1、任課教師任課教師: :胡鳳珠胡鳳珠 秩秩( (rankrank) )是矩陣更深層的性質，是是矩陣更深層的性質，是矩陣理論的核心概念矩陣理論的核心概念 秩秩是是德國數學家德國數學家弗洛貝尼烏斯弗洛貝尼烏斯在在18791879年首先提出的年首先提出的 矩陣的秩矩陣的秩是是討論線性方程組解的存討論線性方程組解的存在性、向量組的線性相關性在性、向量組的線性相關性等問題等問題的重要工具的重要工具矩陣的秩矩陣的秩課本2.6 矩陣的秩 一、矩陣的一、矩陣的秩的概念秩的概念二、矩陣的二、矩陣的秩的求法秩的求法nmrOOOEF m nAr行階梯形矩陣行階梯形矩陣r行最簡形矩陣行最簡形矩陣c標準形標準形(形式不唯

2、一形式不唯一)(形式唯一形式唯一)矩陣常用的三種特殊的等價形式：矩陣常用的三種特殊的等價形式：標準形由標準形由數數r r完全確定完全確定，r r也就是也就是A A的的行階梯形中行階梯形中非零非零行的行數行的行數 這個數便是這個數便是矩陣矩陣A A的秩的秩. . 一、矩陣的秩的概念一、矩陣的秩的概念nmrOOOEF m nAr行階梯形矩陣行階梯形矩陣r行最簡形矩陣行最簡形矩陣c標準形標準形(形式不唯一形式不唯一)(形式唯一形式唯一)矩陣常用的三種特殊的等價形式：矩陣常用的三種特殊的等價形式：由于矩陣的等價標準形的唯一性沒有給出證明，也可由于矩陣的等價標準形的唯一性沒有給出證明，也可以以借助行列式

3、來定義矩陣的秩借助行列式來定義矩陣的秩一、矩陣的秩的概念一、矩陣的秩的概念 1 1 2 1 42 1 1 1 22 3 1 1 23 6 9 7 9A 1 1 2 1 42 1 1 1 22 3 1 1 23 6 9 7 9A 1 1、k k 階子式階子式 例如例如 1 13 1是是 A的一個二階子式的一個二階子式. .說明說明 m n矩陣的矩陣的k階子式階子式有有 個個.CknCkm(1,1)k mk n 定義定義1 在在m n矩陣矩陣A中中 任取任取 k 行行 k 列列位于這些位于這些行行 列列 交叉處交叉處 的的 k2 個元素個元素 不改變它們在不改變它們在A中所中所處的位置次序而得的處

4、的位置次序而得的k階行列式階行列式 稱為矩陣稱為矩陣A的的k階子式階子式. .故故r(A) =0 A=O規定規定 等于等于0. .零矩陣的秩零矩陣的秩矩陣矩陣A的秩，的秩，記作記作 r(A) 或或 R(A)或或 rank(A)或或 秩秩(A) . .定義定義2 設在設在m n矩陣矩陣A中中有一個有一個不等于零的不等于零的r階子式階子式 D 且且所有所有r 1階子式階子式(如果存在的話如果存在的話)全等于全等于0 那么數那么數 r 稱為稱為 矩陣矩陣A的秩的秩 D 稱為矩陣稱為矩陣A的的最高階非零子式最高階非零子式. . 2 2、矩陣的秩、矩陣的秩提示提示 例例1和例和例2綜合綜合 求矩陣求矩陣

5、A和和B的秩的秩 其中其中174532321A 00000340005213023012B. 在在A中中 容易看出一容易看出一個個2階子式階子式 013221 A的的3階子式只有一個階子式只有一個|A| 經計經計算可知算可知|A| 0 因此因此r(A) 2. . 解解 以以3個非零行的首個非零行的首非零元為對角元的非零元為對角元的3階子式階子式400230312是一個上三角行列式是一個上三角行列式 它顯然它顯然=24不等于不等于0 因此因此r(B) 3. . B是一個有是一個有3個非零行的個非零行的行階梯形矩陣行階梯形矩陣 其所有其所有4階子階子式全為零式全為零. . 對于對于行階梯形矩陣行階

6、梯形矩陣 它它的的秩秩就等于就等于非零行的行數非零行的行數. . 3 3、矩陣的秩的性質、矩陣的秩的性質 (1)若矩陣若矩陣A中中有某個有某個 s 階子式不為階子式不為0 則則r(A) s 若若A中中所有所有 t 階子式全為階子式全為0 則則r(A) t. . (2) 若若A為為m n矩陣矩陣 則則 0 r(A) minm n. . r(Amn) minm n (4)對于對于n階矩陣階矩陣A 當當|A| 0時時 r(A) n 當當|A| 0時時 r(A) n. . 可逆矩陣可逆矩陣(非奇異矩陣非奇異矩陣),又稱為又稱為滿秩矩陣滿秩矩陣 不可逆矩陣不可逆矩陣(奇異矩陣奇異矩陣),又稱為又稱為降秩

7、矩陣降秩矩陣. . 可叫做滿秩矩陣，否則叫做降秩矩陣。可叫做滿秩矩陣，否則叫做降秩矩陣。 (3) r(A) r(AT)，111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa 在秩是在秩是r 的矩陣中的矩陣中,有沒有等于有沒有等于0的的r 1階子式階子式? 有沒有等于有沒有等于0的的 r 階子式階子式? 解答：解答：可能有可能有 .010000100001A0000010001000例如例如 r(A) 3. . 是等于是等于0的的2階子式階子式 是等于是等于0的的3階子式階子式. . 補充例補充例3v定理定理1 若若A與與B等價等價 則則 r(A) r(B). . 根據這一定理根據這一定理

8、為求矩陣的秩為求矩陣的秩 只要把矩陣用只要把矩陣用初等初等(行行)變換變換變成變成行階梯形矩陣行階梯形矩陣 行階梯形矩陣中行階梯形矩陣中非零行的行數非零行的行數即是即是該矩陣的秩該矩陣的秩. . 二、矩陣的秩的求法二、矩陣的秩的求法問題問題：經過初等變換后，矩陣的秩：經過初等變換后，矩陣的秩 變變 嗎？嗎？任何矩陣都可以經過任何矩陣都可以經過初等行變換初等行變換變成變成行階梯形矩陣行階梯形矩陣。 即初等變換不改變矩陣的秩即初等變換不改變矩陣的秩 .因為因為 解解 41461351021632305023A 例例4 求矩陣求矩陣A的秩的秩 并求并求A的一個最高階非零子式的一個最高階非零子式 其中

9、其中 41461351021632305023A. 所以所以r(A) 3. . 為求為求A的最高階非零子式的最高階非零子式 考慮由考慮由A的的 1、2、4 列列構成的構成的矩陣矩陣 1615026235230A. 又因又因A0的子式的子式0502623523 所以所以這個子式是這個子式是A的最高階非的最高階非零子式零子式. . 00000840001134041461 行變換行變換161041004000 可見可見r(A0 )3,行階梯形矩陣行階梯形矩陣 例例5即即AB與與B等價等價 例例6小結小結(2)(2)初等變換法初等變換法1. 1. 矩陣的秩的概念矩陣的秩的概念2. 2. 求矩陣的秩的

10、方法求矩陣的秩的方法(1)(1)定義法定義法把矩陣用把矩陣用初等行變換初等行變換化為化為行階梯形矩陣行階梯形矩陣，行階梯形矩陣行階梯形矩陣中中非零行的行數非零行的行數就是矩陣的秩就是矩陣的秩. . 尋找矩陣中非零子式的最高階數尋找矩陣中非零子式的最高階數; ;P67:31練習題練習題 P67:31,32 111111xAxAx31.設三階矩陣，試求矩陣 的秩.P67:31練習題練習題 P67:31,32 111111xAxAx31.設三階矩陣，試求矩陣 的秩.P67:31練習題練習題 P67:31,32 111111xAxAx31.設三階矩陣，試求矩陣 的秩.繼續討論繼續討論x的值的變化對矩陣

11、的值的變化對矩陣A的秩的影響，結果同解法一。的秩的影響，結果同解法一。P67:32 練習題練習題 P67:31,32 12312125 4011311042025kAAAk32.設 為的矩陣，且 的秩為3，求 .P67:32 練習題練習題 P67:31,32 12312125 4011311042025kAAAk32.設 為的矩陣，且 的秩為3，求 .111214212224313234414244-12D=01aaaaaaaaaaaa1 32 34 3( 1) ( 1)52 ( 1)30 1 ( 1)415D 解：P21 ,2P21 ,5(3)1+1-（1）1 11 2n-1n-11 2-1

12、 12n+1.000.00.=( 1)y ( 1)00.00.00.00.0.00.=+( 1)( 1).0.=+( 1)nnnnnxyyxxyxyxyxyxyyxyxy 原式P21 ,5(3)習題習題1-5, P25 :51-5, P25 :5(4)P40:3(3)、(4),(3)4P40-46P40-61131122123213312332312312323232,2,453xyyyzzxyyyyzzxyyyyzzzzzxxx 已知兩個線性變換求 ， ， 到 ， ， 的線性變換.作業：作業：P46:1(1),7(1)P46:1(1),7(1)；P66:18P66:18 P46:1(1),7(1)033110 ,2 ,.123AABABB設求容易出錯容易出錯P66:18115.AAA可逆矩陣性質（ ）若矩陣 可逆，則1*1,32.2AAAAA若三階矩陣 的