1、2.3 離散時間隨機過程的功率譜密度離散時間隨機過程的功率譜密度 前面討論連續時間隨機過程的功率譜密度及其相前面討論連續時間隨機過程的功率譜密度及其相關性質，并得出重要的關系式關性質，并得出重要的關系式:(:(維納維納辛欽公式辛欽公式) ) 隨著快速傅里葉變化隨著快速傅里葉變化( (FFT) )算法出現以及數字信算法出現以及數字信號處理號處理( (DSP) )芯片的飛速發展，對離散時間隨機過程芯片的飛速發展，對離散時間隨機過程的研究就顯得非常重要。的研究就顯得非常重要。2022-5-72一一 離散時間隨機過程的功率譜密度離散時間隨機過程的功率譜密度1 平穩平穩離散離散時間隨機過程的相關函數時間

2、隨機過程的相關函數 設設X(n)為為廣義平穩廣義平穩離散離散時間隨機過程，或簡時間隨機過程，或簡稱為廣義平穩隨機序列，具有零均值。稱為廣義平穩隨機序列，具有零均值。 X(n)可以可以看作對連續時間隨機過程進行采樣得到的信號，看作對連續時間隨機過程進行采樣得到的信號，采樣間隔采樣間隔 ，即，即 。 X(n)自相關函數為自相關函數為: :)()()(mTnTXnTXEmRX簡寫為：簡寫為： )()()(mnXnXEmRXsT( )( )|st nTX nX t2022-5-732 平穩平穩離散離散時間隨機過程的功率譜密度時間隨機過程的功率譜密度 序列序列 的傅里葉變換存在的的傅里葉變換存在的充要條

3、件充要條件是是滿足絕對可和條件：即滿足絕對可和條件：即 定義定義 的功率譜密度為序列的功率譜密度為序列 的傅的傅里葉變換，并記為里葉變換，并記為 )(mRX( )XmRm )(nX)(mRX)(XS( )( )jm TXXmSRm e1( )( )2jm TXXRSed2022-5-74是頻率為是頻率為 的周期性連續函數，其周期為的周期性連續函數，其周期為 T是隨機序列相鄰各值的時間間隔。是隨機序列相鄰各值的時間間隔。22qT 奈奎斯特頻率奈奎斯特頻率 )(XS因為因為 為周期函數，周期為為周期函數，周期為)( XS2qdeSmRTjmXqXqq)(21)(在在 時時0m1( )(0)( )2

4、qqXXqE X nRSd2022-5-753 譜分解譜分解 z變換定義變換定義 在離散時間系統的分析中，常把廣義平穩離在離散時間系統的分析中，常把廣義平穩離散時間隨機過程的功率譜密度定義為散時間隨機過程的功率譜密度定義為 的的z變變換換，并記為，并記為 ，即，即 )(mRX zSX mmXXzmRzS)(式中式中,()( )j Tj TXXzeSeS11( )( )2mXXDRmSz zdzj式中，式中，D為在為在 的收斂域內環繞的收斂域內環繞z平面原點逆平面原點逆時針旋轉的一條閉合圍線。時針旋轉的一條閉合圍線。 zSX 為為 的逆的逆z變換變換)(mRX zSX 2022-5-76 性質：

5、性質： 1( )()XXSzSz（因為（因為 ）)()(mRmRXX 譜分解定理譜分解定理 設設X(n)是廣義平穩實離散隨機過程，具有有是廣義平穩實離散隨機過程，具有有理功率譜密度函數理功率譜密度函數 。則。則 可分解為：可分解為： zSX zSX )()(1zBzBzSX)()()()()(11MMzzzzCzB)()()()()(1111111MMzzzzCzB其中其中包含了包含了單位圓之內單位圓之內的全部零點和極點的全部零點和極點包含了包含了單位圓之外單位圓之外的全部零點和極點的全部零點和極點2022-5-77例例 設設 ，求，求 和和( ),1mXRmaa( )XSz( )XS解解10

6、221111( )(1)1()(1)(1)(1)(1)()()mmmmXmmSzaza zazzazazzazaazaaaazazaazz將將 代人上式，即可求得代人上式，即可求得j Tze11( )2cosXaaSaaT2022-5-78連續時間連續時間平穩隨機過程平穩隨機過程 離散時間離散時間 平穩隨機過程平穩隨機過程自相關函數自相關函數功率譜密度功率譜密度功率譜密度功率譜密度自相關函數自相關函數( )X t( )X n( )cR( )R m( )S( )cSFTDFT2022-5-79連續時間連續時間確知信號確知信號離散時間離散時間確知信號確知信號( )S t( )S n采樣采樣香農采樣

7、定理香農采樣定理2022-5-7102平穩隨機過程的采樣定理平穩隨機過程的采樣定理其中，其中， 為采樣周期，為采樣周期， 為在為在 時對時對 的采樣。的采樣。sin()( )()()()()ccscsscsnncstnTs ts nTs nTSatnTtnT),(cc1/2scTf設設 為一確知、連續、帶限的實信號，其為一確知、連續、帶限的實信號，其頻帶范圍頻帶范圍 ，當采樣周期，當采樣周期 時時 即頻率即頻率 時，時， 可唯一由其可唯一由其抽樣點抽樣點 確定（恢復）。確定（恢復）。)(ts)(ts2(2)scccfff()ss nTnTt )(tssT()ss nT2022-5-711連續時

8、間連續時間確知信號確知信號離散時間離散時間確知信號確知信號( )S t( )S n采樣采樣香農采樣定理香農采樣定理)()(nTSnSsin()( )()()ccssncstnTs ts nTtnT2022-5-712連續時間連續時間平穩隨機過程平穩隨機過程離散時間離散時間平穩隨機過程平穩隨機過程( )X t( )X n 采樣采樣2022-5-7132 平穩平穩隨機過程隨機過程的采樣定理的采樣定理( )( )0XcXSS其其它它12sccTf)(tX)(tXsin()( )lim()NcsNnNctnX tX nTtn()sX nT 是均方意義下的極限（均方極限）：是均方意義下的極限（均方極限）

9、：若若 ，則表示，則表示 ， 即，在即，在 時，時，Y(t)和和X(t)的均方誤差趨于零。的均方誤差趨于零。( )lim( )NX tY t2lim( )( ) 0NE X tY tN lim2022-5-714 的帶寬也是有限。的帶寬也是有限。sin()( )()cXXsncnRRnTn a()( ),( )j aj aXXXRaSeSe)(aRXsin()()()cXXsncnRaRnTan 令令 ，則，則asin()( )()()cXXsncanRRnTaan 對對 ， 對對 應用香農采樣定理應用香農采樣定理 帶寬有限，帶寬有限， 是是帶限確定信號帶限確定信號，由香農，由香農采樣定理可知

10、采樣定理可知)(XR( )( )XXRS)(XS是確知函數，維納是確知函數，維納-辛欽定理：辛欽定理： )(XR2022-5-715sin()( )()NcsnNctnX tX nTtn令令lim( )( )()sin()()()0NcXsXssncEX tX tX mTtnRtmTRnTmTtn，則則這說明，這說明，( )( )X tX t)(mTX正交正交 又又 是是 的線性組合，的線性組合，sin()( )()NcsnNctnX tX nTtn)(mTXN正交正交( )( )X tX t)(tX2022-5-716即即 lim( )( )( )0NEX tX tX t(4)又又 lim(

11、 )( )( )0NEX tX tX t(5)2lim( )( )lim( )( )( )lim( )( )( )0NNNEX tX tE X tX tX tE X tX tX t即即sin()( )lim( )lim()NcsNNnNctnX tX tX nTtn2022-5-7172lim( )( )0NEX tX tsin()( )lim()NcsNnNctnX tX nTtnsin()( )()cXXsncnRRnTn sin()()()cXXsncnRaRnTan sin()( )()()cXXsncanRRnTaan lim( )( )( )0NEX tX tX t(4)lim(

12、)( )( )0NEX tX tX t(5)2022-5-718連續時間連續時間平穩隨機過程平穩隨機過程離散時間離散時間平穩隨機過程平穩隨機過程( )X t( )X nsin()( )lim()NcsNnNctnX tX nTtn采樣采樣( )()X nX nT自相關函數自相關函數功率譜密度功率譜密度功率譜密度功率譜密度自相關函數自相關函數( )cR( )R m( )S( )cSFTDFT2022-5-719三三 功率譜密度的采樣定理功率譜密度的采樣定理 若平穩連續時間實隨機過程若平穩連續時間實隨機過程 ，其自相關函數，其自相關函數和功率譜密度分別記為和功率譜密度分別記為 和和 ，對，對 采樣后所采樣后所得離散時間隨機過程得離散時間隨機過程 ， 的自相關函的自相關函數和功率譜密度分別記為數和功率譜密度分別記為 和和 ，則有，則有)(cR)(cS( )cX t( )()sX nX nT)(nX)(mR)(S( )( )()()()()( )|scscscscmTR mE X n X nmE XnT XnTmTR mTR1( )(2)cqqnssSSnTT( )cXt2022-5-720連續時間連續時間平穩隨機過程