電荷守恒方程程 具有相同的形式具有相同的形式。0eeJt（3

39、3）式對空間）式對空間V V作體積分作體積分VVdJdt0(4)(4)VSddJ ddt 當當 時時V (4) (4)式表明式表明: :粒子單位時間在粒子單位時間在V V內出現的幾率的內出現的幾率的增量等于單位時間內流入增量等于單位時間內流入V V內的幾率內的幾率( (負號表示流負號表示流入入) ) 。( (3)3)式是幾率守恒守律的積分形式。式是幾率守恒守律的積分形式。 0ddtd(4)(4)式02ddtd即即表明粒子的總幾率不表明粒子的總幾率不變變, ,即幾率守恒。即幾率守恒。表明波函數歸一化不表明波函數歸一化不隨時間改變，其物理隨時間改變，其物理意義是粒子既未產生意義是粒子既未產生也未消

40、滅。也未消滅。45量子力學的量子力學的電荷密度電荷密度),(),(tretre),(),(trtr),(),(trJetrJe),(),(trJtrJ量子力學的量子力學的質量流密度質量流密度量子力學的量子力學的電流密度電流密度量子力學的量子力學的質量密度質量密度2 2電荷守恒定律，粒子數守恒電荷守恒定律，粒子數守恒設粒子的電荷為，質量為設粒子的電荷為，質量為e0eeJt0Jt量子力學的量子力學的電荷守恒律電荷守恒律量子力學的量子力學的物質守恒律物質守恒律46三、波函數的標準條件三、波函數的標準條件（1 1）根據）根據BornBorn統計解釋，統計解釋， 是粒子在是粒子在時刻出現在時刻出現在 點

41、的幾率，這是一個確定的數，所以點的幾率，這是一個確定的數，所以要求應是要求應是 的單值函數且有限。的單值函數且有限。2( , )( , )r tr trt( , )r t( , )r t（2 2）根據粒子數守恒定律）根據粒子數守恒定律 : :( , )2SSVdir t dJ dSdSdt 此式右邊含有此式右邊含有及其對坐標一階導數的積分，由于及其對坐標一階導數的積分，由于積分區域積分區域V V是任意選取的，所以是任意選取的，所以S S是任意閉合面。要是是任意閉合面。要是積分有意義，積分有意義，必須在變數的全部范圍，即空間任何必須在變數的全部范圍，即空間任何一點都應是有限、連續且其一階導數亦連

42、續。一點都應是有限、連續且其一階導數亦連續。概括之，波函數在全空間每一點應滿足概括之，波函數在全空間每一點應滿足單值、有限單值、有限、連續、連續三個條件，該條件稱為波函數的標準條件。三個條件，該條件稱為波函數的標準條件。一、定態與定態波函數一、定態與定態波函數二、定態薛定諤方程二、定態薛定諤方程三、非定態三、非定態2.4 2.4 定態定態一、定態與定態波函數一、定態與定態波函數),(),(2),(22trtrUttri（1） 221( )2i dfU rEf dt （2） ( , )( ) ( )r tr f t若若 與與t t無關，則可以分離變量無關，則可以分離變量，令令)(rU (2)代入

43、代入(1) 式，兩邊同除式，兩邊同除 ，得到，得到( ) ( )r f t)()()(222rErrU（3） 等式兩邊是相互無等式兩邊是相互無關的物理量，故應關的物理量，故應等于與等于與r,tr,t無關的無關的常數常數( )dfiEf tdt（4） ( )iEtf tCe（5） ( , )( )iEtr tr e（6） (5)代入代入(2) 式，得到式，得到/E令令=Ede Broglie能量式 可見分離變量中引入的常數可見分離變量中引入的常數 為粒子的能量，當為粒子的能量，當粒子處在由波函數粒子處在由波函數（6 6）所描述的狀態時，所描述的狀態時，粒子的能粒子的能量量 有確定的值，這種狀態稱

44、為定態有確定的值，這種狀態稱為定態；描述定態的；描述定態的波函數波函數（6 6）稱為稱為定態波函數。定態波函數。EE定態波函數定態波函數二、定態薛定諤方程二、定態薛定諤方程 當粒子處在定態中時，具有確定的能量，其空間當粒子處在定態中時，具有確定的能量，其空間波函數波函數 由方程（由方程（3 3），即由），即由)(r在給定的定解條件下求出，方程（在給定的定解條件下求出，方程（7 7）稱為）稱為定態薛定態薛定諤方程。定諤方程。 )()()(222rErrU（7 7）哈密頓算符和能量本征值方程哈密頓算符和能量本征值方程( , )( , )r tiEr tt（8） 22( )( , )( , )2U

45、rr tEr t （9） 這兩個方程都是以一個算符作用在定態波函數這兩個方程都是以一個算符作用在定態波函數 上，得出定態能量乘以該定態波函數，因此算符上，得出定態能量乘以該定態波函數，因此算符 3( )f t 4( )r（10）ti均稱為均稱為能量算符能量算符（11） 22( )2U r )(222rUH利用哈密頓算符利用哈密頓算符(能量算符能量算符)可將方程可將方程(9)和定態和定態SchrSchrdingerdinger方程方程(7)和和分別分別寫成寫成),(),(trEtrH（12） （13） )()(rErH和和兩式均稱為兩式均稱為哈密頓哈密頓算符算符(能量算符能量算符)的的本征方程本

46、征方程 的的本征函數本征函數H能量能量本征值本征值 為為本征波函數本征波函數),( tr 當體系處在能量本征波函數所描寫的狀態當體系處在能量本征波函數所描寫的狀態( (又稱又稱本本征態征態) )中時，粒子的能量有確定的值。中時，粒子的能量有確定的值。 討論定態問題就是要求出體系可能有的定態波函數討論定態問題就是要求出體系可能有的定態波函數及這些態中的能量及這些態中的能量E E；解能量算符本征方程（解能量算符本征方程（1212）求定）求定態波函數的問題又歸結為解定態態波函數的問題又歸結為解定態SchrSchrdingerdinger方程方程+定定解條件構成的本征值問題解條件構成的本征值問題: :

47、 22( )( )( )2U rrEr 12,nEEE12( ),( ),( ),nrrr本征函數系本本征函數系本征能量值譜征能量值譜本征波函數本征波函數 ,niEtnnr tr e任意狀態任意狀態 ( , ),niE tnnnnnnr tCr tCr e1 1、求解定態問題的步驟、求解定態問題的步驟( , )( )eniE tnnnr tCr1| )(|2 drCnn)()(222rErV （1 1）列出定態）列出定態SchrodingerSchrodinger方程方程（2 2）根據波函數三個）根據波函數三個標準條件求解能標準條件求解能量量 的本征值問的本征值問題，得題，得：E1212,nn

48、EEE，本征函數本征函數本征能量本征能量（4 4）通過歸一化確定歸一化系數）通過歸一化確定歸一化系數nC（3 3）寫出定態波函數）寫出定態波函數即得到對應第即得到對應第 個個本征值本征值 的定態波的定態波函數函數nEn?nC 54( , )( )niE tnnr tr e*( , )( , )( , )( , )2nnnniJr tr tr tr t*( )( )( )( )2nnnnirrrr22( , )( , )( )nnnr tr tr 與與 無關無關t2 2、定態的性質、定態的性質（2 2）幾率流密度與時間無關）幾率流密度與時間無關（1 1）粒子在空間幾率密度與時間無關）粒子在空間幾

49、率密度與時間無關與與 無關無關t3 3、判別定態的方法：、判別定態的方法：（1 1）能量是否為確定值）能量是否為確定值（2 2）幾率與時間無關）幾率與時間無關（3 3）幾率流密度與時間無關）幾率流密度與時間無關三、非定態三、非定態1 1、非定態由定態疊加而成、非定態由定態疊加而成2 2、定態波函數的任意疊加都是含時薛定諤方程的解、定態波函數的任意疊加都是含時薛定諤方程的解3 3、勢場不含時則疊加系數不變，勢場含時無定態解、勢場不含時則疊加系數不變，勢場含時無定態解第第1 1條為態疊加原理的必然結果，第條為態疊加原理的必然結果，第2 2條可以從下式得條可以從下式得到證明：到證明：ntiEnnnn

50、tiEnnntiEnnnntiEnnntiEnnnnnnnexEcexHctxHexEcetixctxtiexctx/)()(),()()(),()(),(勢場不含時的特點：勢場不含時的特點：0),(),()()(),()()(),()(),(/tctxHtxtiexEcexHctxHexEcetcxitxtiexctxnntiEnnnntiEnnntiEnnnntiEnnntiEnnnnnnn力學量平均值不隨時間改變力學量平均值不隨時間改變力學量概率分布不隨時間改變力學量概率分布不隨時間改變經典場的結果經典場的結果1.1.下列波函數所描述的狀態是否為定態？為什么？下列波函數所描述的狀態是否為

51、定態？為什么？EtiixtEiixexvexux)()()(1（1） tEitEiexuexux21)()()(2（2） tEitEiexuexux)()()(3（3） 課后作業題課后作業題 2.2.如果一個粒子只有兩個可能位置如果一個粒子只有兩個可能位置, ,在量子力在量子力學中其波函數怎樣學中其波函數怎樣? ? 意義又如何意義又如何? ?一、一維無限深方勢阱一、一維無限深方勢阱二、線性諧振子二、線性諧振子三、勢壘穿透三、勢壘穿透2.5 2.5 一維定態問題一維定態問題一、一維無限深勢阱一、一維無限深勢阱 在繼續闡述量子力學基本原理之前，先用薛定在繼續闡述量子力學基本原理之前，先用薛定諤方程

52、來處理一類簡單的問題諤方程來處理一類簡單的問題 一維定態問題一維定態問題（一維無限深勢阱，線性諧振子，維無限深勢阱，線性諧振子，勢壘穿透勢壘穿透）。（1 1）有助于具體理解已學過的基本原理；）有助于具體理解已學過的基本原理； （2 2）有助于進一步闡明其他基本原理；）有助于進一步闡明其他基本原理；（3 3）處理一維問題，數學簡單，從而能對結果進行）處理一維問題，數學簡單，從而能對結果進行細致討論，量子體系的許多特征都可以在這些一維問細致討論，量子體系的許多特征都可以在這些一維問題中展現出來；題中展現出來；（4 4）一維問題還是處理各種復雜問題的基礎。）一維問題還是處理各種復雜問題的基礎。其好處

53、主要有四：其好處主要有四：1 1定態定態SchrSchrdingerdinger方程方程axaxxU0)()()()(2222xExxUdxd)(2222xUdxdH哈密頓算符哈密頓算符無限深勢阱無限深勢阱-aa0U(x)222222( )( )2( )( )( )2dxExxadxdxxExxadx(1)(2)考慮一維粒考慮一維粒子的運動，子的運動，其勢能為其勢能為: :2 2定態薛定諤方程的解定態薛定諤方程的解因因 及及 有限，由（有限，由（2 2） )(x0)(xxa（3）E令令222E（4）222( )0dxdx (1)從物理考慮，粒從物理考慮，粒子不能透過無窮子不能透過無窮高的勢壁。

54、高的勢壁。其通解為其通解為 xBxAxcossin)(ax （5） 利用利用 的連續性，由（的連續性，由（3 3）和（）和（5 5）得）得)(x( )sincos0()sincos0aAxBaaAaBa 當當 ，有，有00BA0sinaann2（n n為偶數）為偶數） (6)當當 ，有，有0cosa00BAann2（n n為奇數）為奇數） (7)(6)(6)和和(7)(7)兩式統一寫成兩式統一寫成, 3 , 2 , 1,2nann（8） 本征能量：本征能量： （9） 22228nnEa222 E本本征征函函數數sin()2( )00nnAxnxaaxx（10） 為偶數為偶數cos()2( )0

55、0nnBxnxaaxx（11） 為奇數為奇數(10)(10)和和(11)(11)兩式統一寫成兩式統一寫成sin()2( )0nnAx axaaxxa由歸一化條件求得歸一化常數由歸一化條件求得歸一化常數1Aa 推導推導: 2222|aannnnaaxdxdxdxdx22222|sin()211 cos()12aanaaaandxAx adxanAx a dxA aa1Aa（取實數）（取實數）axax)ax(ansina)x(n021（12） 歸一化歸一化的本征的本征函數函數2212( , )nni ni nx E tx E taanx tCeCeax or 由此可見：粒子的每個定態波函數由此可見

56、：粒子的每個定態波函數 是由是由兩個沿相反方向傳播的兩個沿相反方向傳播的平面波疊加而成的駐波平面波疊加而成的駐波。),(txn1( , )sin()2nniiE tE tnnnx tex a eaaax 3 3粒子的定態波函數粒子的定態波函數4 4幾率幅與幾率密度曲線圖幾率幅與幾率密度曲線圖5.5.宇稱宇稱( , )(, )rrr tr t 空間反射：空間矢量反向的操作。空間反射：空間矢量反向的操作。稱波函數具有稱波函數具有正宇稱正宇稱（或（或偶宇稱偶宇稱）(, )( , )r tr t稱波函數具有稱波函數具有負宇稱負宇稱（或（或奇宇稱奇宇稱）(, )( , )r tr t（2 2）在空間反射

57、下，如果）在空間反射下，如果(, )( , )r tr t則則稱稱波函數沒有確定的宇稱。波函數沒有確定的宇稱。（1 1）在空間反射下，如果有：）在空間反射下，如果有： (, )( , )r tr t 則稱波函數有則稱波函數有確定的宇稱。確定的宇稱。討論討論22128Ea基態能量基態能量（3 3） 取負整數與正整數描寫同一狀態。取負整數與正整數描寫同一狀態。 n（1 1）能量）能量 取分離譜，即能量是量子取分離譜，即能量是量子化的。化的。22228nnEa(2)(2)粒子能量最低的態粒子能量最低的態 稱為基態稱為基態1與經典最低能量為零不同，這是微觀粒子波動性的與經典最低能量為零不同，這是微觀粒

58、子波動性的表現，因為表現，因為“靜止的波靜止的波”是沒有意義的。是沒有意義的。本征函數具有確定宇稱是由勢能對原點對稱：本征函數具有確定宇稱是由勢能對原點對稱： 而導致的。而導致的。)()(xUxU（5 5）束縛態束縛態通常將在無窮遠處為零的波函數所描寫的狀態稱為束縛態。（4 4）當）當 為偶數時，為偶數時， ，即，即 具有具有奇宇稱奇宇稱。 當當 為奇數時，為奇數時， ，即，即 具有具有偶宇稱偶宇稱。nn)()(xxnn)(xn)()(xxnn)(xn二、線性諧振子二、線性諧振子 在經典力學中，當質量為在經典力學中，當質量為 的粒子，受彈性力的粒子，受彈性力 作作用，由牛頓第二定律可以寫出運動

59、方程為：用，由牛頓第二定律可以寫出運動方程為：Fk x2220d xk xxxkdt其解為其解為 。這種運動稱為簡諧振動，作這種運這種運動稱為簡諧振動，作這種運動的粒子稱為（線性）諧振子。動的粒子稱為（線性）諧振子。sinxAt經典允許的振動范圍經典允許的振動范圍諧振子在運動中能量守恒。諧振子在運動中能量守恒。其能量是振幅的連續函數其能量是振幅的連續函數。 1. 1.經典諧振子經典諧振子222122xpHmxm 諧振子哈密頓量諧振子哈密頓量 諧振子能量：諧振子能量：2212Em A 量子力學中的線性諧振子是指在勢場量子力學中的線性諧振子是指在勢場 中運動的質量為中運動的質量為 的粒子的粒子 2

60、221)(xxV2.2.量子諧振子量子諧振子 例如雙原子分子，兩原子間的勢例如雙原子分子，兩原子間的勢 是二者相對距離是二者相對距離 的函的函數，如圖所示。數，如圖所示。Vx 自然界廣泛碰到簡諧振動，任何體系在平衡位置附近的小自然界廣泛碰到簡諧振動，任何體系在平衡位置附近的小振動，例如分子振動、晶格振動、原子核表面振動以及輻射振動，例如分子振動、晶格振動、原子核表面振動以及輻射場的振動等往往都可以分解成若干彼此獨立的一維簡諧振動場的振動等往往都可以分解成若干彼此獨立的一維簡諧振動。簡諧振動往往還作為復雜運動的初步近似，所以簡諧振動。簡諧振動往往還作為復雜運動的初步近似，所以簡諧振動的研究，無論